全国高考文科数学试题及答案

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2015年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1）

文科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。

3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A={x|x=3n+2,n N},B={6,8,12,14},则集合A B中元素的个数为 （A）5

（B）4

（C）3

（D）2

BCAC=

，则向量-3），向量（=-4，2）已知点A（0,1），B（3,2）（（A）（-7，-4）（B）（7,4）（C）（-1,4）（D）（1，4）

（3）已知复数z满足（z-1）i=i+1，则z=

（A）-2-I （B）-2+I （C）2-I （D）2+i

（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为

10111（B）（C）（D）（A）2010351的焦点重y2=8x 的右焦点与抛物线C：的中心在坐标原点，离心率为5（）已知椭圆E，E2合，A，B是C的准线与E的两个焦点，则|AB|=

12

）D（9 ）C（6 ）B（3 ）A（

（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62

立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有

A.14斛

B.22斛

C.36斛

D.66斛

的前项和。则是公差为1的等差数列，=4，为（7）已知=

12

D）C）10 （A）（B）（（

（8）函数f(x)=的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为 ,k-k, k-）（A）（

-, 2k）,k-（A）（2k

-, k,k-）（A）（k

-, 2k）-（A）（2k,k

（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=

（A）5 （B）6 （C）7 （D）8

，且f（a）=-3，则f（（10）已知函数6-a）=

7531（A）- （B）- （C）- （D）- 4444（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=

（A）1

(B) 2

(C) 4

(D) 8

（12）设函数y=f（x）的图像关于直线y=-x对称，且f（-2）+f（-4）=1，则

a=

（A）-1 （B）1 （C）2 （D）4

第Ⅱ卷

注意事项：

页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试卷上作答，答案无效。第Ⅱ卷共3题为必考题，每个试题考生都必须作2113题~第本卷包括必考题和选考题两部分。第题为选考题，考生根据要求做答。题~ 第24答。第22 分填空题：本大题共4小题，每小题5二.n=.

项和。若-S=126，则=2,a2a, S为{a}的前n{a（13）在数列}中， a nn+1=nn1nn3a= . 2,7），则f(x)=ax，+x+1的图像在点（1f(1)）处的切线过点（（14）已知函数

.

，则z=3x+y（15）x,y的最大值为满足约束条件2y26APF）的左支上一点，A（.0,6当△的右焦点，（16）已知F是双曲线C：x-=1P是C8周长最小是，该三角形的面积为三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本小题满分12分）（17）2B=2sinAsinC sin，B，C的对边，，已知a，bc分别为△ABC

内角A cosB；（Ⅰ）若a=b，求2的面积°，且，求△a=ABC（Ⅱ）设B=90 12分））（18（本小题满分ABCD. BE⊥平面AC与BD的交点，如图，四边形ABCD为菱形，G为 BED；（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面6，求该三棱锥的侧面积，三棱

锥—ACD的体积为（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC3分）（19）（本小题满分12（单位：千元）对年x某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费和年销售量z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费）和年利润销售量y（单位：t

?x =表中w=w w11 1, ，8i?1

81

y?c?dx x关于年宣传费根据散点图判断，（Ⅰ）y哪一个适宜作为年销售量与bx?a?y

的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？

??u的斜率和） v,其回归线v=,（u v）…….. （u v附：对于一组数据（u）?n212 n 1

截距的最小二乘估计分别为：

（20）（本小题满分12分）

22=1交于M,N+(y-3)两点. A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C(x-2)已知过点（1）求K的取值范围；

OMON =12，其中0为坐标原点，求︱MN2）若︱·. （（21）.（本小题满分12分）

x。设函数（Ⅰ）讨论的导函数零点的个数；)f'(f(x)x20?a。（Ⅱ）证明：当时，lna)?2a?xf(a请考生在第22、23、 24题中任选一题作答，如果多做，则安所做的第一题计分。作答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

OOO于点E。的切线，BCAB 如图，是⊙交⊙的直径，AC是⊙

O的切线；是⊙ AC的中点，证明：DED（Ⅰ）若为3CE，求∠ACBCA=的大小。（Ⅱ）若

（23）（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程

22????CC1y?2x?1??xOy2x??以坐标原点为极点，：,，圆在直角坐标系中。直线:21x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

CC的极坐标方程；求，I（）21?????N CCC求 ,与，设的交点为的极坐标方程为直线 II（）若,R??M3234MNC的面积2

（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

f(x)?|x?1|?2|x?a|,a?0. 已知函数f(x)?11a?的解集；（Ⅰ）当时，求不等式xa)f(x的取值范围，求6轴围成的三角形面积大于的图像与（Ⅱ）若．

参考答案一．选择题B ）B （6（ 4）C （5）A （D （1） 2）（3）C

C

（9）C ）（11）（10）（7）B （8）D A

B

（12 二．填空题612）））（13）6

（141

（154

（16三．解答题）解：（172（Ⅰ）由题设及正弦定理可得ac?2b，可得又ca?2b?2c,ba?2221?ab?c??cosB由余弦定理可得…………………………………6分

42ac2（Ⅱ）由（Ⅰ）知ac?b2222因为，由勾股定理得b?acB?90?222a?c?，得故ac2?ac? 12分所以的面积为1…………………………………………………………ABC 18）解：（为菱形，所以（Ⅰ）因为四边形ABCD BDAC?平面因为平面，所以，故?ACABCD?ACBEBED?BE…………………………5分平面又平面，所以平面??AECAECACBED，在菱形中，由，可得（Ⅱ）设120??ABC ABCD?ABx 3x?EG中，可得，所以在因为AECRt?ECAE22?xBE为直角三角形，可得，知由平面EBGABCD?BE266113V??ACGDBE?x?的体积由已知得，三棱锥ACDE?ACDE?32243故分9…………………………………………………………………………2?x

AE?EC?ED?6从而可得5的面积与的面积均为所以的面积为3，ECDEACEAD

3?25……………………………………的侧面积为12分故三棱锥ACDE?（19）解：

（Ⅰ）由散点图可以判断，适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方xxdc?y?y 程类型………………2分

w?x，先建立（Ⅱ）令关于的线性回归方程，由于w y^的线性回归方，因此关于所以关于的线性回归方程为w?68y?100.6x yy w^分

程…………………………………………6xy?100.6?68时，年销售量（Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当的预报值y49x?年利润的预报值z^分…………………………………966.32576.6?0.2?49?z?的预报值（ⅱ）根据（Ⅱ）

的结果知，年利润z13.6^取得最大值，，即时，所以，当6.8?x?46.24x?z

2故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大……………12分

（20）解：

（Ⅰ）由题设，可知直线的方程为1??kxy l|2k?3?1|?1与交于两点，所以因为Cl 2k?14?74?7?k?解得33774?4?的取值范围为所以……………………………………5分k M(x,y),N(x,y)（Ⅱ）设221122?1?3)x?2)(?y(，整理得将代入方程

1kx?y?4(1?k)7…………………………………………7分所以?,x??xxx

112222k?1k?1．

4k(1?k)，解得，所以由题设可得的方程为12??81x?y?1k?l21?k故圆心在上，所以…………………………………………………12分2|?|MN Cl（21）解：a2x?（Ⅰ）的定义域为，0)x??x)?2ef(()(0,f(x)??x??没有零点；当

时，，)(x(x)?0ff0a?a x2?在单调递增，当时，因为单调递增，又单调递增，所以e?)??f(0,(x)0a?xa1???存在唯一零点………6故当且时，当满足，时，，

?b0?b?)(ff(bf)(a?0)?0x0ab?44分????(,,0x?)(xx?)xx当的唯一零点为在，，（Ⅱ）由（Ⅰ）可设当时，；)??x)?0f(0,(f)(x000?时，0)?fx((0,x)(x,??)x?x时，单调递增，所以当在单调递减，故在取得最小值，))(xfxf(000f(x)最小值为

0aa22x2?0f(x)??e2?ax?aln?2a?aln2，所以由于0

00x2xaa002……………………………………………12时，分故当lna2a?)f(x?0?a a （22）解：

，由已知得，（Ⅰ）连结ABAC?AE?BC,AE故，，由已知得中在，DCDE?RtAEC

CDEC???D连结，则OEB??OBEOE?90??OED90DEC??OEB??ACB???ABC?90是，，故所以，又DE

O分的切线……………………………………

52，

由已知得（Ⅱ）设x?CE?1,AE x12??AB?23,BE224220??12AE?BECEx?x，所以，即由射影定理可得，x?12x?

3x?60ACB??分

可得，所以10……………………………

（23）解：

??????CC的极坐标的极坐标方程为，所以，（Ⅰ）因为

2cos?,yx??cossin?212?????……………………………5方程为分0sin??2?cos4?4? 22????????，解，将代入得得（Ⅱ）0cos?4?sin?2?402??4?3?4????，即，故2|?|MN2??2?22,?21121………………………10分1，所以的面积为由于的

半径为MNCC222）

解：（24 化为（Ⅰ）当时，01?x?1|f(x)?1?|x?1|?2|1a?当时，不等式化为，无解；0?x?x??142，解得当时，不等式化为；1x??02?x1?3x??1?3当时，不等式化为，解得2??2?0xx?11?x?2…………………5分所以的解集为2}??x{x|1?(x)f

3x?1?2a,x??1,??f(x)?3x?1?2a,?1?x?a,（Ⅱ）由题设可得，???x?1?2a,x?a.?2a?1，所以函数轴围成的三角形的三个顶点分别为的图像与x,0)A()xf(322，，的面积为1)(a?1)a?,?(2Ba1,0)C(a ABC3

22由题设得，故61)??a(2a?3所以的取值范围为分10………………………………a)??(2,．