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2018海淀区高三理科数学二模试题及答案

海淀区高三年级第二学期期末练习

数学（理科） 2018.5

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在

每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

（1）已知全集{1,2,3,4,5,6},U = 集合{1,2,4},{1,3,5}A B ==，则

(

A B

（A ）{1} （B ）{3,5} （C ）{1,6} （D ）{1,3,5,6}

（2）已知复数z 在复平面上对应的点为(1,1)-，则（A ）+1z 是实数（B ）+1z 是纯虚数

（C ）+i z 是实数（D ）+i z 是纯虚数

（3）已知0x y >>，则

（A ）11

x y

> （B ）

11()()22

x y >

（C ）cos cos x y > （D ）ln(1)ln(1)x y +>+ （4）若直线0x y a ++=是圆2220x y y +-=的一条对称轴，则a 的值为

（7）已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是

（A ）求首项为1，公比为2的等比数列的前2017项的和

（B ）求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和（C ）求首项为1，公比为4的等比数列的前

1009项的和

（D ）求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和

（8）已知集合

{|115}M x x =∈≤≤N ，集合123,,A A A 满足 ① 每个集合都恰有5个元素 ②

123A A A M =．

集合i A 中元素的最大值与最小值之和称为集合i A 的特征数，记为i X （1,2,3i =），则123X X X ++的值不可能为（）．

（A ）37 （B ）39 （C ）48 （D ）57

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）极坐标系中，点

(2,)

到直线cos 1ρθ=的距离为

开始S = 0，n = 1

S = S + 2n - 1n = n + 2n > 2018

输出 S 结束

是

否

________.

（10）在5

2()x x +的二项展开式中，

x 的系数

为 .

（11）已知平面向量a ，b 的夹角为

，且满足||2=a ，||1

=b ，则?=a b ，2+=|a b | .

（12）在ABC ?中，::4:5:6a b c =，则tan A = .

（13）能够使得命题“曲线22

1(0)4x y a a -=≠上存在四

个点P ，Q ，R ，S 满足四边形PQRS 是正方形”为真命题的一个实数a 的值为 . （14）如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P 垂直于

CM ，则PBC ?的面积的最小值为_________.

A B C D

A 1

B 1

C 1

D 1

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题13分）

如图，已知函数()sin()f x A x ω?=+(0,0,)

A π

ω?>><

在一个

周期内的图象经过

(

,0)

B π

，2

(,0)3

C π，

5(,2)12

D π三点．

（Ⅰ）写出A ，ω，?的值；

（Ⅱ）若52(

,)123

ππα∈，且()1f α=，求cos2α的值．

16. （本小题共13分）

某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩．记录的数据如下：

号 2

号 3

号 4

号 5

号 6

号 7

号 8

号 9

号 10

号

第一轮测试成

96 89 88 88 92 90 87 90 92 90 x

B O

绩

第二轮测试成绩

90 90 90 88 88 87 96 92 89 92 (Ⅰ)从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率； (Ⅱ)从考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；

(Ⅲ)记抽取的10名学生第一轮测试成绩的平均数和方差分别为1

x ，2

s ，考核成绩的平均数和方

差分别为2

x ，22

s ，试比较1x 与2

x ，21s 与22

s 的大小. （只

需写出结论）

17. （本小题共14分）

如图，在三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC AB ===，1AB ⊥平面ABC ，1AC AC ⊥，D ，E 分别是AC ，11B C 的中点．

（Ⅰ）证明：11AC B C ⊥

（Ⅱ）证明：//DE 平面11AA B B ；

A 1

（Ⅲ）求DE与平面11

BB C C所成角的正弦值.

18. （本小题共14分）已知椭圆C ：

214

x y +=，F 为右焦点，圆O ：22

1x y +=，

P 为椭圆C 上一点，且P 位于第一象限，过点P 作PT 与圆O 相切于点T ，使得点F ，T 在OP 两侧.

（Ⅰ）求椭圆C 的焦距及离心率;

（Ⅱ）求四边形OFPT 面积的最大值.

19. （本小题共13分）

已知函数()3ax f x ax =--e （0a ≠）（Ⅰ）求()f x 的极值；

（Ⅱ）当0a >时，设211()32

ax g x ax x a =--e .求证：曲线()y g x =存在两条斜率为1-且不重合的切线.

20. （本小题共13分）

如果数列{}n

a 满足“对任意正整数,i j ，i j ≠，都存在正整数k ，使得k i j

a a a =”，则称数列{}n

a 具有“性质P”.已知数列{}n

a 是无穷项的等差数列，公差为d .

（Ⅰ）若12

a=，公差3

d=，判断数列{}n a是否具有“性质P”，并说明理由；

（Ⅱ）若数列{}n a具有“性质P”，求证：10

a≥且0

d≥；（Ⅲ）若数列{}n a具有“性质P”，且存在正整数k，使得2018

a=，这样的数列{}n a共有多少个？并说明

理由

海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案及评分标准

数学（理科）

2018.5

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在

每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1 2 3 4 5 6 7 8

B C D B A C C A

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）1 （10）10

（11）1；23（12）7

3（13）答案不唯一，0

a>的任意实数

a<或4

（1425

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

（15）（本小题13分）

解：（Ⅰ）2A =，2ω=，3

?=-

． ····· 7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，()2sin(2)

f x x π

=-．

因为()1f α=，所以1

sin(2)32

πα-=

． ·

············ 8分因为 52(

,)123ππ

α∈，所以

2(,)32

απ-

∈． ·

······· 9分所以5236παπ

-=， ·

····························· 11分所以726

απ

=， ·

································ 12分所以

cos 2cos 62

απ==-

． ·

······················ 13分

16. （本小题共13分）

解：（Ⅰ）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：

93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，

90.5，91．

其中大于等于90分的有1号、

5号、7号、8号、9号、10号，共6人. ·················· 1分所以样本中学生考核成绩大于等于90分的频率为：

0.610

=， 3分从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于等于90分的概率为0.6. ················ 4分（Ⅱ）设事件A ：从上述考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，这两名同

学两轮测试成绩均大于等于90分. ·

········· 5分由（Ⅰ）知，上述考核成绩大于等于90

分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人. ··················································· 6分

所以，

232631

()155

C P A C ===

. ····················· 9分

（Ⅲ）1

x x =，2212

s >. ·························· 13分

17. （本小题共14分）解：（Ⅰ）因为1

AB ⊥平面ABC ，AC ?平面ABC ，所以1

AB AC ⊥． ···························· 1分

因为1AC AC ⊥，11AB AC A =，1AB ，1AC ?平面11

AB C ，

所以AC ⊥平面11

AB C ． ·

···················· 3分因为11B C ?平面11

AB C ，

所以11

AC B C ⊥． ·

··························· 4分（Ⅱ）法一：取11

A B 的中点M ，连接MA 、ME ．

因为E 、M 分别是1

B C 、1

A B 的中点，

所以

∥

A C ，且

ME 1112

A C =

． ·········· 5分在三棱柱11

ABC A B C -中，11AD A C ，且11

12AD AC =，所以ME ∥AD ，且ME =AD ，

所以四边形ADEM 是平行四边形， 6分所以DE ∥AM ． ·

········ 7分又AM ?平面11

AA B B ，DE ?平面11

AA B B ，所以//DE 平面1

AA BB ． ·

· 9分 A

C 1

A 1 C

B 1

D E M C 1

A 1

B 1

注：与此法类似，还可取AB 的中点M ，

连接MD 、MB 1．

法二：取AB 的中点M ，连接MD 、1

MB ．因为D 、M 分别是AC 、AB 的中点，

所以

∥BC ，且

MD 12

BC ． 5分

在三棱柱

111

ABC A B C -中，

1B E

，且

112

B E B

C =

，

所以MD ∥B 1E ，且MD =B 1E ，

所以四边形B 1E DM 是平行四边形， 6分

所以DE ∥MB 1．

········· 7分又1

MB ?平面11

AA B B ，DE ?平面11

AA B B ，

所以//DE 平面1

AA BB ． ·

· 9分法三：取BC 的中点M ，连接MD 、ME ．

因为D 、M 分别是CA 、CB 的中点，

所以，//DM AB ． ·

························ 5分在三棱柱11

ABC A B C -中，1

//BC B C ，1

BC B C =，因为E 、M 分别是1

C B 和CB 的中点，所以，1//MB EB ，1

MB EB =，

所以，四边形1

MBB E 是平行四边形， 6分

所以，1

//ME BB ． ········ 7分又因为ME

MD M

=，1

AB B

=，

A C 1

A 1

C B 1

D E

C 1

A B 1

D E y

ME ,MD ?平面MDE ，BB 1,AB ?平面

11AA B B

，

所以，平面//MDE 平面11

AA B B ． 8分

因为，DE ?平面MDE ，所以，//DE 平面1

AA BB ． 9分

（Ⅲ）在三棱柱11

ABC A B C -中，1

//BC B C ，因为1

AC B C ⊥，所以AC BC ⊥．

在平面1

ACB 内，过点C 作1

//Cz AB ，因为，1

AB ⊥平面ABC ，

所以，Cz ⊥平面ABC ． ·

10分建立空间直角坐标系C -xyz ，如图．则

(0,0,0)C ,(2,0,0)B ,1(0,2,2)B ,1(2,2,2)C -,(0,1,0)D ,(1,2,2)

E -.

(1,1,2)

DE =-，(2,0,0)CB =，1

(0,2,2)CB =．

······ 11分设平面1

BB C C 的法向量为(,,)x y z =n ，则

CB CB ??=???=??n n ，即

220

x y z =??

+=?，

得0x =，令1y =，得1z =-，故(0,1,1)=-n ． 12

分

P 设直线DE 与平面1

BB C C 所成的角为θ，

则sin θ＝

cos ,||||

DE DE DE ?<>=

?n n n 36

，

所以直线DE 与平面1

BB C C 所成角的正弦值3

. ··············································· 14分

18. （本小题共14分）

解：（Ⅰ）在椭圆C ：2

14x y +=中，2a =，1b =，

所以22

3c a b =-= ·

······················ 2分故椭圆C 的焦距为223c = ·

··········· 3分离心率3

c e a == ·

························ 5分（Ⅱ）法一：设00(,)P x y （0x >，0

0y >），

则220

014x y +=，故220

14x y =-． 6分

所以

22222

0003||||||14

TP OP OT x y x =-=+-=

，

所以03||TP x =， ·

········ 8分 0

13||||24OTP

S OT TP x ?=?=．又

(0,0)

O ，3,0)

F ，故

0013

OFP S OF y y ?=

?=． 10

分

因此

03()2

OFP OTP OFPT x S S S y ??=+=

+四边形 ········· 11分

2000000

331242

x x y y x y =++=+．

由

0014

x y +=，得

2200214

x y ?≤，即0

x y

?≤，

所以

00361OFPT S x y =

+四边形， ·

············ 13分当且仅当

00142

x y ==

，即

02x =，0

时等号

成立. ·

·············································· 14分（Ⅱ）法二：设(2cos ,sin )P θθ（02π

θ<<）

， ······· 6分则2

||||||4cos sin 13cos TP OP OT θθθ=-=+-=，

所以||3TP θ=， ·

························ 8分 13

||||2OTP

S OT TP θ?=?=． ············· 9分又(0,0)

O ，3,0)

F ，故013

2OFP S OF y θ?=

?=．

······················································ 10分

因此3

(cos sin )2

OFP OTP

OFPT S S S θθ??=+=+四边形 ······ 11分 66

)242

πθ=

+≤，

······· 13分当且仅当4π

θ=

时，即0

2x =0

y =时等号成立． ················································ 14分

19. （本小题共13分）解：（Ⅰ）法一：'()(1)ax ax

f x a a a =?-=?-e e (0,)a x ≠∈R ， 1分

令'()0f x =，得0x =． ·

····················· 2分 ①当0a >时，'()f x 与1ax

-e 符号相同，

当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：

(,0)

-∞

(0,)

+∞

'()

f x

- 0 + ()f x ↘ 极小

↗ ············································· 4分 ②当0a <时，'()f x 与1ax

-e 符号相反，

当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：

(,0)

-∞

(0,)

+∞

'()

f x

- 0 + ()f x ↘ 极小

↗ ············································· 6分综上，()f x 在0x =处取得极小值(0)2f =-. 7分

法二：'()(1)ax

f x a a a =?-=?-e e (0,)a x ≠∈R ， ·

······· 1分令'()0f x =，得0x =． ·

····················· 2分令()(1)ax

h x a =?-e ，则2

'()ax

h x a =?e ， ·

········· 3分易知'()0h x >，故()h x 是(,)-∞+∞上的增函数，

即'()f x 是(,)-∞+∞上的增函数． ·

········· 4分所以，当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：

(,0)

-∞

(0,)

+∞

'()

f x

- 0 + ()f x ↘ 极小

↗ ············································· 6分因此，()f x 在0x =处取得极小值(0)2f =-. 7分

（Ⅱ）'()3()ax

g x ax f x =--=e (0,)a x >∈R ， ············· 8分故'()1g x =-?()1f x =-． ····················· 9分注意到(0)21f =-<-，22()51f a =->-e ，2

()11f a --=->-e ，

所以，12

(,0)

x a ?∈-，22

(0,)

x a

∈，使得1

()()1f x f x ==-．因此，曲线()y g x =在点1

(,())P x f x ，2

(,())P x f x 处的切线斜率均为1-.

············································· 11分下面，只需证明曲线()y g x =在点1

(,())P x f x ，2

(,())P x f x 处的切线不重合.

法一：曲线()y g x =在点(,())i i i

P x f x （1,2i =）处

的切线方程为()()i i y g x x x -=--，即()i i

y x g x x =-++．假设曲线()y g x =在点(,())i i i

P x f x （1,2i =）处的切线重合，则2211

()()g x x g x x +=+． ··································· 12分

法二：假设曲线()y g x =在点(,())i i i

P x f x (1,2i =，

x x ≠)处的切线重合，则21

()()

1g x g x x x

-=--，整理得：2211

()()g x x g x x +=+． ··································· 12分法一：由'()31i

ax i

g x ax =--=-e ，得2i

ax i

ax =+e ，则

21112

()(2)322i i i

i i

g x x ax ax x x ax x a a

+=+--+=--+．因为

x x ≠，故由

2211

()()g x x g x x +=+可得

122x x a

+=-

．

而12(,0)

x a ∈-，22

(0,)

x a ∈，于是有1222

0x x a a

+>-+=-

，

矛盾！

法二：令()()G x g x x =+，则1

()()G x G x =，且'()'()1()1G x g x f x =+=+.

由（Ⅰ）知，当1

(,)x x x ∈时，()1f x <-，故'()0G x <．

所以，()G x 在区间12

[,]x x 上单调递减，于是有12

()()G x G x >，矛盾！

因此，曲线()y g x =在点(,())i i i

P x f x (1,2i =)处的切线

不重合． ·

······································ 13分

20. （本小题13分）解：（Ⅰ）若12a =，公差3d =，则数列{}n

a 不具有性

质P ． ·

············································· 1分

理由如下：

由题知31n

a n =-，对于1

a 和2

a ，假设存在正整

数k ，使得12

a a a =，则有312510k -=?=，解得11

3k =，矛

盾！所以对任意的*

k ∈N ，12

k a a a ≠．

············· 3分（Ⅱ）若数列{}n

a 具有“性质P”，则

①假设1

0a <，0d ≤，则对任意的*

n ∈N ，1

(1)0n a a n d =+-?<.

设12k a a a =?，则0k

a >，矛盾！ ·

······· 4分 ②假设1

0a <，0d >，则存在正整数t ，使得

12312

0t t t a a a a a a ++<<

设111t k a a a +?=，2

12t k a a a +?=，3

13t k a a a +?=，…，1121

t t k a a a ++?=，*

i k ∈N ，1,2,,1i t =+，则1231

0t k k k k a a a a +>>>>???>，但数列{}n

a 中仅有t 项小于等于0，矛盾！ 6分 ③假设1

0a ≥，0d <，则存在正整数t ，使得

12312

0t t t a a a a a a ++>>>???>≥>>>???

设112t t k a a a ++?=，213t t k a a a ++?=，3

14t t k a a a ++?=，…，1122

t t t k a a a +++?=，*

i k ∈N ，1,2,,1i t =+，则1231

0t k k k k a a a a +<<<

a 中仅有t 项大于等于0，矛盾！ 8分综上，1

0a ≥，0d ≥．

（Ⅲ）设公差为d 的等差数列{}n

a 具有“性质P”，且存在正整数k ，使得2018k

a =．

若0d =，则{}n a 为常数数列，此时2018n

a =恒成

立，故对任意的正整数k ，

20182018k a a a =≠=?，

这与数列{}n

a 具有“性质P”矛盾，故0d ≠．设x 是数列{}n

a 中的任意一项，则x d +，2x d +均是数列{}n

a 中的项，设