大一班数学测试题讲课稿
大一班数学测试题
大班数学测试题
姓名：
一、数一数，填一填
☆☆☆☆☆☆☆☆○☆☆☆□☆☆△☆
1.从左边数第9个是（）
2.从右边数第5个是（）
3.从右边数第2个是（）
4.上面一共有（）个☆
二、比一比
（1）
﹙﹚和﹙﹚谁比较胖，在胖的﹙﹚里打“√”
⑵下面图中什么在上面，什么在下面，请在下面的物体旁边﹙﹚里画△
﹙﹚﹙﹚
﹙﹚﹙﹚
三、比较大小：填 > < =
2+3○6 6+5○11 12-8○2+2 6+3○8 7+5○12 15-7○8 8-5○4 19-4○5+6 6+6○13 6+9○15 15-5○9 11-5○5 4+5○8 10+3○13
四、把下面每组数字排排队
8 4 13 3 15 16 12 13 18
○﹤○﹤○○﹤○﹤○○﹤○﹤○
五、□□□□○○○○☆☆☆☆☆☆☆☆
□□□□○○○☆☆☆☆☆
﹙﹚＋﹙﹚﹦﹙﹚﹙﹚＋﹙﹚﹦﹙﹚
﹙﹚＋﹙﹚﹦﹙﹚﹙﹚＋﹙﹚﹦﹙﹚
﹙﹚-﹙﹚﹦﹙﹚﹙﹚-﹙﹚﹦﹙﹚
﹙﹚-﹙﹚﹦﹙﹚﹙﹚-﹙﹚﹦﹙﹚
六、找立体图形
球体有﹙﹚个长方体有﹙﹚个圆柱有﹙﹚个正方体有﹙﹚个
七、计算
9-1= 9+6= 6+8= 12+3= 13+4= 18-9= 8+9=
12-7= 7+5= 15+4= 14+2= 16-8= 15+5= 14-9=
15-8= 13+6= 12-5= 13-6= 18-8= 14-7= 11-2=
13-8= 11-6= 15-6= 8 +6= 9 +7= 12+6= 14+5=
16+4= 13+8= 17+4= 18+6= 10 -6 + 7 = 12–7 + 5=
4 - 4 +6 = 9 + 7–8 = 10 -
5 + 8 = 13- 8 +
6 = 6 +
7 -5=
八、连一连
3+8 19-7 10+2 12-3
6+7 17-3 6+3 16-4
5+9 16-5 7+6 19-3
数学分析试题库--证明题
数学分析题库（1-22章） 五．证明题 1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件： （1）对任何B b A a ∈∈,有b a <； （2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A = 2.设A ，B 是非空数集，记B A S ?=，证明： （1）{}B A S sup ,sup max sup =； （2）{}B A S inf ,inf min inf = 3. 按N -ε定义证明 3 52325lim 22=--+∞→n n n n 4.如何用ε-N 方法给出a a n n ≠∞ →lim 的正面陈述？并验证|2n |和|n )1(-|是发散数列. 5.用δε-方法验证： 3) 23(2lim 221-=+--+→x x x x x x . 6． 用M -ε方法验证： 2 11lim 2- =-+-∞ →x x x x . 7 . 设a x x x =→)(lim 0 ?，在0x 某邻域);(10δx U ?内a x ≠)(?，又.)(lim A t f a t =→证明 A x f x x =→))((lim 0 ?. 8.设)(x f 在点0x 的邻域内有定义.试证：若对任何满足下述条件的数列{}n x ， （1）)(0x U x n ?∈，0x x n →， （2）0010x x x x n n -<-<+，都有A x f n n =∞ →)(lim ， 则A x f x x =→)(lim 0 . 9. 证明函数 ? ? ?=为无理数为有理数x ， x x x f ,0,)(3 在00=x 处连续，但是在00≠x 处不连续.
数学分析大一上学期考试试题 B
数学分析第一学期期末考试试卷（B 卷） 一、叙述题（每题5分，共10分） 1.上确界； 2.区间套的定义。 二、填空题（每题4分，共20分）1.函数|3|ln 3)(--=x x x f 的全部间断点是. 2.定义在]1,0[区间上的黎曼函数的连续点为. 3.)1ln()(2 x x f +=,已知5 6)2()(lim 000=--→h h x f x f h ,=0x .4.正弦函数x y sin =在其定于内的拐点为.5.点集}1)1({n S n +-=的所有聚点为.三、计算题(每题4分，共28分)（1）求]1 21 11[lim 222n n n n n ++++++∞→ ；（2）求30sin tan lim x x x x -→；（3）求)1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→；（4）求2210)21(e lim x x x x +-→；（5）求)1ln(2x x y ++=的一阶导； （6）求3)(sin )(+=x x x f 的一阶导； （7）求???==; cos ,sin 22t t y t t x 的一阶导。四、讨论题（共12分）1.极限x x 1sin lim 0 →是否存在，说明原因。2.设000)()(=≠?????-=-x x x e x g x f x ,其中)(x g 具有二阶连续导数,且
1)0(,1)0(-='=g g .求)(x f '并讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性. 五、证明题（共30分）1.证明.x x f 2cos )(=在),0[+∞上一致连续. 2.设f 在],[b a 上连续,],[,,,21b a x x x n ∈ ，另一组正数n λλλ,,,21 满足121=+++n λλλ .证明：存在一点],[b a ∈ξ，使得 )()()()(2211n n x f x f x f f λλλξ+++= . 3.设函数)(x f 在[]b a ，上连续,在),(b a 内可导,且0>?b a .证明存在),(b a ∈ξ，使得)()()()(1 ξξξf f b f a f b a b a '-=-.
数学分析试题集锦
June21,2006 2002 1.(10) lim x→0( sin x1?cos x . 2.(10)a≥0x1=√2+x n n=1,2,... lim n→∞ x n 3.(10)f(x)[a,a+α]x∈[a,a+α]f(x+α)?f(x)= 1 1?x2+arcsin x f′(x). 5.(10)u(x,y)u ?2u ?x?y + ?2u x2+y2dx dy dz,?z=
x2+y2+z2=az(a>0) 8.(10) ∞ n=1ln cos1 ln(1+x2) 2 √ (2).{n . ?x (4). L(e y+x)dx+(xe y?2y)dy.L O(0,0),A(0,1),B(1,2) O B OAB. √ 2.(15)f(x)=3
4. 15 f (x )[0,1] sup 0 (5).e x=1+x+x2 n1 4≤e x+y?2. 5.(12)F(x)= Γf(xyz)dxdydy,f V={(x,y,z)|0≤x≤t,0≤y≤t,0≤z≤t}(t>0), F′(t)=3 a+n √ 2 n(a>0,b>0) (2).lim n→∞ 10x n√ 2 0dx 3 . (5).F(t)= x2+y2+z2=t2f(x,y,z)dS, f(x,y,z)= x2+y2,z≥ x2+y2 2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 学院班级学号（后两位）姓名 一. 1.若f 2.. . . 二. 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（） A.不连续 B.连续 C.可微 D.不能确定 2.若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（） A.()x f 在[]b a ,上一定不可积； B.()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C.()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D.()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.不确定 4. A.B.C.D.5.A.B.C.D.三.1.()()()n n n n n n n +++∞→ 211lim 2.()?dx x x 2cos sin ln 四.判断敛散性（每小题5分，共15分） 1.dx x x x ? ∞ +++-0 2 113 2.∑ ∞ =1 !n n n n 3.()n n n n n 21211 +-∑ ∞ = 五.判别在数集D 上的一致收敛性（每小题5分，共10分） 1.()()+∞∞-=== ,,2,1,sin D n n nx x f n 2. 求七.八. 2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》B 卷?答案 学院班级学号（后两位）姓名 一、 二.三. 而n 分 2.解：令t x 2sin =得 ()dx x f x x ? -1=()() t d t f t t 222 2sin sin sin 1sin ? -----------------2分 =tdt t t t t t cos sin 2sin cos sin ? =?tdt t sin 2-----------------------------------4分 2014 —--201５学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 一. 判断题（每小题3分,共２１分)（正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?( ） ． ２．若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[] ????= dx x g dx x f dx x g x f （ )． 3． 若()? +∞a dx x f 绝对收敛，()? +∞ a dx x g 条件收敛，则()()?+∞-a dx x g x f ][必然条件收敛（ )。 ４． 若()? +∞1 dx x f 收敛，则必有级数()∑∞ =1 n n f 收敛（ ) 5． 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛,则{}n n g f +也在区间Ｉ上内闭一致收敛（ ）。 ６。 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发 散于正无穷大( ). 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ). 二. 单项选择题（每小题3分，共15分) 1．若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上( ) A.不连续 Ｂ． 连续 C ．可微 D 。不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积,而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不 相等,则（ ） Ａ． ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C 。 ()x f 在[]b a ,上一定可积,并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D 。 ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 Ｂ．绝对收敛 C.条件收敛 D ． 不确定 4。设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是( ） A ．若0lim =∞ →n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B 。 若1lim 1 <=+∞→ρn n n u u ,则级数∑n u 一定收敛; C ． 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D 。 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当,则级数∑n u 一定发散; 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是( ) A 。 ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B ． ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的; C ． ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； 2014 ---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 学院 班级 学号（后两位） 姓名 一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为 ()C dt t f x a +?（ ）. 2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]????=dx x g dx x f dx x g x f （ ）. 3. 若()? +∞ a dx x f 绝对收敛，()?+∞ a dx x g 条件收敛，则()()?+∞-a dx x g x f ][必 然条件收敛（ ）. 4. 若()? +∞ 1 dx x f 收敛，则必有级数()∑∞ =1 n n f 收敛（ ） 5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（ ）. 6. 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于 正无穷大（ ）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（ ） A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（ ） A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑ ∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若0lim =∞ →n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B. 若1lim 1 <=+∞→ρn n n u u ，则级数∑n u 一定收敛； C. 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； 《数学分析》考试题 一、（满分10分，每小题2分）单项选择题： 1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,? n>N 时有≤n a ≤n b n c ， （ ） A. {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛； B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散； C. {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界； D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界； 2、=)(x f ??? ????>+=<,0 ,2.( ,0 ,0, ,sin x x k x k x x kx 为常数） 函数 )(x f 在 点00=x 必 （ ） A.左连续； B. 右连续 C. 连续 D. 不连续 3、''f （0x ）在点00=x 必 （ ） A. x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 02020 ； B. ' 000)()(lim ??? ? ???-?+→?x x f x x f x ; C. '000)()(lim ???? ???-?+→?x x f x x f x ; D. x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0'0'0 ； 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。则 （ ） A. ∈?ξ（b a ,），使0)('=ξf ； B. ∈?ξ（b a ,），使0)('≠ξf ; C. ∈?x （b a ,），使0)('≠x f ； D.当)(b f >)(a f 时，对∈?x （b a ,），有)('x f >0 ； 5、设在区间Ⅰ上有?+=c x F dx x f )()(， ?+=c x G dx x g )()(。则在Ⅰ上有 （ ） A. ?=)()()()(x G x F dx x g x f ； B. c x G x F dx x g x f +=?)()()()( ； C. ?+=+c x G x F dx x F x g dx x G x f )()()]()()()([ ； （二十一）数学分析期终考试题 一 叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分） 1、 ? -9 1 31dx x x 2、求)0()(2 2 2 b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数 n n n x n ∑∞ =+1 2)11(的收敛半径和收敛域 4、1 1lim 2 2220 0-+++→→y x y x y x 5、2 2 ),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、已知?? ???==≠+++=0 ,0001sin )(),(222 2 2 2y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续， 但它在该点可微 2、讨论级数∑∞ =-+1 2211 ln n n n 的敛散性。 3、讨论函数项级数]1,1[)1( 1 1 -∈+-∑∞ =+x n x n x n n n 的一致收敛性。 四 证明题：（每小题10分，共20分） 1 若 ? +∞ a dx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞ →x f x 2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ? 内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件： ''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。 参考答案 一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。 数学分析试题与答案 It was last revised on January 2, 2021 2014 ---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 学院 班级 学号（后两位） 姓名 一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?（ ）. 2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]????=dx x g dx x f dx x g x f （ ）. 3. 若()?+∞a dx x f 绝对收敛，()? +∞ a dx x g 条件收敛，则()()?+∞-a dx x g x f ][必然条件收 敛（ ）. 4. 若()? +∞1 dx x f 收敛，则必有级数()∑∞ =1 n n f 收敛（ ） 5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（ ）. 6. 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大 （ ）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（ ） A.不连续 B. 连续 C.可.不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（ ） A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若0lim =∞ →n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B. 若1lim 1 <=+∞→ρn n n u u ，则级数∑n u 一定收敛； C. 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D. 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散； 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（ ） A. ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的； C. ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的； 三.计算与求值（每小题5分，共10分） （二十一）数学分析期终考试题 一 叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分） 1、 ? -9 1 31dx x x 2、求)0()(222b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数 n n n x n ∑∞ =+1 2)11(的收敛半径和收敛域 4、1 1lim 2 2 220 0-+++→→y x y x y x 5、22),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、已知?? ???==≠+++=0 ,0001sin )(),(222 2 2 2y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原 点不连续，但它在该点可微 2、讨论级数∑∞ =-+1 2211 ln n n n 的敛散性。 3、讨论函数项级数]1,1[) 1(11 -∈+-∑∞ =+x n x n x n n n 的一致收敛性。 四 证明题：（每小题10分，共20分） 1 若 ? +∞ a dx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞ →x f x 2 设二元函数),(y x f 在开集2 R D ?内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足 Lipschitz 条件：''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,(' ''∈为常数证 明),(y x f 在D 内连续。 参考答案 一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。 （十六）数学分析2考试题 一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2 分，共20分） 1、 函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ ） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ ） A ??=-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( B 0)(=?-a a dx x f C ? 3A 4A 5A )发散 C 散， ∞ =n 6A n C =a n a 1 =1 n 7、下列命题正确的是（ ） A )(1x a n n ∑∞ =在[a ，b ]绝对收敛必一致收敛 B )(1 x a n n ∑∞ =在[a ，b ] 一致收敛必绝对收敛 C 若0|)(|lim =∞ →x a n n ，则 )(1 x a n n ∑∞ =在[a ，b ]必绝对收敛 D )(1 x a n n ∑∞ =在[a ，b ] 条件收敛必收敛 8、 ∑∞ =++-0 121 21 )1(n n n x n 的和函数为 A x e B x sin C )1ln(x + D x cos 9、函数)ln(y x z +=的定义域是（ ） A {}0,0|),(>>y x y x B {}x y y x ->|),( C {} 0|),(>+y x y x D {}0|),(≠+y x y x 10 A C 二、123451 2=2 n 四、证明题：（每小题10分，共30分） 1、设)(1x f 在[a ，b ]上Riemann 可积， ),2,1()()(1 ==?+n dx x f x f b a n n ，证明函数列)}({x f n 在[a ，b ]上一致收敛于0 3、 设)(x f 在[a ，b ]连续，证明 ? ? = π π π )(sin 2)(sin dx x f dx x xf ，并求 ? +π 2cos 1sin dx x x x 《数学分析（一）》题库及答案 一．单项选择 1、函数)(x f 的定义域为]2,1[-，则函数)1(+x f 的定义域为_______。 A ．]1,2[- B ．]2,1[- C ．[0,3] D ．[1,3] 2、函数)(x f 在0x x →时极限存在，是)(x f 在0x 点处连续的_______。 A ．充分但非必要条件 B ．必要但非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件 3、设函数???????>=<-=1,11,21,1)(x x x x x x f ，则=→)(lim 1x f x _______。 4、设?????≥+<=0 ,10,sin )(x x x x x x f ，则=→)(lim 0x f x ________。 A ．-1 B ．0 C ．1 D ．不存在 5、已知)1ln()(a x x f += )0(>x ，则=')1(f ________。 A ．a B ．2a C ．2 1 D ． 1 6、若在区间),(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(<'x f ，二阶导数0)(>''x f ，则)(x f 在),(b a 内是________。 A ．单调减少，曲线上凸 B ．单调增加，曲线上凸 C ．单调减少，曲线下凸 D ．单调增加，曲线下凸 二、填空题 1、函数)43cos(π+=x y 的周期为________。 2、=+∞→x x x )21(lim ________。 3、设x y 2sin =，则='''y ________。 4、设,2x e y =则y '''=_______。 5、设,)(lim 0A x x f x =→则=→x bx f x )(lim 0_______。 6、曲线x y 1=的渐近线是_______、_______。 三、判断对错 1. 设函数在)(x f （a 、b ）上连续，则在)(x f [ a 、b ] 上有界。 2. 数列{}n x 收敛的充要条件是{}n x 的任一子列{}k n x 都收敛。 3. 设函数)(x f 在（a 、b ）上可导，则0)('>x f 是在)(x f （a 、b ） 内严格递增的充分必要条件。 4. 设[]a a x f ,)(-在上是奇函数，则[]a a x f ,)(--在上也是奇函数。 5. 数列{}n x 的任一子列{} k n x 都收敛是{}n x 收敛的必要而非充分的条件。 6. 设0)(,0)(),()(22≠>=-=a g a x x g x g a x x f 且连续在其中，则 )(2)()(lim a ag a x a f x f a x =--→。 7. 设函数)(x f 是可导的奇函数，则导函数)('x f 是偶函数。 8. 函数0)(x x f y 在=可导是))(,()(00x f x x f y 在点=存在切线的充分而非必要的条件。 9. 设22()g(),()f x x a x g x x a =-=其中在连续，且0)(≠a g ，则)()()(lim a g a a x a f x f a x +=--→。 10. 函数)(x f 的最大值也是)(x f 的极大值。 11.设在区间(a 、b)上）、是（则b a x f x f )(,0)(''>上的凸函数。 12.若函数0)(x x f 在可导，则曲线0)(x x f y 在=必有切线。 13. 函数a x x f =在)(可导的充要条件是对任意数列{},0,0,→≠n n n x x x 都有发n n n x a f x a f )()(lim -+∞→存在且相等。 四、求极限 1. n n n 3 13131212 121lim 22++++++∞→ΛΛ ; 2. 1 1lim 1--→m n x x x , (n, m 为正整数)； 3. )1 11(lim 0--→x x e x ; 4. ?????? +-∞→)11ln(lim 2x x x x ； 3322 1221 132 1.lim _____ 21 2.lim _____ 3(5)33.lim _____ (5)34 4.lim ______ 31 1234....(21)25.lim _____ 1 (2)6.lim ______ 124...(2)7.lim( n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞++→∞→∞ →∞+-→∞→∞+=++=+-+=-+=+-+-+-++--=--=-+-+-数列极限练习题 21213 )______ 2 1 1118.lim ....(1)______ 3927319.lim 0,____,_____ 110.(1)lim(12),_____ (2)4,__11.lim(2)5,lim n n n n n n n n n n n n n n an b a b n x x a a b -→∞→∞ →∞ →∞ →∞ --=+??-+++-=??????+--=== ?+?? -+=则若存在则实数范围已知无穷等比数列的各项和是则首项的取值范围是已知{}1 (3)1,lim()113(1) 12.,1342(1)lim (2)lim n n n n n n n n n n n n n a b a b n n n a S a n n a S →∞ -→∞ →∞ -=-?? ≤≤?+?=? ??≥??求的值 若为数列的前项和求 {}{}12123101511113.,9,27,,lim 31 14.,1,,,32 lim 15.,321111lim 4lim 1....(1),323927316.{},{}0n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a n S S S a a n S S S a R a a a a b →∞ →∞ ++--→∞→∞+===-=∈-? ?=-+-++-??+?? 数列为等比数列前项和为求数列为等比数列前项和为求已知且求范围 数列都是公差不为的等差数列12211212 22 1121 ,lim 2, (i) 17.{},1,(...)18.{}(0),,,lim ,lim ...19.{},,lim n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b a a a nb a a a k a a k a q q a a S S n S S a a a a q n S a S →∞ →∞ ++→∞ →∞++→∞ =+++==++>=++=求数列为无穷等比数列求实数的范围数列是公比为的无穷等比数列前项和为求无穷等比数列公比为前项和为2423521111,1...20.lim ...1 21.{},lim( )12 n n n n n n q q a a a a a a a a a q q q a -→∞→∞ -++++++++-= +求范围求等比数列公比为求取值范围 数学分析期中试题 一. 解下列各题（每小题6分） 1. 求极限n n n n ) 111(lim 2 + + ∞ →. 2.. 已知f 是可导函数, 且x x f dx d 1)1(arctan = ，求)4 ( π f '. 3. 求出2 3||ln )(2 +-=x x x x f 的间断点，并指出是第几类间断点. 4. 已知2)13(lim 2 =++-+∞ →bx ax x x , 试确定其中常数b a ,. 二. 解下列各题（每小题7分） 1. 设? ??+=+-=2 3)1ln(t t y t t x , 求 2 2 dx y d . 2. 试确定常数b a ,的值, 使点)3,1(是曲线3 4 bx ax y +=的拐点, 并求出 曲线的凹凸区间. 3. 求由方程0sin 2 1=+ -y y x 所确定的隐函数)(x y y =的二阶导数. 4. 已知21 1 2sin )(1lim 30 =--+→x x e x x f ，求)(lim 0 x f x →. 三.(9分) 设数列}{n x 满足0 10<< -x , ),2,1,0(221 =+=+n x x x n n n , 证明 }{n x 收敛, 并求n n x ∞ →lim . 四.(9分) 设)(x f 有二阶连续导数, 0)0(=f , ?????='≠=0 ), 0(0, )()(x f x x x f x g ，求 )(x g '并讨论)(x g '的连续性. 五. (9分) 一个体积给定的观察站底部是一个直圆柱, 顶部是一个 半球形, 如果顶部单位面积的造价是侧面单位面积造价的二倍, 问圆柱的底半径r 与高h 分别为多少时可使总造价最低? 六.(8分）证明，当1>x 时，1 1ln +-≥ x x x . 七. (9分）(1)已知当0→x 时, 2 cos x e x -与k cx 是等价无穷小, 求c 与k 的值; (2)求极限2 2 2 sin )(cos 112 lim 2 x e x x x x x -+- +→. 八.(4分)设)(x f 在],[b a 上连续, 在),(b a 内可导, )(≠'x f , 证明存在 ),(,b a ∈ηξ, 使 η ηξ---= ''e a b e e f f a b ) ()(. 历年试题数学分析 河南大学2002年硕士研究生招生入学考试数学分析 一、计算下列各题（每题5分，共50分）： 1、2211 1222lim 11 133 3n x n →∞+++ +++; 2、 222arcsin 22x a x y a x a =- ()0a >,求y '; 3、()1ln ln ln x dx x ??+?? ? ? ?; 4、20 sin x e xdx π ? ; 5、计算广义积分21 1 dx x -?; 6、求幂级数() 135 n n n x n ∞ =-?∑ 的收敛区间; 7、设,y x z x =求,z z x y ??? ?; 8、展开函数()()cos 2x f x x ππ=-≤≤为傅里叶级数; 9、计算二重积分 2 2,:2,,1D x dxdy D x y x xy y ===??所围成; 10、应用格林公式计算2 2 C xy dy x ydx -?,式中C 为按逆时针 方向绕圆周2 2 x y a +=一圈的路径. 二、(10)求函数()() 2 12x y x x dx =--?的极值，并求其图形 上的拐点. (下缺) 河南大学2003年硕士研究生招生入学考试数学分析 一、完成以下各题(每小题8分,共48分) 1、() ( ) 23ln 1lim ln 1x x x e e →∞ ++; 2、设 ()2 ln 1arctan x t y t t ?=+??=-??,求 22,dy d y dx dx ; 3、计算广义积分2 2 2 ,02 sin sin dx x π α π αα << -? ; 4、将()11x f x x -=+展成x 的幂级数,并确定收敛区间; 5、计算()()2y y AB e x dx xe y dy ++-?,其中AB 是经过()()() 0,0,0,1,1,2A C B 的任一光滑圆弧; 6、求函数()2 43 1 x f x x +=+的极大值和极小值. 二、(12分)求由方程()22ln 0xz xyz xyz -+=所确定的函数 () ,z f x y =的全微分. 三、(12分)展开函数 ()1,02 0,2 x f x x π π π ? ≤≤ ?? =? ?≤≤?? 为余弦级数. 2014 －--201５学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 一. 判断题(每小题3分,共21分）(正确者后面括号内打对勾,否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续,则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为 ()C dt t f x a +?（ ）. 2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]????=dx x g dx x f dx x g x f （ ）. 3. 若()? +∞ a dx x f 绝对收敛,()?+∞ a dx x g 条件收敛,则()()?+∞-a dx x g x f ][必然条件收敛（ ). 4. 若()? +∞1 dx x f 收敛，则必有级数()∑∞ =1 n n f 收敛（ ） ５. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛( ）. 6. 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散 于正无穷大（ )． 7． 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同( ）. 二. 单项选择题（每小题3分,共15分) １.若()x f 在[]b a ,上可积,则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上( ） A ．不连续 B. 连续 C ．可微 D.不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积,而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等,则（ ） A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ; Ｃ. ()x f 在[]b a ,上一定可积,并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； Ｄ. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定． 3．级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A ．发散 B ．绝对收敛 C.条件收敛 D ． 不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是( ） Ａ．若0lim =∞ →n n u ,则级数∑ n u 一定收敛； B. 若1lim 1 <=+∞→ρn n n u u ,则级数∑n u 一定收敛； C. 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； Ｄ. 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散; 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（ ) A ． ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； Ｂ． ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的; C. ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的; 数学分析复旦大学第四版大一期末考试 一、填空题（每空1分，共9分） 1. 函数()f x = 的定义域为________________ 2.已知函数sin ,1 ()0,1 x x f x x ??=?-?? ==??- 考试科目： 数学分析(I) 一 、求极限、导数或高阶导数( 每小题5分，共35分) 1. n lim →∞ ??++ …… 解：n n n 11(1)(1)lim lim n n n n →∞++??≤+≤……，故原式1=2. 2.()222n x x x n x x x x 2x 2lim =lim =lim =lim =022ln 22ln 22 n →∞→∞→∞→∞ . 3.()42 2 20011-cos 1 2lim =lim =sin ln 1+2 x x x x x x x x x x →→?. 4. 11 limarcsin()1ln x x x x →-- 解：111limarcsin( )arcsin 1ln 26x x x x π→-==-. 5.设(0)x x y x x =>,求y '. 1(ln (ln 1))x x x x y x x x x x -'=++. 6. 设函数)(x y y =是由参数方程???-=-=) cos 1() sin (t a y t t a x 确定，求2t dy dx π =和t dy dx π =。 2 1 t dy dx π= =. 7. 设函数f 二阶可导， 1( )1x y f x -=+，2 2d y dx 解：221 () (1)1dy x f dx x x -'=++， 22344141()()(1)1(1)1d y x x f f dx x x x x --'''=-+++++. 二、解答题（每小题8分，共32分） 1. 已知001a <<，)n+1a n 0≥，求证n a 的极限存在并求其极限. 解: 易知{}n a 单调增有上界1，故由单调收敛定理及n+1n n lim a =→∞ 知 n n lima =1.→∞ 2. 讨论函数()21 1 sin x x f x e x -=的间断点及其类型. 解: 0x =为可去间断点，=1x ±为第二类间断点. 3. 求函数()(4)f x x =-的极值点与极值。 解： ()f x ' = ，驻点为1x =，不可导点为1x =- 极大值为(1)0f -=，极小值为(1)f =- 4 . 将边长为a 的正方形的四个角减去同样大小的正方形后折成一个无盖的盒子，问剪去的正方形边长为何值时,可使合资的容积最大? 解：设剪去的小正方形的边长为x ，则盒子的容积为 2()(2),[0,]2a V V x x a x x ==-∈ 令()12()()062a a V x x x '=--=,得稳定点6a x =,且()06 a V ''<,所以为极大值点又为一,所以6a x = 时候,容积最大,为32()6 27a a V = 三、证明题（每小题8分,共16分） 1、求证：方程2 22--2=0x x 至少有两个实根. 证明：设2 222x f(x)x =--，则易验证0=-1<0, 2=10>0f()f()±，由零点定理知 ()0f x =在()-2,0和()0,2中各有一个实根.数学分析试题及答案解析
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