线性代数(专升本)综合作业答案
综合作业
1. (判断题) (本题1.0分)
A、正确
B、错误
学生答案： B
标准答案：B
解析：
得分： 1
2. (判断题) (本题1.0分)
A、正确
B、错误
学生答案： A
标准答案：A
解析：
得分： 1
3. (判断题) (本题1.0分)
A、正确
B、错误
学生答案： B
标准答案：B
解析：
得分： 1
4. (单选题) 行列式中元素的代数余子式为( )(本题1.0分)
A、
B、
C、
D、
学生答案： B
标准答案：A
解析：
得分： 0
5. (单选题) 矩阵的逆矩阵为( )(本题1.0分)
A、
B、
C、
D、
学生答案： C
标准答案：D
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得分： 0
6. (单选题) 阶方阵,若,则中( )(本题1.0分)
A、必有一列元素全为零
B、必有两列元素对应成比例
C、必有一列向量是其余列向量的线性组合
D、任一列向量是其余列向量的线性组合
学生答案： C
标准答案：C
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得分： 1
7. (单选题) 设为矩阵,为阶可逆方阵,,而,则( )(本题1.0分)
A、
B、
C、
D、与的关系不定
学生答案： C
标准答案：A
解析：
得分： 0
8. (单选题) 阶方阵具有个不同的特征值是与对角矩阵相似的( )(本题1.0分)
A、充分必要条件
B、充分而非必要条件
C、必要而非充分条件
D、既非充分也非必要条件
学生答案： A
标准答案：B
解析：
得分： 0
9. (单选题) 若是正定矩阵,则其逆矩阵( )(本题1.0分)
A、也是正定矩阵
B、是负定矩阵
C、是半正定矩阵
D、不定
学生答案： A
标准答案：A
解析：
得分： 1
10. (单选题) 设行列式则行列式 ( )(本题1.0分)
A、
B、 1
C、 2
D、
学生答案： C
标准答案：A
解析：
得分： 0
11. (单选题) 设A为n阶方阵,将A的第1列与第2列交换得到方阵B,若,则必有( )(本题1.0分)
A、
B、
C、
D、
学生答案： C
标准答案：C
解析：
得分： 1
12. (单选题) 设,则方程的根的个数为( )(本题1.0分)
A、0
B、 1
C、 2
D、 3
学生答案： D 标准答案：B 解析： 得分： 0
13. (单选题) 设行列式D=
=3,D 1=
,则D 1的值为( )(本题1.0分)
A 、 -15
B 、 -6
C 、 6
D 、 15 学生答案： D 标准答案：C 解析： 得分： 0
14. (单选题) 已知4阶行列式D 第一行的元素依次为1,1,0,2,它们对应的余子式分别为2,3,6,0,则D= ( )(本题1.0分)
A 、 5
B 、 0
C 、 -1
D 、 1 学生答案： A 标准答案：C
解析：
得分： 0
15. (单选题) 设,则的常数项为( )(本题1.0分)
A、0
B、 1
C、 2
D、-1
学生答案： D
标准答案：A
解析：
得分： 0
16. (单选题) 行列式中第4行各元素的代数余子式之和为( )(本题1.0分)
A、 1
B、0
C、 3
D、 4
学生答案： D
标准答案：B
解析：
得分： 0
17. (单选题) 已知行列式=0,则数a=( )(本题1.0分)
A、 1
B、 3
C、-3
D、0
学生答案： C
标准答案：B
解析：
得分： 0
18. (单选题) 设A是4阶方阵,且det(A)=4,则det(4A)=( )(本题1.0分)
A、44
B、45
C、46
D、47
学生答案： B
标准答案：B
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得分： 1
19. (单选题) 已知A2+A+E=0,则矩阵A-1=( )(本题1.0分)
A、A+E
B、A-E
C、-A-E
D、-A+E
学生答案： D
标准答案：C
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得分： 0
20. (单选题) 设矩阵A,B,C,X为同阶方阵,且A,B可逆,AXB=C,则矩阵X=( )(本题1.0分)
A、A-1CB-1
B、CA-1B-1
C、B-1A-1C
D、CB-1A-1
学生答案： A
标准答案：A
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得分： 1
21. (单选题) 设A是s×n 矩阵(s≠n),则以下关于矩阵A的叙述正确的是( )(本题1.0分)
A、A T A是s×s对称矩阵
B、A T A=AA T
C、(A T A)T =AA T
D、AA T是s×s对称矩阵
学生答案： D
标准答案：D
解析：
得分： 1
22. (单选题) 下列等式中,正确的是( )(本题1.0分)
A、
B、
C、
D、
学生答案： B
标准答案：D
解析：
得分： 0
23. (单选题) 下列矩阵中,是初等矩阵的为( )(本题1.0分)
A、
B、
C、
D、
学生答案： B
标准答案：C
解析：
得分： 0
24. (单选题) 设A、B均为n阶可逆矩阵,且是( )(本题1.0分)
A、
B、
C、
D、
学生答案： B
标准答案：C
解析：
得分： 0
25. (单选题) 设A为3阶矩阵,A的秩r(A)=3,则矩阵A*的秩r(A*)=( )(本题1.0分)
A、0
B、 1
C、 2
D、 3
学生答案： D
标准答案：D
解析：
得分： 1
26. (单选题) 设方阵A满足A5=E,则必有( )(本题1.0分)
A、A=E
B、A=-E
C、|A|=1
D、|A|=-1
学生答案： C
标准答案：C
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得分： 1
27. (单选题) 设A为n阶方阵,则下列结论中不正确的是( )(本题1.0分)
A、A T A是对称矩阵
B、AA T是对称矩阵
C、E+A T是对称矩阵
D、A+A T是对称矩阵
学生答案： C
标准答案：C
解析：
得分： 1
28. (单选题) 设向量=(-1,4),=(1,-2),=(3,-8),若有常数a,b使a-b-=0,则( )(本题1.0分)
A、
B、a=-1,b=2
C、a=1,b=-2
D、a=1,b=2
学生答案： D
标准答案：A
解析：
得分： 0
29. (单选题) 设矩阵,那么矩阵A的列向量组的秩为( )(本题1.0分)
A、 3
B、 2
C、 1
D、0
学生答案：未答题标准答案：B
解析：
得分： 0
30. (单选题) 设
1,
2
,
3
,
4
,
5是四维向量
,则( )(本题1.0分)
A、l,2,3,4,5一定线性无关
B、l,2,3,4,5一定线性相关
C、5一定可以由1,2,3,4线性表出
D、1一定可以由2,3,4,5线性表出
学生答案： B
标准答案：B
解析：
得分： 1
31. (单选题) 向量组=(1,2,0),=(2,4,0),=(3,6,0),=(4,9,0)的极大线性无关组为( )(本题1.0分)
A、,
B、,
C、,
D、,学生答案：未答题标准答案：A
解析：
得分： 0
32. (单选题) 设向量组α
1,α
2
,α
3
,α
4
线性相关,则( )(本题1.0分)
A、α1,α2,α3,α4中至少有一向量为零向量
B、α1,α2,α3,α4中至少有两个向量成比例
C、α1,α2,α3,α4中至少有一个向量可由其余向量线性表示
D、α1,α2,α3,α4中每一个向量都可由其余向量线性表示学生答案： C
标准答案：C
解析：
得分： 1
33. (单选题) 设α
1,α
2
,α
3
,α
4
为三维向量,已知α
1
,α
2
,α
3
,线性无关,而α
2
,α
3
,α
4
线性相关,则( )(本题1.0分)
A、α1必可由α2,α3,α4线性表出
B、α2必可由α1,α3,α4线性表出
C、α3必可由α1,α2,α4线性表出
D、α4必可由α1,α2,α3线性表出
学生答案： C
标准答案：D
解析：
得分： 0
34. (单选题) 设A是n阶方阵|A|=0,则下列结论中错误的是( )(本题1.0分)
A、r(A) B、A必有两行元素成比例 C、A的n个行向量线性相关 D、A有一个列向量可由其余n-1个列向量线性表出 学生答案：未答题 标准答案：B 解析： 得分： 0 35. (单选题) 设向量α=(1,-2,3)与β=(2,k,6)正交,则数k为( )(本题1.0分) A、-10 B、-4 C、 4 D、10 学生答案： D 标准答案：D 得分： 1 36. (单选题) 矩阵A的行向量组的秩是a,列向量组的秩是b,矩阵A的秩是c,则( )。(本题1.0分) A、a>b>c; B、a=b=c ; C、a D、a 学生答案： D 标准答案：B 解析： 得分： 0 37. (单选题) 设与都是阶正交矩阵,正确的叙述是( )。(本题1.0分) A、必是正交矩阵; B、必是正交矩阵; C、必是正交矩阵; D、以上A、B、C三种说法都不对。 学生答案： C 标准答案：C 解析： 38. (单选题) 已知线性方程组无解,则数a=( )(本题1.0分) A、 B、0 C、 D、 1 学生答案： B 标准答案：D 解析： 得分： 0 39. (单选题) 设A是4×6矩阵,R（A）=2,则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是( )(本题1.0分) A、 1 B、 2 C、 3 D、 4 学生答案： D 标准答案：D 解析： 40. (单选题) 设A是n阶方阵,若对任意的n维向量X均满足AX=O,则( )(本题1.0分) A、A=O B、A=E C、秩(A)=n D、0<秩(A) 学生答案： A 标准答案：A 解析： 得分： 1 41. (单选题) 当满足( ) 时,齐次线性方程组一定有非零解。(本题1.0分) A、 B、 C、 D、 学生答案： C 标准答案：D 解析： 得分： 0 42. (单选题) 实数向量空间V={(x 1, x 2 , …, x n )|3 x 1 + x 2 +…+ x n =0}的维数 是( )(本题1.0分) A、n B、n-1 C、n+1 D、0 学生答案： B 标准答案：B 解析： 得分： 1 43. (单选题) 设A是6阶矩阵,齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是2,则矩阵A的秩为( )(本题1.0分) A、 1 B、 2 C、 3 D、 4 学生答案： D 标准答案：D 解析： 得分： 1 第一章 1．用消元法解下列线性方程组： （1）??? ??=++=++=++. 5432,9753,432321 321321x x x x x x x x x 解 由原方程组得同解方程组 12323234,23,x x x x x ++=?? +=? 得方程组的解为13232, 2 3. x x x x =-?? =-+?令3x c =，得方程组的通解为 c x c x c x =+-=-=321,32,2，其中c 为任意常数． 2．用初等行变换将下列矩阵化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵： （2）???? ? ??--324423211123． 解 1102 232111232551232041050124442300000000r r ? ?- ?-???? ? ? ? ? -??→--??→- ? ? ? ? ?- ????? ? ?? ? ，得 行阶梯形：????? ? ?---0000510402321（不唯一）；行最简形：???? ??? ? ? ? - -00004525 10212 01 3．用初等行变换解下列线性方程组： （1）?? ? ??=+-=+-=++.3,1142,53332321321x x x x x x x x 解 2100313357214110109011320019r B ? ? ??? ? ? ?=-??→- ? ? ?- ??? ? ?? ?M M M M M M ， 得方程组的解为 9 20 ,97,32321=-==x x x ． （2）??? ??=+++=+++=++-. 2222,2562, 1344321 43214321x x x x x x x x x x x x 解 114311143121652032101222200001r B --???? ? ? =?? →-- ? ? ? ????? M M M M M M ， 得方程组无解． 第二章 1.（2） 2 2 x y x y ． 解 原式()xy y x =-． （2）01000 020 00010 n n -L L L L L L L L L ． 2.解 原式1 100 020 (1) 001 n n n +=-=-L L M M M L !)1(1n n +- 线性代数课后习题答案 习题一 1.2.3（答案略） 4. (1) ∵ (127435689)415τ=+= (奇数) ∴ (127485639)τ为偶数 故所求为127485639 (2) ∵(397281564)25119τ=+++= （奇数） ∴所求为397281564 5.(1)∵(532416)421106τ=++++= (偶数) ∴项前的符号位()6 11-=+ （正号） （2）∵325326114465112632445365a a a a a a a a a a a a = (162435)415τ=+= ∴ 项前的符号位5(1)1-=- （负号） 6. (1) (2341)(1)12n n τ-?L L 原式=(1)(1)!n n -=- （2）()((1)(2)21) 1(1)(2)21n n n n n n τ--??---??L L 原式=(1)(2) 2 (1) !n n n --=- （3）原式=((1)21) 12(1)1(1) n n n n n a a a τ-?--L L (1) 2 12(1)1(1)n n n n n a a a --=-L 7.8（答案略） 9. ∵162019(42)0D x =?-?+?--?= ∴7x = 10. （1）从第2列开始，以后各列加到第一列的对应元素之上，得 []11(1)1110 01(1)1110 (1)1 1 (1)1 1 1 x x n x x x n x x x n x x n x x +-+--==+-+--L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L []1(1)(1)n x n x -=+-- （2）按第一列展开： 11100000 (1)(1)0 0n n n n n y x y D x x y x y x y -++=?+-=+-L L L L L L L L 若行列式，则_____.(5 (A) : (B) : (C) : (D) :对任意同阶方阵，下列说法正确的是_____.(5分) (A) : (B) : (C) : (D) : C 设可逆，则的解是_____.(5) (A) : (B) : (C) : 参考答案：B 若阶方阵不可逆，则必有 (A) : 为的一个特征值 秩 (D) : 参考答案：B 1. ，，且，则___(1)___ .(5 (1).参考答案:-4 2. 阶方阵的个特征值互不相同是与对角矩阵相似的 (1).参考答案:充分 计算行列式：. (10 参考答案：先提出各列的公因子，再利用展开法则得到 原式. 解矩阵方程，求，其中.(10 参考答案：解答 , 3. 设阶方阵 满足关系式 ，证明 可逆，并写出的表达式.(10分 ) 4. 论线性方程组的解的结构与计算 无论是在科学研究领域，还是在工程技术应用中，大量的问题可以归结为线性方程组的求解，因此研究线性方程组的求解问题是线性代数的一个重要内容. （1）请描述齐次线性方程组AX=0的解的结构定理 (即什么条件下只有唯一的零解？什么条件下有无穷多组非零解，此时的非零解由什么组成？) （2）请描述非齐次线性方程组AX=b 的解的结构定理 ( 即利用系数矩阵与增广矩阵的秩的关系，给出在:什么条件下无解？什么条件下有唯一解？什么条件下有无穷多组解，此时的解由哪两部分组成？) （3）请利用齐次线性方程组与非齐次线性方程组的解的结构定理讨论：若齐次线性方程组AX=0有无穷多组解，则非齐次线性方程组AX=b 是否也必有无穷多组解？(15分) 5. 论特征值与特征向量 (1) 设A 为n 阶方阵，是A 的特征值，x 是A 的关于 的特征向量，则A 、、x 必须满足什么条件 ？应如何求得？(2) n 阶方阵A 必有n 个特征值:，则这n 个特征值必须满足哪两条性质？ (3) 两个n 阶方阵A 与B 相似的定义是什么？它们的特征值之间有什么关系？方阵A 与一个对角矩阵相似通常需要满足哪些条件(条件不止 1个，任意写出1条即可）？(20分) 解题思路：参考答案：因为 ，通过移项与提取公因子得从而由可逆定义知 可逆，并且.解题思路：参考答案： （1）设有ｎ元齐次线性方程组AX ＝0 ，则它的解的结构定理是： 当秩R(A)＝ｎ时，方程组只有唯一的零解; 当秩R(A)＝ｒ＜ｎ时，方程组有无穷多组非零解. 此时所有的解构成解空间，解空间中存在着ｎ－ｒ个线性无关的解向量，构成基础解系，方程组中的每一个解均可表为基础解系的一个线性组合. （2）对于ｎ元非齐次线性方程组AX ＝ｂ而言：当系数矩阵的秩R(A)＝增广矩阵的秩R(A ｂ)时，方程组有解；当R(A)≠R(A ｂ)时，方程组无解. 且R(A)＝R(A ｂ)＝ｎ时有惟一解，R(A)＝R(A ｂ)＜ｎ时有无穷多解；此时AX ＝ｂ的通解由齐次通解与非齐次特解相加构成. （3）答案是不一定必有无穷多组解. 由解的结构定理可知，AX ＝0有无穷多解，则其秩必有R(A)＝ｒ＜ｎ，但仅此并不能保证AX ＝ｂ有无穷多组解，因为不能保证R(A)＝R(A ｂ)，所以非齐次线性方程AX ＝ｂ也可能无解. 解题思路：由线性方程组的解的结构定理，描述及应用 参考答案：解答要点 (1)特征值与特征值向量必须满足关系式 ；并且是通过解特征多项式求出所 有的特征值，通过解线性方程组求出所有的特征向量；(2) 阶方阵必有个特征值，这个特征值必须满足两条性质: ① ，②。 (3) 两个n 阶方阵A 与B 相似的定义是：如果存在n 阶可逆矩阵P ，使得（P 逆）AP =B ，则称A 与B 相似。相似矩阵有相同的特征值。相似对角化的条件不止一条，例如：矩阵A 的n 个特征向量线性无关，是A 与对角矩阵相似的充分必要条件。矩阵A 的n 个特征值互不相等，是A 与对角矩阵相似的充分条件。实对称矩阵一定与对角矩阵相似。等等（答出任意一个即可） 解题思路： 线性代数课后习题答案全)习题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）381141102---； （2）b a c a c b c b a ; （3）222111c b a c b a ； （4）y x y x x y x y y x y x +++. 解 （1）=---3 811411 02811)1()1(03)4(2??+-?-?+?-?)1()4(18)1(2310-?-?-?-?-??- =416824-++-=4- （2）=b a c a c b c b a cc c aaa bbb cba bac acb ---++3333c b a abc ---= （3）=2 221 11c b a c b a 222222cb ba ac ab ca bc ---++))()((a c c b b a ---= （4）y x y x x y x y y x y x +++yx y x y x yx y y x x )()()(+++++=333)(x y x y -+-- 33322333)(3x y x x y y x y y x xy ------+= )(233y x +-= 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … )12(-n 2 4 … )2(n ； （6）1 3 … )12(-n )2(n )22(-n … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为 2 ) 1(-n n ： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 （6）逆序数为)1(-n n 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … )12(-n 2，)12(-n 4，)12(-n 6，…，)12(-n )22(-n )1(-n 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … )2(n 2，)2(n 4，)2(n 6，…，)2(n )22(-n )1(-n 个 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. ||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： || 第 1 页 共 18 页 行列式的概念 一、选择题 1． 下列选项中错误的是( ) (A) b a d c d c b a - = ； (B) a c b d d c b a = ； (C) d c b a d c d b c a = ++33； (D) d c b a d c b a ----- =. 答案：D 2．行列式n D 不为零，利用行列式的性质对n D 进行变换后，行列式的值（ ）． (A)保持不变； (B)可以变成任何值； (C)保持不为零； (D)保持相同的正负号． 答案：C 二、填空题 1. a b b a log 1 1 log = . 解析： 0111log log log 1 1log =-=-=a b a b b a b a . 2. 6 cos 3sin 6sin 3 cos π π ππ = . 解析： 02cos 6sin 3sin 6cos 3cos 6 cos 3 sin 6sin 3 cos ==-=πππππππ π π 3.函数x x x x x f 1213 1 2)(-=中，3x 的系数为 ； x x x x x x g 2 1 1 12)(---=中，3x 的系数为 . 答案：-2；-2. ||班级： 姓名： 学号： 成绩： 批改日期： || 第 2 页 共 18 页 阶行列式n D 中的n 最小值是 . 答案：1. 5. 三阶行列式11342 3 2 1-中第2行第1列元素的代数余子式 等于 . 答案：5. 6.若 02 1 8 2=x ，则x = . 答案：2. 7.在 n 阶行列式ij a D =中，当i 第一章 行列式 §1 行列式的概念 1． 填空 (1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。 (2) i = ，j = 时， 排列1274i 56j 9为偶排列。 (3) n 阶行列式由 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的 n 个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构 成一个n 元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为 号；若为偶排列，该项的符号为 号。 (4) 在6阶行列式中， 含152332445166a a a a a a 的项的符号为 ，含 324314516625a a a a a a 的项的符号为 。 2． 用行列式的定义计算下列行列式的值 (1) 11 222332 33 000 a a a a a 解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为 ，所以行列式的值为 。 (2) 12,121,21,11,12 ,100000 0n n n n n n n n n n n n nn a a a a a a a a a a ------L L M M M M L L 解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ，而它的逆序数是 ，故行列式值为 。 3． 证明：在全部n 元排列中，奇排列数与偶排列数相等。 证明：n 元排列共有!n 个，设其中奇排列数有1n 个，偶排列数为2n 个。对于任意奇排 列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有1n 2n ，同理得2n 1n ，所以1n 2n 。 4． 若一个n 阶行列式中等于0的元素个数比n n -2 多，则此行列式为0，为什么？ 5． n 阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n 至少为多少？ （提示：利用3题的结果） 6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式 （1）2 011 411 8 3 --- （2）2 2 2 1 11a b c a b c 第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7341111 1 326 3 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 403 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 第三章 线性方程组 一、温习巩固 1. 求解齐次线性方程组??? ??=-++=--+=-++0 51050363024321 43214321x x x x x x x x x x x x 解： 化系数矩阵为行最简式 ???? ? ????→?????? ??----=000001001-0215110531631121行变换A 因此原方程同解于? ? ?=+-=0234 21x x x x 令2412,k x k x ==，可求得原方程的解为 ???? ?? ? ??+??????? ??-=1001001221k k x ，其中21,k k 为任意常数。 2. 求解非齐次线性方程组?? ? ??=+=+-=-+8 31110232 2421321321x x x x x x x x 解：把增广矩阵),(b A 化为阶梯形 ?? ? ? ? ????→?????? ??---??→?????? ??--=-6-000341110-08-3-318031110213833180311102132124),(21行变换r r b A 因此3),(2)(=<=b A R A R ，所以原方程组无解。 3. 设)1,2,1,3(),1,1,2,3(--=--=βα。求向量γ，使βγα=+32。 解：??? ? ? --=-= 31,0,35,3)2(31αβγ 4. 求向量组123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),T T T ααα=-==4(1,1,2,0),T α=- T )6,5,1,2(5=α的秩和一个极大线性无关组。 解：将51,ααΛ作为列向量构成矩阵，做初等行变换 线性代数课后题详解 第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： (1) ； 21-1 2 解：；5)1(1222 1-12=-?-?= (2) ；1 1 12 2 ++-x x x x 解： ； 1)1)(1(11 1232222--=-++-=++-x x x x x x x x x x (3) ;22b a b a 解： ;222 2ba ab b a b a -= (4) ;5 984131 11 解： ;59415318119318415115 984131 11=??-??-??-??+??+??= (5) ;0 00 00d c b a 解： ;00000000000000 00=??-??-??-??+??+??=d c b a d b c a d c b a (6) .132213321 解： .183211322133332221111 322133 21=??-??-??-??+??+??= 2.求下列排列的逆序数： （1）34215； 解：3在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；4的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2；1的前面有3个比它大的数，逆序数为3；5的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为5. （2）4312； 解：4在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面有1个比它大的数，逆序数为1；1的前面有2个比它大的数，逆序数为2；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2.因此排列的逆序数为5. （3）n(n-1)…21； 解：1的前面有n-1个比它大的数，逆序数为n-1；2的前面有n-2个比它大的数，逆序数为n-2；…；n-1的前面有1个比它大的数，逆序数为1；n 的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为n(n-1)/2. (4）13…(2n-1)(2n) …42. 解：1的前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面没有比它大的数，逆序数为0；…；2n-1的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2n-2个比它大的数，逆序数为2n-2；4的前面有2n-4个比它大的数，逆序数为2n-4；…；2n 的前面有2n-2n 个比它大的数，逆序数为2n-2n.因此排列的逆序数为n(n-1). 3.写出四阶行列式中含有因子2311a a 的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为 43214321)1(p p p p t a a a a -，其中t 为4321p p p p 的逆序数．由于3,121==p p 已固定，4321p p p p 只能形如13□□， 即1324或1342.对应的t 分别为 10100=+++或22000=+++ ∴44322311a a a a -和42342311a a a a 为所求. 4.计算下列各行列式： (1) 71100 251020214214 ； 解： 7110025102 021 4214343 27c c c c --0 1 14 23102021 10214 ---= 34)1(14 3 10 2211014 +-?--- =- 14 3 10 2211014 --3 2 1 132c c c c ++- 14 17172 1099 -= 0. (2) ;0111101111011 110 解： 0111101111011 1104342c c c c --0 1 1 1 1 10110111000--=14)1(1 11 101 1 1+-?-- =-1 1 1 101 01 1-- 12c c +-1 2 1111 001-=- 1 2 11-=-3. 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（ C ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+ λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆，则必有（） ______________________________________________________________________________________________________________ 第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 0010 0100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 0011 0000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数1 3232 111 12)(x x x x x f ----= 中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311 122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 7 3 4 11111 3263 478 ----= D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 101 1110 40 3 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). 线性代数(专升本)阶段性作业1 单选题 1. 若是五阶行列式中带有正号的一项，则之值应为_____。(5分) (A) : (B) : (C) : (D) : 参考答案：C 2. 设六阶行列式，则_____为中带负号的项.(5分) (A) : (B) : (C) : (D) : 参考答案：B 3. 对行列式做_____种变换不改变行列式的值.(5分) (A) 互换两行 (B) 非零数乘某一行 (C) 某行某列互换 (D) 非零数乘某一行加到另外一行 参考答案：D 4. _____是行列式为零的充分条件.(5分) (A) : 零元素的个数大于 (B) : 中各行元素之和为零 (C) : 主对角线上元素全为零 (D) : 次对角线上元素全为零 参考答案：B 5. _____是实行列式非零的充分条件.(4分) (A) : 中所有元素非零 (B) : 中至少有个元素非零 (C) : 中任意两行元素之间不成比例 (D) : 非零行的各元素的代数余子式与对应的元素相等 参考答案：D 6. 设阶行列式，则的必要条件是_____。(4分) (A) : 中有两行（或列）元素对应成比例 (B) : 中有一行（或列）元素全为零 (C) : 中各列元素之和为零 (D) : 以为系数行列式的齐次线性方程组有非零解 参考答案：D 7. 行列式_____。(4分) (A) : (B) (C) : (D) 参考答案：D 8. 四阶行列式_____。(4分) (A) : (B) : (C) : (D) : 参考答案：D 9. 如果，而，则_ ____。(4分) (A) : (B) : (C) : (D) : 参考答案：B 10. 如果，而，则 _____。(4分) (A) : (B) : (C) : (D) : 参考答案：B 11. 与行列式等值的行列式为_____。(4分) (A) : (B) : 第四章 向量组的线性相关性 1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T . 3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T . 2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1 321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61 T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由 ????? ??-=3121 23111012421301 402230) ,(B A ??? ? ? ??-------971820751610402230 421301 ~r ???? ? ? ?------531400251552000751610 421301 ~r ??? ? ? ? ?-----000000531400751610 421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示. 线性代数期中练习 一、单项选择题。 1． 12 021 k k -≠-的充分必要条件是( )。 (A) 1k ≠- (B) 3k ≠ (C) 1k ≠- 且3k ≠ (D) 1k ≠-或3k ≠ 2．若AB ＝AC ，当（ ）时，有B ＝C 。 (A) A 为n 阶方阵 (B) A 为可逆矩阵 (C) A 为任意矩阵 (D) A 为对称矩阵 3．若三阶行列式M a a a a a a a a a =3332 31 232221 13 1211 ，则=---------33 32 312322 2113 1211222222222a a a a a a a a a （ ） 。 (A) －6M (B) 6M (C) 8M (D) －8M 4．齐次线性方程组123123123 000ax x x x ax x x x x ++=?? ++=??++=?有非零解，则a 应满足（ ）。 (A) 0a ≠； (B) 0a =； (C) 1a ≠； (D) 1a =． 5．设12,ββ是Ax b =的两个不同的解，12,αα是0=Ax 的基础解系，则Ax b = 的通解是（ ）。 (A) 11212121()()2c c αααββ+-+ + (B) 11212121 ()()2 c c αααββ+++- (C) 11212121()()2c c αββββ+++- (D) 11212121 ()()2 c c αββββ+-++ 二．填空题。 6．A = (1, 2, 3, 4)，B = (1, -1, 3, 5)，则A ·B T = 。 7．已知A 、B 为4阶方阵，且A ＝－2，B ＝3，则| 5AB | = 。 | ( AB )-1 |= 。 8. 在分块矩阵A=B O O C ?? ??? 中，已知1-B 、1 -C 存在，而O 是零矩阵，则 =-1A 。 线性代数标准化作业答案 第一章：行列式 基础必做题：（一） 一、填空题： 1、3，n （n-1）； 2、1222+++c b a ； 3、70，-14； 4、-3M ； 5、1 二、选择题： 1、C 2、D 3、D 4、A 5、C 三、计算题： 1、解：原式 11 110 01)1()1(1 11 11C 1 21 11++++=--?-?-+--?-++cd ad ab abcd d c d c b a （）（展开按2、解：原式 3 1 323 121) c b a () c b a (0 00) c b a (0 111 )c b a (2cr r 2br r b a c 2c 2c 2b a c b 2b 111 )c b a (2222++=++-++-++------++----++++++++提公因子b a c c c b a c b b c b a c b a c b a r r r r 四、解： ) )()()((0 000001) (1 111 ) ()(c x b x a x c b a x c x b c a b b x a b a x c b a c b a x x c b c x b c b x c b a c b a x x f ---+++=------+++=+++= 因,0)(=x f 故,,,c b a x =或)(c b a ++-。 基础必做题（二） 一、填空题： 1、6，8； 2、0； 3、0，0； 4、4； 5、24 二、选择题： 1、D ； 2、C ； 3、A ； 4、A ； 5、A,B,D 三、1、解：原式 中国地质大学网络（成人）教育2019年春季课程考试试卷 考试科目名称：线性代数 层次：专升本考试方式：考查 1.论行列式与矩阵的基本概念 （1）行列式是在什么情况下引入的记号？为什么要引进行列式？行列式中行与列的地位是否相同？计算行 列式有哪些常用的计算方法(至少列举三种以上)？对角线法则适用于所有n阶的行列式计算吗？ （2）克莱姆法则是求解线性方程组的一种常用的方法，请问用克莱姆法则求解线性方程组对方程组有哪两个要 求？如果条件不满足，则应如何解决？ 答：用克莱姆法则求解线性方程组需满足两个条件: ①、线性方程组中方程的个数等于未知量的个数; ②、线性方程组的系数行列式不等于零. 如果条件不满足：克莱姆法就失效了,方程可能有解,也可能无解，未知数较多时往往可用计算机求解。（3）为了求解一般线性方程组的解，引进矩阵的记号，请问：矩阵与行列式有什么本质的区别？(20分) 答：它们最大的区别是矩阵是一个体系，表现形式为数据表格，没有明确的数值结果；行列式是一种算式，最终有一个明确的数值结果。 矩阵：构成动态平衡的循环体系。可以把能量循环体系视为矩阵。聚能/平衡效应。人体可以视为矩阵，地球可以比喻视为矩阵，宇宙也比喻的视为矩阵。矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。 行列式：在数学中是由解线性方程组产生的一种算式。行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具都有着重要的应用。 2.论矩阵及其运算 （1）矩阵是在解线性方程组时引入的一种记号，矩阵运算通常包括哪些运算?(至少列出四种运算形式) 两个矩 阵可以相加的条件是什么？两个矩阵可以相乘的条件是什么？ 答：矩阵有加减乘运算，除运算相当于矩阵的逆运算。 相同阶数的矩阵可以进行加减运算，如两个m X n 的两个矩阵加减即为相应位置上的元素相加减; 乘运算时两个矩阵阶数须满足第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相同，例如A为m X n的， B为n X k的，C是k X s的，A与B可以相乘，A与C不可以相乘，但是B与C可以相乘; 矩阵的逆运算只有非奇异的矩阵才有，即其行列式不为0。 两个矩阵AB既可以相加，又可以相乘的充分必要条件是这两个矩阵是同阶矩阵。 同阶矩阵：两个矩阵的行数和列数都一样 （2）在矩阵的运算中并没有除法运算，则与除法运算作用相同的运算是什么运算？逆矩阵存在 的条件是什么？通常用什么样的方法求逆矩阵？ 第一次 行列式部分的填空题 1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符号应取 + 号。 2．排列45312的逆序数为 5 。 3．行列式251122 14 ---x 中元素x 的代数余子式是 8 ． 4．行列式1 02325 4 03 --中元素-2的代数余子式是 —11 。 5．行列式2 5 1 122 1 4 --x 中，x 的代数余子式是 —5 。 6．计算0 00 0d c b a = 0 行列式部分计算题 1．计算三阶行列式 3 8 1 141 102 --- 解：原式=2×（—4）×3+0×（—1）×（—1）+1×1×8—1×（—1）×（—4）—0×1×3—2×（—1）×8=—4 2．决定i 和j ，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解：i =8，j =5。 3．(7分)已知00 1 04 13 ≠x x x ，求x 的值． 解：原式=3x 2—x 2—4x=2 x 2—4x=2x(x —2)=0 解得：x 1=0；x 2=2 所以 x={x │x ≠0；x ≠2 x ∈R } 4．(8分)齐次线性方程组 ?? ? ??=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解，求λ。 解：()2 11 1 1 0100 011 1 1 11 11 -=--==λλλλλ D 由D=0 得 λ=1 5．用克莱姆法则求下列方程组： ?? ? ??=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解：因为 033113 2104 21 711 7 2104 21 911 7 18904 213511 3 215 421231 312≠-=?-?=-------=-------=）（r r r r r r D 所以方程组有唯一解，再计算： 811 1 10 2129 4 2311-=-=D 1081 10 3 22954 311 2-==D 13510 1 3 2915 31213=-=D 因此，根据克拉默法则，方程组的唯一解是： x=27，y=36，z=—45 第二次 线性方程组部分填空题 1．设齐次线性方程组A x =0的系数阵A 的秩为r ，当r= n 时，则A x =0 只有零解；当A x =0有无穷多解时，其基础解系含有解向量的个数为 n-r . 线性代数(专升本)阶段性作业 4 单选题 1. 齐次线性方程组解的情况是_____.(5分) (A) 无解 (B) 仅有零解 (C) 必有非零解 (D) 可能有非零解，也可能没有非零解 参考答案：C 2. 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是_____.(5分) (A) : (B) : (C) : (D) : 参考答案：B 3. 设是矩阵，是矩阵，则线性方程组_____.(5分) (A) :当时仅有零解 (B) : 当时必有非零解 (C) : 当时仅有零解 (D) : 当时必有非零解 参考答案：D 4. 要使，都是线性方程组的解，只要为_____. (5分) (A) : (B) : (C) : (D) : 参考答案：A 5. 设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩，且为此方程组的三个线性无关的解，则此方程组的基础解系是_____.(5分) (A) : (B) : (C) : (D) : 参考答案：A 6. 已知矩阵的秩为，和是齐次线性方程组的两个不同的解，为任意常数，则方程组的通解为_____.(5分) (A) : (B) : (C) : (D) : 参考答案：D 7. 设是矩阵，则下列命题正确的是_____.(5分) (A) : 若，则有唯一解 (B) : 若，则有无穷多组解 (C) : 若，则有解 (D) : 若，则有解 参考答案：D 8. 已知是的两个不同的解，是相应齐次方程组的基础解系，为任意常数，则的通解是_____.(5分) (A) : (B) : (C) : (D) : 参考答案：B 9. 若阶方阵的两个不同的特征值所对应的特征向量分别是和，则_ ____.(4分) (A) : 和线性相关 (B) : 和线性无关 (C) : 和正交 (D) : 和的内积等于零 参考答案：B 10. 设是的特征值，则___ __.(4分) (A) : 0 (B) : 5 (C) : 10 (D) : 15 参考答案：D线性代数课后作业答案(胡觉亮版)
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