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八年级几何证明题集锦及解答值得收藏

八年级几何全等证明题归纳

1.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB 于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF．

求证：CF=AB+AF．

证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH，

∵BD⊥CD，BE⊥CE，

∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°，

∵∠EFB=∠DFC，

∴∠EBF=∠DCF，

∵DB=CD，BA=CH，

∴△ABD≌△HCD，

∴AD=DH，∠ADB=∠HDC，

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC=45°，

∴∠HDC=45°，∴∠HDB=∠BDC—∠HDC=45°，

∴∠ADB=∠HDB，

∵AD=HD，DF=DF，

∴△ADF≌△HDF，

∴AF=HF，

∴CF=CH+HF=AB+AF，

∴CF=AB+AF．

2.如图，ABCD为正方形，E为BC边上一点，且AE=DE，AE与对角线BD交于点F，连接CF，交ED于点G．判断CF与ED的位置关系，并说明理由．

解：垂直．

理由：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠ABD=∠CBD，AB=BC，

∵BF=BF，

∴△ABF≌△CBF，

∴∠BAF=∠BCF，

∵在RT△ABE和△DCE中，AE=DE，AB=DC，

∴RT△ABE≌△DCE，

∴∠BAE=∠CDE，

∴∠BCF=∠CDE，∵∠CDE+∠DEC=90°，

∴∠BCF+∠DEC=90°，

∴DE⊥CF．

3.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90o，AB＝AD，DE⊥CD交AB于E，DF平分∠CDE交BC于F，连接EF．证

明：CF＝EF

解：

B F C

过D作DG⊥BC于G．

由已知可得四边形ABGD为正方形，

∵DE⊥DC

∴∠ADE+∠EDG=90°=∠GDC+∠EDG，

∴∠ADE=∠GDC．

又∵∠A=∠DGC且AD=GD，

∴△ADE≌△GDC，

∴DE=DC且AE=GC．

在△EDF和△CDF中∠EDF=∠CDF，DE=DC，DF为公共边，∴△EDF ≌△CDF，

∴EF=CF

4.已知：在⊿ABC中，∠A=900，AB=AC，D是AC的中点，AE⊥BD，AE延长线交BC于F，求证：∠ADB=∠FDC。

证明：

过点C作CG⊥CA交AF延长线

于G

∴∠G+∠GAC=90°…………①

又∵AE⊥BD

∴∠BDA+∠GAC=90°…………②

综合①②，∠G=∠BDA

在△BDA与△AGC中，

∵∠G=∠BDA

∠BAD=∠ACG=90°

BA=CA

∴△BDA≌△AGC

∴DA=GC

∵D是AC中点，∴DA=CD

∴GC=CD

由∠1=45°，∠ACG=90°，故∠2=45°=∠1

在△GCF与△DCF中，

∵GC=CD

∠2=45°=∠1

CF=CF

∴△GCF≌△DCF

∴∠G=∠FDC,又∠G=∠BDA

∴∠ADB=∠FDC

5.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC=CD，O是BD的中点，E是CD延长线上一点，作OF⊥OE交DA的延长线于F，OE交AD于H，OF交AB于G，FO的延长线交CD于K，求证：OE=OF

提示：

由条件知△BCD为等腰Rt△，连接OC，可证△OCK≌△ODH(AAS)，

得OK=OH ，再证△FOH ≌△EOK(AAS)，得OE=OF

A B

6.如图，在正方形ABCD 的边BC 上任取一点M ，过点C 作CN ⊥DM 交AB 于N ，设正方形对角线交点为O ，试确定OM 与ON 之间的关系，并说明理由．

解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴DC=BC ，∠DCM=∠NBC=90°，又∵CN ⊥DM 交AB 于N ， ∴∠NCM+∠CMD=90°，而∠CMD+∠CDM=90°， ∴∠NCM=∠CDM ， ∴△DCM ≌△CBN ， ∴CM=BN ，

再根据四边形ABCD是正方形可以得到

OC=OB，∠OCM=∠OBN=45°，

∴△OCM≌△OBN．

∴OM=ON，∠COM=∠BON，而∠COM+∠MOB=90°，

∴∠BON+∠MOB=90°．

∴∠MON=90°．

∴OM与ON之间的关系是OM=ON；OM⊥ON．

7.如图，正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），M是线段AE的中点，DM的延长线交CE于N．

探究：线段MD、MF的关系，并加以证明．

证明：根据题意，知AD∥BC．

∴∠EAD=∠AEN（内错角相等），

∵∠DMA=∠NME（对顶角相等），

又∵M是线段AE的中点，

∴AM=ME．

∴△ADM≌△ENM（ASA）．

∴AD=NE,DM=MN．（对应边相等）．

连接线段DF，线段FN，

线段CE是正方形的对角线，∠DCF=∠NEF=45°，

根据上题可知线段AD=NE，

又∵四边形CGEF是正方形，

∴线段FC等于FE．

∴△DCF≌△NEF（SAS）．

∴线段FD=FN．

∴△FDN是等腰三角形．

∴线段MD⊥线段MF．

8.如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角∠NDM，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究BM、MN、CN之间的数量关系，并加以证明．

证明：BM+CN=NM

延长AC至E，使CE=BM，连接DE，

∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等边三角形，

∴∠BCD=30°，

∴∠ABD=∠ACD=90°，

∵DB=DC，CE=BM，

∴△DCE≌△BMD，

∵∠MDN=∠NDE=60°

∴DM=DE（上面已经全等）

∴DN=ND（公共边）

∴△DMN≌△DEN∴BM+CN=NM

9.如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°．E为AD延长线上的一点，且CE=CA，求证：AD+CD=DE；

证明：∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠CAB=∠ABC=45°．

∵∠CAD=∠CBD=15°，

∴∠BAD=∠ABD=30°．

∴AD=BD．

在DE上截取DM=DC，连接CM，

∵AD=BD，AC=BC，DC=DC，

∴△ACD≌△BCD．

∴∠ACD=∠BCD=45°．

∵∠CAD=15°，

∴∠EDC=60°．

∵DM=DC，

∴△CMD是等边三角形．

∴∠CDA=∠CME=120°．

∵CE=CA，

∴∠E=∠CAD．

∴△CAD≌△CEM．

∴ME=AD．

∴DA+DC=ME+MD=DE．

即AD+CD=DE．

10.如图，在正方形ABCD中，F是CD的中点，E是BC边上的一点，且AF平分∠DAE，求证：AE=EC+CD．

证明：∵AF平分∠DAE，∠D=90°，FH⊥AE，

∴∠DAF=∠EAF，FH=FD，

在△AHF与△ADF中，

∵AF为公共边，∠DAF=∠EAF，FH=FD（角平分线上的到角的两边距离相等），

∴△AHF≌△ADF（HL）．

∴AH=AD，HF=DF．

又∵DF=FC=FH，FE为公共边，

∴△FHE≌△FCE．

∴HE=CE．

∵AE=AH+HE，AH=AD=CD，HE=CE，

∴AE=EC+CD．

11.已知梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AC于E，AD=BC，AC=AB，DF ⊥AB于F，AC、DF相交于DF的中点O．

求证：AB+CD=2BE．

证明：过D作DM∥AC交BA的延长线于M．

∵梯形ABCS中，AD=BC，

∴BD=AC．

又∵CD∥AM，DM∥AC，

∴四边形CDMA为平行四边形．

∴DM=AC，CD=AM．

∵MD∥AC，又AC⊥BD，且AC=BD，

∴DM⊥BD，DM=BD，

∴△DMB为等腰直角三角形．

又∵DF⊥BM，

∴DF=BF．

∴BM=2DF=2BF

∴AM+AB=2BF．

∵CD=AM，

∴AB+CD=2BF．

∵AC=BD=AB，

∴在△BEA和△BFD中，△BEA≌△BFD．

∴BE=BF．

∵AB+CD=2BF，

∴AB+CD=2BE．

12.已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．

求证：AD=DE．

证明：（1）∵CF平分∠BCD，

∴∠BCF=∠DCF．

在△BFC和△DFC中，

∴△BFC≌△DFC．

∴BF=DF，∴∠FBD=∠FDB．

连接BD．

∵DF∥AB，

∴∠ABD=∠FDB．

∴∠ABD=∠FBD．

∵AD∥BC，

∴∠BDA=∠DBC．

∵BC=DC，

∴∠DBC=∠BDC．

∴∠BDA=∠BDC．

又BD是公共边，

∴△BAD≌△BED．

∴AD=DE．

13.如图，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AB∥DC，AB=BC，AD与BC 延长线交于点F，G是DC延长线上一点，AG⊥BC于E．

求证：CF=CG；

证明：连接AC，

∵DC∥AB，AB=BC，

∴∠1=∠CAB，∠CAB=∠2，

∴∠1=∠2；

∵∠ADC=∠AEC=90°，AC=AC，

∴△ADC≌△AEC，

∴CD=CE；

∵∠FDC=∠GEC=90°，∠3=∠4，

∴△FDC≌△GEC，

∴CF=CG．

14.如图，已知P为∠AOB的平分线OP上一点，PC⊥OA于C，PA=PB，求证AO+BO=2CO

证明：过点P作PQ⊥OB于Q，则∠PQB=90°

∵OP平分∠AOB，且PC⊥OA，PQ⊥OB

∴PC=PQ

在Rt△POC与Rt△POQ中，

∵PC=PQ

PO=PO

∴Rt△POC≌Rt△POQ（HL）

∴OC=OQ

∴2OC=OC+OQ=OC+OB+BQ

在Rt△PCA与Rt△PQB中，

∵PC=PQ

PA=PB

∴Rt△PCA≌Rt△PQB（HL）

∴CA=QB

又2OC=OC+OB+BQ

∴2OC=OC+OB+CA=OA+OB

15.已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC 于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE=AC．求证：BG=FG；

证明:

∵∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，

∴∠ABC=∠AFE．

∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，

∴△ABC≌△AFE

∴AB=AF．

连接AG，

∵AG=AG，AB=AF，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG．

∴BG=FG

16.如图，在平行四边形ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，连接CE、CF，求证：①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF 是等边△

解：∵△ABE、△ADF是等边三角形

∴FD=AD，BE=AB

∵AD=BC，AB=DC

∴FD=BC，BE=DC

∵∠B=∠D，∠FDA=∠ABE

∴∠CDF=∠EBC

∴△CDF≌△EBC，

∵AF=FD，AE=DC，EF=CF

∴△EAF≌△CDF

∴∠CDF=∠EAF，

∵∠AFC=∠AFE+∠EFD+∠DFC，∠AFE+∠EFD=60°

∴∠AFC-∠DFC=60°

∴∠AFE=∠DFC

∴∠EFC=60°

同理，∠FEC=60°

∵CF=CE

∴△ECF是等边三角形

17.已知正方形ABCD中，F为对角线BD上一点，过F点作EF⊥BA于E，G为DF中点，连接EG，CG．求证：EG=CG；

证明：

延长CG至M，使MG=CG，

连接MF，ME，EC，

在△DCG与△FMG中，

∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，

∴△DCG≌△FMG．

∴MF=CD，∠FMG=∠DCG，

∴MF∥CD∥AB，

∴EF⊥MF．

在Rt△MFE与Rt△CBE中，

∵MF=CB，EF=BE，

∴△MFE≌△CBE

∴∠MEF=∠CEB．

∴∠MEC=∠MEF+∠FEC=∠CEB+∠CEF=90°，

∴△MEC为直角三角形．

∵MG=CG，

∴EG= MC，

∴EG=CG．

18.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．

解：在AC上取AF=AE，连接OF，

则△AEO≌△AFO（SAS），

∴∠AOE=∠AOF；

∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，

∴∠ECA+∠DAC= （180°-∠B）=60°

则∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°；

∴∠AOC=∠DOE=120°，

∠AOE=∠COD=∠AOF=60°，

则∠COF=60°，

∴∠COD=∠COF，

又∵∠FCO=∠DCO，CO=CO，

∴△FOC≌△DOC（ASA），

∴DC=FC，

∵AC=AF+FC，

∴AC=AE+CD．

19.已知：如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，AE⊥BE；说明：AD+BC=AB．

解：如图，在AB上截取AF=AD，

∴AE平分∠BAD，

∴∠DAE=∠FAE，

∵AF=AD，AE=AE，

∴△DAE≌△FAE，

∴∠D=∠AFE，∠DEA=∠FEA，

∵AD∥BC，

∴∠DAB+∠CBA=180°，

∵AE⊥BE，

∴∠BAE+∠ABE=90°，

∴∠DAE+∠CBE=90°，

∴∠ABE=∠CBE，

同理，∠FEB=∠CEB，

∵BE=BE，

∴△BEF≌△BEC，

∴BF=BC，

∴AB=AF+FB=AD+BC．

20.如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，BC与DE相交

于点F，连接CD，EB．

求证：CF=EF．

证明：

∵Rt△ABC≌Rt△ADE，

∴AC=AE，AD=AB，∠CAB=∠EAD，

∴∠CAB-∠DAB=∠EAD-∠DAB．

即∠CAD=∠EAB．

∴△CAD≌△EAB，

∴CD=EB，∠ADC=∠ABE．

又∵∠ADE=∠ABC，

∴∠CDF=∠EBF．

又∵∠DFC=∠BFE，

∴△CDF≌△EBF．

∴CF=EF．

21.将两个全等的直角三角形ABC和DBE如图方式摆放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点E落在AB

上，DE所在直线交AC所在直线于点F．求证：AF+EF=DE