第三讲、有趣的数阵图

第3讲.有趣的数阵图

数阵图，就是把一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为数阵图。数阵图的种类繁多、绚丽多彩，这里我们将主要介绍两种数阵图，即封闭型数阵图和开放型数阵图。

解答这类问题时，常用以下知识：

1.等差数列的求和公式：

总和=（首项+末项）x项数/2

2.计算中的奇偶问题：

奇数+奇数=偶数

偶数+偶数=偶数

奇数+偶数=奇数

3.10以内数字有如下关系：

（1）1+9=2+8=3+7=4+6

（2）1+8=2+7=3+6=4+5

（3）2+9=3+8=4+7=5+6

在解答这类问题时，要善于确定所求的和与关键数字间的关系式，用试验的方法，找到相等的和与关键数字；要会对基本解中的数进行适当调整，得到其他的解，从而培养自己的观察能力、思维的灵活性和严密性。

例1．把1,2,3,4,5,6这六个数填在如下图的6个圆圈中，使每条边上的三个数之和都等于9.

例2．把1,2,3,4,5,6填在如下图的6个圆圈中，使每条边上的三个数之和相等，有几个基本解？

随堂练习1

（1）将1~4这四个数分别填入图中内数的和相等。

(1) (2)

（2）把数字1,3,4,5,6分别填在上图三角形3条边上的5个圆圈内，使每条边上3个圆圈内数的和等于9。

例3.把1~12这十二个数，分别填在如右图中正方形四条边上的十二个圆圈内，使每条边上四个圆圈内数的和都等于22，试求出一个基本解。

随堂练习2

将数字1，2，3，4，5，6填入图中的小圆圈内，使每个大圆上4个数字的和都是16.

例4.把1~7这七个数分别填入如图中的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和相等。

例5 .将1~9这九个数，分别填入如图中的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的和相等。

例6.把1~11这十一个数分别填入如图中的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和都等于22.

随堂练习3.

（1）将1~5这五个数分别填入如果中的圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的和相等。

(1) (2)

（2）将6~10这五个数分别填入如图中的圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和相等。

(完整版)4年级有趣的数阵图

4年级有趣的数阵图 相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”,背上有美妙的图案，史称“洛书”。 这个图案用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方，也就是将 1～9这九个数字填在方格中，使每横行、每竖列和对角线的3个 数的和都相等。 幻方经过演变就得到我们即将要学习的数阵图，他们的解题 思路基本一样，接下来我们就一起看看数阵图吧！ 例1：把1～5这五个自然数，分别填入下图中的五个圆圈内，使相交成十字的两条直线上三个数之和都等于9。 我发现一条直线上三个数相加时，端 点四个数只加一次，中间的数加了两 次。 不论那5个数填在哪里，从整体来看，5个数都加了1 次，其中有1个数还多加了一次，得到了2个和，也 就是6个数相加等于2×9=18。 说得对，我们把多加一次的那个数用括号或 者字母表示，就可以得到一个等式。 解答数阵图的关键是重叠数，所以填数阵时，一般优先考虑重叠数。可以把这个数位用括号或字母表示，列出等式，再根据条件解 答出来。

把1～7这七个数分别填入图中七个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和都是12。 例2：将从1～10填入各○中，使每条线上的数字和相等，你有几种填法？ 我发现一条直线上四个数相加时，中间的数 加了三次，其他的三个数只加一次。而且， 和前面不一样的地方是：没有告诉我们直线 上的和是多少。 和上题一样，不论这10个数怎么填，所有的数都加了 一次，其中还有1个数多加了2次，它们的总和等 于3条直线上数字的和，我们同样可以列出一个等式。

例3：把1～9这九个数分别填入下图中九个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和都相等，你有几种填法？ 将1～9这九个数分别填入下图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。(至少找出两种本质上不同的填法 ) 例4：把5～10这六个数，分别填入图中三角形三条边的六个○内，使每条边上三个○内数的和都是24。 中间的三个数只加一次，三个角上的数都加了二次，有三个数要设字母吗？ 按照前面学习的方法，先列出一个等式，再考虑三个未知的数吧。

有趣的数阵图(一)

教学内容：有趣的数阵图（一） 教学时间：第一、二课时 教学目的： 1、掌握数阵图的基本特征。 2、按要求填出数阵。 教学重难点：寻找解题突破口。 教学过程： 一、宣布本课学习内容： 二、通过例题学习数阵的知识。 1、例1：将1—6填入右图的6个圆圈内， 使三角形每条边上的三个数的和都等 于S，请你指出S的取值范围。 ①试着独立填一填。 ②如果让你把所有的答案都填出，你能做到吗？ ③讲解：三个角上的三个数最小是1、2、3；最大是4、5、 6，所以，S的取值范围是9、10、11、12。 ④从9、10、11、12四个和中选一个，填出数阵。 2、例2：将1—6填入下图的6个圆圈内，要求四条线上 的数字之和都相等。 ⑴当每条线上的和是10时，A是多少？ ⑵当每条线上的和是9时，B是多少？ ①观察：这6个数哪一个数最特殊？为什么？

②求A：1~6的和是21，用21×2-40=2 ③求B：如右图，用21-18=3 ④独立填出两个答案。 ⑤小结：观察、找特征。 3、例3：将1—9这9个数字填入下图的9个圆圈内，使 每个三角形和直线上的3个 数字的和都相等。 ①计算出1~9的和，用45除以3 得15，所以每个和是15。（为 什么？ ②找规律：在1—9中，三个数的和为15的，只有两种情 况：1+9+5和1+8+6。 ③填数，调整。 4、例4：将1—9这9个数字填入下图的9个小三角形中， 使大三角形每条边上的5个小三角形之 和相等，那么这个和的最大值是多少？ 最小值是多少？ ①观察：找出每个数用几次。 ②如右图，三个阴影三角形上的数字各用了 一次，其它的都用了两次。这三个数最大是7、8、9；最小是1、2、3。所以，和最小是45×2-24=66；最大是45×2-6=84。

7、有趣的数阵图(一)

7、有趣的数阵图（一） 学习目标: 1、学会探究辐射型数阵和封闭型数阵。 2、培养学生的逻辑思维能力和推理能力，以及联想、试探归纳等思维能力。 教学重点: 1、学分辨别辐射型数阵和封闭型数阵的特征。 2、学会探究辐射型数阵和封闭型数阵的规律。 教学难点：辐射型数阵和封闭型数阵的分情况讨论。 教学过程： 一、情景体验 相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”，背上有美妙的图案，史称“洛书”。 这个图案用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方，也就是将1-9这九个数字填在方格中，使每横行、每竖列、对角线的3个数的和都相等。 幻方经过演变就得到我们即将要学习的数阵图，他们的解题思路基本一样，接下来我们就一起看看数阵图吧！ 二、思维探索（建立知识模型） 展示例1 例1：将1-5这五个数分别填入图中五个圆圈内，使相交成十字的两条直线上三个数之和都等于9。

师：两条直线上各有三个数，一共六个数相加，它们的和是多少？生：9+9=18。 师：图中总共只有五个圆圈，为什么会有六个数呢？ 生：中间那个数既在横线上，也在竖线上，算了两次。 师：我们填进去的1-5相加得到的和是多少？ 生：1+2+3+4+5=15。 师：是哪一个数被算了两次呢？ 生：18-15=3，3被算了两次，它就是中间数。 师：那横线和竖线上剩下的两个数应该填几呢？ 生：根据横线和竖线上的三个数之和都等于9，9-3=6，可以有1、5在一条直线上，2、4在一条直线上。 小结：辐射型数阵中被重复计算的是中间数，先求中间数，再求其他数。 展示例2 例2：把1-10这10个自然数，填入图中，使每条线上的数字和相等。问如何填法？

四年级下册数学讲义-奥数专题讲练：第十讲 有趣的数阵图(二)(例题解析版)全国通用

第十讲有趣的数阵图（二） 下面我们继续研究有关数阵图的问题. 例1 将1～7这七个自然数分别填入右图的7个小圆圈中，使三个大圆圆周上及内部的四个数之和都等于定数S，并指出这个定数S的取值范围，最小是多少， 最大是多少？并对S最小值填出数阵. 分析为了叙述方便，用字母表示圆圈中的数.通过观察，我们发现，三个大圆上，每个大圆上都有4个小圆，由题设每个大圆上的4个小圆之和为S.从图中不难看出：B是三个圆的公共部分，A、C、D分别是两个圆的公共部分而E、F、G仅各自属于一个圆.这样三个大圆的数字和为：3S=3B+2A+2C+2D+E+F+G，而A、B、…、F、G这7个数的全体恰好是1、2、…、6、7. ∴3S=1+2+3+4+5+6+7+2B+A+C+D. 3S=28+2B+A+C+D. 如果设2B+A+C+D=W，要使S等于定数 即W最小发生于B=1、A=2、C=3、D=4 W最大发生于B=7、A=6、C=5、D=4， 综上所述，得出： 13≤S≤19即定数可以取13～19中间的整数. 本题要求S=13，那么A=2、B=1、C=3、D=4、E=5、F=6、G=7. 注意：解答这类问题常常抓两个要点，一是某种共同的“和数”S.（同一条边上各数和，同一三角形上各数和，同一圆上各数和等等）. 二是全局考虑数阵的各数被相加的“次”数.主要突破口是估算或确定出S 的值.从“中心数”B处考虑.（B是三个大圆的公共部分，常根据S来设定B的可能值.这里重视B不是简单地看到B处于几何中心，主要因为B参与相加的次数最多）此处因为定数是13，中心数可从1开始考虑.确定了S和中心数B，其他问题就容易解决了. 解： 例2 把20以内的质数分别填入右图的八个圆圈中，使圈中用箭头连接起来的每条路上的四个数之和都相等.

趣味数学—数阵图与幻方

. Word文档三年级奥数 --数阵图与幻 知识框架 一、数阵图定义及分类： 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 数阵：是一种由幻演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 二、解题法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或格)和关键点(或格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学法的综合运用． 三、幻起源： 幻也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正形，因此纵横图又叫幻．幻起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不

再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻．如下图： 9 8 7 6 5 4 3 2 1 我国北时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻在我国历史悠久．三阶幻又叫做九宫图，九宫图的幻民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，围十五月团圆．”幻的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们． 四、幻定义： 幻是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的阵，具有这一性质的33 ?的数阵称作三阶幻，44 ?的数阵称作四阶幻，55 ?的称作五阶幻……如图为三阶幻、四阶幻的标准式样， 9 8 7 6 5 4 3 2 1 13 4 14 15 1 6 129 7 8105 11 3216 。 五、解决这幻常用的法： ⑴适用于所有奇数阶幻的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下 填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样． ⑵适用于三阶幻的三大法则有： ①求幻和：所有数的和÷行数（或列数） ②求中心数：我们把幻中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2． 六、数独简介： 数独前身为“九宫格”，最早起源于中国。数千年前，我们的祖先就发明了洛书，其特点较之现在的数独更为复杂，要求纵向、横向、斜向上的三个数字之和等于15，而非简单的九个数字不能重复。

(完整版)第三讲、有趣的数阵图

第3讲.有趣的数阵图 数阵图，就是把一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为数阵图。数阵图的种类繁多、绚丽多彩，这里我们将主要介绍两种数阵图，即封闭型数阵图和开放型数阵图。 解答这类问题时，常用以下知识： 1.等差数列的求和公式： 总和=（首项+末项）x项数/2 2.计算中的奇偶问题： 奇数+奇数=偶数 偶数+偶数=偶数 奇数+偶数=奇数 3.10以内数字有如下关系： （1）1+9=2+8=3+7=4+6 （2）1+8=2+7=3+6=4+5 （3）2+9=3+8=4+7=5+6 在解答这类问题时，要善于确定所求的和与关键数字间的关系式，用试验的方法，找到相等的和与关键数字；要会对基本解中的数进行适当调整，得到其他的解，从而培养自己的观察能力、思维的灵活性和严密性。 例1．把1,2,3,4,5,6这六个数填在如下图的6个圆圈中，使每条边上的三个数之和都等于9. 例2．把1,2,3,4,5,6填在如下图的6个圆圈中，使每条边上的三个数之和相等，有几个基本解？ 随堂练习1 （1）将1~4这四个数分别填入图中内数的和相等。 (1) (2) （2）把数字1,3,4,5,6分别填在上图三角形3条边上的5个圆圈内，使每条边上3个圆圈内数的和等于9。 例3.把1~12这十二个数，分别填在如右图中正方形四条边上的十二个圆圈内，使每条边上四个圆圈内数的和都等于22，试求出一个基本解。

随堂练习2 将数字1，2，3，4，5，6填入图中的小圆圈内，使每个大圆上4个数字的和都是16. 例4.把1~7这七个数分别填入如图中的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和相等。 例5 .将1~9这九个数，分别填入如图中的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的和相等。 例6.把1~11这十一个数分别填入如图中的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和都等于22. 随堂练习3. （1）将1~5这五个数分别填入如果中的圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的和相等。 (1) (2) （2）将6~10这五个数分别填入如图中的圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和相等。

四年级奥数 第8讲 有趣的数阵图

第8讲.有趣的数阵图 数阵图，就是把一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为数阵图。数阵图的种类繁多、绚丽多彩，这里我们将主要介绍两种数阵图，即封闭型数阵图和开放型数阵图。 解答这类问题时，常用以下知识： 1.等差数列的求和公式： 总和=（首项+末项）x项数/2 2.计算中的奇偶问题： 奇数+奇数=偶数 偶数+偶数=偶数 奇数+偶数=奇数 3.10以内数字有如下关系： （1）1+9=2+8=3+7=4+6 （2）1+8=2+7=3+6=4+5 （3）2+9=3+8=4+7=5+6 在解答这类问题时，要善于确定所求的和与关键数字间的关系式，用试验的方法，找到相等的和与关键数字；要会对基本解中的数进行适当调整，得到其他的解，从而培养自己的观察能力、思维的灵活性和严密性。 例1．把1,2,3,4,5,6这六个数填在如下图的6个圆圈中，使每条边上的三个数之和都等于9. 例2．把1,2,3,4,5,6填在如下图的6个圆圈中，使每条边上的三个数之和相等，有几个基本解？ 随堂练习1 （1）将1~4这四个数分别填入图中内数的和相等。 (1) (2) （2）把数字1,3,4,5,6分别填在上图三角形3条边上的5个圆圈内，使每条边上3个圆圈内数的和等于9。 例3.把1~12这十二个数，分别填在如右图中正方形四条边上的十二个圆圈内，使每条边上四个圆圈内数的和都等于22，试求出一个基本解。

随堂练习2 将数字1，2，3，4，5，6填入图中的小圆圈内，使每个大圆上4个数字的和都是16. 例4.把1~7这七个数分别填入如图中的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和相等。 例5 .将1~9这九个数，分别填入如图中的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的和相等。 例6.把1~11这十一个数分别填入如图中的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和都等于22. 随堂练习3. （1）将1~5这五个数分别填入如果中的圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的和相等。 (1) (2) （2）将6~10这五个数分别填入如图中的圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数的和相等。

有趣的数阵图

有趣的数阵图 教学要求： 1、使学生掌握解答有趣的数阵图的方法。 2、培养学生的逻辑思维能力和推理能力，以及联想、试探归纳等思维能 力。 教学过程： 一、导入新课语： 如果把一些数按照一定的规律填在特定的图形里，那么这种图形，我们就称它为数阵图。它是一种趣味性很强的游戏，它的形式很多，这里我们将主要介绍两种数阵图，即封闭型数阵图和开放型数阵图。 二、探索新知： 解答这类问题时，常用以下知识： 1.等差数列的求和公式： 总和=（首项+末项）x项数/2 2.计算中的奇偶问题： 奇数+奇数=偶数 偶数+偶数=偶数

奇数+偶数=奇数 3.10以内数字有如下关系： （1）1+9=2+8=3+7=4+6 （2）1+8=2+7=3+6=4+5 （3）2+9=3+8=4+7=5+6 在解答这类问题时，要善于确定所求的和与关键数字间的关系式，用试验的方法，找到相等的和与关键数字；要会对基本解中的数进行适当调整，得到其他的解，从而培养自己的观察能力、思维的灵活性和严密性。 第一关：把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(中间填入5)，使两条直线上的三个数之和为10。 思路导航： 1,2，3，4，5还剩1，2，3，4这四个数， 那这四个数中两两相加的和为（10-5）=5的只有： 1+4=2+3 第二关：将1-9这九个数填入下图圆圈内，使横行、竖行五个数相加和为24。 思路导航： 横行、竖行五数和：24+24=48 1-9数之和：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

A：48-45=3 12456789八个数分为两组，使每组中四个数字之和： 24-3=21 则1+5+6+9=2+4+7+8 试一试： 将1-9这九个数填入下图圆圈内，使横行、竖行五个数相加和为25。 第三关： 将1、2、3、4、5、6填在下图中，使每条边上三个数之和等于9。 思路导航： 三条边数字总和： 3×9=27 1-6六数之和：1+2+3+4+5+6=21 A+B+C=27-21=6 故只能选1，2，3 试一试：将1-9这九个数填入下图圆圈内，使每条线上三个数字相加之和相

有趣的数阵图(一)

教学内容：有趣的数阵图(一） 教学时间：第一、二课时 教学目的： 1、掌握数阵图的基本特征。 2、按要求填出数阵。 教学重难点：寻找解题突破口。 教学过程： 一、宣布本课学习内容: 二、通过例题学习数阵的知识。 1、例1:将1—6填入右图的６个圆圈内, 使三角形每条边上的三个数的和都等 于S,请你指出S的取值范围。 ①试着独立填一填。 ②如果让你把所有的答案都填出，你能做到吗？ ③讲解:三个角上的三个数最小是1、2、3；最大是４、5、 ６，所以,Ｓ的取值范围是９、10、1１、１2。 ④从９、10、１1、12四个和中选一个,填出数阵。 2、例2：将1—6填入下图的6个圆圈内，要求四条线上 的数字之和都相等。 ⑴当每条线上的和是10时,A是多少？ ⑵当每条线上的和是9时，B是多少? ①观察:这６个数哪一个数最特殊？为什么?

②求Ａ:1～6的和是21,用２1×2-４０＝ ２ ③求B:如右图，用２１-18=３ ④独立填出两个答案。 ⑤小结：观察、找特征。 3、例３：将1—9这9个数字填入下图的9个圆圈内，使 每个三角形和直线上的３ 个数字的和都相等。 ①计算出１～9的和,用45除以3 得15，所以每个和是15。(为 什么? ②找规律：在１—9中，三个数的和为１5的,只有两种情 况:1+９+５和１+8+6。 ③填数，调整。 4、例４:将1—9这9个数字填入下图的９个小三角形中， 使大三角形每条边上的５个小三角形之 和相等,那么这个和的最大值是多少?最 小值是多少? ①观察：找出每个数用几次。 ②如右图，三个阴影三角形上的数字各用了 一次，其它的都用了两次。这三个数最大是7、8、9；最小是1、2、3。所以，和最小是45×2-24=6６;最大是45

趣味数学—数阵图与幻方

三年级奥数 --数阵图与幻方 知识框架 一、数阵图定义及分类： 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 二、解题方法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用． 三、幻方起源： 幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：

9 8 7 6 5 4 3 2 1 我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们． 四、幻方定义： 幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33 ?的数阵称作三阶幻方，44 ?的数阵称作四阶幻方，55 ?的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样， 9 8 7 6 5 4 3 2 1 13 4 14 15 1 6 129 7 8105 11 3216 。 五、解决这幻方常用的方法： ⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往 下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样． ⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和：所有数的和÷行数（或列数） ②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2． 六、数独简介： 数独前身为“九宫格”，最早起源于中国。数千年前，我们的祖先就发明了洛书，其特点较之现在的数独更为复杂，要求纵向、横向、斜向上的三个数字之和等于15，而非简单的九个数字不能重复。 中国古籍《易经》中的“九宫图”也源于此，故称“洛书九宫图”。而“九宫”之名也因《易经》在中华文化发展史上的重要地位而保存、沿用至今。 1783年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉发明了一种当时称作“拉丁方块”（Latin Square）的游戏，这个

第九讲有趣的数阵图(一)

第九讲有趣的数阵图（一） 大家都知道了历史悠久的三阶幻方.再推广一些，结合某些几何图形，把一些数字填入图形的某种位置上，并使数字满足一定的约束条件，这类问题，习惯上称为“数阵图”.幻方是特殊的数阵图，幻方发展较快，因为它后来与试验方案设计及一些高深数学分支有关，成为数阵图中最重要课题.本讲主要介绍一般数阵图及解此类题的推理思考方法，由于它既有数字之间运算，又要结合图形，对开发学生综合思考和形象思维很有益. 先看例题. 例1 下面图形包括六个加法算式，要在圆圈里填上不同的自然数，使六个算式都成立，那么最右边圆圈中的数最少是几？ 分析为便于说理，各圆圈内欲填的数依次用字母A、B、C、D、E、F、G、H、I代替（上右图）. 经观察，I=A+B+C+D.题目要I尽可能小，最极端的想法，希望A、B、C、D只占用1、2、3、4.但这会产生矛盾.因为1总要和2、3、4中的某两个实施加法，但1＋2给予G、H、E、F中某值为3与A、B、C、D中已有的3冲突；同样1+3给于G、H、E、F中某值为4又与A、B、C、D中已有的4冲突；所以A、B、C、D不能是1、2、3、4. 那么退而求之，不妨先设A=1.如先考虑B，B尽可能小，最好，B=2，从而决定了E=3，C≠3，D≠3. 这样一来，C，D只能取4和5.但如C=4导致G=5和D=5冲突，而C=5，D=4，又导致G=A+C=6和H=B+D=2+4=6冲突. 在碰了钉子后，回看在A=1设定后，不应随随便便先填B的值.从结构上看，因为B，C地位对称，不妨先考虑D.D尽可能小，最好设D=2，B、C至少取3、5，若如此，由B+D或C+D产生的5会与B、C中已有的5矛盾.

小学三年级奥数--数阵图

数阵图（一） 在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。 那么，到底什么是数阵呢我们先观察下面两个图： 左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。 上面两个图就是数阵图。准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。我们还是先从几个简单的例子开始。 例1把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。 同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。 分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以 (1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，

重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。 重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。 试一试：练习与思考第1题。 例2把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。 分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。所以，必须先求出这个“和”。根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于 [(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。 因此，两条直线上另两个数(非“重叠数”)的和等于10-5=5。在剩下的四个数1，2，3，4中，只有1+4=2+ 3=5。故有右上图的填法。 试一试：练习与思考第2题。 例3把1～5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等。 分析与解：例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例2是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样什么都不知道。但由例1、例2的分析知道， (1+2+3+4+5)+重叠数 =每条直线上三数之和×2， 所以，每条直线上三数之和等于(15+重叠数)÷2。 因为每条直线上的三数之和是整数，所以重叠数只可能是1，3或5。

奥数有趣的数阵图.doc

有趣的数阵图（一） 教学要求： 1、使学生掌握解答有趣的数阵图的方法。 2、培养学生的逻辑思维能力和推理能力，以及联想、试探归纳等思维能力。 教学过程: 一、导入新课语： 如果把一些数按照一定的规律填在特定的图形里，那么这种图形，我们就称它为数阵图。它是一种趣味性很强的游戏，它的形式很多，大概分为三种：封闭型数阵、辐射型数阵、复合型数阵。 二、探索新课： 1、教学例1: 将2、4、6、8、10填入“十字形数阵图中，使横行、竖列三个数的和相等。 解题思路：找出中间数，填在中间的公关位置, 再剩下的数中，找一对和相等的数。再分别填入。 2、教学例2： 把1?6这六个数填入。中，使三角形每边上的三个数和 相等。 形式尝试，练习。 解题思路：由于三个顶点上的数要加二次， 所以我们先假设，顶点，再推出，其它的点。 3、教学例3：、一、一 把1?9这九个数，填入到方格中，使横、竖、斜上的三个数和相等。 解题思路：先观察数， 1+9=2+8=3+7=4+6

而5在中间其余的成对来填。方法有多种。

4、教学例4： 把1、2、3、5、6、7、填入右表，使每行三个数和相等，竖列二数也相等。 解题思路：有2行3列，而1+2+3+5+6+7 =24,所以每行为12,这样分成（1、5、6）； （2、3、7）两组。每列和是24+3=8,所以： （1、7）；（2、6）；（3、5）o答案多种。 三、课堂练习： 1、填上合适的数，使所以的边和等于18。 2、用1?5填空。使每一边和为8。 I I < ）（I 、，\ E , 、/ V 、/ 3、填上数，使横、竖、斜和为21。 4、使横、竖、斜和相等。 15 14 1862 5

奥数有趣的数阵图

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有趣的数阵图（一） 教学要求： 1、使学生掌握解答有趣的数阵图的方法。 2、培养学生的逻辑思维能力和推理能力，以及联想、试探归纳等思维能力。 教学过程： 一、导入新课语： 如果把一些数按照一定的规律填在特定的图形里，那么这种图形，我们就称它为数阵图。它是一种趣味性很强的游戏，它的形式很多，大概分为三种：封闭型数阵、辐射型数阵、复合型数阵。 二、探索新课： 1、教学例1： 将2、4、6、8、10填入“十字形数阵图中，使横行、竖列三个数的和相 2 3、教学例3： 把1～9 解题思路：先观察数， 1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6 而5在中间其余的成对来填。 方法有多种。 4、教学例4：

把1、2、3、5、6、7、填入右表，使每行三个数和相等，竖列二数也相等。 解题思路：有2行3列，而1＋2＋3＋5＋6＋7 ＝24，所以每行为12，这样分成（1、5、6）；（2、3、7）两组。每列和是24÷3＝8，所以：（1、7）；（2、6）；（3、5）。答案多种。 三、课堂练习： 1、填上合适的数, 2、用1～5 3、填上数，使横、竖、斜和为 4、使横、竖、斜和相等。 教学要求： 1 2 教学过程： 一、导入新课： 同学们都会正确计算有余数的除法，其实有余数除法还蕴含着丰富的数学知识，所以我们运用它还可以解决不少的数学难题。今天，我们将继续学习余数的妙用（二）。 二、探索新知： 1、教学例4： 体育课排队，老师让同学们按1、2、3、4、5循环报数，最后一个人报2，这一排有（）人。 A、26 B、27 C、28 D、32 《吉林省“金翅杯”小学数学竞赛试题》 解题思路：答案必须是5的倍数 还要加2，所以我们经过计算发现可以选BD。 2、教学例5: ……共一百个数字。

有趣的数阵图

有趣的数阵图 有些数按照一定的要求排列成各种各样的图形，就叫做数阵图， 数阵填数的游戏是非常有趣的，有时也有一定的难度。不过它能促使我们积极地思考问题，分析问题，拓展我们的能力。有的同学说：这样的数阵图填写时只能采取试的方法，没有其他捷径好走。其实这话不对。填写数阵图时，我们应抓住数阵中的关键位置（例如两种线的交点，长方形和正方形的顶点），再根据题目的要求，进行必要的计算，先填写这些关键位置的数，再填写出其他位置的数。 例1：将1,2,3,4,5这五个数分别填入下图的各正方形中，组成一个“十字数阵图”，使图中横行三个数的和与竖行三个数据的和相等。 根据图形的特点，中间那个数是横行与竖行共用的，要使横行与 竖行三个数的和相等，可以先确定中间的数，再让左右两数的和与上、下两数的和相等。

①中间填1，则剩下2,3,4,5，而2+5=4+3，共有8种填法。 ②中间填2，则余下1,3,4,5而这四个数无法组成□+□=□+□ 的形式所以中间不可以填？ ③中间填3，则剩下1,2,4,5，而1+5=2+4，共有8种填法： ④中间填4，则剩下1,2,3,5而这四个数无法组成□+□=□+□ 的形式所以中间可能填4。 ⑤中间填5，则剩下1,2,3,4，1+4=2+3共有8种填法。 例1将1,2,3,5,6,7这六个数字填入下表中，使每行中三个数的和相等，同时使每列两个数的和也相等。

因为表中有2行、3行，这样六个数可分成（7,3,2）和（6,5,1） 每列两个数的和为24÷3=8，同样这六个数也可分为（7,1）、（6,2）和（5,3）三组。根据题意，我们同时考虑使每行中的数和每列中数的和分别相等。 你能想出其他11种填法吗？ 例2请你把1-6这六个数字填在下面三角形的O内，使每条边上的数字之和相等。你能做到吗？

四年级奥数讲义：有趣的数阵图(二)

四年级奥数讲义：有趣的数阵图（二） 下面我们继续研究有关数阵图的问题. 例1 将1～7这七个自然数分别填入右图的7个小圆圈中，使三个大圆圆周上及内部的四个数之和都等于定数S，并指出这个定数S的取值范围，最小是多少，最大是多少？并对S最小值 填出数阵. 分析为了叙述方便，用字母表示圆圈中的数.通过观察，我们发现，三个大圆上，每个大圆上都有4个小圆，由题设每个大圆上的4个小圆之和为S.从图中不难看出：B是三个圆的公共部分，A、C、D分别是两个圆的公共部分而E、F、G仅各自属于一个圆.这样三个大圆的数字和为：3S=3B+2A+2C+2D+E+F+G，而A、B、…、F、G这7个数的全体恰好是1、2、…、6、7. ∴3S=1+2+3+4+5+6+7+2B+A+C+D. 3S=28+2B+A+C+D. 如果设2B+A+C+D=W，要使S等于定数 即W最小发生于B=1、A=2、C=3、D=4 W最大发生于B=7、A=6、C=5、D=4， 综上所述，得出： 13≤S≤19即定数可以取13～19中间的整数. 本题要求S=13，那么A=2、B=1、C=3、D=4、E=5、F=6、G=7. 注意：解答这类问题常常抓两个要点，一是某种共同的“和数”S.（同一条边上各数和，同一三角形上各数和，同一圆上各数和等等）. 二是全局考虑数阵的各数被相加的“次”数.主要突破口是估算或确定出S的值.从“中心数”B处考虑.（B是三个大圆的公共部分，常根据S来设定B的可能值.这里重视B不是简单地看到B处于几何中心，主要因为B参与相加的次数最多）此处因为定数是13，中心数可从1开始考虑.确定了S和中心数B，其他问题就容易解决了.

三年级奥数有趣的数阵图解析

【篇一】 数阵图就是把一些数按照一定的规则,排列成各种各样的图形,这种图形就称作数阵图。幻方就是一种特殊的数阵图，而数独可以说是幻方的延伸。 数阵图一般分为三大类型：封闭型、辐射型和复合型。但具体的数阵图种类繁多、新奇有趣，有一定的难度。 填数阵图时不宜乱填乱试，急于求成，要认真观察、分析数阵图的内在规律，按步骤求解。首先要找出数阵中的关键位置(如不同线路的交点,封闭图形的顶点等),根据题目的要求,经过必要的计算,先填写这些关键位置的数；再利用已求出的一些数据和条件，通过尝试、调整，填写出其它位置上的数。数阵图的解法往往很多，解题时一般只列举几种主要的解法。 学习数阵图，可以培养孩子的观察能力、分析能力，训练孩子思维的灵活性和严密性。 【篇二】 将1-8这8个数字分别填入下图中的小圆圈内，使每个五边形上的五个数字的和都等于21： 这是个封闭型的数阵图，主要有两种填法。 如下图中，红色圆圈里的数既属于左边五边形，又属于右边五边形。每个五边形上的五个数字的和都等于21，两个五边形上10个数字总和是42，这样计算，其中红色圆圈里的数字被重复计算，即多算了一遍。图中1-8八个数字的实际和为：1+2+3+4+5+6+7+8=36。因此被重复计算的两个红色圆圈里的数字和为：42-36=6。 在1-8中，和为6的只有：2+4=6；1+5=6。所以红色圆圈里可能是2和4，也可能是1和5。 先试着在红色圆圈里填上2和4（如下左图），还剩下数字1、3、5、6、7、8。因为每个五边形上的五个数字的和都等于21，所以剩下三个数的和为：21-6=15；又因为7、8两个数的和已经是15了，所以7和8只能在不同的五边形里；填好7和8，剩下的数字凑一凑就可以了。 再尝试在红色圆圈里填上1和5（如下右图），同上理，依次填好7、8和其它的数字，可以得到第二种填法。 【篇三】 将1-8填入T形图中，使横行□中所有数的和等于竖行□中所有数的和： 红色方框里的数是横行和竖行重叠的数，只要横行剩下4个黑色方框里数字之和等于竖行剩下3个黑色方框里的数字和相等，那么图

奥数：有趣的数阵图教学提纲

奥数：有趣的数阵图

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2 有趣的数阵图（一） 教学要求： 1、使学生掌握解答有趣的数阵图的方法。 2、培养学生的逻辑思维能力和推理能力，以及联想、试探归纳等思维能力。 教学过程： 一、导入新课语： 如果把一些数按照一定的规律填在特定的图形里，那么这种图形，我们就称它为数阵图。它是一种趣味性很强的游戏，它的形式很多，大概分为三种：封闭型数阵、辐射型数阵、复合型数阵。 二、探索新课： 1、教学例1： 将2、4、6、8、10填入“十字形数阵图中，使横行、竖列三个数的和相 2、教学例2： 把1 ～6形式尝试，练习。 解题思路：由于三个顶点上的数 要加二次， 所以我们先假设，顶点，再推出，其它的点。 3、教学例3： 把1～9这九个数，填入到方格中，使横、竖、斜上的三个数和相等。 解题思路：先观察数，

1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6 而5在中间其余的成对来填。 方法有多种。 4、教学例4： 把1、2、3、5、6、7、填入右表，使每行三个数和相等，竖列二数也相 等。 解题思路：有2行3列，而1＋2＋3＋5＋6＋7 ＝24，所以每行为12，这样分成（1、5、6）；（2、3、7）两组。每列和是24÷3＝8，所以：（1、7）；（2、6）；（3、5）。答案多种。 三、课堂练习： 1、填上合适的数, 2、用1～5 3、填上数，使横、竖、斜和为 4、使横、竖、斜和相等。 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3

余数的妙用（二） 教学要求： 1、使学生掌握正确计算有余数的除法。 2、培养学生活跃的思维能力，提高学习奥数的兴趣。 教学过程： 一、导入新课： 同学们都会正确计算有余数的除法，其实有余数除法还蕴含着丰富的数学知识，所以我们运用它还可以解决不少的数学难题。今天，我们将继续学习余数的妙用（二）。 二、探索新知： 1、教学例4： 体育课排队，老师让同学们按1、2、3、4、5循环报数，最后一个人报2，这一排有（）人。 A、26 B、27 C、28 D、32 《吉林省“金翅杯”小学数学竞赛试题》 解题思路：答案必须是5的倍数 还要加2，所以我们经过计算发现可以选B D。 2、教学例5: 由100个数字组成一个一百位数：142857142857142857……共一百个数字。 问：这100个数字中，8出现几次？ 100个数字的和是多少？ 解题思路：从数字的排列看，我们发现每6个数重复一次，所以周期数是6，总数是：100，我们就列算式： 100÷6＝16 (4) 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4

一年级奥数：《有趣的数阵图》

一年级奥数：《有趣的数阵图》 《有趣的数阵图》课前预热 所属体系板块：第二级下 主要知识点：1、补全型（凑数） 2、辐射型（最忙的数填在最忙的位置）； 3、封闭型（凑数法） 能力培养：运算能力 体系对接：第四级下《数阵图》 例题展示： 课前预热： 1）认识数阵图，简单的补全型要会做（先填只剩一个的，然后凑数）；2）了解小手拉大手；

《有趣的数阵图》知识点精讲 一、补全型数阵图 1、先填只剩1个的 2、凑数 【例1】把1-10这十个数分别填入“六一”的10个空格里，使每条直线上所有数的和都是12. 【解析】要求是每条直线上所有数的和是12.发现六一的“六”的一横的这条直线上只剩下一个空，根据计算填出5；剩下的分别进行凑数（情况较多时，要求按顺序来思考和凑数），最后发现还有两个空不知道，刚好还有两个数3和9，相加刚好是12 ，填进去即可. 二、辐射型数阵图 通用：凑数法（最忙的数填最忙的位置） 连续数：砍头砍尾砍腰（小手拉大手） 【例2】把3~9填入下面的 中，使得每条直线上的数字之和都相等. 【解析】观察可得，这个数阵图是辐射型数阵图，而且让我们填的是连续的数字，所以可以采 9

用砍头砍腰砍尾的方法来完成.3~8：3、4、5、6、7、8、9，头是3，腰是6，尾是9,其它的数“小手拉大手”. 三、封闭型数阵图（凑数法） 【例3】小小三角阵，每边和为9，已知三个数，其它三个数怎么填？ 【解析】这个题我们可以用凑数法，如果最下面圆圈里面的数是1，那么答案不成立，接下来看最下面的圆圈里面是否能填2，正好可以得出答案，答案如上. 《有趣的数阵图》课后拓展练习 1、把3，4，5，6，7这五个数分别填入空格中，使每条线上三个数相加的和都等于15. 2、把1、4、7、10、1 3、16、19七个数填入图中7朵花里，使每条直线上三个数的和为 30.

四年级奥数讲义：有趣的数阵图(一)

四年级奥数讲义:有趣的数阵图（一） 大家都知道了历史悠久的三阶幻方.再推广一些，结合某些几何图形，把一些数字填入图形的某种位置上，并使数字满足一定的约束条件，这类问题，习惯上称为“数阵图”.幻方是特殊的数阵图，幻方发展较快，因为它后来与试验方案设计及一些高深数学分支有关，成为数阵图中最重要课题.本讲主要介绍一般数阵图及解此类题的推理思考方法，由于它既有数字之间运算，又要结合图形，对开发学生综合思考和形象思维很有益. 先看例题. 例 1 下面图形包括六个加法算式，要在圆圈里填上不同的自然数，使六个算式都成立，那么最右边圆圈中的数最少是几？ 分析为便于说理，各圆圈内欲填的数依次用字母A、B、C、D、E、F、G、H、I代替（上右图）. 经观察，I=A+B+C+D.题目要I尽可能小，最极端的想法，希望A、B、C、D只占用1、2、3、4.但这会产生矛盾.因为1总要和2、3、4中的某两个实施加法，但1＋2给予G、H、E、F 中某值为3与A、B、C、D中已有的3冲突；同样1+3给于G、H、E、F中某值为4又与A、B、C、D中已有的4冲突；所以A、B、C、D不能是1、2、3、4. 那么退而求之，不妨先设A=1.如先考虑B，B尽可能小，最好，B=2，从而决定了E=3，C≠3，D≠3. 这样一来，C，D只能取4和5.但如C=4导致G=5和D=5冲突，而C=5，D=4，又导致G=A+C=6和H=B+D=2+4=6冲突. 在碰了钉子后，回看在A=1设定后，不应随随便便先填B的值.从结构上看，因为B，C 地位对称，不妨先考虑D.D尽可能小，最好设D=2，B、C至少取3、5，若如此，由B+D或C+D产生的5会与B、C中已有的5矛盾. 所以，B、C可能取3、6.从而形成了:A=1、D=2、B、C取3、6（B，C地位对称）.这样一来其他字母所代表的值就立即推出，不妨设B=3，C=6，A+B=E=4，C+D=6+2=8=F；

四年级奥数第4讲数阵图

第4讲数阵图 一、知识要点 在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化。 那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图： 左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，是不是很奇妙！ 上面两个图就是数阵图。一些数按照一定的规则，填在某一特定图形的规定位置上，这种图形，我们称它为“数阵图”，数阵图的种类繁多，绚丽多彩，这里只介绍两种数阵图，即开放型数阵图和封闭型数阵图。 二、精讲精练 例1：把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。 解析：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以 (1+2+3+4+5)+重叠数=9+9， 重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。 重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右图)。

练习1： 1、把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于8和10。 2、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。 例2：把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。 解析：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。所以，必须先求出这个“和”。根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于 [(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。 因此，两条直线上另两个数(非“重叠数”)的和等于10-5=5。在剩下的四个数1，2，3，4中， 只有1+4=2+ 3=5。故有右图的填法。 练习2： 1、将 10～20填入左下图的○内，其中15已填好，使得每条边上的三个数字之和都相等。