OFDM系统频谱掩膜
OFDM 系统频谱掩膜
作者：想飞的蜗牛0123
前面在“OFDM 通信系统与无线信道”介绍了OFDM 系统的基本知识和无线信道对OFDM 系统的影响，本章将重点从发射端的角度，说明OFDM 系统频谱特点，及其相关的技术，该篇本档只涉及到OFDM 系统的发射端，与无线信道和接收端无关。
一、OFDM 系统频谱
OFDM 系统的复包络为：
s (t )=∑d i rect(t ?T
2)exp?
(j2πf i t)N?1i=0 (1-1) 其中f i =i
T ，rect(t)=1，|t|≤T/2，对s(t)进行傅里叶变换可得：
s (f )=∑d i
sin?(π(f?f i )T)π(f?f i )
N?1i=0 (1-2)
信号功率谱密度为：
|s (f )|2=∑|d i
sin?(π(f?f i )T)π(f?f i )|2
N?1i=0 (1-3)
通过MATLAB 绘制(1-2)和(1-3)的图如下所示：
图1 OFDM 各子载波频谱图
0200400600800100012001400
-0.4
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
OFDM 各子载波频谱
图2 OFDM 子载波合成频谱图
图3 OFDM 功率谱
二、实际OFDM 系统
0200400600800100012001400
-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
OFDM 各子载波合成频谱
200
400
600
800
1000
1200
1400
00.10.20.30.40.50.60.70.80.9
1OFDM 功率谱
在实际的OFDM 系统中，一般都会使用循环前缀，而循环前缀实际上会破坏OFDM 系统的正交性，除非循环前缀的长度是子载波频率间隔倒数的整数倍，接收端剔除循环前缀之后，正交性即恢复。下面予以说明：
假设循环前缀长度T prefix =T/4，则实际OFDM 系统的复包络为：
s (t )=∑d i rect(t ?T
2)exp?
(j2πf i t)N?1i=0 (1-1) 其中f i =i
T ，rect(t)=1，|t|≤T/2+T prefix /2=5T/8，对s(t)进行傅里叶变换可得：
s (f )=∑d i
sin?(5π/4(f?f i )T)
π(f?f i )
N?1i=0 (1-2)
信号功率谱密度为：
|s (f )|2=∑|d i
sin?(5π/4(f?f i )T)π(f?f i )|2
N?1i=0
(1-3)
图4 带CP 的OFDM 各子载波频谱图
0100200300400500600700800
-0.4
-0.200.20.40.60.811.2
1.4带CP 的OFDM 各子载波频谱
图5 带CP 的OFDM 各子载波合成频谱
图6 带CP 的OFDM 功率谱
三、OFDM 系统频谱掩膜
0100200300400500600700800
-0.4
-0.200.20.40.60.81
1.2带CP 的OFDM 各子载波合成频谱
0100200300400500600700800
0.20.40.60.811.21.41.6
1.8带CP 的OFDM 功率谱
OFDM 系统的频谱旁瓣一般都较大，会干扰其他信道的用户，需要采取相应的技术抑制旁瓣，常用的抑制旁瓣的方法是时域加窗和频域滤波。
3.1时域加窗
时域加窗的基本原理是对(1-1)中的窗函数rect(t)进行修改，实现频谱抑制。rect(t)是矩形窗，该窗函数的频谱旁瓣较大，几个并行的矩形窗的频谱叠加之后会形成较大的旁瓣，采用旁瓣较小的窗函数可以降低叠加之后的旁瓣，一般采用升余弦函数，升余弦函数如下：
w (t )={
0.5+0.5cos ((t +T 2?βT)π2βT )，?T 2?βT ≤t ≤?T 2+βT 1?????????????????????????????????????????????????????????，?T 2+βT ≤t ≤T
2?βT 0.5+0.5cos ((t ?T 2+βT)π2βT )，T 2?βT ≤t ≤T 2
+βT
为便于分析，假定使用三角窗，分析出来的结论与升余弦窗是一样的。三角窗为：
w (t )={????????2T t +1，?T
2≤t ≤0
?2T t +1，0≤t ≤T 2
其对应的频谱函数为：
w (f )=sin?(πfT)2π2f 2
50100150200250300350400450
-0.4-0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
频谱图
图7 窗函数频谱图
图8 不同窗函数的OFDM 频谱
3.2频域滤波
频率滤波是通过设计数字滤波器滤除带外信号，与通常的滤波器一样，这里不介绍了。
四、总结
窗函数法和频域滤波法都可以实现旁瓣抑制，实现需要的OFDM 频谱掩膜，但是这两种方法从原理上来说是完全不同的，通过观察图1可以看到，OFDM 信号频谱是由多个子载波信号频谱叠加在一起的，窗函数法是通过改变子载波信号的频谱形状，使叠加后的OFDM 信号频谱衰减达到效果，而频域滤波法是通过对不同标号的子载波在频率加不同的衰减值实现的，由于对OFDM 信号频谱旁瓣影响最大的是最外面的子载波信号，故对最外面的子载波增加大的衰减，对里面的子载波增加小的衰减。
窗函数法会削弱OFDM 信号的抗多径效应，因为窗函数过渡部分的循环前缀不能再用于对抗多径效应，即如果由于多径效应导致这一部分的循环前缀信号进入接收端的FFT 区间，信号的正交性会破坏，造成ICI 。
频域滤波同样会削弱OFDM 信号的抗多径效应，因为频域滤波法就是FIR 滤波器，在时域的表现形式是延迟相加，与无线信道的多径效应一样，而且一般滤波器阶数较大，会导致OFDM 信号形成ICI 和ISI ，一般较少采用。
200400600800100012001400
-0.20
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
不同窗函数的OFDM 频谱
附录：
图1、图2和图3对应的MATLAB程序：
T = 1;
N = 10;
d = ones(1,N);
f = (-2:0.01:(N+1));
s = zeros(N,length(f));
sum = zeros(1,length(f));
power = zeros(1,length(f));
for k=1:N
for m=1:length(f)
s(k,m)=d(k) * sin(pi * (f(m)-k+1)) / (pi * (f(m)-k+1));
end
end
for k=1:N
sum = sum + s(k,:);
end
ss = s.^2;
for k=1:N
power = power + ss(k,:);
end
figure(1);
for k=1:N
plot(s(k,:));
hold on;
end
title(‘OFDM各子载波频谱’);
figure(2);
plot(sum);
title(‘OFDM各子载波合成频谱’);
figure(3);
plot(power);
title(‘OFDM功率谱’);