中考一轮复习专题 二次函数的应用(实际问题)
2012年全国中考数学试题分类解析汇编
二次函数的应用（实际问题）
一、选择题
1.（2012四川资阳3分）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式a x2+bx+c<0的解集是【】
A．-1
二、填空题
1.（2012浙江绍兴5分）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x （m）之间的关系为y=-
1
12
(x-4)2+3，由此可知铅球推出的距离是▲m。
2.（2012湖北襄阳3分）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行▲m才能停下来．
3.（2012山东济南3分）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需▲秒．
三、解答题
2
412
1.（2012重庆市10分）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：
7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0)．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关系式：z=
1
x，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系式：1
31
z=x-x2；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均2
为1.5元．
（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；
（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．
（参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4）
2.（2012安徽省14分）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。
1
t
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。
3.（2012浙江嘉兴、舟山12分）某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出工辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出）
（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为元（用含x的代数式表示）；
（2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？
（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？
4.（2012浙江台州12分）某汽车在刹车后行驶的距离s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系得部分数据如下表：
时间t（秒）
行驶距离s（米）
0.2
2.8
0.4
5.2
0.6
7.2
0.8
8.8
1.0
10
1.2
10.8
…
…
（1）根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点；
（2）选择适当的函数表示s与t之间的关系，求出相应的函数解析式；
（3）①刹车后汽车行驶了多长距离才停止？
②当t分别为t1，t2（t1＜t2）时，对应s的值分别为s1，s2，请比较
际意义．
s s
1与2的大小，并解释比较结果的实
t
2
y
,
5.（2012 江苏常州 7 分）某商场购进一批 L 型服装（数量足够多），进价为 40 元/件，以 60 元/件销售，每
天销售 20 件。根据市场调研，若每件每降 1 元，则每天销售数量比原来多 3 件。现商场决定对 L 型服装
开展降价促销活动，每件降价 x 元（x 为正整数）。在促销期间，商场要想每天获得最大销售利润，每件降
价多少元？每天最大销售毛利润为多少？（注：每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差）
6.（2012 江苏无锡 8 分）如图，在边长为 24cm 的正方形纸片 ABCD 上，剪去图中阴影部分的四个全等的
等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A ．B ．C ．D 四个顶点正好重合
于上底面上一点）．已知 E 、F 在 AB 边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE=BF=x
（cm ）．
（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积 V ；
（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积 S 最大，试问 x 应取何值？
7.（2012 江苏盐城 12 分）
知识迁移：当 a > 0 且 x > 0 时，因为 ( x -
a
x
a a
)2≥ 0 ,所以 x - 2 a + ≥ 0 ,从而 x + ≥ 2 a (当
x x
a
x = a 时取等号).记函数 y = x + (a > 0, x > 0) ,由上述结论可知：当 x =
a 时,该函数有最小值为 2 a .
x
直接应用：已知函数 y = x( x > 0) 与函数 y = 1 2 1 x
( x > 0) , 则当 x = _________时, y + y 取得最小值
1 2
为_________.
变形应用：已知函数 y = x + 1(x > -1) 与函数 y = ( x + 1)2
+ 4( x > -1) ,求 y
2 的最小值,并指出取得该
1
2
1
最小值时相应的 x 的值.
实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用 共 360 元；二是燃油费,每
求当x为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？
升的高度y(km)与飞行时间x(s)之间的关系式为y=
1
千米为1.6元；三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为0.001.设该汽车一次运输的路程为x千米,
．．．．．．．．．．
8.（2012江苏扬州12分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
(3)在直线l上是否存在点△M，使MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
9.（2012福建莆田8分）如图，某种新型导弹从地面发射点Ｌ处发射，在初始竖直加速飞行阶段，导弹上
1
x2+x(0≤x≤10)．发射3s后，导弹到达A点，
186
此时位于与L同一水平面的R处雷达站测得AR的距离是2km，再过3s后，导弹到达B点．
(1)(4分)求发射点L与雷达站R之间的距离；
(2)(4分)当导弹到达B点时，求雷达站测得的仰角(即∠BRL)的正切值．
10.（2012湖北武汉10分）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分A CB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16m，AE＝8m，抛物线的顶点C到ED的距离是11m，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．
（2）如图②，过点 B 作直线 BE ：y= x ﹣1 交 C 1 于点 E （﹣2，﹣1
(1)求抛物线 的解析式；
(2)已知从某时刻开始的 40h 内，水面与河底 ED 的距离 h(单位：m)随时间 t(单位：h)的变化满足函数
关系 h= -
1
128
(t - 19)2+8(0 ≤ t ≤ 40) 且当水面到顶点 C 的距离不大于 5m 时，需禁止船只通行，请通过计算
说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？
11.（2012湖北黄冈12分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400 元，销售单价 定为3000 元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种
新型产品不超过10 件时，每件按3000 元销售；若一次购买该种产品超过10 件时，每多购买一件，所购
买的全部产品的销售单价均降低10 元，但销售单价均不低于2600 元．
(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600 元?
(2)设商家一次购买这种产品x 件，开发公司所获的利润为y 元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并
写出自变量x 的取值范围．
(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量
的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应
将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)
12.（2012 湖南岳阳 10 分）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物 线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为 6dm ，锅深 3dm ，锅盖高 1dm （锅口直径与锅盖
直径视为相同），建立直接坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线的记为 C 1 ，把锅盖纵断面的抛物
线记为 C 2．
（1）求 C 1 和 C 2 的解析式；
3
5 3 ），连接 OE 、BC ，在 x 轴上求一点
P ，使以点 P 、B 、C 为顶点的△PBC 与△BOE 相似，求出 P 点的坐标；
（3）如果（2）中的直线 BE 保持不变，抛物线 C 1 或 C 2 上是否存在一点 △Q ，使得
EBQ 的面积最大？若
存在，求出 Q 的坐标和△EBQ 面积的最大值；若不存在，请说明理由．
.
若设该矩形的一边长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为：y=2(x+)(x>0)，问题就转化为
借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数y=2(x+)(x>0)的最大（小）值.
（1）实践操作：填写下表，并用描点法画出函数y=2(x+)(x>0)的图象：
13.（2012四川达州8分）问题背景
若矩形的周长为1，则可求出该矩形面积的最大值我们可以设矩形的一边长为x，面积为s，则s与x 的函数关系式为：s=-x2+
1
x(x>0)，利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值.
2
提出新问题
若矩形的面积为1，则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？
分析问题
1
x
研究该函数的最大（小）值了.
解决问题
1
x
1
x
x (1)
4
1
3
1
2
1234···
y
（2）观察猜想：观察该函数的图象，猜想当 x=时，函数 y = 2(x + ) (x > 0) 有最值（填 过配方求函数 y = 2(x + ) (x > 0)的最大（小）值，以证明你的猜想. 〔提示：当 x > 0 时， x = ( x )2 〕
．．
．．
．． x ．．．． ， 2a ，
1 x
“大”或“小”）
，是.
（3）推理论 证：问题背景中提到，通过配方可求二次函数s = -x 2 + 1 x (x > 0) 的最大值，请你尝试通
2
1
x
14.（2012 四川巴中 9 分）某商品的进价为每件 50 元，售价为每件 60 元，每个月可卖出 200 件。如果每
件商品的售价上涨 1 元，则每个月少卖 10 件（每件售价不能高于 72 元）。设每件商品的售价上涨 x 元（x
为整数），每个月的销售利润为 y 元，
（1）求 y 与 x 的函数关系式，并直接写出 x 的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？
15.（2012 辽宁锦州 10 分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是 20 元.调查发现：销售单
价是 30 元时，月销售量是 230 件，而销售单价每上涨 1 元，月销售量就减少 10 件，但每件玩具售价不能
高于 40 元. 设每件玩具的销售单价上涨了 x 元时（．为正整数），月销售利润为 y 元.
（1）求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围.
（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为 2520 元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
16.（2012 河北省 9 分）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计） 这些薄板的形状均为正方形，边长
（单位：cm ）在 5～50 之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm 2）成正比例，每张
薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的．浮
动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．
薄板的边长（cm ） 20
出厂价（元/张）
50
30
70
（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；
（2）已知出厂一张边长为 40cm 的薄板，获得的利润为 26 元（利润=出厂价-成本价），
①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．
②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？
? b 4ac - b 2 ? 参考公式：抛物线：y=ax 2＋bx ＋c （a≠0）的顶点坐标为 - 4a ?? -
? ?
17.（2012黑龙江大庆6分）将一根长为16厘米的细铁丝剪成两段．并把每段铁丝围成圆，设所得两圆半径分别为r和r.
12
（1）求r与r的关系式，并写出r的取值范围；
121
（2）将两圆的面积和S表示成r的函数关系式，求S的最小值．
1
18.（2012黑龙江哈尔滨6分）小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随x(单位：cm)的变化而变化．（1）请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
（2）当x是多少时，这个三角形面积S最大?最大面积是多少?