江苏南通、泰州市2018届高三数学一模试卷含答案

江苏南通、泰州市2018届高三数学一模

试卷（含答案）

2018届高三年级第一次模拟考试(四)

数学

(满分160分，考试时间120分钟)

参考公式：

柱体的体积公式：V柱体＝Sh，其中S为柱体的底面积，

h为高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1.已知集合A＝{－1，0，a}，B＝{0，a}．若B⊆A，则实数a的值为________．

2.已知复数z＝1＋4i1－i，其中i为虚数单位，则复数z 的实部为________．

3.已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400，400，500.为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年级抽取________名学生．

4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为

________．

5.若某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器

人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为________．

6.若实数x，y满足y≥1，y≤3，x－y－1≤0，则2x—y 的最大值为________．

7.在平面直角坐标系xOy中，已知点F为抛物线y2＝8x

的焦点，则点F到双曲线x216－y29＝1的渐近线的距离为________．

8.在各项均为正数的等比数列中，若a2＝1，a8＝a6＋

6a4，则a3的值为________．

9.在平面直角坐标系xOy中，将函数y＝sin2x＋π3的图象向右平移φ0φπ2个单位长度，若平移后得到的图象经过坐标原点，则φ的值为________．

10.若曲线y＝xlnx在x＝1与x＝t处的切线互相垂直，则正数t的值为________．

11.如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为4cm，圆柱的底面积为93cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为

6cm的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为

________cm.(不计损耗)

(第11题)(第12题)

12.如图，已知矩形ABCD的边长AB＝2，AD＝1.点P，Q

分别在边BC，CD上，且∠PAQ＝45°，则AP→AQ→的最

小值为________．

13.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－4，0)，B(0，4)，从直线AB上一点P向圆x2＋y2＝4引两条切线PC，PD，切点分别为C，D.设线段CD的中点为M，则线段AM 的长度的最大值为________．

14.已知函数f(x)＝x2－2ax－a＋1，x≥0，ln（－x），x0，g(x)＝x2＋1－2a.若函数y＝f(g(x))有4个零点，则实数a的取值范围是________________．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.(本小题满分14分)

如图，在三棱锥PABC中，AB⊥PC，CA＝CB，M是AB的中点．点N在棱PC上，D是BN的中点．

求证：(1)MD∥平面PAC；

(2)平面ABN⊥平面本小题满分14分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2＝b2＋c2－bc，a＝152b.

(1)求sinB的值；

(2)求cosC＋π12的值．

17.(本小题满分14分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为22，两条准线之间的距离为42.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2＋y2＝89上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．

18.(本小题满分16分)

如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为

80m的正方形ABCD，另一部分是以AD为直径的半圆，其圆心为O.规划修建的3条直道AD，PB，PC将广场分割为

6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域(图中阴影部分)，Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P在半圆弧上，AD分别与PB，PC相交于点E，F.(道路宽度忽略不计)

(1)若PB经过圆心，求点P到AD的距离：

(2)设∠POD＝θ，θ∈0，π2.

①试用θ表示EF的长度；

②当sinθ为何值时，绿化区域面积之和最大．

19.(本小题满分16分)

已知函数g(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)有极值，且函数

f(x)＝(x＋a)ex的极值点是g(x)的极值点，其中e是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)

(1)求b关于a的函数关系式；

(2)当a0时，若函数F(x)＝f(x)－g(x)的最小值为M(a)，

证明：M(a)－73.

20.(本小题满分16分)

若数列同时满足：①对于任意的正整数n，an＋1≥an恒成立；②若对于给定的正整数k，an－k＋an＋k＝2an对于任意的正整数n(nk)恒成立，则称数列是“R(k)数列”．

(1)已知an＝2n－1，n为奇数，2n，n为偶数，判断数列是否为“R(2)数列”，并说明理由；

(2)已知数列是“R(3)数列”，且存在整数p(p1)，使得

b3p－3，b3p－1，b3p＋1，b3p＋3成等差数列，证明：

是等差数列．

2018届高三年级第一次模拟考试(四)

数学附加题

(本部分满分40分，考试时间30分钟)

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评

分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A.[选修41：几何证明选讲](本小题满分10分)

如图，已知⊙O1的半径为2，⊙O2的半径为1，两圆外切于点T.点P为⊙O1上一点，PM与⊙O2切于点M.若PM＝3，求PT的长．

B.[选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)

已知x∈R，向量01是矩阵A＝1x02的属于特征值λ的一个特征向量，求λ与A－1.

C.[选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)

在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与曲线x＝t－1，y ＝t2－1(t为参数)相交于A，B两点，求线段AB的长．D.[选修45：不等式选讲](本小题满分10分)

已知a1，b1，求b2a－1＋a2b－1的最小值．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22.(本小题满分10分)

如图，在四棱锥PABCD中，AP，AB，AD两两垂直，

BC∥AD，且AP＝AB＝AD＝4，BC＝2.

(1)求二面角PCDA的余弦值；

(2)已知点H为线段PC上异于C的点，且DC＝DH，求PHPC 的值．

23.(本小题满分10分)

(1)用数学归纳法证明：当n∈N*时，cosx＋cos2x＋

cos3x＋…＋cosnx＝sinn＋12x2sin12x－12(x∈R，且

x≠2kπ，k∈Z)；

(2)求sinπ6＋2sin2π6＋3sin3π6＋4sin4π6＋…＋

2018sin2018π6的值.

2018届南通、泰州高三年级第一次模拟考试

数学参考答案

1.1

2.－32

3.25

4.10

5.12

6.5

7.65

8.39.π610.e－211.21012.42－4

13.3214.5－12，1∪(1，＋∞)

15.解析：(1)在△ABN中，M是AB的中点，

D是BN的中点，

所以MD∥AN.(3分)

因为AN⊂平面PAC，MD⊄平面PAC，

所以MD∥平面PAC.(6分)

(2)在△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，

所以AB⊥MC.(8分)

因为AB⊥PC，PC⊂平面PMC，MC⊂平面PMC，PC∩MC＝C，

所以AB⊥平面PMC.(11分)

因为AB⊂平面ABN，

所以平面ABN⊥平面PMC.(14分)

16.解析：(1)在△ABC中，根据余弦定理及a2＝b2＋c2－bc得，cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.

因为A∈(0，π)，所以A＝π3.(3分)

在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB得

sinB＝basinA＝215×32＝55.(6分)

(2)因为a＝152bb，

所以AB，即0Bπ3.

又sinB＝55，所以cosB＝1－sin2B＝255.(9分)

在△ABC中，A＋B＋C＝π，

所以cosC＋π12＝cosπ－A－B＋π12

＝－cosB＋π4(12分)

＝－cosBcosπ4－sinBsinπ4

＝－255×22－55×22＝－1010.(14分)

17.解析：(1)设椭圆的焦距为2c，由题意得ca＝22，2a2c＝42，(2分)

解得a＝2，c＝2，所以b＝2.

所以椭圆的方程为x24＋y22＝1.(4分)

(2)方法一：因为S△AOB＝2S△AOM，

所以AB＝2AM，

所以M为AB的中点．(6分)

因为椭圆的方程为x24＋y22＝1，

所以A(－2，0)．

设M(x0，y0)，则B(2x0＋2，2y0)．

所以x20＋y20＝89，①

（2x0＋2）24＋（2y0）22＝1,②(10分)

由①②得9x20－18x0－16＝0，

解得x0＝－23，x0＝83(舍去)．

把x0＝－23代入①，得y0＝±23，(12分)

所以kAB＝±12，

因此，直线AB的方程为y＝±12(x＋2)，

即x＋2y＋2＝0或x－2y＋2＝0.(14分)

方法二：因为S△AOB＝2S△AOM，所以AB＝2AM，

所以M为AB的中点．(6分)

设直线AB的方程为y＝k(x＋2)．

由x24＋y22＝1，y＝k（x＋2）得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，

所以(x＋2)[(1＋2k2)x＋4k2－2]＝0，

解得xB＝2－4k21＋2k2.(8分)

所以xM＝xB＋（－2）2＝－4k21＋2k2，yM＝k(xM＋2)＝2k1＋2k2，(10分)

代入x2＋y2＝89得，

－4k21＋2k22＋2k1＋2k22＝89，

化简得28k4＋k2－2＝0，(12分)

即(7k2＋2)(4k2－1)＝0，解得k＝±12，

所以直线AB的方程为y＝±12(x＋2)，

即x＋2y＋2＝0或x－2y＋2＝0.(14分)

18.解析：以AD所在直线为x轴，以线段AD的中垂线为y轴建立平面直角坐标系．

(1)直线PB的方程为y＝2x，

半圆O的方程为x2＋y2＝402(y≥0)，(2分)

由y＝2x，x2＋y2＝402，y≥0得y＝165.

所以点P到AD的距离为165m．(4分)

(2)①由题意得P(40cosθ，40sinθ)．

直线PB的方程为

y＋80＝sinθ＋2cosθ＋1(x＋40)，令y＝0，得

xE＝80cosθ＋80sinθ＋2－40＝80cosθ－

40sinθsinθ＋2.(6分)

直线PC的方程为y＋80＝sinθ＋2cosθ－1(x－40)，

令y＝0，得xF＝80cosθ－80sinθ＋2＋40＝80cosθ＋40sinθsinθ＋2，(8分)

所以EF的长度为

f(θ)＝xF－xE＝80sinθsinθ＋2，θ∈0，π2.(10分) ②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为

S1＝12×80－80sinθsinθ＋2×80＝6400sinθ＋2，

区域Ⅱ的面积为

S2＝12×EF×40sinθ＝12×80sinθsinθ＋2×

40sinθ＝1600sin2θsinθ＋2，

所以S1＋S2＝1600sin2θ＋6400sinθ＋20θπ2.(3分) 设sinθ＋2＝t，则2t3，

则S1＋S2＝1600（t－2）2＋6400t

＝1600t＋8t－4≥1600(28－4)＝6400(2－1)，

当且仅当t＝22，即sinθ＝22－2时等号成立．

所以休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积S1＋S2的最小值为

6400(2－1)m2.

故当sinθ＝22－2时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大．(16分)

19.解析：(1)因为f′(x)＝ex＋(x＋a)ex＝(x＋a＋

1)ex.令f′(x)＝0，解得x＝－a－1.

f(x)，f′(x)随x的变化列表如下：

所以当x＝－a－1时，f(x)取得极小值．(2分)

因为g′(x)＝3x2＋2ax＋b，由题意可知

g′(－a－1)＝0，且Δ＝4a2－12b0，

所以3(－a－1)2＋2a(－a－1)＋b＝0，

化简得b＝－a2－4a－3.(4分)

由Δ＝4a2－12b＝4a2＋12(a＋1)(a＋3)0得a≠－32，

所以b＝－a2－4a－3a≠－32.(6分)

(2)因为F(x)＝f(x)－g(x)＝(x＋a)ex－(x3＋ax2＋bx)，所以F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝(x＋a＋1)ex－[3x2＋

2ax－(a＋1)(a＋3)]

＝(x＋a＋1)ex－(x＋a＋1)(3x－a－3)

＝(x＋a＋1)(ex－3x＋a＋3)．(8分)

记h(x)＝ex－3x＋a＋3，则h′(x)＝ex－3，

令h′(x)＝0，解得x＝ln3.

h(x)，h′(x)随x的变化列表如下：

所以当x＝ln3时，h(x)取得极小值，也是最小值，

此时h(ln3)＝eln3－3ln3＋a＋3＝6－3ln3＋a

＝3(2－ln3)＋a＝3lne23＋aa0.(10分)

令F′(x)＝0，解得x＝－a－1.

F(x)，F′(x)随x的变化列表如下：

所以当x＝－a－1时，F(x)取得极小值，也是最小值，所以M(a)＝F(－a－1)＝(－a－1＋a)e－a－1－[(－a－1)3＋a(－a－1)2＋b(－a－1)]

＝－e－a－1－(a＋1)2(a＋2)．(12分)

令t＝－a－1，则t－1，

记m(t)＝－et－t2(1－t)＝－et＋t3－t2，t－1，

则m′(t)＝－et＋3t2－2t，t－1.

因为－e－1－et0，3t2－2t5，

所以m′(t)0，所以m(t)单调递增．(14分)

所以m(t)－e－t－2－13－2＝－73，

所以M(a)－73.(16分)

20.解析：(1)当n为奇数时，an＋1－an＝2(n＋1)－1－(2n－1)＝20，所以an＋1≥an.(2分)

an－2＋an＋2＝2(n－2)－1＋2(n＋2)－1＝2(2n－1)＝2an；(4分)

当n为偶数时，an＋1－an＝2(n＋1)－2n＝20，所以an ＋1≥an.

an－2＋an＋2＝2(n－2)＋2(n＋2)＝4n＝2an.

所以数列是“R(2)数列”．(6分)

(2)由题意可得bn－3＋bn＋3＝2bn，

则数列b1，b4，b7，…是等差数列，设其公差为d1，

数列b2，b5，b8，…是等差数列，设其公差为d2，

数列b3，b6，b9，…是等差数列，设其公差为d3.(8分) 因为bn≤bn＋1，所以b3n＋1≤b3n＋2≤b3n＋4，

所以b1＋nd1≤b2＋nd2≤b1＋(n＋1)d1，

所以n(d2－d1)≥b1－b2，①

n(d2－d1)≤b1－b2＋d1.②

若d2－d10，则当nb1－b2d2－d1时，①不成立；

若d2－d10，则当nb1－b2＋d1d2－d1时，②不成立．

若d2－d1＝0，则①和②都成立，所以d1＝d2.

同理得d1＝d3，所以d1＝d2＝d3，记d1＝d2＝d3＝

d.(12分)

设b3p－1－b3p－3＝b3p＋1－b3p－1＝b3p＋3－b3p＋1＝λ，

则b3n－1－b3n－2＝b3p－1＋(n－p)d－[b3p＋1＋(n－p－1)d]

＝b3p－1－b3p＋1＋d＝d－λ.(14分)

同理可得b3n－b3n－1＝b3n＋1－b3n＝d－λ，所以bn

＋1－bn＝d－λ.

所以是等差数列．(6分)

另解：λ＝b3p－1－b3p－3＝b2＋(p－1)d－[b3＋(p－2)d]＝b2－b3＋d，

λ＝b3p＋1－b3p－1＝b1＋pd－[b2＋(p－1)d]＝b1－b2＋d，

λ＝b3p＋3－b3p＋1＝b3＋pd－(b1＋pd)＝b3－b1，

以上三式相加可得3λ＝2d，所以λ＝23d，(12分)

所以b3n－2＝b1＋(n－1)d＝b1＋(3n－2－1)d3，

b3n－1＝b2＋(n－1)d＝b1＋d－λ＋(n－1)d＝b1＋(3n

－1－1)d3，

b3n＝b3＋(n－1)d＝b1＋λ＋(n－1)d＝b1＋(3n－1)d3，所以bn＝b1＋(n－1)d3，所以bn＋1－bn＝d3，

所以数列是等差数列．(16分)

21.A.解析：延长PT交⊙O2于点C，

连结O1P，O2C，O1O2，则O1O2过点T.

由切割线定理得PM2＝PCPT＝3.

因为∠O1TP＝∠O2TC，

△O1TP与△O2TC均为等腰三角形，(5分)

所以△O1TP∽△O2TC，所以PTCT＝PO1CO2＝2，

所以PTPC＝23，即PC＝32PT.

因为PCPT＝32PTPT＝3，所以PT＝2.(10分)

B.解析：由已知得1x0201＝x2＝λ01，

所以λ＝2，x＝0，所以A＝1002.(4分)

设A－1＝abcd，

则AA－1＝1002abcd＝1001，

即ab2c2d＝1001，

所以a＝1，b＝c＝0，d＝12，

所以λ＝2，A－1＝10012.(10分)

C.解析：曲线x＝t－1，y＝t2－1的普通方程为y＝x2＋2x.(4分)

联立y＝x，y＝x2＋2x，解得x＝0，y＝0或x＝－1，y

＝－1，(8分)

所以A(0，0)，B(－1，－1)，

所以AB＝（－1－0）2＋（－1－0）2＝2.(10分)

D.解析：因为a1，b1，

所以b2a－1＋4(a－1)≥4b，a2b－1＋4(b－1)≥4a.(4分)

两式相加b2a－1＋4(a－1)＋a2b－1＋4(b－1)≥4b＋4a，所以b2a－1＋a2b－1≥8.(8分)

当且仅当b2a－1＝4(a－1)且a2b－1＝4(b－1)时，等号成立，

即当a＝b＝2时，b2a－1＋a2b－1取得最小值为8.(10

分)

22.解析：以{AB→，AD→，AP→}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.

则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．

(1)由题意可知，DP→＝(0，－4，4)，DC→＝(4，－2，0)．

设平面PCD的法向量为n1＝(x，y，z)，

则n1DP→＝0，n1DC→＝0，即－4y＋4z＝0，4x－2y＝0. 令x＝1，则y＝2，z＝2.

所以n1＝(1，2，2)．(3分)

平面ACD的法向量为n2＝(0，0，1)，

所以|cos〈n1，n2〉|＝|n1n2||n1||n2|＝23，

所以二面角PCDA的余弦值为23.(5分)

(2)由题意可知，PC→＝(4，2，－4)，DC→＝(4，－2，0)．

设PH→＝λPC→＝(4λ，2λ，－4λ)，

则DH→＝DP→＋PH→＝(4λ，2λ－4，4－4λ)．(7分) 因为DC＝DH，

所以（4λ）2＋（2λ－4）2＋（4－4λ）2＝20，

化简得3λ2－4λ＋1＝0，所以λ＝1或λ＝13.

因为点H异于点C，所以λ＝13.(10分)

23.解析：①当n＝1时，等式右边＝sin1＋12x2sin12x －12＝sin1＋12x－sin1－12x2sin12x＝

12sin12x×[(sinxcos12x＋cosxsin12x)－(sinxcos12x －cosxsin12x)]

＝cosx＝等式左边，等式成立．(2分)

②假设当n＝k时等式成立，

即cosx＋cos2x＋cos3x＋…＋coskx＝sink＋

12x2sin12x－12.

那么，当n＝k＋1时，有

cosx＋cos2x＋cos3x＋…＋coskx＋cos(k＋1)x

＝sink＋12x2sin12x－12＋cos(k＋1)x

＝12sin12x×{sin（k＋1）x－12x＋2sin12xcos(k＋1)x}－12

＝12sin12x×[sin(k＋1)xcos12x－cos(k＋1)xsin12x＋2sin12xcos(k＋1)x]－12

＝sin（k＋1）xcos12x＋cos（k＋1）xsin12x2sin12x－12

＝sink＋1＋12x2sin12x－12.

这就是说，当n＝k＋1时等式也成立．

根据①和②可知，对任何n∈N*等式都成立．(6分) (2)由(2)可知，cosx＋cos2x＋cos3x＋…＋cos2018x＝sin2018＋12x2sin12x－12，

两边同时求导，得－sinx－2sin2x－3sin3x－…－2018sin2018x

＝12sin212x×[(2018＋12)cos(2018＋12)xsin12x－12sin2018＋12xcos12x]，(8分)

所以－sinπ6－2sin2π6－3sin3π6－…－

2018sin2018π6

＝12sin2π12×[2018＋12cos2018＋12π6sinπ12－12sin2018＋12π6cosπ12]＝

20152－3，

所以sinπ6＋2sin2π6＋3sin3π6＋4sin4π6＋…＋2018sin2018π6＝3－20152.(10分)