高一数学基础知识讲义函数及其性质

里 x 叫自变量， 自变量的取值范围叫做这个函数的 定义域 ，所有函数值构成的集合， 个函数的 值域 。

这里可以看出一旦一个函数的定义域与对应法则确定，则函数的值域也被确定，所以 定义域和对应法则 。

叫做这

是： 定 义 名 称 符

x a x b 闭区间 a,b

x a x b 开区间 a,b x a x b 半开半闭区间 a,b x a x

b

半开半闭区间

a,b

闭区间是包括端点， 开区间不包括端点。实数集 R 可以表示为

读作“无

4。

第二讲 函数及其性质

知识要点一：

函数及其相关概念

⑴映射：设 A,B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中的任何一个元 素，在集合 B 中都有 唯一的元素与它对应， 这样的对应关系叫做从集合 A 到集合 B 的映射。 记作： f : A B 。 ⑵象与原象：给定一个集合 A 到集合 B 的映射，且 a A,b B ，如果 a, b 对应那么元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象。

⑶一一映射：设 A, B 是两个非空集合， f :A B 是集合 A 到集合 B 的映射，并且对于集 合 B 中的任意一个元素，在集合 A 中都有且只有一个原象，把这个映射叫做从集合 A 到集

合 B 的一一映射。

⑷函数：设集合 A 是一个 非空数集 ，对 A 中的任意数 x ，按照确定的法则 f ，都有 唯一 确

定的数 y 与它对应，则这种对应关系叫做集合 A 上的一个函数，记作： y

, x A 这

决定一个函数的两个条件 ⑸函数的表示方法： ⑹区间：

解析法、图像法、列表法。

穷大”，例如：“ x 3”可以表示为 3, ，“ x

4 ”可以表示为

高考要求：

了解映射的概念，理解函数的有关概念，掌握对应法则图像等性质，能够熟练求解函 数的定义域、值

域。

例题讲解：

夯实基础

一、判断下列关系哪些是映射。

二、已知 f

三、求下列函数的定义域。

1 x

2 2x 3

1) Z,B Z , f :平方； 2) R,B

R , f : 平方；

3) x 1 , B R, f : 求倒数；

4) N,B

0,1 , f :当 n 为奇数时， n 1；当 n 为偶数时， n 0；

5)

C Z Z , B 正奇数 ，f : n

m 2n 1,其中 n A,m B ；

解：f (t)

2t 3 t1 2x 2

x2

23

1

2x 7 x1

1)y

2) y 49 x2

3) 解：x22x

(x 3)(x 1)

x 3且x 1 1x1

解： 1 x 0 x 1

1 x 1 0 x 0 x x 1且 x

1且 x 0

四、求函数解析式：

求 f (x) 。

1 解： Q f ( )

x x

1 x 2

f(x)

1 1 x x f(x)

x

x 2 1

解：3x 1 t

t1 x=

3

解：设 ax 2

bx c(a 0)

f (0) 1 C

22

a (x 1) b(x 1) c ax bx c 2x 2a x bx a

b bx 2x

a 1

b 1

f(x) x 2 x 1

1)已知

f(1)

x 2

,求 f (x) 。

1x

2

2)已知 f(3x 1) 9x 2 6x 5 ，

f (x) 9 (t 1)2 t 1

6 93

5 = t 2 2t 1 2t 2 5

= t 2 4t 8

= x 2

4x 8

3)已知 f ( x)是二次函数，且满足 f (0)

1, f (x

f (x) 2x,求 f(x) 。

1)

解： y ( x 2 2 x 1) 4

f (1) ax,x R,x 0,a 为常数，且 a x

11 af ( ) f ( x ) a (1)

xx

2 1 2 a 2 f ( x ) af ( ) a 2 x (2) x

a 2 -1 ) f ( x) a 2x a

注意：求函数的解析式大致有如下几种方法： ①拼凑法；②换元法；③待定系数法；④解析法。注意因题型而选择方法。

小结：求函数的定义域，就是求使得该函数表达式有意义自变量的范围，大致有如下几种 方法：①一次函数、二次函数的定义域是全体实数；

②

函数表达式形式是分式的，分母不为 0；

③ 函数表达式形式是根式的，如果开偶次方根，被开方式要大于等于零；如果开奇 次方根，被

开方式可以取全体实数；

④ 零指数幂与分数指数幂的底数不能为零； ⑤在有实际意义的解析式中，一定要由实际问题决定其定义域； ⑥多个限制条件取交集。

五、求下列函数的值域

1)

f (x) 4x 1 1x

3

解： f ( 1) 4 11

5

f (3)

4 3 1

11

2)

f( x )

2 x 2

4 x 1 2 x

3

解：

x

4

1

2 2

f (2)

2 2

2 2 4 2 1

1

f (3)

2

2

3 2

4 3 1

7

y

1, 7

f ( x) 。

f(x)

22 a x a a 2 -1 ) x

4)若函数 f(x) 满足方程 af (x) 1 ，求

解：