(完整版)三角形的证明-知识点汇总

三角形的证明知识点汇总

知识点3 等边三角形的性质定理

知识点4 等腰三角形的判定定理

知识点5 反证法

知识点6 等边三角形的判定定理

知识点7 线段的垂直平分线的性质及判定

三角形的证明-知识点汇总

三角形的证明知识点汇总 知识点1 全等三角形的判定及性质 判定定理简称 判定定理的内容 性质 SSS 三角形分别相等的两个三角形全等 全等三角形对应边相等、对应角相等 SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 HL （Rt △） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 知识点2 等腰三角形的性质定理及推论 内容 几何语言 条件与结论 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两底角相等。简述为：等边对等角 在△ABC 中，若AB=AC ，则∠B=∠C 条件：边相等，即AB=AC 结论：角相等，即∠B=∠ C 推论 等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线及底边上的 高线互相垂直，简述为：三 线合一 在△ABC ，AB=AC ，AD ⊥BC ， 则AD 是BC 边上的中线，且 AD 平分∠BAC 条件：等腰三角形中已知顶点的平分线，底边上的中线、底边上的高线之一 结论：该线也是其他两线 等腰三角形中的相等线段：1、等腰三角形两底角的平分线相等；2、等腰三角形两腰上的高相等；3、两腰上的中线相等；4、底边的中点到两腰的距离相等 知识点3 等边三角形的性质定理 内容 性质定理 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60度 解读 （1）等边三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性质 （2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一” 【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等边三角形 知识点4 等腰三角形的判定定理 内容 几何语言 条件与结论 等腰三角形的判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为：等校对等边 在△ABC 中，若∠B=∠C 则AC=BC 条件：角相等，即∠B=∠C 结论：边相等，即AB=AC 解读 对“等角对等边”的理解仍然要注意，他的前提是“在同一个三角形中” 拓展 判定一个三角形是等腰三角形有两种方法:1、利用等腰三角形；2、利用等腰三角形的判定定理，即“等角对等边” 知识点5 反证法 概念 证明的一般步骤

最新初三数学三角形知识点总结归纳复习过程

三角形的定义 三角形是多边形中边数最少的一种。它的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 三条线段不在同一条直线上的条件，如果三条线段在同一条直线上，我们认为三角形就不存在。另外三条线段必须首尾顺次相接，这说明三角形这个图形一定是封闭的。三角形中有三条边，三个角，三个顶点。 三角形中的主要线段 三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线。 这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上，通过作图加以熟练掌握。并且对这三条线段必须明确三点： （1）三角形的角平分线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线。 （2）三角形的角平分线、中线、高线都有三条，角平分线、中线，都在三角形内部。而三角形的高线在当△ABC是锐角三角形时，三条高都是在三角形内部，钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高在三角形的外部，直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。 （3）在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。在以后我们可以给出具体证明。今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，三条中线的交点叫做三角形的重心，三条高的交点叫做三角形的垂心。 三角形的按边分类 三角形的三条边，有的各不相等，有的有两条边相等，有的三条边都相等。所以三角形按的相等关系分类如下： 等边三角形是等腰三角形的一种特例。 判定三条边能否构成三角形的依据 △ABC的三边长分别是a、b、c，根据公理“连接两点的所有线中，线段最短”。可知： △③a+b＞c，①a+c＞b，②b+c＞a △定理：三角形任意两边的和大于第三边。 △由②、③得b―a＜c，且b―a＞―c △故|a―b|＜c，同理可得|b―c|＜a，|a―c|＜b。 从而得到推论： 三角形任意两边的差小于第三边。 上述定理和推论实际上是一个问题的两种叙述方法，定理包含了推论，推论也可以代替定理。另外，定理和推论是判定三条线段能否构成三角形的依据。如：三条线段的长分别是5、4、3便能构成三角形，而三条线段的长度分别是5、3、1，就不能构成三角形。 判定三条边能否构成三角形 对于某一条边来说，如一边a，只要满足|b-c|＜a＜b+c，则可构成三角形。这是因为|b-c|＜a，即b-c＜a，且b-c＞-a.也就是a+c＞b且a+b＞c，再加上b+c＞a，便满足任意两边之和大于第三边的条件。反过来，只要a、b、c三条线段满足能构成三角形的条件，则一定有|b-c|＜a＜b+c。 在特殊情况下，如果已知线段a最大，只要满足b+c>a就可判定a、b、c三条线段能够构成三角形。同时如果已知线段a最小，只要满足|b-c|＜a，就能判定三条线段a、b、c构成三角形。 证明三角形的内角和定理 除了课本上给出的证明方法外还有多种证法，这里再介绍两种证法的思路： 方法1 如图，过顶点A作DE‖BC，

解三角形知识点归纳总结

第一章解三角形 .正弦定理: 2）化边为角： a : b: c sin A : sin B : sin C ? 7 a si nA b sin B a sin A b sin B ' c sin C J c sin C ' 3 ）化边为角： a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2Rsin C 4 ）化角为边: sin A sin B a ； sin B J b sin C b sin A a c' sin C c ' a b 5 ）化角为边：si nA , si nB , si nC 2R 2R 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ① 已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角； 例：已知角B,C,a ， 解法：由 A+B+C=180,求角A,由正弦定理a 竺A, 竺B b sin B c sin C b 与c ②已知两边和其中一边 的对角，求其他两个角及另一边。 例：已知边a,b,A, 解法：由正弦定理旦 血 求出角B,由A+B+C=180求出角C,再使用正 b sin B 弦定理a 泄求出c 边 c sin C 4. △ ABC 中，已知锐角A ,边b ,贝U ① a bsin A 时，B 无解； ② a bsinA 或a b 时，B 有一个解; ③ bsinA a b 时，B 有两个解。 如：①已知A 60 ,a 2,b 2 3,求B （有一个解） ②已知A 60 ,b 2,a 2.3,求B （有两个解） 注意：由正弦定理求角时，注意解的个数 .三角形面积 各边和它所对角的正弦的比相等, 并且都等于外 接圆的直径， 即 a b c sin A sin B sinC 2.变形：1） a b c a sin sin si sin 2R （其中R 是三角形外接圆的半径） b c sin sinC c 2R 沁；求出 sin C 1.正弦定理：在一个三角形中, bsin A

全等三角形知识点总结

全等三角形知识梳理 一、知识网络 ??????????→?????????????? ???对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理 二、基础知识梳理 （一）、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； (3)有公共边的，公共边一定是对应边； > (4)有公共角的，角一定是对应角； (5)有对顶角的，对顶角一定是对应角。 2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等（即对应元素相等）

3、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等（SSS）。 （2）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）。 （3）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）。 ， （4）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）。 所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。 注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。 4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 尺规作图 < （二）灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等， 因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找： ①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找

三角形的证明知识点汇总

百度文库- 让每个人平等地提升自我 1 三角形的证明知识点汇总 判定定理简称判定定理的内容性质SSS 三角形分别相等的两个三角形全等 全等三角形对 应边相等、对 应角相等SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 HL（Rt△）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 知识点2 等腰三角形的性质定理及推论 内容几何语言条件与结论 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两底角相等。 简述为：等边对等角 在△ABC中，若AB=AC，则 ∠B=∠C 条件：边相等，即AB=AC 结论：角相等，即∠B=∠C 推论等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线及底边上的 高线互相垂直，简述为：三 线合一 在△ABC，AB=AC，AD⊥BC， 则AD是BC边上的中线，且 AD平分∠BAC 条件：等腰三角形中已知顶点的 平分线，底边上的中线、底边上 的高线之一 结论：该线也是其他两线 等腰三角形中的相等线段：1、等腰三角形两底角的平分线相等；2、等腰三角形两腰上的高相等；3、两腰上的中线相等；4、底边的中点到两腰的距离相等 知识点3 等边三角形的性质定理 内容 性质定理等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60度 解读（1）等边三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性质 （2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一” 【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等边三角形 知识点4 等腰三角形的判定定理 内容几何语言条件与结论 等腰三角形的判定定理有两个角相等的三角形是等腰 三角形，简述为：等校对等边 在△ABC中，若∠B=∠C则AC=BC 条件：角相等，即∠B=∠C 结论：边相等，即AB=AC 解读对“等角对等边”的理解仍然要注意，他的前提是“在同一个三角形中” 拓展判定一个三角形是等腰三角形有两种方法:1、利用等腰三角形；2、利用等腰三角形的判定定理，即“等角对等边” 知识点5 反证法 概念证明的一般步骤

中考 三角形知识点复习归纳总结

D C B A 中考三角形知识点复习归纳总结 ⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. 三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC 用符号表示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示. ⒉ 三角形的分类： (1)按边分类： (2)按角分类： ⒊ 三角形的主要线段的定义： （1）三角形的中线 三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的中线. 2.BD=DC=12 BC. 注意：①三角形的中线是线段； ②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形． 三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三角形 直角三象形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形

21D C B A D C B A （2）三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线. 2.∠1=∠2=12∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段； ②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点； ④用量角器画三角形的角平分线． （3）三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的高线. 2.AD ⊥BC 于D. 3.∠ADB=∠ADC=90°. 注意：①三角形的高是线段； ②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外； ③三角形三条高所在直线交于一点． ⒋ 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意： (1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部. (2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.

(完整版)解三角形知识点及题型总结

基础强化（8）——解三角形 1、①三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； ②. 三角形三边关系：a+b>c; a-bB>C 则6090,060A C ?≤

初二数学上全等三角形知识点总结汇编

全等三角形 知识梳理 一、知识网络 ???? ?? ????→??????? ?? ?? ???? ? ?对应角相等 性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理 二、基础知识梳理 （一）、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等。 （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上

（二）灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等， 因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找： ①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找 ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找 ①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS) 证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤： 1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）； 2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么； 3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。 常见考法 （1）利用全等三角形的性质：①证明线段（或角）相等；②证明两条线段的和差等于另一条线段；③证明面积相等； （2）利用判定公理来证明两个三角形全等； （3）题目开放性问题，补全条件，使两个三角形全等。 误区提醒 （1）忽略题目中的隐含条件；

三角形的证明详细知识点、例题、习题)

第一章 三角形的证明 一、全等三角形 （1）定义： 能够完全相等的三角形是全等三角形。 （2）性质：全等三角形的对应边、对应角相等。 （3）判定：SAS 、SSS 、ASA 、AAS 、HL 注：SSA,AAA 不能作为判定三角形全等的方法，判定两个三角形全等时，必 须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角 证题的思路： ? ? ? ?? ??? ???? ? ? ??????? ????????????????）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（） 找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 例题解析：

二、等腰三角形 1. 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. 2. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）． 3. 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）． 4. 等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°； 等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴. 判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形. 5. 含30°的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 例题解析：

三、.直角三角形 1. 勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 2. 命题与逆命题 命题包括题设和结论两部分； 逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的； 3. 直角三角形全等的判定定理 定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等要点诠释： ①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边 的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三 边的平方” 例题解析

有关三角形知识点总结

有关三角形知识点总结

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三角形知识点汇总 1、三角形 一、三角形三边的关系 1、三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边。（判断三条线段能否组成三角形的依据） 2、已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b 3、给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长（提示：一定要记得分类讨论） 方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。 二、三角形的高、中线、角平分线 1、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角 形的高.（90°角和互余关系） 锐角三角形锐角三角形的三条高都在三角形的内部，三条高的交点也在三角形内部. 直角三角形直角三角形的三条高交于直角顶点. 钝角三角形钝角三角形有两条高落在三角形外部，一条在三角形内部，三条高所在直线交于三角形外一点。

2 、三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.三角形的三 条中线交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。 三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。 3、三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”。 要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。 4、方法利用：求三角形中未知的高或者底边的长度，可利用“等积法”将三角形的面积用两种方式表达，求其中未知的高或者底边的长度 三、三角形具有稳定性 1. 三角形具有稳定性 2. 四边形及多边形不具有稳定性 要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。 四、与三角形有关的角 1. 三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，与三角形的形状无关。

解三角形知识点归纳

解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b，则90C o ．

全等三角形知识点梳理.pdf

第十二章全等三角形 2018.9 杨1．全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．对应边相等。 2．全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．对应角相等。 证明三角形全等基本思路： 三角形全等的判定(1) 三边分别相等的两个三角形全等，简写成边边边或SSS． 1.如图，AB＝AD，CB＝CD，求证：(1)△ABC≌△ADC；(2)∠B＝∠D. 证明：(1)连接AC，在△ABC与△ADC中， ∴△ABC≌△ADC(SSS)． (2)∵△ABC≌△ADC，∴∠B＝∠D. 2.已知在四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC,,求证AD//BC A D 做辅助线，连接AC，利用SSS证明全等，得到∠ DAC=∠ACB ，从而证明平行 B C 三角形全等的判定(2) 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)． 两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 1.如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A，B，D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ ABC＝∠EBD＝90°)，连接AE，CD，试确定AE与CD的关系，并证明你的结论． 解：结论：AE＝CD，AE⊥CD. 证明：延长AE交CD于F，在△ABE与△CBD中AB＝CB， ∠ABE＝∠CBD， BE＝BD， ， ∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴AE＝CD，∠EAB＝∠DCB， ∵∠DCB＋∠CDB＝90°，∴∠EAB＋∠CDB＝90°， ∴∠AFD＝90°，∴AE⊥CD. F

2.在△ABC和△CDE中，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°，AE与BD交与点 F （1）求证：△ACE≌△BCD （2）求证：AE⊥BD 1,利用SAS证明全等， AC=BC DC=EC ∠BCD=∠ACE 2，全等得到角相等∠CAE=∠DCB ∠CAB+∠EAB+∠ABC=90° ∠DCB∠EAB+∠ABC=90° 三角形全等的判定(3) 两角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等，简称角边 角或ASA． 两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简称 角角边或AAS． 求证：三角形一边的两端点到这边的中线或中线延长线的距离相等． 如图，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD，交AD的延长线于点E，求证：BE＝CF. 证法1： ∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD.∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BED＝∠CFD＝90°.在△BED与△CFD中∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD， ∴△BED≌△CFD(AAS)，∴BE＝CF. 证法2：∵Ｓ△ABD＝1 2 AD·BE，S△ACD＝ 1 2 AD·CF， 且S△ABD＝S△ACD(等底同高的两个三角形面积相等)， ∴1 2 AD·BE＝ 1 2 AD·CF，∴BE＝CF. 三角形全等的判定(4) 斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，简称“斜边、直角边”或“HL”． 如图，E，F分别为线段AC上的两点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，若AB＝CD，AE＝CF，BD交AC于点M. 求证：BM＝DM，ME＝MF. 证明：∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF∴AF＝CE. 在Rt△ABF与Rt△CDE中AB＝CD，AF＝CE， ∴Rt△ABF≌Rt△CDE(H L)， ∴BF＝DE.∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEM＝∠BFM＝90°. 在△BFM与△DEM中∠BFM＝∠DEM，∠BMF＝∠DME，BF＝DE， ∴△BFM≌△DEM(A AS)， ∴BM＝DM，ME＝MF. 角的平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 文字命题的证明方法： a.明确命题中的已知和求证； b.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； c.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．

三角形知识点总结(1)

三角形 由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。 三角形具有稳定性 三角形内角和是180° 组成三角形的两个条件： 三角形任意两边之和大于第三边 三角形任意两边之差小于第三边 三角形分类 按角来分 锐角（0°

钝角三角形的三条高（三条虚线） 按边分 底 直角边 C B A 直角边C B C B A 底 边 等边三角形（三条边都相等，每个角都是60°） 等腰三角形（两条边相等，两个底角相等）

※已知三角形两条边各长a、b（a>=b），求第三边长度c的范围 方法：a-b5 能（等边三角形/正三角形） 例：已知三条线段分别是10cm、10cm、20cm，它们能不能组成三角形？ 10+10=20 不能 ※多边形内角和问题

高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳

高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b，则90C <；③若2 2 2 a b c +<，则90C >． 11、三角形的四心： 垂心——三角形的三边上的高相交于一点 重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1） 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等） 内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等） 12 、请同学们自己复习巩固三角函数中 诱导公式及辅助角公式（和差角、倍角等） 。

(完整版)初中数学全等三角形的知识点梳理

《全等三角形》 一、结构梳理 二、知识梳理 （一）概念梳理 1．全等图形 定义：两个能够完全重合的图形称为全等图形，全等图形的形状和大小都相同．例如图1中的两个图形形状相同，但大小不同，不能重合在一起，因此不是全等图形，图2中的两个图形面积相同，但形状不同，也不是全等图形． 2．全等三角形 这是学好全等三角形的基础．根据全等形定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．完全重合有两层含义：（1）图形的形状相同；（2）图形的大小相等．符号“≌”也形象、直观地反映了这一点．“∽”表示图形形状相同，“=”表示图形大小相等． （二）性质与判定梳理 1．全等图形性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等． 全等三角形的对应边、对应角分别相等． 2．全等三角形的判定 这是学好全等三角形的关键．只给定一个条件或两个条件画三角形时，都不能保证所画出的三角形全等，只要有三个条件对应相等就可以，于是判定两个三角形全等的方法有： （1）三边对应相等的两个三角形全等，简记为：SSS ； （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为：ASA； （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为：AAS； （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为：SAS． 若是直角三角形，则还有斜边、直角边公理（HL）。由此可以看出，判断三角形全等，无论用哪一条件，都要有三个元素对应相等，且其中至少要有一对应边相等． （5）注意判定三角形全等的基本思路 从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有 图 2

三个元素（其中至少一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）去迅速准确地确定要补充的边（角），不致盲目地而能有目标地完善三角形全等的条件．从而得到判定两个三角形全等的思路有： ?? ???→→SSS SAS 找另一边找夹角 ??? ?????????→→→→→SAS AAS ASA AAS 找该角的另一边找这条边上的对角找这条边上的另一角边就是角的一条边 找任一角边为角的对边 ???→→AAS ASA 找任一边找两角的夹边 （6）学会辨认全等三角形的对应元素 辨认全等三角形的对应元素最有效的方法是，先找出全等三角形的对应顶点，再确定对应角和对应边，如已知△ABC ≌EFD ，这种记法意味着A 与E 、B 与F 、C 与D 对应，则三角形的边AB 与EF 、BC 与FD 、AC 与ED 对应，对应边所夹的角就是对应角，此外，还有如下规律：（1）全等三角形的公共边是对应边，公共角是对应角，对顶角是对应角；（2）全等三角形的两个对应角所夹的边是对应边，两条对应边所夹的角是对应角． （三）基本图形梳理 注意组成全等三角形的基本图形，全等图形都是由图形的平移、旋转、轴对称等图形变换而得到的，所以全等三角形的基本图形大致有以下几种： 1．平移型 如图3，下面几种图形属于平移型： 它们可看成有对应边在一直线上移动所构成的，故该对应边 的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到． 2 ．对称型 如图 4，下面几种图形属于对称型： 它们的特征是可沿某一直线对折，直线两旁的部分能完全重合（轴对称图形），重合的顶点就是全等三角形的对应顶点． 3．旋转型 如图5，下面几种图形属于旋转型： 它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转 所构成的，故一般有一对相等的角隐含在 对顶角、某些角的和 或差中． 三、易混、易错点剖析 1．探索两个三角形全等时，要注意两个特例 （1两个三角形不一定全等；如图6（1已知两边 已知一边一角 已知两角 图3 图4 图6（1）

三角形的证明练习题

1．等腰三角形 一、主要知识点 1、证明三角形全等的判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS,证直角三角形全等除上述外还有HL)及全等三角形的性 质是对应边相等，对应角相等。 2、等腰三角形的有关知识点。 等边对等角；等角对等边；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一） 3、等边三角形的有关知识点。 判定：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形； 三条边都相等的三角形是等边三角形； 三个角都是60°的三角形是等边三角形； 有两个叫是60°的三角形是等边三角形。 性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60°。 4、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从 而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法 2．直角三角形 一、主要知识点 1、直角三角形的有关知识。 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形； 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。 2、互逆命题、互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 3.线段的垂直平分线 4.角平分线 一、主要知识点 1、线段的垂直平分线。 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 2、角平分线。 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 3、逆命题、互逆命题的概念及反证法 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

初中三角形有关知识点总结及习题大全-带答案

. A一、三角形内角和定理 一、选择题 40°120°BCD1.如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（）A．60°B．70°C．80°D．90° 2.将一副三角板按图中的方式叠放，则角等于（）A．75B．60C．45D．30 3.如图，直线m∥n，∠1=55，∠2=45，则∠3的度数为（） A．80B．90C．100D．110 【解析】选C.如图，由三角形的外角性质得 000 4125545100， 由m∥n，得34 0 100 5.（2009·新疆中考）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130°，250°， 则3的度数等于（） A．50°B．30°C．20°D．15° 【解析】选C在原图上标注角4，所以∠4=∠2，因为∠2=50°，所以∠4=50°，又因为∠1=30°， 所以∠3=20°； 6.（2009·朝阳中考）如图，已知AB∥CD,若∠A=20°，∠E=35°，则∠C等于（）. A.20° B.35° C.45° D.55° 【解析】选D因为∠A=20°，∠E=35°，所以∠EFB＝55o，又因为AB∥CD,所以∠C＝∠EFB＝55o； 7.（2009·呼和浩特中考）已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是（） A．锐角三角形B．钝角三角形 C．直角三角形D．钝角三角形或锐角三角形 .

. 【解析】选B因为△ABC的一个外角为50°，所以与△ABC的此外角相邻的内角等于130°，所以此三角形为钝角三角形. 4.（2008·聊城中考）如图，1100，2145，那么3（） 6 A．55°B．65°C．75°D．85° 答案：选B 二、填空题 oo 5.（2009·常德中考）如图，已知AE//BD，∠1=130，∠2=30，则∠C=． 【解析】由AE//BD得∠AEC=∠2=30o，∴∠C=180°-∠1-∠AEC=180°-130 o，∴∠C=180°-∠1- ∠AEC=180°-130 o- 30o=20o o答案： 20 6.（2009·邵阳中考）如图，AB//CD,直线EF与AB、CD分别相交于E、F两点，EP平分∠AEF,过点F作FP⊥EP,垂足为P，若∠PEF=30 0, 则∠PFC=__________。 0 【解析】由EP平分 ∠AEF,∠PEF=30 0 得∠AEF=60 0 ，由AB//CD得∠EFC=120 0 ，由FP⊥EP得 ∠P=90 ， ∴∠PFE=180 0-900-300=600，∴∠PFC=1200-600=600. 答案：60° 7.（2008·长沙中考）△ABC中，∠A=55，∠B=25，则∠C=. 答案：100° 8.（2008·赤峰中考）如图，是一块三角形木板的残余部分，量得A100，B40，这块三角形木板另外一个角是度．