2019年普通高中学业水平考试数学模拟试卷一参考答案

2018年普通高中学业水平考试模拟试卷(一)

数 学

本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分．时量120分钟，满分100分．

一、填空题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={1，3，6，7}，则?U A 等于 A ．{2，4，6} B ．{1，3，5} C ．{2，4，5} D ．{3，5}

2．已知tan α=2，则cos α-2sin α

cos α+sin α

的值等于

A ．3

B ．2

C ．1

D ．-1

3．如图所示，随机往正方形中扔一颗豆子(落在正方形外不算)，则它落到阴影部分的概率是

A ．13

B ．12

C ．58

D ．38

4．设|a |=4，|b |=9，a ·b =182，则a 与b 的夹角为

A ．π4

B ．π3

C ．3π4

D ．π

6

5．如图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题： (1)存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如图； (2)存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如图； (3))存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如图． 其中真命题的个数是 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 6．在△ABC 中，已知a 2+b 2=c 2-2ab ，则∠C= A ．30? B ．45? C ．150? D ．135?

7．一个单位有职工160人，其中有业务员104人，管理人员32人，后勤服务员24人，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样的方法抽取样，则在20人的样本中应抽取后勤服务人员的人数为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．圆x 2+y 2+4y +3=0与直线kx -y -1=0的位置关系是 A ．相离 B ．相交或相切 C ．相交 D ．相交，相切或相离

9．若函数f (x )唯一的一个零点同时在区间(0，16)，(0，8)，(0，4)，(0，2)内，则下列命题中正确的是

A ．函数f (x )在区间(0，1)内有零点

B ．函数f (x )在区间(0，1)或(1，2)内有零点

C ．函数f (x )在区间[2，16)上无零点

D ．函数f (x )在区间(1，16)内无零点 10．两平行直线3x +4y -12=0与ax +8y +11=0间的距离等于

A ．1310

B ．72

C ．235

D ．与a 的取值有关

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 `10 答案

C

D

B

A

A

D

A

B

B

11．函数y =2sin(3x +π

6)的最小正周期是[ 2π3

].

12．已知2x =3，log 28

3

=y ，则x +y = [ 3 ]．

13．已知x ，y 满足不等式组??

???≥≥≤+,0,

0,

3y x y x 则S=x -y 的最大值是[ 3 ]． 14．下图给出一个程序框图，其运行结果是[ 30 ]． 15．用一根长为12cm 的铁丝围成一个矩形，

则矩形面积的最大值为[ 9 cm 2 ].

三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．(本题满分6分)从一个装有3个红球A 1，A 2，A 3和2个白球B 1，B 2的盒子中，随机取出2个球．

(1)用球的标号列出所有可能的取出结果； (2)求取出的2个球都是红球的概率．

解：(1)所有可能的结果共有10个：A 1A 2，A 1A 3，A 1B 1，A 1B 2，A 2A 3，A 2B 1，A 2B 2，A 3B 1，A 3B 2，B 1B 2。

(2)取出的2个球全为红球只占其中的3个：A 1A 2，A 1A 3，A 2A 3，故所求的概率为3

10

。

17．(本题满分8分)已知二次函数y =f (x )，当x =2时，函数f (x )取最小值-1，且f (1)+f (4)=3． (1)求f (x )的解析式；

(2)若g (x )=f (x )-kx 在区间(1，4)上无最小值，求实数k 的取值范围．

解：(1)因为x =2时，二次函数f (x )取最小值-1，所以可设f (x )=a (x -2)2-1(a >0)。 又f (1)+f (4)=3，所以a -1+4a -1=3，从而a =1，因此f (x )=(x -2)2-1=x 2-4x +3。 (2)由于g (x )=f (x )-kx =x 2-(k +4)x +3在区间(1，4)上没有最小值，

所以对称轴x =k +42?(1，4)，即k +42≤1或k +4

2

≥4，解得k ≤-2或k ≥4。

因而实数k 的取值范围是),4[]2,(+∞--∞Y 。

18．(本题满分8分)如图，四棱锥M-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，DC ∥AB ，AD ⊥AB ，

AD=AE=DC=1

2

AB=4，△MDC 是等边三角形，且平面MDC ⊥平面ABCD ．

(1)证明：EC ∥平面MAD ； (2)求三棱锥B-AMC 的体积．

证：(1)∵DC ∥AB ，AE=DC=4，∴四边形AECD 为□，故AD ∥CE ， 而CE ?面AMD ，AD ?面AMD ，因此EC ∥平面MAD ；

解：(2)∵△MDC 是等边三角形，且平面MDC ⊥平面ABCD ，

∴取CD 的中点N ，连MN ，知MN ⊥CD ，于是MN ⊥平面ABCD 。 在正△MDC 中，MN=23，

在菱形AECD 中，由AD ⊥AB ，知CE=4且CE ⊥AB 。

因而△ABC 的面积为12×8×4=16，所以V B-AMC =V M-ABC =13×16×23=323

3

。

19．(本题满分8分)已知函数f (x )=Asin(ωx +?)(A>0，ω>0，0

2

)，x ∈R ，f (x )的最小值为-4，f (0)=22，

且相邻两条对称轴之间的距离为π． (1)求函数f (x )的解析式；

(2)若x ∈(π

2，π)，且f (x )=1，求cos(x +5π12

)的值．

解：(1)由f (x )的最小值为-4，知A=4，又相邻两条对称轴之间的距离为π，所以T=2π，ω=1。

于是f (x )=4sin(x +?)，又f (0)=22，所以sin ?=22，注意到0

4

。

因此f (x )=4sin(x +π

4

)。

(2)由f (x )=1，可得sin(x +π4)=14，又x ∈(π2，π)，所以cos(x +π

4)=-154

，

于是cos(x +5π12)=cos[(x +π4)+π

6]=-154×32-14×12=-35+18

。

20．(本题满分10分)设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 2+a 6=2，S 15=75． (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若b n =n a

2-(2n -1)，求数列{b n }的前n 项和T n ．

解：(1)因为等差数列{a n }中，a 2+a 6=2，S 15=75，所以a 4=1，a 8=5，故d =1， 于是通项公式为a n =a 4+(n -4)d =n -3。 (2)由(1)知b n =2n -3-(2n -1)，

于是T n =2-2+2-1+20+2+…+2n -3-(1+3+5+…+(2n -1))=1

2)12(41--n

-n 2=2n -2-14-n 2。