山东省青岛市胶州市2020-2021学年高一上学期期末数学试题

山东省青岛市胶州市2020-2021学年高一上学期期末数学试

题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知扇形的圆心角为30，半径为6，则该扇形的弧长为（ ） A ．π

B ．

2

π C ．

3

π D ．

4

π 2．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v （单位：/m s ）可以表示为31log 2100

Q v =

，其中Q 表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼的游速为3

2

/m s 时，则它的耗氧量的单位数为（ ） A ．900

B ．1600

C ．2700

D ．8100

3．函数()lg(2)

f x x =++的定义域是（ ）

A ．3(2,)2-

B ．3(2,]2

-

C ．(2,)-+∞

D ．3(,)2

+∞

4．角θ的终边上一点(-，则cos()2

π

θ-

=（ ）

A ．

2

B ．

C ．

12

D ．12

-

5．已知(0,)θπ∈，则“6

π

θ=

”的必要不充分条件是（ ）

A ．cos 2

θ=

B ．1sin 2

θ=

C ．tan 3

θ=

D ．sin 2

θ=

6．函数()lg f x x =与()cos g x x =的图象的交点个数为（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．不确定

7．函数2()cos sin (R)f x x x x =+∈的最大值为（ ）

A ．1-

B ．

34

C ．1

D ．

54

8．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()(4)f x f x =+，且(1)1f =，则

(2019)(2020)f f +=（ ）

A ．1-

B ．0

C ．1

D ．2

二、多选题

9．下列函数是偶函数的是（ ） A ．()tan f x x =

B ．()sin f x x =

C ．()cos f x x =

D ．()lg ||f x x =

10．已知0.1

0.93,log 3,sin(cos1)a b c ===，则下述正确的是（ ） A ．a b >

B ．a c >

C ．b c >

D ．0b >

11．已知函数[)22,(,0)()ln ,(0,1)43,1,x x f x x x x x x -?∈-∞?

=∈??-+-∈+∞?

，若函数()()g x f x m =-恰有2个零

点，则实数m 可以是（ ） A ．1-

B ．0

C ．1

D ．2

12．已知02

π

αβ<<<

，且tan α，tan β是方程220x kx -+=的两不等实根，则下

列结论正确的是（ ） A ．tan tan k αβ+=- B ．tan()k αβ+=- C

．k >D ．tan 4k α+≥

三、填空题

13．若tan 2θ=，则

3cos sin cos sin θθ

θθ

-=+__________.

14．已知幂函数()y f x =

的图像过点则(4)f =_______． 15

．求值：sin 220(tan10??-=________.

16．已知函数12

()log f x x a =+，2()2g x x x =-，对任意的11

[,2]4

x ∈，总存在

2[1,2]x ∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是______________．

四、解答题

17．已知集合{|2,12}x A y y x ==-≤≤，集合{R|1ln 2}B x x =∈-<≤，集合

2{R |60}C x x x =∈--≥.

（1）求B C ?；

（2）设全集U =R ，求U ()C A C ；

（3）若2ln 7

3

1

lg0.0527lg 2

a e

=-+-，证明：a A B ∈.

18．已知函数()1log (0,1)a f x x a a =+>≠的图象恒过点A ，点A 在直线

(0)y mx n mn =+>上.

（1）求

11

m n

+的最小值； （2）若2a =，当[2,4]x ∈时，求2

[()]2()3y f x f x =-+的值域.

19．已知函数2()222cos f x x x =

++.

（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； （2）求函数()f x 在[0,

]2

π

上的最小值.

20．函数()sin()f x A x ω?=+(0,016,0)2

A π

ω?><<<<

在R ，

(0)1f =.

（1）若点(

8

π

在()f x 的图象上，求函数()f x 图象的对称中心；

（2）将函数()y f x =的图象向右平移

4π

ω

个单位，再将所得的图象纵坐标不变，横坐标缩小到原来的1

2，得函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,]8

π上为增函数，求ω的最大值.

21．如图，长方形ABCD 中，2,AB BC ==,,E F G 分别在线段,,AB BC DA

（含端点）上，E 为AB 中点，⊥EF EG ，设AEG θ∠=.

（1）求角θ的取值范围；

（2）求出EFG ?周长l 关于角θ的函数解析式()f θ，并求EFG ?周长l 的取值范围.

22．设函数()f x 的定义域为I ，对于区间D I ?，若1212,()x x D x x ?∈<满足

12()()1f x f x +=，则称区间D 为函数()f x 的V 区间.

（1）证明：区间(0,2)是函数1

()lg 2

f x x =

+的V 区间； （2）若区间[0,](0)a a >是函数1()()2

x

f x =的V 区间，求实数a 的取值范围； （3）已知函数sin ln(1)

()x

x x f x e

-+=

在区间[0,)+∞上的图象连续不断，且在[0,)+∞上仅有2个零点，证明：区间[,)π+∞不是函数()f x 的V 区间.

参考答案

1．A 【分析】

利用弧长公式l r α=即可求解. 【详解】

扇形的圆心角为306

π

?=

，半径为6r =，

所以扇形的弧长为66

l r π

απ==?=.

故选：A 【点睛】

本题考查了扇形的弧长公式，注意在运用公式时，圆心角需用弧度制表示，属于基础题. 2．C 【分析】 将3

2

v =

/m s 代入式子，利用指数式与对数式的互化即可求解. 【详解】 由31log 2100

Q

v =

，当32v =时，

则

331log 22100Q =，即3log 3100Q =，解得3327100

Q

==， 所以2700Q =. 故选：C 【点睛】

本题考查了指数式与对数式的互化，属于基础题. 3．A 【解析】 【分析】

要使函数有意义，则需2x +＞0，且32x -＞0，即可得到定义域． 【详解】

要使函数有意义，则需

2x +＞0，且32x -＞0，

即有x ＞-2且x ＜32

， 则-2＜x ＜

32， 即定义域为32,2??- ??

?

． 故选：A ． 【点睛】

本题考查函数的定义域的求法，注意对数真数大于0，偶次根式被开方式非负，分式分母不为0，属于基础题． 4．A 【分析】

首先利用三角函数的定义求出sin θ，再利用诱导公式即可求解. 【详解】

根据题意可得

sin θ=

=

，

cos()cos sin 22ππθθθ??

-=-==

???

故选：A 【点睛】

本题考查了三角函数的定义以及诱导公式，需熟记公式，属于基础题. 5．B 【分析】

根据角与三角函数值以及必要不充分条件的定义即可求解. 【详解】 由(0,)θπ∈

对于A ，6

π

θ=

时，cos 2

θ=

，反之也成立，故A 不正确； 对于B ，当6π

θ=

时，1sin 2θ=

，反之当1

sin 2θ=时，6

πθ=或56π，

故“6

πθ=”的必要不充分条件是1

sin 2θ=，故B 正确；

对于C ，6

π

θ=

时，tan θ=

，反之也成立，故B 不正确； 对于D ，显然不成立， 故选：B 【点睛】

本题考查了必要不充分条件的定义，同时考查了特殊角的三角函数值，属于基础题. 6．C 【分析】

在同一坐标系中，作出函数()lg f x x =与()cos g x x =的图象，即可求解. 【详解】

在在同一坐标系中，作出函数()lg f x x =与()cos g x x =的图象， 如图：

由图可知，两函数的交点个数为3. 故选：C 【点睛】

本题考查了余弦函数与对数函数的图像，属于基础题. 7．D 【分析】

利用同角三角函数的基本关系将函数化为2

()sin sin 1(R)f x x x x =-++∈，配方即可求解. 【详解】

22()cos sin sin sin 1f x x x x x =+=-++

2

15sin 24x ?

?=--+ ??

?，又1sin 1x -≤≤，

所以当1

sin 2x =时，()max 54

f x =. 故选：D 【点睛】

本题考查了同角三角函数的基本关系以及正弦型三角函数的最值，属于基础题. 8．A 【分析】

利用函数的周期性可得()()(2019)(2020)10f f f f +=-+，再结合函数为奇函数的性质即可求解. 【详解】

由()(4)f x f x =+，所以函数的周期为4T

=，

即()()(2019)(2020)10f f f f +=-+， 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)1f =，

()()111f f ∴-=-=-，()00f =，

∴(2019)(2020)101f f +=-+=-.

故选：A 【点睛】

本题考查了函数的周期性与奇偶性的应用，需熟记奇函数的性质，属于基础题. 9．CD 【分析】

利用偶函数的定义即可判断. 【详解】

对于A ，()tan f x x =，定义域为,2x R x k k Z π

π??

∈≠

+∈???

?

关于原点对称， 且()()()tan tan f x x x f x -=-=-=-，即函数为奇函数，故A 不选；

对于B ，()sin f x x =，定义域为R ，()()()sin sin f x x x f x -=-=-=-， 即函数为奇函数，故B 不选；

对于C ，()cos f x x =，定义域为R ，()()()cos cos f x x x f x -=-==， 即函数为偶函数，故C 选；

对于D ，()lg ||f x x =，定义域为{}

0x R x ∈≠关于原点对称，

()()lg ||lg f x x x f x -=-==，即函数为偶函数，故D 选；

故选：CD 【点睛】

本题考查了三角函数的奇偶性，需熟记奇偶性定义以及判断函数奇偶性的方法，属于基础题. 10．AB 【分析】

利用指数函数、对数函数以及正弦函数的单调性即可求解. 【详解】

3x y =为增函数，则0.10331>=，即1a >，

0.9log y x =为减函数，则0.90.9log 3log 10<=，即0b <，

sin y x =在0,2π??

???

为增函数，0cos11<<，则()0sin cos11<<，即01c <<，

故选：AB 【点睛】

本题考查了利用指数函数、对数函数以及正弦函数的单调性比较大小，属于基础题. 11．ABC 【分析】

先由题意，在同一直角坐标系中作出()y f x =与y m =的图像，将函数零点问题转化为

()y f x =与y m =交点个数的问题，结合图形，即可得出结果.

【详解】

令()()0g x f x m =-=，则()f x m =，

在同一直角坐标系中作出()y f x =与y m =的图像， 因为函数()()g x f x m =-恰有2个零点， 所以只需()y f x =与y m =有两个交点.

由图可知，为使()y f x =与y m =有两个交点， 只需1m =或0m ≤即可，

故当1,0,1m =-时，两函数均有两个交点，即ABC 正确；当2m =时，两函数有三个交点，不满足题意，故D 错； 故选：ABC. 【点睛】

本题主要考查由函数零点个数求参数的问题，根据数形结合的方法即可求解，属于常考题型. 12．BCD 【分析】

根据题意可得tan tan k αβ+=，tan tan 2αβ?=，再利用两角和的正切公式可判断B ，利用基本不等式可判断C 、D 【详解】

由tan α，tan β是方程220x kx -+=的两不等实根， 所以tan tan k αβ+=，tan tan 2αβ?=，

tan tan tan()1tan tan 1

k

k αβαβαβ++=

==--?-，

由02

π

αβ<<<

，tan α，tan β均为正数，

则tan tan k αβ+=≥=tan α=tan β取等号，等号不成立

tan 2tan tan 4k ααβ+=+≥=，当且仅当2tan α=tan β取等号，

故选：BCD 【点睛】

本题考查了韦达定理、两角和的正切公式、基本不等式的应用，注意验证等号成立的条件，属于基础题. 13．

13

【分析】

利用同角三角函数的基本关系，将3cos sin cos sin θθ

θθ

-+分子、分母同除cos θ即可求解.

【详解】

3cos sin 3tan 321

cos sin 1tan 123

θθθθθθ---===+++，

故答案为：13

【点睛】

本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了齐次式，属于基础题. 14．2 【分析】

设幂函数()a

f x x =,将点(代入函数()y f x =的解析式,即可求得()f x 的解析式,进

而求得(4)f . 【详解】 设()a

f x x =

幂函数()y f x =的图像过点

∴ ()22a f ==可得:12

a =

()1

2

f x x ∴=

∴ 1

2(4)42f ==

故答案为:2. 【点睛】

本题考查幂函数的基本性质,求出幂函数的解析式是解题的关键,考查分析问题和解决问题的能力,属于基础题. 15．1 【分析】

利用诱导公式以及两角差的正切公式可得()()

sin 40tan 501tan10tan 60--?+，再利用同角三角函数的基本关系以及辅助角公式即可化简求值. 【详解】

()

sin 220(tan10sin 40tan10tan 60?=-??-?

()()sin 40tan 10601tan10tan 60=--?+ ()cos103sin10

sin 40tan 50

cos10

+=--

=()2cos 6010

2cos50

sin 50sin 50cos10

sin80

-?

=?

2cos50

cos 4012sin 40cos 40

=?

=.

故答案为：1 【点睛】

本题考查了诱导公式、两角差的正切公式、辅助角公式以及同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题. 16．[0,1] 【解析】

分析：对于多元变量任意存在的问题，可转化为求值域问题，首先求函数()(),f x g x 的值

域，然后利用函数()f x 的值域是函数()g x 值域的子集，列出不等式，求得结果. 详解：由条件可知函数()f x 的值域是函数()g x 值域的子集，

当11,24

x ??∈????

时，()[]

1,2f x a a ∈-++，当[]21,2x ∈-时，()[]1,3g x ∈- ，

所以11

23

a a -+≥-??

+≤? ，解得01a ≤≤，故填：[]0,1. 点睛：本题考查函数中多元变量任意存在的问题，一般来说都转化为子集问题，若是任意

1x D ∈，存在2x E ∈，满足()()12f x g x >，即转化为()()min min f x g x >，若是任意1x D ∈，

任意2x E ∈，满足()()12f x g x >，即转化为()()min max f x g x >，本题意在考查转化与化归的能力.

17．（1）2[3,]e （2）()(,2]

4,-∞-+∞（3）证明见解析

【分析】

（1）利用指数函数、对数函数的单调性以及一元二次不等式的解法求出集合A 、B 、C ，再利用集合的交运算即可求解.

（2）由（1）结合集合的交、补运算即可求解. （3）利用对数的运算性质以及集合的并运算即可求解. 【详解】

（1）因为12x -≤≤，所以

1242x ≤≤，集合1

[,4]2

A = 因为1ln 2x -<≤，所以

21x e e <≤，集合21

(,]B e e

=， 因为260x x --≥，所以2x -≤或3x ≥，集合(,2][3,)C =-∞-+∞

所以2[3,]B

C e =

（2）由（1）知：R 1

(,)(4,)2

C A =-∞+∞

所以()R ()

(,2]

4,C A C =-∞-+∞

（3）由题知：2ln 7

3

1

lg0.0527lg

lg0.05lg 2792

a e

=-+-=+-+ lg0.12121=+=-+=

因为21

(,]A

B B e e ==，

所以a A B ∈

【点睛】

本题考查了集合的交、并、补运算，同时考查了指数函数、对数函数的单调性，对数的运算以及一元二次不等式的解法，属于基础题. 18．（1）4（2）[3,6] 【分析】

（1）利用对数函数的性质求出点(1,1)A ，将点A 代入直线方程可得1m n +=，再利用基本不等式即可求解.

（2）当2a =时，2()1log f x x =+，利用对数函数的单调性求出()[2,3]f x ∈，令()t f x =，利用二次函数配方即可求解. 【详解】

（1）因为log 10a =，所以函数()f x 的图象恒过点(1,1)A 因为(1,1)A 在直线y mx n =+上，所以1m n +=

所以

1111()()2n m

m n m n m n m n

+=++=++， 因为0mn >，所以

0,0n m

m n

>>

所以

224n m m n ++≥=（当且仅当12m n ==时等号成立）

所以当12m n ==

时，11

m n

+取最小值4 （2）当2a =时，2()1log f x x =+

因为()f x 在[2,4]上单调递增，所以当[2,4]x ∈时，()[2,3]f x ∈

令()t f x =，则223y t t =-+，[2,3]t ∈； 因为2

2

23(1)2y t t t =-+=-+在[2,3]上单调递增 所以当2t =时，min 3y =；当3t =时，max 6y = 故所求函数的值域为[3,6] 【点睛】

本题考查了对数函数的性质、基本不等式求最值以及二次函数配方求最值，属于基础题. 19．（1）最小正周期为π，单调递减区间为2[,],6

3

k k k Z π

π

ππ++

∈，（2）2 【分析】

（1）利用二倍角的余弦公式以及辅助角公式将函数化为()2sin(2)36

f x x π

=++，再利用

正弦函数的最小正周期公式2T π

ω

=以及正弦函数的单调递减区间整体代入即可.

（2）根据题意可得72[,]666

x π

ππ

+∈，再利用三角函数的单调性即可求解. 【详解】

（1）因为2()222cos 2cos23f x x x x x =

++=++

2sin(2)36

x π

=++

所以函数()f x 的最小正周期22

T π

π== 由3222,2

6

2

k x k k Z π

π

π

ππ+

≤+

≤+

∈ 得：2,6

3

k x k k Z π

π

ππ+

≤≤+

∈ 所以()f x 的单调递减区间为2[,],6

3

k k k Z π

π

ππ++

∈ （2）因为[0,]2

x π∈，所以72[,]666

x π

ππ+∈ 所以1sin(2)126

x π

-

≤+≤ 所以()2sin(2)3[2,5]6

f x x π

=+

+∈

所以min ()2f x = 【点睛】

本题考查了三角函数的性质，同时考查了二倍角的余弦公式以及辅助角公式，属于基础题. 20．（1）对称中心为：(,0),28

k k Z ππ

-∈（2）2. 【分析】

（1）首先根据三角函数的性质求出函数解析式())4f x x πω=+，将点(8

π

代

入解析式求出())4

f x x π

=

+，根据正弦函数的中心对称点整体代入即可求解.

（2）根据三角函数的平移伸缩变换可得()2g x x ω=，由题意可得222

T ππω=

≥，解不等式即可求解. 【详解】

因为函数()f x 在R A =

因为(0)1f =1?=，sin ?=

因为02

π

?<<

，所以4

π

?=

，所以())4

f x x π

ω=

+

（1）由题知：()8

f π

=

sin(

)84ωπ

π+=sin()184

ωππ

+= 所以

2,8

4

2

k k Z ωπ

π

π

π+

=+

∈，162,k k Z ω=+∈

又因为016ω<<，所以2ω=

因此())4f x x π=

+；由2,4x k k Z ππ+=∈得：,28

k x k Z ππ

=-∈

所以函数()f x 图象的对称中心为：(

,0),28

k k Z ππ

-∈

（2）将函数())4f x x πω=

+的图象向右平移4π

ω

个单位，

得：()44

y x x ππ

ωωω=-

+.

再将y x ω=的图象纵坐标不变，横坐标缩小到原来的1

2

，

得：()2g x x ω=

，

又因为()g x 在[0,]8

π上为增函数，所以()g x 的周期222T ππω=≥，

解得02ω<≤.

所以ω的最大值为2. 【点睛】

本题考查了三角函数的性质以及图像的平移伸缩变换，熟记三角函数的性质是解题的关键，属于基础题.

21．（1）[,]63

ππ

（2）1sin cos ()sin cos f θθθθθ++=

，[,]63

ππ

θ∈，EFG ?周长l 的取值范围为

1)]+

【分析】

（1）结合图像可得当点G 位于D 点时，角θ取最大值，点F 位于C 点时，BEF ∠取最大值，角θ取最小值，在直角三角形中求解即可. （2）在Rt ΔEAG 中，求出1cos EG θ=

，在Rt ΔEBF 中，求得1

sin EF θ

=，在Rt ΔGEF 中，根据勾股定理得222FG EF EG =+，从而可得111

()cos sin sin cos f θθθθθ

=

++，通分可得1sin cos ()sin cos f θθ

θθθ

++=，令sin cos t θθ=+，借助三角函数的性质即可求解.

【详解】

（1）由题意知，当点G 位于D 点时，角θ取最大值，

此时tan θ=，因为02

π

θ<<

，所以max 3

π

θ=

当点F 位于C 点时，BEF ∠取最大值，角θ取最小值，

此时=

3

BEF π

∠，所以min 2

3

6

π

π

π

θ=

-

=

故所求θ的取值集合为[,]63

ππ

（2）在Rt ΔEAG 中，cos AE EG θ=

，1AE =，所以1

cos EG θ

= 在Rt ΔEBF 中，cos cos(

)2

BE BEF EF π

θ∠=-=

，1BE =，所以1

sin EF θ

= 在Rt ΔGEF 中，有勾股定理得222FG EF EG =+

22222222

11sin cos 1

sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ

+=+== 因为[

,]63

ππ

θ∈，所以sin 0,cos 0θ

θ，1

sin cos FG θθ

=

所以111()cos sin sin cos f EG EF FG θθθθθ

=++=

++ 所以1sin cos ()sin cos f θθθθθ++=

，[,]63

ππ

θ∈

令sin cos t θθ=+，则21

sin cos 2

t θθ-=

所以2

2(1)2

11

t l t t +=

=-- 因为[

,]63ππ

θ∈，57[,]41212πππ

θ+∈，

所以sin()4π

θ+

∈

所以1

sin cos )[

4

2

t π

θθθ=+=

+∈

所以EFG ?周长l 的取值范围为1)] 【点睛】

本题考查了三角函数的在平面几何中的应用，主要考查了辅助角公式以及换元法求三角函数的值域，属于中档题.

22．（1）证明见解析（2）1a >（3）证明见解析 【分析】

（1）根据题中定义代入验证即可证出； （2）根据题中的新定义可得12

1

1()()

12

2

x

x +=，由1

()()2

x f x =在[0,]a 上单调递减，可得

1211111

()()2()()2222

x x a a -+>=，只需10a ->即可求解. （3）利用零点存在定理可得函数()f x 在[0,)π上至少存在两个零点，由题意可得函数()f x 在[,)π+∞上不存在零点，由()0f π<，可得[,)x π?∈+∞，()0f x <，从而可得

12()()0f x f x +<，结合定义即可求解.

【详解】

（1）设1212,(0,2)()x x x x ∈<，若12()()1f x f x +=，则1211

lg lg 122

x x +++= 所以1212lg lg lg 0x x x x +==，121=x x ， 取1245

,54

x x =

=，满足定义 所以区间(0,2)是函数1

()lg 2

f x x =

+的V 区间， （2）因为区间[0,]a 是函数1()()2

x

f x =的V 区间，

所以1212,[0,]()x x a x x ?∈<使得1211()()122

x x

+=，

因为1()()2

x

f x =在[0,]a 上单调递减， 所以12

1111()(),()

()2

2

2

2x

x a

a >≥，1211111()()2()()2222

x x a a -+>= 所以1

1

()

12

a -<，10a ->，1a >，

故所求实数a 的取值范围为1a >，

（3）因为21ln(1)ln(1)2()0,()02f f e e

π

π

π

πππ-++=

>=-<， 所以()f x 在(

,)2

π

π上存在零点，

又因为(0)0f =，

所以函数()f x 在[0,)π上至少存在两个零点.

因为函数sin ln(1)

()x

x x f x e -+=

在区间[0,)+∞上仅有2个零点.

所以()f x 在[,)π+∞上不存在零点.

又因为()0f π<，所以[,)x π?∈+∞，()0f x <， 所以1212,[,)()x x x x π?∈+∞<，12()()0f x f x +<，

即因此不存在1212,[,)()x x x x π?∈+∞<满足12()()1f x f x +=， 所以区间[,)π+∞不是函数()f x 的V 区间. 【点睛】

本题是一道函数的新定义题目，同时考查了指数函数的单调性、零点存在性定理，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题.