2008新东方数学强化班_线性代数__概率论与数理统1-5--★【汉魅HanMei—考研资料分享】

考研概率与数理统计

主讲：费允杰

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第一章随机事件和概率

第一节基本概念

1、概念网络图

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??????????????????????????????+→???????????→ /)(独立性全概公式和乘法公式条件概率减法加法五大公式几何概型古典概型随机事件样本空间基本事件随机试验BC C B C B C B A P A E ω2、重要公式和结论

（1）排列

组合公式

)!

(!

n m m P n m ?=

从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。

)!(!!n m n m C n

m ?=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。

（2）加法和乘法原理

加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题

（4）随机试验和随机事件

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

例1．1：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，没有平局，试问总共输的场次是多少？

例1．2：到美利坚去，既可以乘飞机，也可以坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有

小鹰号和Titanic 号，问有多少种走法？

例1．3：到美利坚去，先乘飞机，后坐轮船，其中飞机有战斗机和民航，轮船有小鹰号和Titanic 号，问有多少种走法？

例1．4：10人中有6人是男性，问组成4人组，三男一女的组合数。

例1．5：两线段MN 和PQ 不相交，线段MN 上有6个点A 1，A 2…，A 6，线段PQ 上有7个点

B 1，B 2，…，B 7。若将每一个A i 和每一个B j 连成不作延长的线段

A i

B j (i=1,2,…6;j=1,2,…,7),则由这些线段A i B j 相交而得到的交点最多有A．315个

B．316个

C．317个

D．318个

例1．6：3封不同的信，有4个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？

例1．7：某市共有10000辆自行车，其牌照号码从00001到10000，求有数字8的牌照号码的个数。

例1．8：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的种数？（有序）

15

1513=?C C 21

121

21515=???C C C C 例1．9：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的种数？（有序）

12

1

413=?C C 18

1

1121415=???C C C C

例1．10：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的种数？（无序）

12

1413=?C C 9

2225=?C C 例1．11：化简(A+B)(A+B )(A +B)例1．12：)

()()(C B C A C B A ∪∪=成立的充分条件为：

(1)C A ?(2)C B

?例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，至少一白的概率？例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，至少一白的概率？例1．15：3白球，2黑球，任取2球，至少一白的概率？

例1．16：袋中装有α个白球及β个黑球。

①从袋中任取a+b 个球，试求其中含a 个白球，b 个黑球的概率（a≤α，b≤β）。

②从袋中任意地接连取出k+1（k+1≤α+β）个球，如果取出后不放回，试求最后取出的是白球的概率。

③上两题改成“放回”。

例1．17：从6双不同的手套中任取4只，求其中恰有一双配对的概率。

例1．18：有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问其中至少有1个是黑色的概率？

例1．19：设O 为正方形ABCD[坐标为（1，1），（1，-1），（-1，1），（-1，-1）]中的一点，求其落在x 2

+y 2

≤1的概率。

例1．20：某市共有10000辆自行车，其牌照号码从00001到10000，求偶然遇到的一辆自行车，其牌照号码中有数字8的概率。

例1．21：一只袋中装有五只乒乓球，其中三只白色，两只红色。现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。试求：①两只球都是白色的概率；②两只球颜色不同的概率；③至少有一只白球的概率。

例1．22：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概率？①第一次打开；②第二次打开；③第三次打开。

例1．23：某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过4件，并具有如下的概率：

一批产品中的次品数01234

概率0.10.20.30.40.5现在进行抽样检验，从每批中抽取10件来检验，如果发现其中有次品，则认为该批产品是

不合格的，求一批产品通过检验的概率。

例1．24：某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过4件，并具有如下的概率：

一批产品中的次品

数01234概率

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

现在进行抽样检验，从每批中抽取10件来检验，如果发现其中有次品，则认为该批产品是不合格的，求通过检验的一批产品中，恰有)4,3,2,1,0(=i i 件次品的概率。

例1．25：A，B，C 相互独立的充分条件：（1）A，B，C 两两独立（2）A 与BC 独立

例1．26：甲，乙两个射手彼此独立地射击同一目标各一次，甲射中的概率为0.9，乙射中的概率为0.8，求目标被射中的概率。

例1．27：有三个臭皮匠独立地解决一个问题，成功解决的概率分别为0.45，0.55，0.60，问解决该问题的能力是否赶上诸葛亮（成功概率为0.9）？

例1．28：假设实验室器皿中产生A 类细菌与B 类细菌的机会相等，且每个细菌的产生是相互独立的，若某次发现产生了n 个细菌，则其中至少有一个A 类细菌的概率是。例1．29：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中任取a+b 次球，每次放回，试求其中含a

个白球，b 个黑球的概率（a≤α，b≤β）。例1．30：有4组人，每组一男一女，从每组各取一人，问取出两男两女的概率？

例1．31：进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p ，则在成功2次之前已经失

败3次的概率为：A．3

2

)1(4p p ?B．3

)1(4p p ?C．3

2)

1(10p p ?D．3

2

)

1(p p ?E．3

)

1(p ?第二节重点考核点

事件的运算、概率的定义（古典概型和几何概型）、条件概率和乘法公式、全概和贝叶斯公式、独立性和伯努利概型

第三节常见题型

1、事件的运算和概率的性质

例1．32：(A ∪B)-C=(A-C)∪B 成立的充分条件为：

(1)A ∩B=?

(2)∩A C=?

例1．33：A,B,C 为随机事件，“A 发生必导致B、C 同时发生”成立的充分条件为：

(1)A∩B∩C=A (2)A∪B∪C=A 例1．34：设A，B 是任意两个随机事件，则)})()()({(B A B A B A B A P ++++=。

例1．35：假设事件A 和B 满足P（B |A）=1，则

（A）A 是必然事件。（B）B A ?。（C）B A ?。

（D）0)(=A P 。

[

]

2、古典概型和几何概型

例1．36：有两组数，都是{1，2，3，4，5，6}，分别任意取出一个，其中一个比另一个大2的概率？

例1．37：52张扑克牌，任取5张牌，求出现一对、两对、同花顺的概率。

例1．38：设有n个质点，每个以相同的概率落入N个盒子中。设A=“指定的n个盒子中各有1个质点”，对以下两种情况，试求事件A的概率。

（1）（麦克斯威尔-波尔茨曼统计）假定n个质点是可以分辨的，还假定每个盒子能容纳的质点数不限。

（2）（费米-狄拉克统计）假定n个质点是不可分辨的，还假定每个盒子至多只能容纳一个质点。

例1．39：袋中有10个球，其中有4个白球、6个红球。从中任取3个，求这三个球中至少有1个是白球的概率。

例1．40：侯车问题：某地铁每隔五分钟有一列车通过，在乘客对列车通过该站时间完全不知道的情况下，求每个乘客到站等车时间不多于2分钟的概率。

例1．41：会面问题：甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内到达的时间是等可能的，如果甲船和乙船停泊的时间都是两小时，求它们会面的概率是多少？

3、条件概率和乘法公式

例1．42：从0到9这10个数中任取一个数并且记下它的值，放回，再取一个数也记下它的值。当两个值的和为8时，出现5的概率是多少？

例1．43：一个家庭有两个孩子，已知至少一个是男孩，问另一个也是男孩的概率？

4、全概和贝叶斯公式

例1．44：在盛有10只螺母的盒子中有0只，1只，2只，…，10只铜螺母是等可能的，今向盒中放入一个铜螺母，然后随机从盒中取出一个螺母，则这个螺母为铜螺母的概率是A．6/11B．5/10C．5/11D．4/11

例1．45：有5件产品，次品的比例为20％，从中抽查2件产品，没有次品则认为合格，问合格的概率？

例1．46：有5件产品，每件产品的次品率为20％，从中抽查2件产品，没有次品则认为合格，问合格的概率？

例1．47：发报台以概率0.6和0.4发出信号“·”和“－”，由于通信系统存在随机干扰，当发出信号为“·”和“－”时，收报台分别以概率0.2和0.1收到信号“－”和“·”。求收报台收到信号“·”时，发报台确实发出信号“·”的概率。

例1.48：100个球，40个白球，60个红球，先后不放回取2次，问第2次取到白球的概率？例1.49：袋中有4个白球、6个红球，先从中任取出4个，然后再从剩下的6个球中任取一个，则它恰为白球的概率是。

例1.50：设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分

别为3份、7份和5份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份，

（1）求先抽到的一份是女生表的概率p ；

（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q 。

5、独立性和伯努利概型

例1．51：设两两相互独立的三事件A，B，C，满足：2

1

)()()(,<==Φ=C P B P A P ABC ，并且16

9

)(=

++C B A P ，求事件A 的概率。例1．52：设P(A)>0,P(B)>0，证明

（1）若A 与B 相互独立，则A 与B 不互斥；（2）若A 与B 互斥，则A 与B 不独立。

例1．53：对行任意二事件A 和B ，

（A）若AB≠Φ，则A，B 一定独立。

（B）若AB≠Φ，则A，B 有可能独立。（C）若AB=Φ，则A，B 一定独立。（D）若AB =Φ，则A，B 一定不独立。

例1．54：“A,B,C 为随机事件，A -B 与C 独立”的充分条件：(1)A,B,C 两两独立（2）P（ABC）=P（A）P（B）P（C）

例1．55：设A，B，C 是三个相互独立的随机事件，且0＜P （C ）＜1。则在下列给定的四对事件中不.相互独立的是

（A）B A +与C。（B）AC 与C 。（C）B A ?与C 。

（D）AB 与C 。

[

]

例1．56：将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件

（A）321,,A A A 相互独立。（B）432,,A A A 相互独立。（C）321,,A A A 两两独立。

（D）432,,A A A 两两独立。

例1．57：某班车起点站上车人数是随机的，每位乘客在中途下车的概率为0.3，并且它们下车与否相互独立。求在发车时有10个乘客的条件下，中途有3个人下车的概率。例1.58：某种硬币每抛一次正面朝上的几率为0.6，问连续抛5次,至少有4次朝上的概率。例1．59：A 发生的概率是0.6，B 发生的概率是0.5，问A,B 都不发生的最大概率？

例1．60：两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与黑球数之比为2：1，另一罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为2：1。今任取一罐并从中取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的

(A)154倍(B)254倍(C)798倍(D)1024倍

第四节历年真题

数学一：

1（87，2分）设在一次试验中A 发生的概率为p ，现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为；而事件A 至多发生一次的概率为。

2（87，2）三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于。已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为。

3（88，2分）设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一

次的概率等于

27

19

，则事件A 在一次试验中出现的概率为。

4（88，2分）在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于

5

6”的概率为

。

5（89，2分）已知随机事件A 的概率P （A ）=0.5，随机事件B 的概率P （B ）=0.6及条件概率P （B |A ）=0.8，则和事件A ∪B 的概率P （A ∪B ）=。

6（89，2分）

甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，

现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为。

7（90，2分）设随机事件A，B 及其和事件A ∪B 的概率分别是0.4,0.3和0.6，若表示B 的对立事件，那么积事件A 的概率P （A ）=

。

8（91，3分）

随机地向半圆0

内任何区域的概率与该区域的面积成正比。则原点与该点的连线与x 轴的夹角小于4

π

的概率为

。

9（92，3分）

已知P （A ）=P （B ）=P （C ）=

16

1)()(,0)(,41===BC P AC P AB P ，则事件A、B、C 全不发生的概率为

。

10（93，3分）一批产品有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，

抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为。

11（94，3分）

已知A、B 两个事件满足条件P （AB ）=P （），且P （A ）=p ，则

P （B ）=。

12（96，3分）设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A 厂和B 厂的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品是A 厂生产的概率是。

13（97，3分）袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球。今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第2个人取得黄球的概率是。

14（98，3分）设A、B 是两个随机事件，且0

0,P (B |A )=P (B |

A )，则必有

（A）P （A |B ）=P (A |B )

（B）P （A |B ）≠P(A |B )

（C）P （AB ）=P (A )P （B ）（D）P （AB ）≠P (A )P （B ）

15（99，3分）设两两相互独立的三事件A，B 和C 满足条件；ABC =Ф，P （A ）=P （B ）=P （C ）<

21，且已知16

9)(=C B A P ∪∪，则P （A ）=。

16（00，3分）

设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为

9

1

，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等，则P （A ）=

。

17．（06，4分）设B A ,为随机事件，且()0>B P ，()

1=B A P ，则必有（A ）()()A P B A P >∪（B ）()()B P B A P >∪（C ）()()

A P

B A P =∪（D ）()()

B P B A P =∪数学三：

1（87，2分）若二事件A 和B 同时出现的概率P （AB ）=0，则（A）A 和B 不相容（互斥）。（B）AB 是不可能事件。（C）AB 未必是不可能事件。（D）P （A ）=0或P （B ）=0

[]

2（87，8分）

设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱

内装30件，其中18件一等品。现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回）。试求

（1）先取出的零件是一等品的概率p ;

（2）在先取出的是一等品的条件下，后取出的零件仍然是一等品的条件概率q 。3（88，2分）

设P （A ）=0.4,7.0)(=B A P ∪，那么

（1）若A 与B 互不相容，则P （B ）=；（2）若A 与B 相互独立，则P （B ）=。4（88，2分）（是非题）若事件A，B，C 满足等式C B C A ∪∪=，则A=B （）。5（88，7分）玻璃杯成箱出售，每箱20只，设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8,0.1和0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看4只；若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：

（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；

（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。

6（89，3分）

以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为：

（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”。

（B）“甲、乙两种产品均畅销”。（C）“甲种产品滞销”。（D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。

[]

7（90，3分）一射手对同一目标独立地进行4次射击，若至少命中一次的概率为81

80

，则该射手的命中率为

。

8（90，3分）

设A、B 为二随机事件，且A B ?，则下列式子正确的是

（A）)()(A P B A P =+（B）)()(A P AB P =（C）)

()|(B P A B P =（D）)

()()(A P B P A B P ?=?[]

9（90，4分）

从0，1，2，…，9等10个数字中任意选出3个不同的数字，求下

列事件的概率：

A 1={三个数字中不含0和5}；A 2={三个数字中不含0或5}。10（91，3分）设A 和

B 是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯

定正确的是：

（A）B A 与不相容。（B）B A 与相容。（C）)()()(B P A P AB P =。（D）)

()(A P B A P =?11（92，3分）将C，C，E，E，I，N。S 这七个字母随机地排成一行，则恰好排成SCIENCE 的概率为

。

12（92，3分）

设当事件A 与B 同时发生时，事件C 必发生，则

（A）1)()()(?+≤B P A P C P （B）1)()()(?+≥B P A P C P （C）)()(AB P C P =（D）)

()(B A P C P ∪=[

]

13（93，3分）

设两事件A 与B 满足1)|(=A B P ，则

（A）A 是必然事件。（B）0)|(=A B P 。（C）B A ?。

（D）B A ?。

14（94，3分）设1)|()|(,1)(0,1)(0=+<<<

（B）互相对立。

（C）不独立。（D）独立。[]15（95，8分）某厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格产品不能出厂。现该

厂新生产了)2(≥n n 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求

（1）全部能出厂的概率α；

（2）恰有两台不能出厂的概率β；（3）至少有两台不能出厂的概率θ。16（96，3分）

已知,

1)(0<

（A）)|()(]|)[(2121B A P B A P B A A P ++=+（B）)()()(2121B A P B A P B A B A P +=+（C）)|()|()(2121B A P B A P A A P +=+（D）)|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P +=[]

17（96，6分）

考虑一元二次方程,02

=++C Bx x 其中B、C 分别是将一枚骰子连

掷两次先后出现的点数，求该方程有实根的概率p 和有重根的概率q 。

18（98，9分）设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女

生的报名表分别为3份、7份和5份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份

（3）求先抽到的一份是女生表的概率p ；（4）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q 。

19（00，3分）在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t 0，电炉就断电。以E 表示事件“电炉断电”，而)4()3()2()1(T T T T ≤≤≤为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件

E 等于

（A）}{0)1(t T ≥（B）}{0)2(t T ≥（C）}{0)3(t T ≥（D）}

{0)4(t T ≥[

]

20（03，4分）

将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，

2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件

（A）321,,A A A 相互独立。（B）432,,A A A 相互独立。（C）321,,A A A 两两独立。

（D）432,,A A A 两两独立。

数学四：

1（87，2分）对于任意二事件A 和B ，有P （A-B ）=（A）P （A ）-P （B ）。（B）P （A ）-P （B ）+P （AB ）。（C）P （A ）-P （AB ）。

（D）P （A ）+P （）-P （A ）。[

]

2（87，8分）设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品。现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回）。试求：

（1）先取出的零件是一等品的概率p ；

（2）在先取出的是一等品的条件下，后取出的零件仍然是一等品的条件概率q .3（88，2分）设P （A ）=0.4,P (A ∪B )=0.7，那么

（1）若A 与B 互不相容，则P （B ）=；（2）若A 与B 相互独立，则P （B ）=。4（88，2分）（是非题）若事件A，B，C 满足等式A ∪C =B ∪C ，则A=B 。（

）

5（88，7分）玻璃杯成箱出售，每箱20只。设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8,0.1和0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看4只：若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：

（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；

（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。

6（89，3分）

以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为：

（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”。（B）“甲、乙两种产品均畅销”。

（C）“甲种产品滞销”。（D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。

7（90，4分）从略，1，2，…，9等十个数字中任意选出3个不同的数字，求下列事件的概率：

A 1={三个数字中不含0和5}；

A 2={三个数字中含0但不含5}。

8（91，3分）设A、B 为随机事件，P （A ）=0.7，P （A-B ）=0.3，则P （）=

。

9（91，3分）设A 和B 是任意两个概率不为0的互不相容事件，则下列结论中肯

定正确的是：

（A）A 与B 不相容。（B）A 与B 相容。（C）P （AB ）=P （A ）P （B ）（D）P （A -B ）=P （A ）

[

]

10（92，3分）设A，B，C 为随机事件，P （A ）=P （B ）=P （C ）=

4

1

，P （AB ）=P （BC ）=0，P （AC ）=

8

1

，则A，B，C 至少出现一个的概率为。

11（92，3分）

设当事件A 与B 同时发生时事件C 也发生，则

（A）P （C ）=P （AB ）。

（B）P （C ）=P （A ∪B ）

（C）P （C ）≤P （A ）+P （B ）-1。

（D）P （C ）≥P （A ）+P （B ）-1。[

]

12（93，3分）设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为。

13（94，3分）设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，现从中任了一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为

。

14（94，3分）设0＜P （A ）＜1，0＜P （B ）＜1，P （A |B ）+P （A |B ）=1，

则事件A 和B

（A）互不相容。（B）互相对立。（C）不独立。

（D）独立。

[]

15（95，8分）某厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格产品不能出厂。现该厂新生产了n (n ≥2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求

（1）全部能出厂的概率α;

（2）恰有两台不能出厂的概率β；（3）至少有两台不能出厂的概率θ。16（96，3分）设A，B 为随机事件且A ?B ，P （B ）＞0，则下列选项必然成立的

是

（A）P （A ）＜P （A |B ）。

（B）P （A ）≤P （A |B ）。

（C）P （A ）＞P （A |B ）。（D）P （A ）≥P （A |B ）。[]

17（97，3分）设A，B 是任意两个随机事件，则

P {（+B ）（A+B ）（+）（A+）}=

。

18（98，3分）设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p=

时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为。19（98，3分）设A，B，C 是三个相互独立的随机事件，且0＜P （C ）＜1。则在下列给定的四对事件中不.相互独立的是

（A）B A +与C。（B）AC 与C 。（C）B A ?与C 。（D）AB 与C 。

[

]

20（00，3分）设A，B，C 三个事件两两独立，则A，B，C 相互独立的充分必要条

件是

（A）A 与BC 独立。

（B）AB 与A ∪C 独立。（C）AB 与AC 独立。（D）A ∪B 与A ∪C 独立。

[

]

21（00，3分）

在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用

过程中，只要有两个温控显示的温度不低于临界温度t 0，电炉就断电。以E 表示事件“电炉断电”，设T （1）≤T （2）≤T （3）≤T （4）为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于事件

（A）{T （1）≥t 0}.（B）{T （2）≥t 0}.（C）{T （3）≥t 0}.（D）{T （4）≥t 0}.[

]

22（01，3分）对于任意二事件A 和B ，与A ∪B=B 不等价...的是

（A）A ?B 。（B）.A B ?（C）=B A Φ。（D）=B A Φ。

[

]

23（02，8分）

设A，B 是任意二事件，其中0＜P （A ）＜1。证明：

P （B |A ）=P （B |A ）是A 与B 独立的充分必要条件。

24（03，4分）

对行任意二事件A 和B ，

(A)若AB≠Φ，则A，B 一定独立。(B)若AB≠Φ，则A，B 有可能独立。(C)若AB=Φ，则A，B 一定独立。(D)若AB =Φ，则A，B 一定不独立。

25．（06，4分）设A ，B 为两个随机事件，且()0>B P ，()

1=B A P 则有（）

（A ）()()A P B A P >∪（B ）()()B P B A P >∪（C ）()()

A P

B A P =∪（D ）()()

B P B A P =∪

第二章随机变量及其分布

第一节基本概念

1、概念网络图

??

??

???→??????≤<→??????)()()()(a F b F A P b X a A X 随机事件随机变量基本事件ωω→≤=)()(x X P x F 分布函数：函数分布

正态分布指数分布均匀分布连续型几何分布超几何分布泊松分布二项分布分布离散型八大分布→???

??

???

???

??

??

??

??

???

?????????????????????????????????????102、重要公式和结论

（1）离散型随机变量的分布律

设离散型随机变量X 的可能取值为X k (k=1,2,…)且取各个值的概率，即事

件(X=X k )的概率为

P(X=x k )=p k ，k=1,2,…，

则称上式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：

???

?,,,,,,,,|

)(2121k k k p p p x x x x X P X =。

显然分布律应满足下列条件：（1）0≥k p ，?,2,1=k ，

（2）

∑∞

==1

1

k k

p

。