04183概率论与数理统计(经管类)(有答案)

04183概率论与数理统计（经管类）

一、单项选择题

1．若E(XY)=E(X))(Y E ?,则必有( B )。

A ．X 与Y 不相互独立

B ．D(X+Y)=D(X)+D(Y)

C ．X 与Y 相互独立

D ．D(XY)=D(X)D(Y

2．一批产品共有18个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，

则第二次抽出的是次品的概率为 A 。

A ．0.1

B ．0.2

C ．0.3

D ．0.4

3．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，下列结论错误的是 D 。

A ．1)(=+∞F

B ．0)(=-∞F

C ．1)(0≤≤x F

D ．)(x F 连续

4．当X 服从参数为n ，p 的二项分布时，P(X=k)= ( B )。

A ．n

k k m q p C

B ．k n k k n q p

C -

C ．k

n pq

- D ．k n k q p -

5．设X 服从正态分布)4,2(N ，Y 服从参数为21的指数分布，且X 与Y 相互独立，则

(23)D X Y ++= C

A ．8

B ．16

C ．20

D ．24

6．设n X X X 21独立同分布，且1EX μ=及2DX σ=都存在，则当n 充分大时，用中

心极限定理得()1n i i P X a a =??

≥????

∑为常数的近似值为 B 。

A ．1a n n μσ-??-Φ ??? B

．1?-Φ ?

C ．a n n μσ-??

Φ ???

D

．?Φ

?

7．设二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其联合分布律为

则(0,1)F = C 。

A ．0.2

B ．0.4

C ．0.6

D ．0.8

8．设k X X X ,,,21 是来自正态总体)1,0(N 的样本，则统计量2

2221k X X X ++服从

（ D ）分布

A ．正态分布

B ．t 分布

C ．F 分布

D ．2

χ分布

9．设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从)1,0(N 和)1,1(N ，则 B 。 A ．21)0(=≤+Y X P B ．21)1(=≤+Y X P

C ．21)0(=≤-Y X P

D ．21)1(=≤-Y X P

10．设总体X~N (2,σμ)，2

σ为未知，通过样本n x x x 21,检验00:μμ=H 时，需要

用统计量（ C ）。

A ．n

x /0

σμμ-=

B ．1

/

--=

n x σμμ

C ．n

s x t /

0μ-=

D ．s

x t 0

μ-=

11．A,B 为二事件，则=B A ( )。 A ．B A

B ．AB

C ．AB

D ． B A

12．设A 、B 表示三个事件，则AB 表示 ( B )。

A ．A 、

B 中有一个发生； B ．A 、B 都不发生；

C ．A 、B 中恰好有两个发生；

D ． A 、B 中不多于一个发生

13．设随机变量X 的概率密度为?????<≥=-,

0,

0;0,

e )(5

x x c x f x 则常数c 等于（ C ） A ．-0.5 B ．0.5 C ．0.2 D ．-0.2

14.设随机变量X 的概率密度为其他1

0,,0)(3≤≤?

??=x ax x f ，则常数a= ( A )。

A ．4

B ．1/2

C ．1/4

D ．3

15.设21)(=A P ，1)(=B P ，61)(=A B P ，则=)(AB P C 。

A ．118

B ．187

C ．112

D ．41

16. 随机变量F~F(n 1 ，n 2）,则F

1~ ( D )。

A ．N(0,2)

B ．χ2（2）

C ．F(n 1，n 2)

D ．F(n 2，n 1)

17． 对任意随机变量X ，若E(X)存在，则E(E(X))等于( )。 A ．0

B ．E(X)

C ．(E(X))3

D ．X

18．设()~0,2X N ，()~0,1Y N ，且X 与Y 相互独立，则随机变量~Z X Y =- C 。

A ．(0,1)N

B ．(0,2)N

C ．(0,3)N

D ．(0,4)N

19．抛一枚不均匀硬币，正面朝上的概率为32，将此硬币连抛4次，则恰好3次正面朝上的概率是 A 。

A ．8

B ．278

C ．8132

D ．43

20、设C B A ,,为三事件，则=?B C A )( B 。 A ．ABC B ．B C A ?)(

C ．C B A ??)(

D ．C B A ??)(

21．已知)(A P =0.7，)(B P =0.6，3.0)(=-B A P ，则=)(B A P A 。

A ．0.1

B ．0.2

C ．0.3

D ．0.4

22．设随机变量X 服从正态分布N(μ,σ2)，则随σ的增大,概率P {}σμ≤-X ( A )。 A ．保持不变 B ． 单调减小 C ．单调增大 D ．不能确定

23．对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果在0.05的显著水平下拒绝H 0：μ=μ0，那么在0.01的显著水平下，( C )。

A ．必接受H 0

B 不接受也不拒绝H 0

C ．必拒绝H 0

D ．可能接受,也可能拒绝

24．设()F x 和()f x 分别为某随机变量的分布函数和概率密度,则必有( C )

A ．()f x 单调不减

B ．

()1F x dx +∞

-∞

=?

C ．()0F -∞=

D ．()()F x f x dx +∞

-∞

=

?

25．设X 的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计≤≥-)2(EX X P D 。 A ．0.1 B ．0.2 C ．0.4 D ．0.5

26．设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为

则(1)P X Y +≤= D 。

A ．0.2

B ．0.4

C ．0.6

D ．0.8

27.已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令Y= -2X ，则Y 的概率密度)(y f Y 为( C )。

A ．)2(y f X -

B ．)2

(y

f X -

C ．)2(21y

f X -

-

D ．

)2

(21y

f X -

28．设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，且)1(+X E =3，则λ= D 。

A ．0.2

B ．0.3

C ．0.4

D ．0.5

29．设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x, y)，则F(x,+∞) = ( A )。 A ．F x (x) B ．F y (y) C ．0 D ．1 30．设Ａ与Ｂ互为对立事件，且Ｐ(A)>0, Ｐ(B)>0,则下列各式中正确的是( D )。

A ．()1P

B A =

B ．1)(=B A P

C ．()1P B A =

D ． ()0.5P AB =

31．设随机变量Ｘ的分布函数是Ｆ(x)，下列结论中不一定成立的是( D )。 A ．1)(=+∞F B ．0)(=-∞F C ．1)(0≤≤x F D ．)(x F 为连续函数 32．设随机变量Ｘ～Ｕ(2, 4), 则Ｐ(3

A ．Ｐ(2.25

B ．Ｐ(1.5

C ．Ｐ(3.5

D ．Ｐ(4.5

33．设随机变量X 的概率密度为??

?<<=其它

,

010,2)(x x x f ，则)32(<<-X P = A 。

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

34．设Ｘ～Ｎ(-1, 2), Y~Ｎ(1, 3), 且Ｘ与Ｙ相互独立，则X+Y~ B 。

A ． Ｎ(0, 14)

B ．Ｎ(0, 5)

C ．Ｎ(0, 22)

D ．Ｎ(0, 40) 35.设随机变量X ～B （36，61），则D （X ）＝( D )。

A ．

6

1 B ．6

5

C ．

6

25 D ．5

二、填空题

1． 100件产品，有10件次品，不放回地从中接连取两次，每次取一个产品，则第二次取到次品的概率是 0.1 。

2．袋中有5个黑球，2个白球，一次随机地摸出3个球，其中恰好有2个白球的概率为 0.3 。

3．已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则)3(=X P =

λ

λ

-e

!

33

。

4．设随机变量X~N(0,1)，Y~N(0,1)，且X 与Y 相互独立，则X 2

+Y 2

~)2(2χ。 5．设总体X 服从正态分布()2

,N μσ，n X X X

,,,21

来自总体X 的样本，X 为样本

均值，则)(X D =

n

2

σ

。

6．设随机变量X

则(212)P X -<= 1 。7．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且[(1)(2)]1E X X --=，则λ= 。

8．设()1F x 与()2F x 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，为使()()()12F x aF x bF x =-是某一随机变量的分布函数，则b a ,满足 a-b=1 。

9．设X ～N(1,4) ，则

4

)

1(2

-X ～)1(2χ。

10．设n X X X ,,,21 来自正态总体()

2

,N μσ（0>σ）的样本，则

n

X σ

μ

-服从

N(0,1) 。

11. 已知)(A P =)(B P =31，61)(=B A P ，则=)(B A P 7/18 。 12. 抛硬币5次，记其中正面向上的次数为X ，则P(X ≤4)= 5/32 。 13.设D(X)=1, D(Y)=4, 相关系数xy ρ=0.12, 则COV(X,Y)=____0.24 ___。 14. (X,Y)~f(x, y)=其他0

,0,,0)(≥≥?

??+-y x Ce y x ，则C= 1 。

15 若随机变量X 的方差存在，由切比雪夫不等式可得≤>-)1)((X E X P D(X) 。

16 总体X~N (2

,σμ)，n x x x 21,为其样本，未知参数μ的矩估计为 x 。

17. 设随机变量X 的概率密度为??

?<<=其它

,

010,

2)(x x x f ，以Y 表示对X 的三次独立

重复观察中事件}21{≤X 出现的次数，则EY = 3/4 。

18. 样本来自正态总体N(μ，σ2),当σ2未知时，要检验H 0: μ=μ0 ，采用的统计量是

n

S

X μ-。

19．在一次考试中，某班学生数学和外语的及格率都是0.7，且这两门课是否及格相互独

立。现从该班任选一名学生，则该生数学和外语只有一门及格的概率为 0.42 。

20．设连续型随机变量X 的密度为?

?

?<<=其它

，02

0,2)(x x x f ，则=≤≤-)1X 1(P

1/4 。

21．设X 服从)4,2(N ,则)2(≤X P = 0.5 .

22．设12,,,n X X X 是来自于总体服从参数为λ的泊松分布的样本，则λ的一无偏估计为 X 。

19．设随机变量(1,2)i X i =的分布律为

且12,X X 独立，则{}120,1P X X ==-= 1/8 。

23．设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从)1,0(N 和)1,1(N ，则Y X 2+服从 N(2,5)

24．设X 为连续型随机变量，c 为常数，则()P

X c == 。

25．设随机变量

记X 的分布函数为()F x ，则(1)F = 0.5 。

26．把3个不同的球随机放入3个不同的盒中，则出现2个空盒的概率为 1/27 。 27．设A ，B 为随机事件，则=A B A )( A 。

28. 设Ａ,Ｂ为随机事件，且Ｐ(A)＝0.8 Ｐ(B)=0.4 =)(A B P 0.25,则)(B A P ＝ 0.5 。

29. 若已知)(X E =2 , )(X D =4, 则E(2X 2

)= 16 。 30. 设随机变量X ～N （1，9），)32(+X D = 36 。

31. 设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为91，A 发生但B 不发生的概率与

B 发生但A 不发生的概率相等，则)(A P = 4/9 。

32 n x x x 21,为总体X 的样本，X 服从[0, θ]上的均匀分布，θ>0是未知参数，记

∑==

n

i i

x n

x 1

1

，则θ的无偏估计是 x 。

33 若E(X)= μ, D(X)= σ2>0, 由切比雪夫不等式可估计≥+<<-)33(σμσμX P 8/9 。

34. 设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x, y)，则F(x,+∞) = F(x) 。 35 随机变量F~F(n 1 ，n 2）,则F

1~ F(n 2,n 1) 。

三、计算题

1．设X 与Y 为相互独立的随机变量，X 在[-2,2]上服从均匀分布，Y 服从参数为λ=3的指数

分布，求：（X , Y ）的概率密度。 2．设连续型随机变量X 的分布函数为

??

?<≥-=-

0,0

,)(x x e a x F x

求：(1)求常数a ；(2) 求随机变量X 的密度函数。

3．设随机变量~(2,5)X U ，现对X 进行三次独立观测，求（1）(3)P X >；（2）至少有两次观测值大于3的概率。

4．设n X X ,,1 是来自总体的一样本，求??

??

?≤≤=-其它

,01

0,),(1

x x x f θθθ，其中θ为未知参

数，求θ的矩估计。

5．已知某电子器材厂生产一种云母带的厚度服从正态分布，其均值μ=0.13(mm)，标准差σ=0.015(mm)。

某日开工后检查10处厚度，算出其平均值x =0.146(mm)，若厚度的方差不变，试问该日云母带的厚度的均值与0.13(mm)有无显著差异(α=0.05，96.1025.0=u )？ 6. 10件产品中有4件是次品，从中随机抽取2件，求（1）两件都是次品的概率，（2）至少有

一件是次品的概率。

7. 有朋友自远方来，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别为：0.3，0.2，0.1，0.4，如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别为0.25，1

3，

112

，而乘飞机则不会迟到，

求：

(1)他迟到的概率。(2)已知迟到了，他 乘火车来的概率是多少。

8. 设随机变量X 的分布律为???

?

??1.04.02.03.02320πππ，求Y 的分布律，其中，

(1)2)2(π-=X Y ; (2)cos(2)Z X π=-。

9. 正常人的脉搏平均次数为72次/分。今对10 名某种疾病患者测量脉搏，平均数为

67.5次/分，样本标准差为6.3386。设患者的脉搏次数X 服从正态分布，试检验患者的脉 搏与正常人的脉搏有无差异。[ 注α=0.05，t 0.025（9）=2.262]

10．设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为100 和200，现从A 和B 的产品中分别占6000和4000的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，试求该次品属于A 生产的概率。

11．已知随机变量X 与Y 的相关系数为ρ，求1X =aX+b 与2X =CY+d 的相关系数，其中a ，b ，c ，d 均为常数，且a ≠0 ，c ≠0．

12．设n X X ,,1 是来自总体X 的一样本，求(1),01

(,)0,x x f x θθθ?+≤≤=??

其它，其中θ为

未知参数，求θ极大似然估计。

13．从五副不同的手套中任取4只，求其中至少有两只手套配成一副的概率。 14 设二维随机变量的分布律为

试求：(1). (X, Y )关于X 和关于Y 的边缘分布律，(2). X 与Y 是否相互独立，为什么?

15.设X 的密度函数为其他，1

0,,0)1(2)(<

??-=x x x f ，求Y=X 3的期望和方差。

16. 设(X ，Y)的概率密度为

3,

01,

01

(,)0,

x y x y f x y -≤≤≤≤?=?

?其他

(1)求边缘概率密度)(x f X ,)(y f Y ；(2) 求)(X E 和)(X D

17．设随机变量X 的密度函数为

2,03

()0,ax x f x ?<<=??其他

求：（1）常数a 的值； （2）1Y X =-的密度函数()Y f y 。 18.设连续型随机变量X 的分布函数为

,8,80,

0,,,1

80)(≥<≤

x F

求(1).X 的概率密度)(x f ; (2).)8

)()((X D X E X P ≤

-

19．某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005(Ω)。今在生产的一批导线中取样品9根，测得s=0.007(Ω)，设总体为正态分布。问在显著性水平α=0.05下能否认为这批导线的标准

差显著地偏大。(20.05(8)χ=15.507，2

0.95(8)χ=2.733)。

20.某厂生产的铁丝的折断力服从正态分布，且已知平均折断力为570公斤，标准差为8公斤。现在改变了原材料，据检验，标准差不会改变，今从新生产的铁丝中随机抽取抽取10根，测得折断力的平均值为574.8公斤，问新产品的平均折断力是否有显著改变？(96.1,

05.0025.0==μα)

三、计算题（答案）

1. 由已知条件得X,Y 的概率密度分别为

其他,11,,0

21)(≤≤-???

??=x x f X 其他,0,,02)(2Y ≥???=-y e y f y 因为X 与Y 相互独

立，所以

其他,

0,11,,0)()(),(2Y X ≥≤≤-?

??==-y x e y f y f y x f y

2. 解：1）由1)(=+∞F 得1=a 2）因为??

?

<≥-=- 0,0

,1)(x x e

x F x

，故='=)()(x F x f ?

??<≥=-0,00

,)(x x e x F x

3. 解：1) 因1,25

()3

0,

x f x ?≤≤?

=?

??

其他，故(3)P X >=5

3

132dx =?

2)P(至少有两次观测值大于3)=22

33

3321

220()()3

3327

C C +=

4解：由(

)1

1

EX xf x dx dx X ∞

-∞

=

=

=

=?

?,得2

?1X X θ??

= ?-??

5解：01:0.13;:0.13H H μμ=≠，取)1,0(~N n

X U σμ

-=

故拒绝域为：0.025 1.96U Z ≥=，

而 1.96U =>，因此拒绝0H ，认为有显

著的差异。

6解：（1）用A 表示取到两件皆次品，则A 中含有2

3C 个基本事件。

故P(A)=

15

12

10

2

3=

C

C

(2) 用B 表示取到的两件中至少有一件是次品，B （i=0,1,2）表示两件中有i 件次品， 则B=B 1+B 2,显然B 0,B 1,B 2互不相容，故 P(B)=P(B 1)+ P(B 2)=

15

8210

2

32101

71

3=

+

C

C C

C C .

7.解：设1H ={乘火车}；2H ={乘汽车}；3H ={乘轮船}；4H ={乘飞机}；

A ={他迟到}，

则1)

()()()()()()()()()

1122334431

111123

0104531012520

P A P A H P H P A H P H P A H P H P A H P H =+++=?+?+?+?=

2) ()()()

()()

()

11110.30.250.5320

P A H P H P H A P H A P A P A ?=

=

=

=

8. 解：因为X 的分布律为???

?

??1.04.02.03.02320πππ，故得

............................................................................................................(2) 故(1)2)2(π-=X Y 的分布律为. (5)

(2))2cos(π-=X Z 的分布律为 (8)

9. X~N （u ，σ2） H 0: u =u 0

由于总体方差未知，可用T 统计量。 由X =67.5 S=6.3386 T=n

S X /

)(0μ-=(67.2-72) 10/6.3386=2.394

t 0.025（9）=2.262

T =2.3947>2.262 ， T 落入拒绝域故否定原假设。

认为患者的脉搏与正常人有显著差异。 10. 解：

设A H ={A 生产的次品}，B H ={B 生产的次品}，C ={抽取的一件为次品}，

()()()

()()()()

0.010.630.010.60.020.4

7

A A A A A

B B P

C H P H P H C P C H P H P C H P H ?=

==?+?+

11. COV(X 1, X 2)=COV(aX+b, cY+d)= acCOV(X,Y) (2分 )

D(X 1)=D(aX+b)=a 2D(X) (1分 )

D(X 2)=D(cY+d)=c 2D(Y) (1分 )

)

()

(),(21212

1X D X D X X COV X X

=

ρ=

)()

(),(Y D X D ac

Y X acCOV =0

0<>???-=ac ac ac ac

ρ

ρρ

12 解：因为1

1

()(,)(1)n n i i i i L f x x θ

θθθ===∏=∏+，

故1

ln ()(ln(1)ln )n

i

i L x θθθ==

++∑，

从而由

1

ln ()1

(

ln )01

n

i i L x θθ

θ=?=

+=?+∑

得1

?1ln n

i

i n

x

θ==--

∑；

13. 解：令“没有两只手套配成一副”这一事件为A ，则P(A)=

21

84

10

1

2

12121245=

C C C C C C

则“至少有两只手套配成一副的概率”这一事件为A ，21

1321

81)(1)(=

-=-=A P A P

14. 解:

由于()144

49)1()0(3

11,0=

-=?=≠=-==Y P X P Y X P

因此X 与Y 不互相独立 15. 解：10

1)1(2)()()(1

3

3

3

??

=

-==

=+∞

∞

-dx x x dx x f x X E Y E

036.028

1)1(2)()()(1

6

6

6

2

≈=

-==

=??

+∞

∞

-dx x x dx x f x X E Y E

026.0100

128

1))(()()(2

2

≈-

=

-=Y E Y E Y D

16.

17.1）由3

)(11

2

a dx ax dx x f =

=

=

??

+∞

∞

-，得3=a

2）()()(1)(1)Y F y P Y y P X y P X y =≤=-≤=≤+

=

22,11,8)1(1

,022,11,31,0)(32)1(02

2)1(≤??

?????≤≤-<=≤???????≤≤<=??--∞-y y y y y y

dx x y dx x f y y ， 故??

???≤≤-='=其他,02

1,8

)1(3)()(2

y y y F y f 18. （1） 其他

800

8

1

)(')(≤≤???

??==x x F x f

(2)6

18

1)3

143

10(

)3

2)4()8

)()((3

14

3

10=

=

≤

≤=≤

-=≤

-?

dx X P X P X D X E X P

19. 解：2

22

201:0.005;:0.005H H σ

σ

≤>，取)1(~)12

2

2

2

--=n s n χσ

χ

（，

故拒绝域为：222

0.05(1)(8)15.507n αχχχ≥-==，

而2

2

2

2

2

(1)80.00715.6815.5070.005

n s

χσ

-?=

=

=>，因此拒绝0H ，认为显著地偏大。

20. 570:0=μH

选取统计量 n

x /0

σμμ-=

, μ~N(0,1) 带入8.574=x ，10,8==n σ

得

8974.110

/85708.574=- 1.8974<1.96 即u 落在接受域内，故接受H 0

即认为平均折断力无显著改变。

概率论复习题及答案

概率论与数理统计复习题 一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。 解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。 解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。 解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。 解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。 解：12153 101 12 C C P C ==。

概率论经典实例

概率论经典实例 概率论的研究问题大多与现实世界联系十分密切，有的甚至引人入胜，非常值得我们探讨以便激发我们对概率论学习的兴趣，同时引导我们对生活的思考，这对我们每一个大学生思维能力的培养有着重要的意义。下面我列举几个典型的概率实例加以说明其重要意义。 1990 年9 月9 日，美国一家报纸检阅提出一个有趣的概率问题：电视主持人指着三扇关着的门说，其中一扇后是汽车，另两扇后各有一只山羊。你可随意打开一扇，后面的东西就归你了。你当然想得到汽车。当你选定一扇门，如1 号门(但未打开) ，这时主持人打开有山羊的另一个扇门，不妨说是3号门( 主持人清楚哪扇门后是汽车) ，并对你说：现在再给你一次机会，允许你改变原来的选择。你为了得到汽车是坚持1号门还是改选2号门？问题及答案公诸于众后引发了出乎意料的轰动，编辑部收到了上万封从小学二年级的学生到大学教授的来信，给出了不尽相同的答案（当然正确的答案是唯一的），热烈讨论持续两年之久。此时，无论是一号门还是二号门都有可能门后是汽车，看上去好像每一个都是一半的几率。但从主持人的角度看，他不会让你轻易就得到汽车，于是打开三号门来迷惑你的思想，让你放弃一号门。由此看出，可能一号门的几率会大一点。若从主持人的话语中判断出他没有那种想法，则可以这样思考这个问题。将一号门看成一部分，里面有汽车的概率为0.33，将二号门和三号门看成另一部分，里面有汽车的概率为0.67。当发现三号门里没有汽车时，则一号门和二号门有汽车的概率分别为0.33和0.67。因此，选择二号门比较理智。 稍加留意就会发现若利用概率统计提供的科学思维方法就会大大提高获胜的几率。比如抛两颗均匀骰子，规定如下规则：总数之和小于6为出现小点，大于6为大点，则每局可押大点或小点，若押对了，以出现的点数为对应的奖品数目，若押不中则同样以出现的点数为惩罚品的数目。可以这样思考，当假设骰子理论意义上是均匀的，则六面中点数少的面较重，在抛出后点数多的面朝上的可能性较大，从而抛出点数大的情况的概率应大一些，这样，即可作如下观察：(1)随机抛2颗骰子若干次，观察出现的点数，若点数大于6的次数占多数，则初步判断骰子是均匀的。(2) 当比赛开始时，可做以下决策：刚开始可先押大点，无论押中或不中，第二轮可接着押大点，然后观察一轮，当出现小点后，可继续押大点，当然也可在连续出现几个大点后押一次小点，也有取胜的把握。这是因为，出现大点的机会要多于出现小点的机会，开始出现大点的概率要大一些，故应押大点，当出现几次大点后，小概率的事件也是会发生的，故可押一次小点，若一次不中可继续押，此时出现小点的概率将变大。另外，当连续出现几次小点或大点，则情况即将发生转变，应考虑押相反的情况。运用概率的思想来解决此类问题让我们更有把握赢得我们所要的东西，对此类问题，一味的乱猜，只能让我们处于劣势。 在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一个优秀的数学家的作用超过10 个师的兵力，这句话有一个非同寻常的来历。1943年以前，在大西洋的英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击。当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间德国的潜艇战搞得盟军焦头烂额。为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后，舰队与潜艇相遇是一个随机事件。从数学角度来看这一问题，它具有一定的规律性，一定数量的船（为100艘），编队规模越小，编次就越多（为每次20艘，就要有5个编次），编次越多，与敌

概率论复习题及答案

复习提纲 （一）随机事件和概率 （1）理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。 （2）了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。 （3）理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式， 以及应用这些公式进行概率计算。 （4）理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。 （5）掌握Bernoulli 概型及其计算。 （二）随机变量及其概率分布 （1）理解随机变量的概念。 （2）理解随机变量分布函数)}{)((x X P x F ≤=的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。 （3）掌握二项分布、Poisson 分布、正态分布、均匀分布和指数分布。 （4）会求简单随机变量函数的概率分布。 （三）二维随机变量及其概率分布 （1）了解二维随机变量的概念。 （2）了解二维随机变量的联合分布函数及其性质，了解二维离散型随机变量的联合分布律 及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 （3）了解二维随机变量分边缘分布和条件分布，并会计算边缘分布。 （4）理解随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。 （5）会求两个随机变量之和的分布，计算多个独立随机变量最大值、最小值的分布。 （6）理解二维均匀分布和二维正态分布。 （四）随机变量的数字特征 （1）理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算。 （2）掌握6种常用分布的数学期望和方差。 （3）会计算随机变量函数的数学期望。 （4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。 （五）大数定律和中心极限定理 （1）了解Chebyshev 不等式。 （2）了解Chebyshev 大数定律和Benoulli 大数定律。 （3）了解独立同分布场合的中心极限定理和De Moivre-Laplace 中心极限定理的应用条件 和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。

概率论与数理统计教程习题(第二章随机变量及其分布)(1)答案

概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第六章 随机变量数字特征 一．填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -，则 =≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB 6． 盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（ 13 ） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（ 12 ） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __. （k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为1 40000 λ=的指数分布，则此种电器的平 均使用寿命为____________小时.（40000） 10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ，则=a π1 ；=>)0(X P ；==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它

概率论与数理统计(经管类)公式

概率论与数理统计必考知识点 一、随机事件和概率 1、随机事件及其概率 运算律名称 表达式 交换律 A B B A +=+ BA AB = 结合律 C B A C B A C B A ++=++=++)()( ABC BC A C AB ==)()( 分配律 AC AB C B A ±=±)( ))(()(C A B A BC A ++=+ 德摩根律 B A B A =+ B A AB += 2、概率的定义及其计算 公式名称 公式表达式 求逆公式 )(1)(A P A P -= 加法公式 )()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 条件概率公式 ) () ()(A P AB P A B P = 乘法公式 )()()(A B P A P AB P = )()()(B A P B P AB P = 全概率公式 ∑== n i i i A B P A P B P 1 )()()( 贝叶斯公式 （逆概率公式） ∑∞ == 1 ) ()() ()()(i i j j j j A B P A P A B P A P B A P 伯努利概型公式 n k p p C k P k n k k n n ,1,0,)1()(=-=- 两件事件相互独立相应 公式 )()()(B P A P AB P =；)()(B P A B P =；)()(A B P A B P =；1)()(=+A B P A B P ； 1)()(=+A B P A B P 二、随机变量及其分布 1、分布函数性质 )()(b F b X P =≤ )()()(a F b F b X a P -=≤< 2、离散型随机变量 分布名称 分布律 0–1分布),1(p B 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k 二项分布),(p n B n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==-

概率论与数理统计(经管类)复习试题及答案

概率论和数理统计真题讲解 （一）单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设随机事件A与B互不相容，且P（A）＞0,P（B）＞0，则（） A.P（B|A）＝0 B.P（A|B）＞0 C.P（A|B）＝P（A） D.P（AB）＝P（A）P（B） 『正确答案』分析：本题考察事件互不相容、相互独立及条件概率。 解析：A：，因为A与B互不相容，，P（AB）＝0，正确； 显然，B，C不正确；D：A与B相互独立。 故选择A。 提示：① 注意区别两个概念：事件互不相容与事件相互独立； ② 条件概率的计算公式：P（A）＞0时，。 2.设随机变量X～N（1，4），F（x）为X的分布函数，Φ（x）为标准正态分布函数，则F（3）＝（） A.Φ（0.5） B.Φ（0.75） C.Φ（1） D.Φ（3） 『正确答案』分析：本题考察正态分布的标准化。 解析：， 故选择C。 提示：正态分布的标准化是非常重要的方法，必须熟练掌握。 3.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则P{0≤X≤}＝（） 『正确答案』分析：本题考察由一维随机变量概率密度求事件概率的方法。第33页 解析：， 故选择A。 提示：概率题目经常用到“积分的区间可加性”计算积分的方法。

4.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则常数c＝（） A.－3 B.－1 C.－ D.1 『正确答案』分析：本题考察概率密度的性质。 解析：1＝，所以c＝－1， 故选择B。 提示：概率密度的性质： 1.f（x）≥0； 4.在f（x）的连续点x，有F′（X）＝f（x）；F（x）是分布函数。课本第38页 5.设下列函数的定义域均为（－∞，＋∞），则其中可作为概率密度的是（） A.f（x）＝－e－x B. f（x）＝e－x C. f（x）＝ D.f（x）＝ 『正确答案』分析：本题考察概率密度的判定方法。 解析：① 非负性：A不正确；② 验证：B：发散； C：，正确；D：显然不正确。 故选择C。 提示：判定方法：若f（x）≥0，且满足，则f（x）是某个随机变量的概率密度。 6.设二维随机变量（X，Y）～N（μ1,μ2，），则Y ～（） 『正确答案』分析：本题考察二维正态分布的表示方法。 解析：显然，选择D。

04183概率论与数理统计(经管类)

04183概率论与数理统计（经管类） 一、单项选择题 1．若E(XY)=E(X))(Y E ?,则必有( B )。 A ．X 与Y 不相互独立 B ．D(X+Y)=D(X)+D(Y) C ．X 与Y 相互独立 D ．D(XY)=D(X)D(Y 2．一批产品共有18个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回， 则第二次抽出的是次品的概率为 A 。 A ．0.1 B ．0.2 C ．0.3 D ．0.4 3．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，下列结论错误的是 D 。 A ．1)(=+∞F B ．0)(=-∞F C ．1)(0≤≤x F D ．)(x F 连续 4．当X 服从参数为n ，p 的二项分布时，P(X=k)= ( B )。 A ．n k k m q p C B ．k n k k n q p C - C ．k n pq - D ．k n k q p - 5．设X 服从正态分布)4,2(N ，Y 服从参数为21的指数分布，且X 与Y 相互独立，则 (23)D X Y ++= C A ．8 B ．16 C ．20 D ．24 6．设n X X X Λ21独立同分布，且1EX μ=及2DX σ=都存在，则当n 充分大时，用中 心极限定理得()1n i i P X a a =?? ≥???? ∑为常数的近似值为 B 。 A ．1a n n μσ-??-Φ ??? B ．1-Φ C ．a n n μσ-?? Φ ??? D ．Φ 7．设二维随机变量 的联合分布函数为，其联合分布律为 则(0,1)F = C 。 A ．0.2 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.8 8．设k X X X ,,,21Λ是来自正态总体)1,0(N 的样本，则统计量2 2221k X X X Λ++服从 （ D ）分布 A ．正态分布 B ．t 分布 C ．F 分布 D ．2 χ分布 9．设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从)1,0(N 和)1,1(N ，则 B 。 A ．21)0(=≤+Y X P B ．21)1(=≤+Y X P C ．21)0(=≤-Y X P D ．21)1(=≤-Y X P 10．设总体X~N (2,σμ)，2 σ为未知，通过样本n x x x Λ21,检验00:μμ=H 时，需要 用统计量（ C ）。

概率论与数理统计复习资料

自考04183概率论与数理统计(经管类)笔记-自考概率论与数理统 §1.1 随机事件 1.随机现象： 确定现象：太阳从东方升起，重感冒会发烧等； 不确定现象： 随机现象：相同条件下掷骰子出现的点数：在装有红、白球的口袋里摸某种球出现的可能性等； 其他不确定现象：在某人群中找到的一个人是否漂亮等。 结论：随机现象是不确定现象之一。 2.随机试验和样本空间 随机试验举例： E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。 E2：掷一枚骰子，观察出现的点数。 E3：记录110报警台一天接到的报警次数。 E4：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。 E5：记录某物理量（长度、直径等）的测量误差。 E6：在区间[0，1]上任取一点，记录它的坐标。 随机试验的特点：①试验的可重复性；②全部结果的可知性；③一次试验结果的随机性，满足这些条件的试验称为随机试验，简称试验。 样本空间：试验中出现的每一个不可分的结果，称为一个样本点，记作。所有样本点的集合称为样本空间，记作。 举例：掷骰子：＝{1，2，3，4，5，6},＝1，2，3，4，5，6；非样本点：“大于2点”，“小于4点”等。 3.随机事件：样本空间的子集，称为随机事件，简称事件，用A,B,C,…表示。只包含一个样本点的单点子集{}称为基本事件。 必然事件：一定发生的事件，记作 不可能事件：永远不能发生的事件，记作 4.随机事件的关系和运算 由于随机事件是样本空间的子集，所以，随机事件及其运算自然可以用集合的有关运算来处理，并且可以用表示集合的文氏图来直观描述。（1）事件的包含和相等 包含：设A，B为二事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含事件A，或事A包含于事件B，记作，或。 性质： 例：掷骰子，A：“出现3点”，B：“出现奇数点”，则。 注：与集合包含的区别。 相等：若且，则称事件A与事件B相等，记作A＝B。 （2）和事件 概念：称事件“A与B至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，或称为事件A与事件B的并，记作或A＋B。 解释：包括三种情况①A发生，但B不发生，②A不发生，但B发生，③A与B都发生。 性质：①，；②若；则。 推广：可推广到有限个和无限可列个，分别记作和

自考复习资料概率论与数理统计(经管类)

概率论与数理统计(经管类) 一、单项选择题 1．设A ，B 为随机事件，且B A ?，则AB 等于 A ．A B ．B C ．AB D ．A 2．.将一枚均匀的硬币抛掷三次，恰有二次出现正面的概率为 A ．81 B ． 14 C ． 38 D ．12 3．.设随机变量X 的概率密度为f (x )=???≤≤, ,0,10 ,2其他x x 则P {0≤X ≤}21 = A.41 B. 1 C. 21 4．已知离散型随机变量X 则下列概率计算结果正确的是 A ．P (X =3)=0.2 B ．P (X =0)=0 C ．P (X>-1)=l D ．P (X ≤4)=l 5．设二维随机变量(X ，Y)的分布律右表所示： 且X 与Y 相互独立，则下列结论正确的是 A ．a =0.2，b =0.6 B ．a =-0.1，b =0.9 C ．a =0.4，b =0.4 D ．a =0.6， b =0.2 6.设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为

则P{XY=0}= A. 121 B. 61 C. 3 1 D. 3 2 7．设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则E (X )= A ．41 B ．21 C ．2 D ．4 8．已知随机变量X ～N (0，1)，则随机变量Y =2X -1的方差为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．设总体X~N （2 ,σμ），2 σ未知，x 1，x 2，…，x n 为样本，∑=--= n 1 i 2i 2 )x x (1 n 1 s ，检验假 设H 0∶2σ=2 0σ时采用的统计量是 A.)1n (t ~n /s x t -μ-= B. )n (t ~n /s x t μ-= C. )1n (~s )1n (22 2 2-χσ-=χ D. )n (~s )1n (22 2 2 χσ-=χ 10.设x 1，x 2，x 3，x 4为来自总体X 的样本，D (X )=2σ，则样本均值x 的方差D (x )= A.214σ B.2 13 σ C.212 σ D.2 σ 11．设A 、B 为两事件，已知P (B )=21，P (B A )=3 2 ，若事件A ，B 相互独立，则P (A ) A ． 91 B ． 6 1 C ．3 1 D ．21 12．对于事件A ，B ，下列命题正确的是 A ．如果A ，B 互不相容，则B ,A 也互不相容

概率论与数理统计 习题(5)答案

习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10

整理得0.95,10n ??Φ≥ ? ??? 查表 1.64,10n ≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响， 开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,于是我们只要供应15m 单位电能就可满足要求.令X 表同时开动机床数目，则X ~B （200，）, ()140,()42,E X D X == 1400.95{0}().42m P X m P X m -?? =≤≤=≤=Φ ??? 查表知 140 1.64,42 m -= ,m =151. 所以供电能151×15=2265（单位）. 4. 一加法器同时收到20个噪声电压V k （k =1，2，…，20），设它们是相互独立的随机变量， 且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记V = ∑=20 1 k k V ，求P {V ＞105}的近似值. 【解】易知:E (V k )=5,D (V k )= 100 12 ,k =1,2,…,20 由中心极限定理知，随机变量 20 1 205 ~(0,1).100100 20201212 k k V Z N =-?= =??∑近似的 于是105205{105}1010020201212P V P ????-?? >=>???? ????? 1000.3871(0.387)0.348,102012V P ????-?? =>≈-Φ=? ???????? 即有 P {V >105}≈ 5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100 根，问其中至少有30根短于3m 的概率是多少

概率论与数理统计教程(魏宗舒)第七章答案

. 第七章 假设检验 设总体2(,)N ξμσ~，其中参数μ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设： （1）0:0,1H μσ==； （2）0:0,1H μσ=>； （3）0:3,1H μσ<=； （4）0:03H μ<<； （5）0:0H μ=. 解：（1）是简单假设，其余位复合假设 设1225,,,ξξξL 取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如对检验问题0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥L ，试决定常数c ，使检验的显着性水平为 解：因为(,9)N ξμ~，故9 (,)25 N ξμ~ 在0H 成立的条件下， 000 53(||)(||)53 521()0.05 3c P c P c ξμξμ-≥=-≥? ?=-Φ=??? ? 55( )0.975,1.9633 c c Φ==，所以c =。 设子样1225,,,ξξξL 取自正态总体2 (,)N μσ，20σ已知，对假设检验0010:,:H H μμμμ=>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>L ， （1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系； （2）设0μ=，20σ=，α=，n=9，求μ=时不犯第二类错误的概率。 解：（1）在0H 成立的条件下，2 00(, )n N σξμ~，此时 00000()P c P ξαξ=≥=

10 αμ-= ，由此式解出010c αμμ-= + 在1H 成立的条件下，2 0(, )n N σξμ~，此时 1010 10 ()(P c P αξβξμ-=<==Φ=Φ=Φ- 由此可知，当α增加时，1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。 （2）不犯第二类错误的概率为 10 0.9511(0.650.51(3) 0.2 1(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ-=-Φ- =-Φ-=Φ= 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体，对()f x 考虑统计假设： 0011101 201 :():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤??==? ??? 其他其他 试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2min αβ+=，并求其最小值。 解 设检验函数为 1()0x c x φ∈?=?? 其他（c 为检验的拒绝域）

04183概率论与数理统计(经管类)答案

概率论与数理统计(经管类) 一、单项选择题 1．设A ，B 为随机事件，且B A ?，则AB 等于 B A ．A B ．B C ．AB D ．A 2．.将一枚均匀的硬币抛掷三次，恰有二次出现正面的概率为 C A ．81 B ． 14 C ． 38 D ．12 ？ 3．.设随机变量X 的概率密度为f (x )=???≤≤, ,0,10 ,2其他x x 则P {0≤X ≤}21 = A A.41 B.3 1 C. 21 4．已知离散型随机变量X ! 则下列概率计算结果正确的是D A ．P (X =3)= B ．P (X =0)=0 C ．P (X>-1)=l D ．P (X ≤4)=l 5．设二维随机变量(X ，Y)的分布律右表所示：C 且X 与Y 相互独立，则下列结论正确的是A ．a =，b = B ．a =，b = C ．a =，b = D ．a =， b = 6.设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为D

则P{XY=0}= B A. 12 1 B. 61 C. 3 1 D. 3 2 7．设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则E (X )= B A ．41 B ．21 C ．2 D ．4 8．已知随机变量X ～N (0，1)，则随机变量Y =2X -1的方差为D | A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．设总体X~N （2 ,σμ），2σ未知，x 1，x 2，…，x n 为样本，∑=--= n 1 i 2i 2 )x x (1 n 1 s ，检验假 设H 0∶2σ=2 0σ时采用的统计量是 C A.)1n (t ~n /s x t -μ-= B. )n (t ~n /s x t μ-= C. )1n (~s )1n (22 2 2-χσ-=χ D. )n (~s )1n (22 2 2 χσ-=χ 10.设x 1，x 2，x 3，x 4为来自总体X 的样本，D (X )=2σ，则样本均值x 的方差D (x )= A A.214σ B.2 13 σ C.212 σ D.2 σ 。

概率论题目

概率论感觉测试（答案） 1. 假设考试周为1个礼拜（周一到周日），且考试时间为均匀分布，假使你有3门考试，则最后一门考试大约在 A 周五 B 周六 C 周日 Answer: B. 一般的讲在[0,1]之间n个均匀分布的随机变量最大值期望为n/(n+1),也就是可以认为这n 个随机变量分别大约在1/(n+1),2/(n+1),...,n(n+1)。这道题那么算一下大概就是在周六的上午。 2. 如果你去参与一项赌博，每次的回报为正态分布，假设你赌了100把发现赢了10000块（明显是很小概率事件，但假设确实发生了），那么你觉得你最有可能是因为 A 有一把赢了巨多 B 一直在慢慢的赢 C 两种情况都有可能 Answer: B. 也许答案对很多人有些出乎意料。在这种情况下，可能有人觉得能够连续赢很多把很难，但是实际上赢一把大的更难。这个问题是随机问题中的长尾和短尾的问题。长尾的意思就是取大的值的概率不是很小，而短尾正好相反。但是题目中的正态分布属于短尾，因为密度函数是指数下降的，如果稍微改一下题目中的分布，则有可能是因为一次赢了很大而最后赢的。另外说一句，有一本书叫《长尾理论》，里面说明了现在的经济中有很多东西是长尾的，比如说一年销量排在100000名之后的歌曲仍然能占据市场的一部分。这是电子商务流行的很重要原因，因为不必支付储存这个长尾的cost。 3. 有一根密度不均匀的绳子，你想通过测量多点的密度来估计他的重量（你知道截面积）。则如果给你n 次测量密度的机会的话，如果n很大，（估算质量就通过这些点取平均然后乘以截面积） A 按规律等间隔选取测量点会测得准些 B 随机选取测量点会测得准些 C 两种方法差不多 Answer: A. 也许这个也略有些意外。对于一维的情况，方法A略好于方法B。但是在高维的情况下方法A就一般情况下不如方法B了，原因是要想获得相同的效果，这个“有规律的点”需要选取太多。这是所谓的Quasi-Monte Carlo Sampling 和Monte Carlo Sampling之间的关系 4. 台湾大选，假定马英九最终得到600000票，谢长廷得到400000票，如果一张一张的唱票，则过程中马英九一直领先谢长廷的概率为 A 0.1 B 0.2 C 0.3 D 0.4

概率论与数理统计教程(茆诗松)

2004年7月第1版 2008年4月第10次印刷 第一章 随机事件与概率 1.1 随机事件及其运算 1.1.1 随机现象 在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.在相同条件下可以重复的随机现象又称为随机试验. 1.1.2 样本空间 随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为Ω={ω}，其中ω表示基本结果，又称为样本点.样本点是今后抽样的最基本单元. 1.1.3 随机事件 随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件. 1.1.4 随机变量 用来表示随机现象结果的变量称为随机变量. 1.1.7 事件域 定义1.1.1 设Ω为一样本空间，?为Ω的某些子集所组成的集合类.如果?满足： (1) Ω∈?； (2)若A ∈?，则对立事件A ∈?； (3)若A n ∈?,n =1,2,…，则可列并 A n ∞n =1∈?. 则称?为一个事件域，又称为σ代数. 在概率论中，又称(Ω,?)为可测空间. 1.2 概率的定义及其确定方法 1.2.1 概率的公理化定义 定义1.2.1设Ω为一样本空间，?为Ω的某些子集所组成的一个事件域.若对任一事件A ∈?，定义在?上的一个实值函数P (A )满足： (1)非负性公理 若A ∈?，则P A ≥0； (2)正则性公理 P Ω =1； (3)可列可加性公理 若A 1,A 2,…,A n 互不相容，有 P A i ∞i =1 = P A i ∞ i =1 则称P (A )为事件A 的概率，称三元素(Ω,?,P )为概率空间. 第二章 随机变量及其分布 2.1 随机变量及其分布 2.1.1 随机变量的概念 定义2.1.1 定义在样本空间Ω上的实值函数X =X (ω)称为随机变量. 2.1.2 随机变量的分布函数 定义2.1.2 设X 是一个随机变量，对任意实数x ，称

概率统计经典习题

立足概率基础 关注横向联系 诸暨中学 邵跃才 随着高考改革的深入，概率统计问题已经成为高考命题的一个重点内容。其考查的内容主要有：等可能性事件发生的的概率，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，随机事件的分布列和数学期望等基本概念和求解方法。概率问题虽然常常以实际应用题的形式出现，但近几年也逐渐开始和传统知识及相关学科的交汇融合，形成一些背景新颖、结构精巧的综合题。 一、典型例题 1．等可能性事件发生的概率 例1 先后抛掷两枚均匀的正方形骰子（六个面上分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X ，Y 则满足1log 2=Y X 的概率为（ ） Ａ．16 Ｂ．536 Ｃ．112 Ｄ． 12 解： 满足1log 2=Y X 即Y=2X 的有序数对为（１，２），（２，４），（３，６） ∴231612 P == 故选C 例2 将1，2，…，9这9个数平均分成三组，每组的三个数成等差数列的概率为（ ） A ．561 B ．701 C ．3361 D ．420 1 解：本题的关键是求“每组的三个数成等差数列”这一事件中的基本事件数，基本事件 总数为n=28033 333639=A C C C ，每组三数成等差数列的分法可按前两组的公差大小分类计数，则有（1，2，3）（4，5，6）（7，8，9）； （2，3，4）（6，7，8）（1，5，9）； （1，3，5）（2，4，6）（7，8，9）； （4，6，8）（5，7，9）（1，2，3）； （1，4，7）（2，5，8）（3，6，9）。 ∴m=5, 56 12805==P ，故选A 例3某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等 可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为 . 解：“6位乘客按0，1，2，3的人数分配到4节车厢”这一事件中基本事件的个数，

概率论(复旦三版)习题五答案

概率论与数理统计（复旦第三版） 习题五 答案 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10

10.760.840.9.n i i X P n =??????≤ ≤≥???????? ∑ 根据独立同分布的中心极限定理得 0.8n i X n P ??-??≤≤???? ∑ 0.9,=Φ-Φ≥ 整理得 0.95,10?Φ≥ ?? 查表 1.64,≥ n ≥268.96, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7，假定各 机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位. 问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不 足而影响生产. 【解】设需要供应车间至少15m ?个单位的电能，这么多电能最多能 同时供给m 部车床工作，我们的问题是求m 。 把观察一部机床是否在工作看成一次试验，在200次试验中， 用X 表示正在工作的机床数目，则~(200,0.7)X B , ()2000.7140, ()(1)2000.70.342,E X np D X np p ==?==-=??= 根据题意，结合棣莫弗—拉普拉斯定理可得 0.95{}P X m P =≤=≤=Φ

概率学经典计算题

1. (袋中有红球6个, 白球4个, 从中取两次, 每次任取一个, 作不放回抽样. 设事件A 表示 “第一次取的是红球”, 事件B 表示 “第二次取的是白球”, 用B A ,表示下列事件, 并求其概率: 1)两个都是红球; 2)两球中，白球和红球各有一个; 3)第二次取的是红球. 解：1) 262101 ()3C P AB C ==................................................(5’) 2) 11462 108 ()15C C P AB C ==.....................................................(10) 3）1124662 103 ()5 A A A P B A +==......................................................(15’) 2．(7分) 某宾馆大楼有3部电梯，通过调查，知道某时刻T ，各电梯正在 运行的概率均为0.8，求：(1) 在此时刻恰有一台电梯运行的概率； (2) 在此时刻至少有一台电梯运行的概率. 解： (1) 096.02.08.032 =??=P 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(3’) (2) 992.02.013=-=P 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(7’) 3．（8分）某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，如果每个车间的次品率分别为6%,3%，2%，已知甲、乙、丙三个车间的产量分别占总产量的25％，25％ ，50% 。现从全厂产品中任取一件产品，求取到的为次品的概率。 解：设123,,A A A 分别表示“取到的产品为甲、乙、丙车间生产的” B 表示“取到的产品为次品”，则 123()25%,() 25%,()50%P A P A P A === 123(|)6%,(|)3%,(|)2%P B A P B A P B A ===。 。。。。。。。。。。。。。。。。(3’) 由全概率公式，所求概率为 3 1()()(|) i i i P B P A P B A ==∑ 25%6%25%3%50%2%=?+?+? 3.06%=。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(8’) 4. (8分) 设随机变量X 在区间],0[π上服从均匀分布，求随机变量

概率论与数理统计重点总结及例题解析

概率论与数理统计重点总结及例题解析 一：全概率公式和贝叶斯公式 例：某厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，它们的产量之比为3：2：1，各车间产品的不合格率依次为8％，9%, 12% 。现从该厂产品中任意抽取一件，求：（1）取到不合格产品的概率；（2）若取到的是不合格品，求它是由甲车间生产的概率。（同步45页三、1） 解：设A1，A2，A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产，B表示产品不合格，则A1，A2，A3为一个完备事件组。P(A1)=1/2, P(A2)=1/3, P(A3)=1/6, P(B| A1)＝0.08，P(B| A2)＝0.09，P(B| A3)＝0.12。 由全概率公式P(B) = P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B| A2)+ P(A3)P(B| A3) = 0.09 由贝叶斯公式：P(A1| B)＝P(A1B)/P(B) = 4/9 练习：市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货，其供应量第一厂家为第二厂家的2倍，第二、三两厂家相等，而且第一、二、三厂家的次品率依次为2％，2％，4％。若在市场上随机购买一件商品为次品，问该件商品是第一厂家生产的概率是多少？（同步49页三、1）【0.4 】

练习：设两箱内装有同种零件，第一箱装50件，有10件一等品，第二箱装30件，有18件一等品，先从两箱中任挑一箱，再从此箱中前后不放回地任取2个零件，求：（同步29页三、5） （1）取出的零件是一等品的概率； （2）在先取的是一等品的条件下，后取的仍是一等品的条件概率。 解：设事件i A ={从第i 箱取的零件}，i B ={第i 次取的零件是一 等品} （1）P(1 B )=P(1 A )P(1 B |1 A )+P(2 A )P(1 B |2 A )=5 230 182150 10 21= + （2）P(1 B 2 B )= 194 .02121230 2 182 50 2 10=+ C C C C ,则P(2 B |1 B )= ) ()(121B P B B P = 0.485 二、连续型随机变量的综合题 例：设随机变量X 的概率密度函数为 ?? ?<<=others x x x f 02 0)(λ 求：（1）常数λ；（2）EX ；(3)P{1