第4章罚函数法
外点惩罚罚函数
https://www.wendangku.net/doc/d553975.html,/kuai_su/youhuasheji/suanfayuanli/4.3.asp 约束优化算法——外点惩罚函数法 (一)基本原理 设原目标函数为，在不等式约束条件下用外点惩罚函数法求极小。外点法常采用如下形式的泛函： （6） 由此，外点法所构造的相应的惩罚函数形式为 （7） 式中，惩罚因子是一个递增的正值数列，即 惩罚项中： （8） 由此可见，当迭代点X位于可行域内满足约束条件时，惩罚项为零，这时不管 取多大，新目标函数就是原目标函数，亦即满足约束条件时不受“惩罚”，此时求式（7）的无约束极小，等价于求原目标函数在己满足全部约束条件下的极小；而 当点X位于可行域外不满足约束条件时，惩罚项为正值，惩罚函数的值较原目标函数的值增大了，这就构成对不满足约束条件时的一种“惩
罚”。 由式（7）可知,每一次对罚函数求无约束的极值，其结果将随该次所给定的罚因子值而异。在可行域外，离约束边界越近的地方，约束函数的值越大，的值也就越小，惩罚项的作用也就越弱，随着罚因子逐次调整增大，有增大惩罚项的趋势，但一般说来泛函值下降得更 快一些。此时尽管值增大，但泛函值亦趋于零，满足式（3）。最后当，泛函值和惩罚项值均趋近于零。外点法在寻优过程中，随着罚因子的逐次调整增大，即取 ，所得的最优点序列可以看作是以为参数的一条轨迹，当时，最优点点列 从可行域的外部一步一步地沿着这条轨迹接近可行域，所得的最优点列逼近原问题的约束最优点。这样，将原约束最优化问题转换成为序列无约束最优化问题。外点法就是因从可行域的外部逼近最优解而得名。 (二)迭代过程及算法框图 外点惩罚函数法的具体迭代步骤如下： (1)给定初始点，初始惩罚因子，迭代精度，递增系数c>1，维数n。置。 (2)以为初始点，用无约束最优化方法求解惩罚函数的极小点，即： （9）。 (3)检验是否满足迭代终止条件： 或（若） 或（若） 若不满足，则进行第(4)步;否则转第(5)步。
07第三章罚函数法及改进算法
第3章 罚函数法及改进算法 3.1 引言 罚函数法是解决约束优化问题的重要方法，它的基本思想是用无约束问题代替约束问题，因而无约束问题的目标函数必须是原来的目标函数与约束函数的某种组合，类似线性规划中的M 法求初始可行解，在原来的目标函数上加上由约束函数组成的一个“惩罚项”来迫使迭代点逼近可行域，所以称为罚函数法。这样把约束问题转化成求解一系列的无约束极小点，通过有关的无约束问题来研究约束极值问题，从而使问题变的简单。许多非线性约束优化方法都要用罚函数作为评价函数来评价一个点的好坏，这在选择新点确定步长等方面都起着重要的作用，不同的罚项对算法影响很大，根据罚项的不同可以分为以下几类： 外罚函数法 对于问题 min ()f x (3-1) .s t ()0i c x = 1,2,,;i m =??? (3-2) ()0i c x ≥ 1,2,,;i m m n =++??? (3-3) 其中:n f R R →为线性连续函数。 定义外罚函数为: (,)L x σ()()f x P x σ=+()()f x Q x σ=+ (3-4) ()Q x =11()min{0,()}m n i i i i m c x c x βα ==++ ∑∑ (3-5) 通常取==2αβ，这样定义的外罚函数法，当x 为可行点是，()0Q x =；当x 不是可行点时，()0Q x >。而且x 离可行域越远()Q x 的值越大，它优点是允许从可行域的外部逐步逼近最优点，但其明显的缺点是它需要求解一系列无
约束极小化问题，计算工作量很大，且由于其收敛速度仅是线性的，往往需要较长的时间才能找到问题的近似解，再考虑到实际中所使用的终止准则，若实现不当，则算法很难找到约束问题的一个较好可行解，从而不适用于那些要求严格可行性的问题。 内罚函数法 它是针对不等式约束(3-1)(3-3)提出的，基本思想是在约束区域的边界筑起一道“墙”来，当迭代点靠近边界时，函数值陡然增大，于是最优点被挡在可行域内部，这样产生的点列k x 每个点都是可行点。通常定义内罚函数为： 1 (,)()()B x f x B x σσ=+ (3-6) 11()() m i i B x c x ==∑ (3-7) 要减弱()B x 的影响，故令σ逐渐增大。内罚函数法的好处是每次迭代的点都是可行点，当迭代到一定阶段时，可以被接受为一个较好的近似最优解。但是内点罚函数法要求初始点位于可行域的内部，除特殊情况外，确定这样一个初始点并非易事。此外，由于内点罚函数不是处处有定义或不一定存在全局极小，故无约束最优化问题中的线性搜索方法不再适用，另外，当接近可行域边界时，内点罚函数法必须修正通常的线性搜索方法。 由于内点罚函数法不能处理等式约束，且寻求初始可行点的计算工作量往往太大。因此，在实际中，为了求解一般的非线性约束优化问题，人们往往将内点罚函数法与外点罚函数法结合起来适用。 混合罚函数法 混合罚函数法是针对问题(3-1)-(3-3)提出来的，当初始点0x 给定后，对等式约束和不被0x 满足的那些不等式约束用外罚函数法，而被0x 满足的那些不等式约束用内罚函数法。 通常定义混合罚函数为： 1 11(,)()( )()()i I i P x f x P x c x σσσ∈=++∑ (3-8)
内点法+外点法
1.外点法 的约束最优化问题。（由约束条件作图） 解：取()()()00120,0,0.01,10,0.01,0;X C r k εε====== 外点法惩罚函数为：（会转化，并且把握函数值的趋势） （看到了min 就要知道在平面中取什么范围内的点，才可使罚函数达到最小） 対上式求偏导得： () () 1211221226 28 264152845x x x r x x r x x x φφ--???????? ?? ==????-+--+-???????? ?? 无约束目标函数极小化问题的最优解系列为： ()()** 12156584242 r r x r x r r r ++== ++ 22 121122123142 min ()(3)(4) .. ()50 () 2.50 ()0 ()0 f X x x s t g X x x g X x x g X x g X x =-+-=--≥=--≥=≥=≥()()()()()()()()()()()()()()()222222 1212121222 112212342222 11 22121212min ,34max 0,5max 0, 2.5max 0,max 0,69816(0,0,0,0)698165 2.5(0,0,x r x x r x x r x x r x r x x x x x g x g x g x g x x x x x r x x r x x g x g x g φ=-+-++-+-+++-+-????????????????-++-+-≤-≤-≤-≤=-++-+++-+-++->->-()()340,0)x g x ???? ??≤-≤????
第三章罚函数法及改进算法
第3章罚函数法及改进算法 3、1 引言 罚函数法就是解决约束优化问题得重要方法,它得基本思想就是用无约束问题代替约束问题,因而无约束问题得目标函数必须就是原来得目标函数与约束函数得某种组合,类似线性规划中得M法求初始可行解,在原来得目标函数上加上由约束函数组成得一个“惩罚项”来迫使迭代点逼近可行域,所以称为罚函数法。这样把约束问题转化成求解一系列得无约束极小点,通过有关得无约束问题来研究约束极值问题,从而使问题变得简单。许多非线性约束优化方法都要用罚函数作为评价函数来评价一个点得好坏,这在选择新点确定步长等方面都起着重要得作用,不同得罚项对算法影响很大,根据罚项得不同可以分为以下几类: 外罚函数法 对于问题 (3-1) (3-2) (3-3) 其中为线性连续函数。 定义外罚函数为: (3-4) (3-5) 通常取,这样定义得外罚函数法,当为可行点就是,;当不就是可行点时,。而且离可行域越远得值越大,它优点就是允许从可行域得外部逐步逼近最优点,但其明显得缺点就是它需要求解一系列无约束极小化问题,计算工作量很大,且由于其收敛速度仅就是线性得,往往需要较长得时间才能找到问题得近似解,
再考虑到实际中所使用得终止准则,若实现不当,则算法很难找到约束问题得一个较好可行解,从而不适用于那些要求严格可行性得问题。 内罚函数法 它就是针对不等式约束(3-1)(3-3)提出得,基本思想就是在约束区域得边界筑起一道“墙”来,当迭代点靠近边界时,函数值陡然增大,于就是最优点被挡在可行域内部,这样产生得点列每个点都就是可行点。通常定义内罚函数为: (3-6) (3-7) 要减弱得影响,故令逐渐增大。内罚函数法得好处就是每次迭代得点都就是可行点,当迭代到一定阶段时,可以被接受为一个较好得近似最优解。但就是内点罚函数法要求初始点位于可行域得内部,除特殊情况外,确定这样一个初始点并非易事。此外,由于内点罚函数不就是处处有定义或不一定存在全局极小,故无约束最优化问题中得线性搜索方法不再适用,另外,当接近可行域边界时,内点罚函数法必须修正通常得线性搜索方法。 由于内点罚函数法不能处理等式约束,且寻求初始可行点得计算工作量往往太大。因此,在实际中,为了求解一般得非线性约束优化问题,人们往往将内点罚函数法与外点罚函数法结合起来适用。 混合罚函数法 混合罚函数法就是针对问题(3-1)-(3-3)提出来得,当初始点给定后,对等式约束与不被满足得那些不等式约束用外罚函数法,而被满足得那些不等式约束用内罚函数法。 通常定义混合罚函数为: (3-8) (3-9) 精确罚函数法 对于外点罚函数法与内点罚函数法来说,其工作量很大,收敛慢得主要
[设计]罚函数法MATLAB程序
[设计]罚函数法MATLAB程序 一、进退法、0.618法、Powell法、罚函数法的Matlab程序设计罚函数法(通用) function y=ff(x,k) y=-17.86*0.42*x(1)/(0.8+0.42*x(1))*(1-exp(- 2*(0.8+0.42*x(1))/3))*exp(-1.6)*x(2)-22. 99*x(1)/(0.8+x(1))*(1-exp(-2*(0.8+x(1))/3))*x(3)+k*(x(2)- (1.22*10^2*(9517.8*exp(-1 .6-2*0.42*x(1)/3)*x(2)+19035.6*exp(- 2*x(1)/3)*x(3)))/(1.22*10^2+9517.8*exp(-1.6-2 *0.42*x(1)/3)*x(2)+19035.6*exp(-2*x(1)/3)*x(3)))^2+k*(x(3)-exp(-0.8-2*x(1)/3)*x(3) -exp(-2.4-2*0.42*x(1)/3)*x(2))^2; % 主函数，参数包括未知数的个数n，惩罚因子q，惩罚因子增长系数k，初值x0，以及允许的误差r function G=FHS(x0,q,k,n,r,h,a) l=1; while (l) x=powell(x0,n,q,r(1),h,a); %调用powell函数 g(1)=ff1(x),g(2)=ff2(x) . . . g(p)=ffp(x); %调用不等式约束函数，将其值 %存入数组g h(1)=hh1(x),h(2)=hh2(x) . . . h(t)=hht(x); %调用等式约束函数，将其值%存入数组h for i=1:p
惩罚函数法简介
惩罚函数法简介 罚函数法 它将有约束最优化问题转化为求解无约束最优化问题： 其中M为足够大的正数，起"惩罚"作用，称之为罚因子，F(x,M)称为罚函数。 定理 对于某个确定的正数M,若罚函数F(x,M)的最优解x*满足有约束最优化问题的约束条件，则x*是该问题的最优解。 序列无约束最小化方法 罚函数法在理论上是可行的，在实际计算中的缺点是罚因子M的取值难于把握，太小起不到惩罚作用；太大则由于误差的影响会导致错误。 改进 这些缺点，可根据上述定理加以改进，先取较小的正数M，求出F(x,M)的最优解x*。 当x*不满足有约束最优化问题的约束条件时，放大M(例如乘以10)重复进行，直到x*满足有约束最优化问题的约束条件时为止。 种类 传统的罚函数法一般分为外部罚函数法和内部罚函数法。外部罚函数法是从非可行解出发逐渐移动到可行区域的方法。内部罚函数法也称为障碍罚函数法，这种方法是在可行域内部进行搜索，约束边界起到类似围墙的作用，如果当前解远离约束边界时，则罚函数值是非常小的，否则罚函数值接近无穷大的方法。 由于进化计算中通常采用外部罚函数法，因此本文主要介绍外部罚函数法。在进化计算中，研究者选择外部罚函数法的原因主要是该方法不需要提供初始可行解。需要提供初始可行解则是内部罚函数法的主要缺点。由于进化算法应用到实际问题中可能存在搜索可行解就是NP难问题，因此这个缺点是非常致命的。 外部罚函数的一般形式为 B(x)=f(x)+[∑riGi+∑cjHj] 其中B(x)是优化过程中新的目标函数，Gi和Hj分别是约束条件gi(x)和hj(x)的函数，ri和cj是常数，称为罚因子。 Gi和Hj最常见的形式是 Gi=max[0,gi(x)]a Hj=|hj(x)|b 其中a和b一般是1或者2。 理想的情况下，罚因子应该尽量小，但是如果罚因子低于最小值时可能会产生非可行解是最优解的情况（称为最小罚因子规则）。这是由于如果罚因子过大或者过小都会对进化算法求解问题产生困难。 如果罚因子很大并且最优解在可行域边界，进化算法将很快被推进到可行域以内，这将不能返回到非可行域的边界。在搜索过程开始的时候，一个较大的罚因子将会阻碍非可行域的搜索。如果在搜索空间中可行域是几个非连通的区域，则进化算法可能会仅移动在其中一个区域搜索，这样将很难搜索到其他区域，除非这些区域非常接近。另一方面，如果罚因子太小，这样相对于目标函数罚函数项是可以忽略的，则大量的搜索时间将花费在非可行域。由于很多问题的最优解都在可行域的边界，大量时间在非可行域进行搜索对找到最优解是没有多大作用的，这对于进化算法来说非常致命的。 最小罚因子规则概念是很简单的，但是实现起来却是非常的困难。对于一个
混合惩罚函数法
混合型惩罚函数法：混合法是综合外点法和内点法的优点而建立的一种惩罚函数法。 混合型惩罚函数法有两种形式：内点形式的混合型惩罚函数法和外点型惩罚函数法。 （一） 内点形式的混合型惩罚函数法 不等式约束部分按内点型惩罚函数法形式处理，其惩罚函数形式为 212121=1 1 [()]()p m k k k k v u v u r h X g X ?=+∑∑（X ，r ,r ）=f(X)+r 式中，惩罚因子12,k k r r 应分别为递减和递增的正值数列，为了统一用一个内点惩罚因子，可将上式写成如下形式 ()2 11 11(,)()[()]()p m k k v u v u X r f x r h X g X ?===++ ∑ 式中()k r 和内点法一样，为一个递减的正值数列，即 (1)(2)()()......0min 0 k k r r r r >>>>= 内点形式的混合型惩罚函数法的迭代过程及算法框图均与内点惩罚函数法相同。初始点(0)X 必须是严格满足诸不等式约束条件的内点，初始惩罚因子()k r 、抵减系数e 均应参照内点惩罚函数法进行选取。 （二） 外点形式的混合型惩罚函数法
不等式约束部分按外点惩罚函数法形式处理，其惩罚函数形式为 ()221 1 (,)(){[min{0,()}][()]} m P k u v u V X r f X g X h X ?===++∑∑式中，惩罚因子()k r 和外点法一样，为一个递增的正值数列，即 (1)(2)0..... min k r r r →∞ <<<<<=+∞ （k ） 外点形式的混合型惩罚函数法的迭代过程及算法框图均与外点惩罚函数法相同。初始点(0)X 可在n R 空间任选，初始惩罚因子(1)r 、递增系数c 均与参照外点惩罚函数法进行选取。 [1]胡洪涛，NGW 行星回转减速器可靠性优化设计[D].合肥：合肥工业大学，1996. [2]王述彦、马鹏飞，2K-H 型行星齿轮系传动的优化设计[J].建筑机械化，2002.5. [3]陈秀宁，机械优化设计[M].浙江：浙江大学出版社，1989. [4]陈举华、朱国强，行星齿轮传动的可靠性优化设计[M].北京：化学 [5]梁小光，行星齿轮减速器优化设计的数学模型[J].山西机械，2003. [6]龚小平，行星齿轮传动的模糊可靠性优化设计[J].行星齿轮传动
外点法求约束最优化问题
数学规划课程设计 题目外点法求约束最优化问题 姓名 学号 成绩
摘要 罚函数是应用最广泛的一种求解式的数值解法，基本思路是通过目标函数加上惩罚项，将原约束非线性规划问题转化为求解一系列无约束的极值问题。（这种惩罚体现在求解过程中，对于企图违反约束的那些迭代点，给予很大的目标函数值，迫使这一系列无约束问题的极小值或者无限地向可行解（域）逼近，或者一直保持在可行集（域）内移动，直到收敛于原来约束问题的极小值点。） 本文....... 外点法可用于求解不等式约束优化问题，又可用于求解等式约束优化问题，主要特点是惩罚函数定义在可行域的外部，从而在求解系列无约束优化问题的过程中，从可行域外部逐渐逼近原约束优化问题最优解。 关键词：罚函数法、约束最优化问题、外点法
一、预备知识（基本理论） 看下是否还有定理、定义等等，可以加一些 外点惩罚函数法的一般形式 考虑不等式约束优化设计时：对 ) ,2,1(,0)(. .), (min m u X g t s R x X f u n =≥∈ 构造一般形式的外点惩罚函数为： []2 1 } )(,0{min )(),(∑=+=m u u k k X g r X f r X P 其中： （1）当满足所有约束条件时惩罚项为0，即 []{}0 )(,0min 2 1 =∑=m u u k X g r （2）当 X 违反某一约束条件，即0 )(
第四章 Laplace方程的格林函数法
第四章 Laplace 方程的格林函数法 在第二、三两章，系统介绍了求解数学物理方程的三种常用方法—分离变量法、行波法与积分变换法，本章来介绍Laplace 方程的格林函数法。先讨论此方程解的一些重要性质，在建立格林函数的概念，然后通过格林函数建立Laplace 方程第一边值问题解的积分表达式。 §4.1 Laplace 方程边值问题的提法 在第一章，从无源静电场的电位分布及稳恒温度场的温度分布两个问题推导出了三维Laplace 方程 2 2 2 2 2 2 2 u u u u u x y z ????=?≡ + + =??? 作为描述稳定和平衡等物理现象的Laplace 方程，它不能提初始条件。至于边界条件，如第一章所述的三种类型，应用得较多的是如下两种边值问题。 （1）第一边值问题 在空间(,,)x y z 中某一个区域Ω的边界Γ上给定了连续函数f ，要求这样一个函数(,,)u x y z ，它在闭域Ω+Γ（或记作Ω）上连续，在Ω内有二阶连续偏导数且满足Laplace 方程，在Γ上与已知函数f 相重合，即 u f Γ = （4.1） 第一边值问题也称为狄利克莱（Dirichlet ）问题，或简称狄氏问题，§2.3中所讨论过的问题就是圆域内的狄氏问题。
Laplace 方程的连续解，也就是所，具有二阶连续偏导数并且满足Laplace 方程的连续函数，称为调和函数。所以，狄氏问题也可以换一种说法：在区域Ω内找一个调和函数，它在边界Γ上的值为已知。 （2）第二边值问题 在某光滑的闭曲面Γ上给出连续函数f ，要求寻找这样一个函数(,,)u x y z ，它在Γ内部的区域Ω中是调和函数，在 Ω+Γ 上连续，在Γ上任一点处法向导数 u n ??存在，并且等于已知函数f 在该点的值： u f n Γ ?=? （4.2） 这里n 是Γ的外法向矢量。 第二边值问题也称纽曼（Neumann ）问题。 以上两个问题都是在边界Γ上给定某些边界条件，在区域内部要求满足Laplace 方程的解，这样的问题称为内问题。 在应用中我们还会遇到Dirichlet 问题和Neumann 问题的另一种提法。例如，当确定某物体外部的稳恒温度场时，就归结为在区域Ω的外部求调和函数u ，使满足边界条件u f Γ =，这里Γ是Ω的边界，f 表示物体表面的温度分布。像这样的定解问题称为Laplace 方程的外问题。 由于Laplace 方程的外问题是在无穷区域上给出的，定解问题的解是否应加以一定的限制？基于电学上总是假定无穷远处的电位为零，所以在外问题中常常要求附加如下条件： lim (,,)0(r u x y z r →∞ == （4.3） （3）狄氏外问题 在空间(,,)x y z 的某一闭曲面Γ上给定连续函数
内点惩罚函数法子程序
#include "stdio.h" #include "stdlib.h" #include "math.h" const int kkg=3; double r0; double f(double x[]) {double ff; ff=pow((x[0]-8),2)+pow((x[1]-8),2); return(ff); } /*约束条件子程序*/ void strain(double x[],double g[]) {g[0]=x[0]-1; g[1]=x[1]-1; g[2]=11-x[0]-x[1]; } /*惩罚函数子程序*/ double objf(double p[]) {int i; double ff,sg,*g; g=(double *)malloc(kkg*sizeof(double)); sg=0; strain(p,g); for(i=0;i
for(i=0;i 罚函数法 罚函数法是能够处理一般的约束优化问题：min ()()0,1,2,()0,1,2,,i i f x h x i k g x j m ?? ==??≥=?的一类方 法。其基本思想是将约束优化问题卑微无约束问题来求解。罚函数是由目标函数和约束函数的某种组合得到的函数，对于等式约束的优化问题 min ()()0,1,2, i f x h x i k ?? ==?，可以定义如下的罚函数： 21 ()()()k i i F x f x c h x ==+∑ 将约束优化问题转化为无约束优化问题；对于不等式约束的优化问题 min ()()0,1,2, ,i f x g x j m ?? ≥=? 可以定义如下的罚函数： 1 1 ()()() m j j F x f x C g x ==+∑ 对于同时存在等式约束和不等式约束的优化问题，可以去上面两个罚函数的组合。当然罚函数还有其他的取法，但是构造罚函数的思想都是一样的，即使得在可行点罚函数等于原来的目标函数值，在不可行点罚函数等于一个很大的数。 外点罚函数法 1.算法原理 外点罚函数法是通过一系列罚因子{}i c ，求罚函数的极小值来逼近原约束问题的最有点。之所以称为外点罚函数法，是因为它是从可行域外部向约束边界逐步靠拢的。 2，。算法步骤 用外点罚函数法求解线性约束问题min () f x Ax b ??=?的算法过程如下： 1，给定初始点(0)x ，罚参数列{}i c 及精度0ε>，置1k =； 2，构造罚函数2 ()()F x f x c Ax b =+-； 3，用某种无约束非线性规划，以(1)k x -为初始点求解min ()F x ； 4，设最优解为()k x ，若()k x 满足某种终止条件，则停止迭代输出()k x ，否则 第五章 格林函数法 在第二章中利用分离变量法求出了矩形区域和圆域上位势方程Dirichlet 问 题的解.本章利用Green 函数法求解一些平面或空间区域上位势方程Dirichlet 问题. 另外，也简单介绍利用Green 函数法求解一维热传导方程和波动方程半无界问题. 应指出的是：Green 函数法不仅可用于求解一些偏微分方程边值问题或初边值问题，特别重要的是，它在偏微分方程理论研究中起着非常重要的作用. §5?1 格林公式 在研究Laplace 方程或Poisson 方程边值问题时，要经常利用格林（Green ）公式，它是高等数学中高斯（Gauss ）公式的直接推广. 设Ω为3R 中的区域，?Ω充分光滑. 设k 为非负整数，以下用()k C Ω表示在 Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体，()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实 函数全体. 如()10()()()()u C C C C ∈Ω?ΩΩ=Ω，表示(,,)u x y z 在Ω具有一阶连续偏导数而在Ω上连续. 另外，为书写简单起见，下面有时将函数的变量略去. 如将(,,)P x y z 简记为P ，(,,)P x y z x ??简记为P x ??或x P 等等. 设(,,)P x y z ，(,,)Q x y z 和(,,)R x y z 1()C ∈Ω，则成立如下的Gauss 公式 ( )P Q R dV Pdydz Qdydx Rdxdy x y z Ω ?Ω ???++=++???????? (1.1) 或者 ( )(cos cos cos )P Q R dV P Q R ds x y z αβγΩ ?Ω ???++=++???????? (1.2) 如果引入哈米尔顿（Hamilton ）算子： ( ,,)x y z ??? ?=???，并记(,,)F P Q R = ，则Gauss 公式具有如下简洁形式 ???????=??Ω Ω ds n F dv F (1.3) 其中(cos ,cos ,cos )n αβγ= 为?Ω的单位外法向量. 注1 Hamilton 算子是一个向量性算子，它作用于向量函数(,,)F P Q R = 时，其运算定义为 (,,)(,,) , F P Q R x y z P Q R x y z ??? ??=???????=++??? 重庆科技学院学生实验报告 附录function [x,minf] = minGeneralPF(f,x0,h,c1,p,var,eps) format long; if nargin == 6 eps = 1.0e-4; end k = 0; FE = 0; for i=1:length(h) FE = FE + (h(i))^2; end x1 = transpose(x0); x2 = inf; while 1 M = c1*p; FF = M*FE; SumF = f + FF; [x2,minf] = minNT(SumF,transpose(x1),var); if norm(x2 - x1)<=eps x = x2; break; else c1 = M; x1 = x2; end end minf = subs(f,var,x); format short; %牛顿法求解无约束最优化问题 function [x,minf] = minNT(f,x0,var,eps) format long; if nargin == 3 eps = 1.0e-6; end tol = 1; x0 = transpose(x0); gradf = jacobian(f,var); jacf = jacobian(gradf,var); while tol>eps v = subs(gradf,var,x0); tol = norm(v); pv = subs(jacf,var,x0); p = -inv(pv)*transpose(v); p = double(p); x1 = x0 + p; x0 = x1; end x = x1; minf = subs(f,var,x); format short; >> syms x y; >> minGeneralPF(x^2+y^2,[1,1],y^2-1,1000,10,[x,y],0.0001) ans = 1.0000 罚函数法 本章介绍一类求解约束优化问题的方法----惩 罚函数法。这类方法是求解无约束优化问题的最 早的一类方法，也是一类比较有效的方法。 罚函数法的基本思想就是，借助罚函数把 约束问题转化为无约束问题，进而用无约束最优 根据我们利用的罚函数的类型，分为 外点罚函数法的算法思想 0, i=1, 2, …, m = 0, j=1, 2, …, l n上的连续函数。 由于上述问题存在约束，而且约束可能 是非线性的，因此在求解是必须同时照顾到 满足约束条件这两个 = 0, j=1, 2, …, l 方面。实现这一点的途径是有目标函数和约 束函数组成辅助函数，把原来的约束问题转 化为极小化辅助函数的无约束问题。 x ()(8.1) 的最优解必须使得h j (x )接近的第二项将是很大的正数，现行点必不是极小点。因此可见，求解问题(8.2)的近似解。 (8.2) 转化为无约束问题 0, i=1, 2, …, m 不等式约束问题的辅助函数与等式约束的辅助函数情形不同，但构造辅助函数的基本思在可行点辅助函数等于原来的目标函数值，在不可行点，辅助函数值等于原来的目标函数值加上一个很大的正数。}2 ()(8.3) i g x ??? }0,.()0 i g x ?={}max 0,.()() i i g x g x ?=?的最优解必须使得g i (x )大于 的第二项将是很大的正数，现行点必不是极小点。因此可见，求解问的近似解。 (8.4) 转化为无约束问题 0, i=1, 2, …, m = 0, j=1, 2, …, l 我们把上述思想加以推广，对于一般问(8.5) ()) (8.6) j h x 是满足以下条件的连续函数 外点罚函数优化实例 一、优化问题 如图1所示，为某一桁架的一部分，杆2距O 点30cm 处有一支点C 。为了固定桁架，现欲在杆1和2上设置支点A 和B ，用来连接杆3（可拆卸）。已知当桁架固定时，杆1和2成直角；而且，杆1右边有一段长为20cm 的重要部位，不能设置支点。卸去杆3、收起桁架时，支点A 的位置不能高于BC 段中点D 。求取支点A 、B 的位置，使得杆3的长度尽量小，以节省材料。 图1 桁架结构示意图 二、数学模型 设A 、B 两点距离O 点的长度分别为1x 和2x ，而桁架固定时杆1和2成直角。 所以杆3的长度为22213x x l +=。 由图1可知，201≥x 且)30(2 121+≤x x ，即0201≤+-x 且030221≤--x x 。 设T x x X ],[21=，取222123)(x x l X f +==。因此，数学模型为： 极小化目标函数 2221)(min x x X f += 约束条件 020)(11≤+-=x X g 0302)(212≤--=x x X g 三、求解数学模型 (1)外点罚函数法求解 构造外点法罚函数，如下： })]0,302[m ax ()]0,20{[(m ax (),(22121)(2221)(--+-++=x x x M x x M X k k φ 程序流程图如图2所示： 图2 外点罚函数法程序流程图 程序步骤： ①选择适当的初始罚因子)0(M 、初始点)0(X 、收敛精度ε和罚因子系数c 。在本程序中分别取1)0(=M ，]20,20[)0(=X ，610-=ε，c=8。令迭代步数k=0。 ②采用牛顿法求无约束问题),(m in )(k M X φ的极值点)()(*k M X 。 2013-2014 (1) 专业课程实践论文 内点法 内点法总是从可行域的内点出发，并保持在可行域内进行搜索，因此这种方法适用于只有不等式约束条件的问题 内点法据图计算步骤： 1．给定初()D x int 0∈，允许误差0?ε，初始参数0r 1?缩小系数1k ），1,0（=∈β； 2．以）1-k （x 为初始点，求解问题 Min )()(f x B r x k + . D int x ∈ 3．若ε?)()(k k x B r 则停，得近似解)(k x ；否则令1,r 1k +==+k k r k β回2. clc m=zeros(1,50); a=zeros(1,50); b=zeros(1,50); f0=zeros(1,50); syms x1 x2 e; m(1)=1;c=;a(1)=2;b(1)=-3; f=x1^2+x2^2-e*(1/(2*x1+x2-2)+1/(1-x1)); f0(1)=15; fx1=diff(f,'x1'); fx2=diff(f,'x2'); fx1x1=diff(fx1,'x1'); fx1x2=diff(fx1,'x2'); fx2x1=diff(fx2,'x1'); fx2x2=diff(fx2,'x2'); for k=1:100 x1=a(k);x2=b(k);e=m(k); for n=1:100 f1=subs(fx1); f2=subs(fx2); f11=subs(fx1x1); f12=subs(fx1x2); f21=subs(fx2x1); f22=subs(fx2x2); if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<= a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs(f)); break; else X=[x1 x2]'-inv([f11 f12;f21 f22])*[f1 f2]'; x1=X(1,1);x2=X(2,1); end end if(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)-b(k))^2))<=&&(double(abs((f0 (k+1)-f0(k))/f0(k)))<= a(k+1) b(k+1) k f0(k+1) break; 第5章格林函数法 格林（Green）函数，又称为点源影响函数，是数学物理中 的一个重要概念．格林函数代表一个点源在一定的边界条件下和初始条件下所产生的场．知道了点源的场，就可以用叠加的方法计算出任意源所产生的场． 格林函数法是解数学物理方程的常用方法之一． 5.1 格林公式 T Σ 上具有连续一阶导数, 在区域及其边界 中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理 d d T T div = ?∫∫∫ ∫∫∫ i A V = A V (5.1.1) 单位时间内流体流过边界闭曲面S 的流量 单位时间内V 内各源头产生的流体的总量 将对曲面 Σ 的积分化为体积分 d ()d d d T T T u u V u V u V Σ ?=??=Δ+??∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫i i i S v v v v (5.1.2) ()uv u v u v ?=??+?以上用到公式称上式为第一格林公式．同理有 d ()d d d T T T u u V u V u V Σ ?=??=Δ+??∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫∫∫i i i S v v v v (5.1.3) 上述两式相减得到 ()d ()d T u u u u V Σ ???=Δ?Δ∫∫ ∫∫∫i S v v v v 的外法向偏导数． 5.1.4）为第二格林公式． 进一步改写为 ()d ()d T u S u u V n Σ???=Δ?Δ??∫∫∫∫∫ v u v v v n （5.1.4） 5.2 泊松方程的格林函数法 讨论具有一定边界条件的泊松方程的定解问题．泊松方程()() u f Δ=?r r (5.2.1)（5.2.2） 是区域边界 Σ 上给定的函数. 是第一、第二、第三类边界条件的统一描述 2013-2014 (1) 专业课程实践论文 内点法 一、算法理论 内点法总是从可行域的内点出发，并保持在可行域内进行搜索，因此这种方法适用于只有不等式约束条件的问题 内点法据图计算步骤： 1．给定初()D x int 0∈，允许误差0?ε，初始参数0r 1?缩小系数1k ），1,0（=∈β； 2．以）1-k （x 为初始点，求解问题 Min )()(f x B r x k + . D int x ∈ 3．若ε?)()(k k x B r 则停，得近似解)(k x ；否则令1,r 1k +==+k k r k β回2. clc m=zeros(1,50); a=zeros(1,50); b=zeros(1,50); f0=zeros(1,50); syms x1 x2 e; m(1)=1;c=;a(1)=2;b(1)=-3; f=x1^2+x2^2-e*(1/(2*x1+x2-2)+1/(1-x1)); f0(1)=15; fx1=diff(f,'x1'); fx2=diff(f,'x2'); fx1x1=diff(fx1,'x1'); fx1x2=diff(fx1,'x2'); fx2x1=diff(fx2,'x1'); fx2x2=diff(fx2,'x2'); for k=1:100 x1=a(k);x2=b(k);e=m(k); for n=1:100 f1=subs(fx1); f2=subs(fx2); f11=subs(fx1x1); f12=subs(fx1x2); f21=subs(fx2x1); f22=subs(fx2x2); if(double(sqrt(f1^2+f2^2))<= a(k+1)=double(x1);b(k+1)=double(x2);f0(k+1)=double(subs(f)); break; else X=[x1 x2]'-inv([f11 f12;f21 f22])*[f1 f2]'; x1=X(1,1);x2=X(2,1); end end if(double(sqrt((a(k+1)-a(k))^2+(b(k+1)-b(k))^2))<=&&(double(abs((f0(k+1)-f 0(k))/f0(k)))<= a(k+1) b(k+1) k f0(k+1) break; else m(k+1)=c*m(k); end end 四、算法实现 例1.利用内点法求解 2 2 2 1 min x x+ 2 2 2 1 ≤ - +x x 解：改变算法中f=x1^2+x2^2-e*(1/(2*x1+x2-2)+1/(1-x1)); 回车完成结果复制粘贴代码，回车出现结果 例2.利用内点法求解 太原理工大学机械学院机测系课程上机实验报告课程名称：机械优化设计 班级日期成绩评定 姓名实验室老师签名 实验 名称 利用罚函数法（内、外部惩罚函数法）求解相关函数的极小值点 所用 软件 DEV-C++ 5 实验目的及内容实验目的： 1.掌握并能够建立最优化基本类型问题的数学模型。 2.掌握最优化方法的基本概念、基本理论和基本方法，奠定最优化的理论基础。 3.能够熟练编制和调试最优化方法的程序，奠定解决实际中的优化问题的基础 实验内容： 理解惩罚函数法并编写相关程序求其最优解。 惩罚函数法程序考核题： 外点： ? ? ? ? ? ? ? ? = + - ≥ + - - - + - = 1 2 1 25 .0 .. )1 ( )2 ( ) ( min 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 x x x x t s x x x f ，其初始迭代点为T x]2,2[ =，中止误差5 1- =e ε 实验原理： 实 验 原 理 步 骤 、 实验步骤： 1，画流程图，编写程序； 2，将目标函数代入； 3，编译运行，将结果保存。 实验结果及分析**********外点惩罚函数法计算结果********** **********无约束优化方法：鲍威尔法********** ++++++一维搜索方法：黄金分割法++++++ **********初始惩罚因子：r0= 1.00********** ********** 递增系数：c0=10.00********** 初始坐标： x( 0)=[ 2.0000000, 2.0000000], f( 0)= 1.0000000 迭代轮数k= 1 x( 1)=[ 2.0000000, 1.0000001], f( 1)= 0.0000000 迭代精度：0.999999931 迭代轮数k= 2 x( 2)=[ 2.0000003, 0.9999998], f( 2)= 0.0000000 迭代精度：0.000000413 ********************* 外点惩罚函数法优化最优点及目标函数值为： x( *)=[ 2.0000003, 0.9999998], f( *)= 0.0000000 迭代精度：0.000000413罚函数罚与乘子法 (1) 2
数学物理方程-第五章格林函数法
等式约束极值问题-外点罚函数法
罚函数法
外点罚函数优化实例
惩罚函数的内点法
第5章格林函数法
惩罚函数的内点法
惩罚函数法