微分几何练习题库及参考答案(已修改)

《微分几何》复习题与参考答案

一、填空题

1．极限232

lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0

lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42r()d =1,2,3t t -?， {}6

4r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则4

6

22()()a r t dt+b a r t dt=?????{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +．

5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 212

t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____.

7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ .

8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ .

9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 .

10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 .

11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点.

12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4

0()d f g dt dt ?=?

4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ．

14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ．

15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为2111

-=--

=-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x .

18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________.

19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__.

20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角.

21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = .

22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则

dr d t ={}2c o s ,2c o s ,2c o s t t t t v t u t +-+． 23．已知{}r(,)cos cos ,cos sin ,sin a a a ?θ?θ?θ?=，其中t =?，2t =θ，则

dr(,)d t ?θ={}sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos a at a at a ?θ?θ?θ?θ?---+．

24．设(,)r r u v =为曲面的参数表示，如果0u v r r ?≠，则称参数曲面是正则的；如果:()r G r G → 是 一一对应的 ，则称曲面是简单曲面．

25．如果u -曲线族和v -曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 正规坐标网 ．

26．平面{}r(,),,0u v u v =的第一基本形式为22d d u v +，面积微元为d d u v ．

27．悬链面{}r(,)cosh cos ,cosh sin ,u v u v u v u =第一基本量是22cosh 0,cosh E u F G u ===，．

28．曲面z axy =上坐标曲线0x x =，0y y =

2.

29．正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的第一基本形式是2222d ()d u u b v ++．

30．双曲抛物面{}r(,)(),(),2u v a u v b u v uv =+-的第一基本形式是

2222222222(4)d 2(4)d d (4)d a b v u a b uv u v a b u v +++-++++．

31．正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的平均曲率为 0 ．

32．方向(d)d :d u v =是渐近方向的充要条件是22()020n k d Ldu Mdudv Ndv =++=或．

33. 方向(d)d :d u v =和(δ)δ:δu v =共轭的充要条件是

(,)0()0dr δr Ldu δu M du δv dv δu Ndv δv =+++=II 或．

34.λ是主曲率的充要条件是0E L F M F M G N

λλλλ--=--． 35.(d)d :d u v =是主方向的充要条件是2

2d d d d 00d d d d dv dudv du E u F v L u M v E

F G F u G v M u N v

L M N -++==++或． 36. 根据罗德里格斯定理，如果方向(d)(d :d )u v =是主方向，则

n n dn k dr k =-，其中是沿方向(d)的法曲率．

37．旋转曲面中的极小曲面是平面 或悬链面．

38．测地曲率的几何意义是曲面S 上的曲线在P 点的测地曲率的绝对值等于(C )在P 点的切平

面∏上的正投影曲线(C*)的曲率．

39．,,g n k k k 之间的关系是222g n k k k =+．

40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 ．

41．正交网时测地线的方程为

d ds du ds

dv ds

θθθ?????????． 42．曲线是曲面的测地线，曲线(C )上任一点在其切平面的正投影曲线是 直线 .

二、单项选择题

1．已知{}(),,t t r t e t e -=，则r (0)''为（ A ）．

A. {}1,0,1；

B. {}1,0,1-；

C. {}0,1,1；

D. {}1,0,1-.

2．已知()()r t r t λ'=，λ为常数，则()r t 为（ C ）．

A. ta λ；

B. a λ；

C. t e a λ；

D. e a λ.

其中a 为常向量．

3. 曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（ D ）．

A ．切线与固定方向成固定角；

B ．副法线与固定方向成固定角；

C ．主法线与固定方向垂直；

D ．副法线与固定方向垂直．

4. 曲面在每一点处的主方向（ A ）

A ．至少有两个；

B ．只有一个；

C ．只有两个；

D ．可能没有.

5．球面上的大圆不可能是球面上的（ D ）

A ．测地线；

B ．曲率线；

C ．法截线；

D ．渐近线．.

6. 已知{}r(,),,x y x y xy =，求(1,2)dr 为（ D ）．

A. {}d ,d ,d 2d x y x y +；

B. {}d d ,d d ,0x y x y +-；

C. {}d -d ,d +d ,0x y x y ；

D. {}d ,d ,2d d x y x y +.

7．圆柱螺线{}cos ,sin ,r t t t =的切线与z 轴（ C ）.

A. 平行；

B. 垂直；

C. 有固定夹角4π；

D. 有固定夹角3

π. 8．设平面曲线:()C r r s =，s 为自然参数，αβ,是曲线的基本向量．叙述错误的是（ C ）．

A. α为单位向量；

B. αα⊥；

C. k αβ=-；

D. k βατγ=-+.

9．直线的曲率为（ B ）．

A. -1；

B. 0；

C. 1；

D. 2.

10．关于平面曲线的曲率:()C r r s =不正确的是（ D ）． A. ()()k s s α=； B. ()()k s s ?=，?为()s α的旋转角；

C. ()k s αβ=-?；

D. ()|()|k s r s =.

11．对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（ D ）．

A. 充分不必要条件；

B. 必要不充分条件；

C. 既不充分也不必要条件；

D. 充要条件.

12．下列论述不正确的是（ D ）．

A. ,αβγ,均为单位向量；

B. αβ⊥；

C. βγ⊥；

D. αβ.

13．对于空间曲线C ，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B ）．

A. 充分不必要条件；

B. 必要不充分条件；

C. 既不充分也不必要条件；

D. 充要条件.

14．2sin 4),cos 1(),sin (t a z t a y t t a x =-=-=在点2

π=t 的切线与z 轴关系为（ D ）． A. 垂直； B. 平行； C. 成3π的角； D. 成4

π的角. 15．椭球面222

2221x y z a b c

++=的参数表示为（ C ）． A. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z ?θ?θ?=；

B. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b ?θ?θ?=；

C. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b c ?θ?θ?=；

D. {}{},,cos cos ,sin cos ,sin 2x y z a b c ?θ?θθ=.

16．曲面{}2233(,)2,,r u v u v u v u v =-+-在点(3,5,7)M 的切平面方程为（ B ）．

A. 2135200x y z +-+=；

B. 1834410x y z +--=；

C. 756180x y z +--=；

D. 1853160x y z +-+=.

17．球面{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R u v R u v R u =的第一基本形式为（ D ）．

A. 2222(d sin d )R u u v +；

B. 2222(d cosh d )R u u v +；

C. 2222(d sinh d )R u u v +；

D. 2222(d cos d )R u u v +.

18．正圆柱面{}(,)cos ,sin ,r u v R v R v u =的第一基本形式为（ C ）．

A. 22d d u v +；

B. 22d d u v -； C 222d d u R v +； D. 222d d u R v -.

19．在第一基本形式为222(d ,d )d sinh d u v u u v =+I 的曲面上，方程为12()u v v v v =≤≤的曲线段的

弧长为（ B ）．

A ． 21cosh cosh v v -；

B ． 21sinh sinh v v -；

C ． 12cosh cosh v v -；

D ． 12sinh sinh v v -．

20．设M 为正则曲面，则M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B ）．

A ． 0E =；

B ． 0F =；

C ． 0G =；

D ． 0M =．

21．高斯曲率为零的的曲面称为（ A ）．

A ．极小曲面；

B ．球面；

C ．常高斯曲率曲面；

D ．平面．

22．曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（ A ）．

A ． 0；

B ． 1；

C ．2；

D ． 3．

23．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（ B ）．

A ．

B ．

C ．

D ． 24．如果测地线同时为渐近线，则它必为（ A ）．

A ． 直线；

B ． 平面曲线；

C ． 抛物线；

D ． 圆柱螺线．

三、判断题（正确打√，错误打×）

1. 向量函数()r r t =具有固定长度，则()()r t r t '⊥. √

2. 向量函数()r r t =具有固定方向，则()()r t r t '. √

3. 向量函数()r t 关于t 的旋转速度等于其微商的模()r t '. ×

4. 曲线Γ的曲率、挠率都为常数，则曲线Γ是圆柱螺线. ×

5. 若曲线Γ的曲率、挠率都为非零常数，则曲线Γ是圆柱螺线. √

6. 圆柱面{cos ,sin ,},r R R z θθ=z -线是渐近线. √

7. 两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例. ×

8. 两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例. √

9. 等距变换一定是保角变换. √

10. 保角变换一定是等距变换. ×

11. 空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. ×

12. 在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一． ×

13. 若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线．√

14. 在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向． √

15. 高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量． ×

16. 曲面上的直线一定是测地线．√

17. 微分方程A(,)B(,)0u v du u v dv +=表示曲面上曲线族. ×

18. 二阶微分方程22(,)2(,)(,)0A u v du B u v dudv C u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. ×

19. 坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量. √

20. 高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. √

21. 连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. ×

22. 球面上的圆一定是测地线. ×

23. 球面上经线一定是测地线. √

24. 测地曲率是曲面的内蕴量. √

四、计算题

1．求旋轮线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的π20≤≤t 一段的弧长．

解 旋轮线{}()(sin ),(1cos )r t a t t a t =--的切向量为{}()cos ,sin r t a a t a t '=-，则在π20≤≤t 一

段的弧长为：2200()d 8s r t t t a ππ

'===??．

2．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的切向量、主法向量、副法向量．

解 由题意知 {}()sin cos ,cos sin ,t t r t t t t t t t e te '=+-+，

{}()2cos sin ,2sin cos ,2t t r t t t t t t t e te ''=---+，

在原点，有 (0)(0,1,1),(0)(2,0,2)r r '''==，

又 ()(), r r r r r r r r r r r αβ'''''''''?-?=='''''??，r r r r γ'''?='''?， 所以有22666333(0,

,),(,,),(,,)22366333αβγ==-=-. 3．圆柱螺线为{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =，

①求基本向量,,αβγ； ②求曲率k 和挠率τ.

解 ①{}()sin ,cos ,r t a t a t b '=-，{}()cos ,sin ,0r t a t a t ''=--，

又由公式()(), ,r

r r r r r r r r r r

r r r r αβγ''''''''''''?-??=

==''''''''??? }{}}sin ,cos ,,cos ,sin ,0,sin ,cos ,a t a t b t t b t b t a αβγ∴=-=--=- ②由一般参数的曲率公式3()r r k t r '''

?=

'及挠率公式2(,,)()r r r t r r τ''''''='''? 有22a k a b =+，22b a b +=τ. 4．求正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的切平面和法线方程．

解 {}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-，切平面方程为

cos sin cos sin 00sin cos x u v

y u v z bv v

v u v u v b ---=-，

sin cos 0,b v x b u y uz buv ??-?+-=

法线方程为cos sin sin cos x u v y u v z bv b v b v u

---==-． 5．求球面{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r a a a ?θ?θ?θ?=上任一点处的切平面与法线方程． 解 {}sin cos ,sin sin ,cos r a a a ??θ?θ?=--， {}cos sin ,cos cos ,0r a a θ?θ?θ=-，

31

2sin cos sin sin cos cos sin cos cos 0

e e e r r a a a a a ?θ?θ

?θ??θ?θ?=---

{}2cos cos cos ,cos sin ,sin a ??θ?θ?=---

∴ 球面上任意点的切平面方程为

{}{}2cos cos ,cos sin ,sin cos cos cos ,cos sin ,sin 0,x a y a z a a ?θ?θ???θ?θ?---?---= 即cos cos cos sin sin 0x y z a θ??θ??+?+?-=，

法线方程为

2(cos cos ,cos sin ,sin )cos (cos cos ,cos sin ,sin ),x a y a z a a ?θ?θ?λ??θ?θ?---=?--- 即cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin x a y a z a ?θ?θ??θ?θ?

---==． 6．求圆柱螺线cos ,sin ,x a t y a t z t ===在点(,0,0)a 处的密切平面.

解 (){s i n ,c o s ,r t a t a t '=-(){c o s ,s i n ,

r t a t a t ''=-- 所以曲线在原点的密切平面的方程为

00sin cos 10cos sin 0

x a

y z a t

a t =a t a t ------， 即sin )(cos )sin 0t x t y az a t -+-=(.

7．求旋转抛物面22()z a x y =+的第一基本形式．

解 参数表示为{}22(,),,()r x y x y a x y =+，{}1,0,2x r ax =，{}0,1,2y r ay =， 2214x x E r r a x =?=+，24x y F r r a xy =?=，2214y y G r r a y =?=+，

2222222(d ,d )(14)d 8d d (14)d x y a x x a xy x y a y y ∴=++++I ．

8．求正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的第一基本形式．

解 {}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-，

1u u E r r =?=，0u v F r r =?=，22v v G r r u b =?=+，2222(d ,d )d ()d u v u u b v ∴=++I ．

9．计算正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的第一、第二基本量．

解 {}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-，

{}0,0,0uu r =，{}sin ,cos ,0uv r v v =-，{}cos ,sin ,0vv r u v u v =--，

{}cos sin 0sin ,cos ,sin cos u v i j k r r v v b v b v u u v u v b

?==--， sin ,cos ,u v u v b v b v u r r n r r -?==?， 1u u E r r =?=，0u

v F r r =?=，22v v G r r u b =?=+， 0uu L r n =?=，uv M r n =?=，0vv N r n =?=．

10．计算抛物面22z x y =+的高斯曲率和平均曲率． 解 设抛物面的参数表示为{}22(,),,r x y x y x y =+，则

{}1,0,2x r x =，{}0,1,2y r y =，{}0,0,2xx r =，{}0,0,0xy yx r r ==，{}002yy r =，，，

{}1022,2,1012x y i j k

r r x x y y

?==--， 22,2,1||4x y x y r r x y n r r x ?--

==?

214x x E r

r x =?=+， 4x y F r r xy =?=， 214y y G r r y =?=+

， xx L r n =?= 0xy M r n =?=， yy N r n =?=，

2222222222404441(14)(14)(4)(441)LN M x y K EG F x y xy x y --++===-++-++， 2232222

124422(441)GL FM EN x y H EG F x y -+++

=?=-++．

11. 计算正螺面{}(,)cos

,sin ,r u v u v u v av =的高斯曲率. 解 直接计算知

1E =，0F =，22G u a =+，0L =，M =，0N =，

22

2222()LN M a K EG F u a -∴==--+．

12. 求曲面2z xy =的渐近线. 解 2z x y =，则2z p y x ?==?，2z q xy y ?==?，2

20z r x ?

=

=?，22z

s y x y ?==??，

222z t x y ?==? 所以，L =0，

M =N =

渐近线微分方程为20+=，

化简得(2)0dy ydx xdy +=， 020d y y d x x d y =+=或 渐近线为y=C 1，x 2y =C 2

13. 求螺旋面{}cos ,sin ,r u v u v bv =上的曲率线. 解 u v r {cos ,sin v,0},r {usin v,u cos v,b}v ==-

微分几何试题库

微分几何 一、判断题 1 、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√） 2、二阶微分方程22 u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲A(,)2B(,)B(,)0 线. （?） 3、若() s t均在[a,b]连续，则他们的和也在该区间连续（√）r t和() 4、向量函数() s t具有固定长的充要条件是对于t的每一个值， s t平行（×） s t的微商与() () 5、等距变换一定是保角变换.（√） 6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.（?） 7、常向量的微商不等于零（×） 8、螺旋线x=cost,y=sint,z=t在点（1，0，0）的切线为X=Y=Z（×） 9、对于曲线s=() s t上一点（t=t0）,若其微商是零，则这一点为曲线的正常点（×） 10、曲线上的正常点的切向量是存在的（√） 11、曲线的法面垂直于过切点的切线（√） 12、单位切向量的模是1（√） 13、每一个保角变换一定是等距变换（×） 14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（√） F=，这里F是第一基本量.（√）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是0

二、填空题 16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线 17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___ y+z=0, . 18.设给出1 c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为?'b a dt t r )( 19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π << ，则α=1 {3cos ,3sin ,4}5 x x --， β= {sin ,cos ,0}x x ，γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ= 625sin 2x ，τ=8 25sin 2x 。 20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。 21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ?θ?θψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”). 22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.任何两个向量q p ,的数量积=?q p )cos(～ pq q p 24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为____等距(保长)变换__. 25、圆柱螺线的曲率和挠率都是_____常数____数(填“常数”或“非常数”). 26.若曲线(c)用自然参数表示)(t r r =,则曲线(c)在)(0s P 点的密切平面的方程是 0))(),(),((000=-s r s r s r R 27.曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切平面 28.杜邦指标线的方程为1222±=++Ny Mxy Lx 29、已知曲面{cos ,sin ,6}r u v u v v =，0u >，02 v π ≤<，则它的第一基本形式 为 222(36)du u dv ++ ，第二基本形式为 dv ，高斯曲率

微分几何第四版习题答案解析梅向明

§1曲面的概念 1.求正螺面r r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r ρ =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r ρ=}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此 曲面只有一个切平面 。 解 椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -=ρ , }1,0,0{=t r ρ 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。

微分几何陈维桓新编习题答案

习 题答案2 p. 58 习题 2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是 2221u x u v =++，2221 v y u v =++，222211u v z u v +-=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示； (2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面. 证明. (1) 设(,)r u v Op '=u u u v v . 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈R 使得 (1)Op tOp t ON '=+-u u u v u u v u u u v . (1) 由于21Op ON =='u u u v u u u v ，222u v Op =+u u v ，0Op ON '?=u u u v u u u v ，0t ≠，取上式两边的模长平方， 得222/(1)t u v =++. 从而 22222222221,,111u v u v u v u v u v ??+-= ?++++++?? ，2(,)u v ∈R . (2) 由(1)可知 (,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-u u u v u u u v u u u v v ， 又2()dt t udu vdv =-+，所以 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+v ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+v ， 22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =-+-=--=-≠v v . (3) 因此(,)r r u v =v v 给出了2\{}S N 的正则参数表示. (2)令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与赤道平面的交点. 同理，有 (1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+-=-u u u v u u v u u u v ，222/(1)t u v =++， 22222222221(,,),,111u v u v r x y z Op u v u v u v ??--'=== ?++++++??u u u v ，2(,)u v ∈R . (4) 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =-+v ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =-+v ， 22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =-+=-=≠v v . (5) 因此(4)给出了2\{}S S 的正则参数表示. (3) 由(2)和(4)式可得2222()()1u v u v ++=，从而上面两种正则参数表示在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为 22u u u v =+，22 v v u v =+. (6) 由(3)和(5)可知

第四版 微分几何 第二章课后习题答案

第二章 曲面论 §1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。

4．求椭圆柱面 222 2 1x y a b + =在任意点的切平面方程， 并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 解 椭圆柱面 222 2 1x y a b + =的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----?? ??b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。 5．证明曲面},,{3 uv a v u r = 的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常 数。 证 },0,1{23 v u a r u -= ，},1,0{23 uv a r v -= 。切平面方程为：33=++z a uv v y u x 。 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0, uv a 2 3)。于是，四面体的体积为： 3 3 2 9| |3| |3||36 1a uv a v u V = =是常数。

微分几何习题全解(梅向明高教版第四版)

微分几何主要习题解答 第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × ) ('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向 量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固 定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ 'e ，于是r × 'r =2 λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方 向平行；当λ≠ 0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使 )(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向 量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直 于同一非零向量n ，因而共面，即（r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×'r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知 )(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠ ，则存在数量函数)(t λ、 )(t μ，使''r = r λ +μ'r ①

微分几何期终试题

《微分几何》 期终考试题（A） 班级：____ 学号：______ 姓名：_______ 成绩：_____ 一、 填空题（每空1分, 共20分） 1. 半径为R 的球面的高斯曲率为 ；平面的平均曲率为 . 2. 若的曲率为，挠率为)(t r )(t k )(t τ，则关于原点的对称曲线的曲率为 )(t r ；挠率为 . 3. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的 方向. 4. 距离单位球面球心距离为)10(<

二、 单项选择题（每题2分，共20分） 1. 等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的 【 】 A. 曲率 B. 挠率 C. 法曲率 D. 测地曲率 2. 下面各对曲面中，能建立局部等距对应的是 【 】 A. 球面与柱面 B. 柱面与平面 C. 平面与伪球面 D. 伪球面与可展曲面 3. 过空间曲线C 上点P （非逗留点）的切线和P 点的邻近点Q 的平面π，当Q 沿曲线趋于点C P 时，平面π的极限位置称为曲线C 在P 点的 【 】 A. 法平面 B. 密切平面 C. 从切平面 D. 不存在 4. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 【 】 A. 直线 B. 圆 C. 圆柱螺线 D. 平面曲线 5. 下列关于测地线，不正确的说法是 【 】 A. 测地线一定是连接其上两点的最短曲线 B. 测地线具有等距不变性 C. 通过曲面上一点，且具有相同切线的一切曲线中，测地线的曲率最小 D. 平面上测地线必是直线 6. 设曲面的第一、第二基本型分别是,则曲面的两个主曲率分别是 【 】 2222,Ndv Ldu II Gdv Edu I +=+= A．G N k E L k ==21, B. N G k L E k ==21, C. v E G k k ???==ln 21 21 D. u G E k k ??==ln 2121 7. 曲面上曲线的曲率，测地曲率，法曲率之间的关系是 【 】 k g k n k

微分几何期末复习题

微分几何复 习题 一、填空题 1. 向量具有固 ()(,3,)r t t t a =定方向，则a = 。 2. 非零向量满 ()r t 足的充要条 (),,0r r r '''=件是 。 3. 若向量函数 ()r t 满足()()0r t r t '?=，则具有固定 ()r t 。 4. 曲线的正常 ()r r t =点是指满足 的点. 5. 曲线在任意 3()(2,,)t r t t t e =点的切向量 为 。 6. 曲线在点的 ()(cosh ,sinh ,)r t a t a t at =0t =切向量为 。 7. 曲线在点的 ()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =0t =切向量为 。 8. 设曲线在P 点的切向量 为α，主法向量为 β，则过P 由确 ,αβ定的平面 是曲线在P 点的 。 9. 若是曲线的 0()r t ()r r t =正则点，则曲线在的 ()r r t =0()r t 密切平面方 程是 。 10. 曲线在点的 ()r r t =0()r t 单位切向量 是α，则曲线在点 0()r t 的法平面方 程是 。 11. 一曲线的副 法向量是常 向量，则这曲线的 挠率τ= 。 12. 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点 处其挠率 (1)τ= 。 13. 曲线x =cos t ，y =sin t , z =t 在t =0处的切线 方程是 。 14. 曲线的主法 向量的正向 总是指向 。 15. 空间曲线为 一般螺线的 充要条件是 它的副法向 量 。 16. 曲线()r t ={t 3-t 2-t , t 2-2t +2, 2}上的点不是 正常点的是 t = 。 17. 曲线的曲率 ()r r t =是 。 18. 曲线的挠率 ()r r t =是 。 19. 一般螺线的 曲率和挠率 的关系是 。 20. 曲率为0的 曲线是 , 挠率为0的 曲线是 。 21. 设有曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当时的切线 1t =方程为 。

微分几何第四版习题答案梅向明

§1曲面的概念 1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线． ２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。 证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线; v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。 3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。 解 ?r =}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r =}0,cos cos ,sin cos {????a a - 任意点的切平面方程为00 cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------? ?? ????? ??????a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ； 法线方程为 ? ? ????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22 221x y a b +=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只 有一个切平面 。 解 椭圆柱面22 221x y a b +=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -= , }1,0,0{=t r 。所以切平面方程为： 01 0cos sin sin cos =----????b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条

微分几何试题库

二.单项选择题 1.0()P t 就是曲线r r =()r t r 上一点,1P 就是曲线上P 点附近的一点,S ?为弧?1PP 的长,??为曲线在P 点与1P 点的切向量的夹角,k(s) 就是曲线在P 点的曲率。则下面 不等于0 lim | |s s ? ?→??。 ① 0()k t ② |0()r t r &&| ③ 0|()|t αr & ④ 0()t τ 2.曲线r r =()r s r 在P 点的基本向量为αr ,βr ,γr 。 在P 点的曲率 k(s),挠率为()s τ,则βr & = 。 ① k(s)αr ② -k(s)αr +()s τγr ③ -()s ταr ④ k(s)αr -()s τγr 3.曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。 在P 点的曲率k(s),挠率为()s τ,则γr &= 、 ① k(s)βr ② ()s τβr ③-k(s)αr +()s τγr ④ -()s τβr 4、 曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。 在P 点的曲率k(s),挠率为()s τ,则下式 不正确。 ①αr &=- k(s) βr ②βr &= -k(s)αr +()s τγr ③αr &= k(s)βr ④γr &=-()s τβr 5.曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。 在P 点的曲率k(s),挠率为()s τ,则k(s)= 。 ① αr &βr & ② βr &αr ③ α r &βr ④ γr &βr 6.曲线r r =()r s r 在P(s)点的基本向量为αr ,βr ,γr 。则下式 不正确。 ① αr &=2βr ② βr &= 3αr -2γr ③βr &= -3αr +2γr ④γr & =2βr

12-13(二)微分几何期末复习题

一， 填空 1. 若曲线C 能与另一条曲线1C 的点之间建立一一对应关系, 而且在对应点, C 的主法线与1C 的副法线重合, 则曲线C 称为 孟恩哈姆曲线 . 2. 曲线C 在正则点邻近的近似曲线*C 为x ¤(s ) = s; y ¤(s ) = k (0)2 s 2; z ¤(s ) = k (0)?(0)6 s 3; 3. 曲线在一点邻近和它的近似曲线有相同的 曲率和挠率 . 4.“采柴罗"不动条件是 dx ¤ds = ky ¤ ? 1, dy ¤ds = ?kx ¤ + ?z¤ dz ¤= ??y¤ . 5.空间曲线C : r = r (s ) 是球面曲线的充要条件是: 曲率k (s ) 和挠率? (s ) 满 足 . 6. 设C : r = r (s ) 是一条曲率处处不为零的一般柱面螺线, 则C 的曲率与挠率有 固定比值 . 7.半径为R 的圆的曲率为_____ R 1 ______. 8. 圆柱螺线x = 3a cos t; y = 3a sin t; z = 4at 从它与xy 平面的交点到意点M (t ) 的弧长是 5at . 9. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 圆柱螺线 。 10，曲面的坐标曲线网正交的充要条件是__F=0___________, 坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是___F=M=0________________. 11，距离单位球面球心距离为()01d d <<的平面与球面的交线的法曲率为 1± ， 12. 距离单位球面球心距离为()01d d <<的平面与球面的交线的测地曲率为 . 13.全脐点曲面（即曲面上的点全部是脐点）只有两个，它们是 平面，球面 . 14，沿渐近曲线的切方向，法曲率=____0___________；沿曲率线的切方向，法曲率=_________N/G_____________；沿测地线的切方向，法曲率=_______K ±______________. 15．曲面上非脐点处的两个主方向之间的夹角θ为 2π ． 16．曲面上曲线的曲率K ，测地曲率K g ，法曲率K n 之间的关系是 K 2=K 2g +K 2n 。

微分几何练习题库及参考答案(已修改)

> 《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42 r()d =1,2,3t t -?， {}6 4 r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则 4 6 2 2 ()()a r t dt+b a r t dt=???? ?{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 212 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 【 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 ()d f g dt dt ?=?4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． \ 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则 dr d t ={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．

(整理)《微分几何》陈维桓第六章习题及答案.

§ 6.1 测地曲率 1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。 证明： 设旋转面方程为{()cos ,()sin ,()} r f v u f v u g v =， 22222 ()()(()())()f v du f v g v dv ''I =++， 222(),()() E f v G f v g v ''==+ 纬线即u —曲线：0 v v =（常数）， 其测地曲率为2 u g k == =为常数。 2、 证明：在球面S (cos cos ,cos sin ,sin )r a u v a u v a u =， ,0222 u v ππ π- <<<< 上，曲线 C 的测地曲率可表示成 ()()sin(())g d s dv s k u s ds ds θ=- ， 其中((),())u s v s 是球面S 上曲线C 的参数方程， s 是曲线C 的弧长参数， ()s θ是曲线C 与球面上经线（即u -曲

线）之间的夹角。 证明 易求出2 E a =, 0 F =,2 2 cos G a u =, 因此 g d k ds θθθ= 221ln(cos )sin 2d a u ds a u θθ?=+? sin sin cos d u ds a u θθ= -， 而1sin cos dv ds a u θθ ==， 故 sin g d dv k u ds ds θ= -。 3、证明：在曲面S 的一般参数系(,)u v 下，曲线:(),()C u u s v v s ==的测地曲率是 ()()()()()())g k Bu s Av s u s v s v s u s ''''''''=-+-， 其中s 是曲线C 的弧长参数，2 g EG F =-， 并且 12 112 11 12 22 (())2()()(())A u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ， 2222 2111222(())2()()(())B u s u s v s v s ''''=Γ+Γ+Γ 特别是，参数曲线的测地曲率分别为 2 3 11(())u g k u s '，1322(()) v g k v s '= 。 证明 设曲面S 参数方程为12(,)r r u u =，1122:(),()C u u s u u s ==

微分几何练习题库及答案

《微积分几何》复习题 本科 第一部分:练习题库及答案 一、填空题(每题后面附有关键词;难易度;答题时长) 第一章 1.已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,则这两个向量的夹角的余弦θcos = 3 6 2.已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,求这两个向量的向量积?=a b (-1,-1,-1). 3.过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z=0 4.求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为2 1 131--= -=+z y x 5.计算2 3 2 lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k . 6.设()(sin )t t t =+f i j ,2()(1)t t t e =++g i j ,求0 lim(()())t t t →?=f g 0 . 7.已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ,其中2 t u =,t v sin =,则d d t =r (2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8.已知t =?,2 t =θ,则 d (,) d t ?θ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ?θ?θ?θ?θ?---+ 9.已知4 2 ()d (1,2,3)t t =-?r ,6 4 ()d (2,1,2)t t =-? r ,求 4 6 2 2 ()d ()d t t t t ?+??=??a r b a r )5,9,3(-,其中(2,1,1)=a ,(1,1,0)=-b 10.已知()t '=r a (a 为常向量),求()t =r t +a c 11.已知()t t '=r a ,(a 为常向量),求()t =r 2 12 t +a c 12.已知()(2)(log )t t t =++f j k ,()(sin )(cos )t t t =-g i j ,0t >,则4 d ()d d t t ?=?f g 4cos 62-. 第二章 13.曲线3 ()(2,,)t t t t e =r 在任意点的切向量为2 (2,3,)t t e 14.曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15.曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b

微分几何练习题库及参考答案(已修改)精编版

《微分几何》复习题与参考答案 一、填空题 1．极限232 lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+． 2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0 lim(()())t f t g t →?= 0 ． 3．已知{}42r()d =1,2,3t t -?， {}6 4r()d =2,1,2t t -?，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则4 6 22()()a r t dt+b a r t dt=?????{}3,9,5-. 4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t = 212 t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ . 9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ?≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4 0()d f g dt dt ?=? 4cos 62-． 13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ． 16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为2111 -=-- =-z e e y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角. 21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则 dr d t ={}2c o s ,2c o s ,2c o s t t t t v t u t +-+． 23．已知{}r(,)cos cos , cos sin ,sin a a a ?θ?θ?θ?=，其中t =?，2t =θ，则

微分几何习题解答曲线论

第一章 曲线论 §2 向量函数 5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r = 0 。 分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e 为单位向量函数，)(t λ为 数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e 具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的 长度固定）。 证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r 具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。 反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2λ（e × 'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时， 有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。所以，)(t r 具有固定方向。 6．向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。 分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n ，使)(t r ·n = 0 ， 所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。 证 若)(t r 平行于一固定平面π，设n 是平面π的一个单位法向量，则n 为常向量，且)(t r ·n = 0 。两次求微商得'r ·n = 0 ，''r ·n = 0 ，即向量r ，'r ，''r 垂直于同一非零向量n ，因而共面， 即（r 'r ''r ）=0 。 反之, 若（r 'r ''r ）=0，则有r ×'r =0 或r ×' r ≠0 。若r ×'r =0 ，由上题知)(t r 具有固定方向，自然平行于一固定平面，若r ×' r ≠ 0 ，则存在数量函数)(t λ、)(t μ，使''r = r λ+μ'r ① 令n =r ×'r ，则n ≠ 0 ， 且)(t r ⊥)(t n 。对n =r ×'r 求微商并将①式代入得'n =r ×''r =μ（r ×'r ）=μn ，于是n ×'n =0 ，由上题知n 有固定方向，而)(t r ⊥n ，即)(t r 平行于固定平面。 §3 曲线的概念

微分几何试题库(选择题)

二．单项选择题 1．0()P t 是曲线r r =()r t r 上一点， 1P 是曲线上P 点附近的一点，S ?为弧?1PP 的长，??为曲线在P 点和1P 点的切向量的夹角，k(s) 是曲线在P 点的曲率。则下面 不等于0 lim | |s s ? ?→??。 ① 0()k t ② |0()r t r &&| ③ 0|()|t αr & ④ 0()t τ 2．曲线r r =()r s r 在P 点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的 曲率k(s)，挠率为()s τ，则βr & = 。 ① k(s)αr ② -k(s)αr +()s τγr ③ -()s ταr ④ k(s)αr -()s τγr 3．曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则γr &= . ① k(s)βr ② ()s τβr ③-k(s)αr +()s τγr ④ -()s τβr 4. 曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则下式 不正确。 ①αr &=- k(s) βr ②βr &= -k(s)αr +()s τγr ③αr &= k(s)βr ④γr &=-()s τβr 5．曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则k(s)= 。 ① αr &βr & ② βr &αr ③ αr &βr ④ γr &βr 6．曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 则下式 不正确。 ① αr &=2βr ② βr &= 3αr -2γr ③βr &= -3αr +2γr ④γr & =2βr 7．曲线r r =()r s r 在P （s ）点的基本向量为αr ，βr ，γr 。 在P 点的曲率k(s)，挠率为()s τ，则()s τ= 。

微分几何练习题库及答案

《微积分几何》复习题 本科 第一部分：练习题库及答案 一、填空题（每题后面附有关键词；难易度；答题时长） 第一章 1．已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，则这两个向量的夹角的余弦θcos = 3 6 2．已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ，求这两个向量的向量积?=a b (-1,-1,-1)． 3．过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z=0 4．求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为2 1 131--= -=+z y x 5．计算2 3 2 lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k ． 6．设()(sin )t t t =+f i j ，2()(1)t t t e =++g i j ，求0 lim(()())t t t →?=f g 0 ． 7．已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ，其中2 t u =，t v sin =，则d d t =r (2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8．已知t =?，2 t =θ，则 d (,) d t ?θ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ?θ?θ?θ?θ?---+ 9．已知4 2 ()d (1,2,3)t t =-?r ，6 4 ()d (2,1,2)t t =-? r ，求 4 6 2 2 ()d ()d t t t t ?+??=??a r b a r )5,9,3(-，其中(2,1,1)=a ，(1,1,0)=-b 10．已知()t '=r a （a 为常向量），求()t =r t +a c 11．已知()t t '=r a ，（a 为常向量），求()t =r 2 12 t +a c 12．已知()(2)(log )t t t =++f j k ，()(sin )(cos )t t t =-g i j ，0t >，则4 d ()d d t t ?=?f g 4cos 62-． 第二章 13．曲线3 ()(2,,)t t t t e =r 在任意点的切向量为2 (2,3,)t t e 14．曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15．曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b