矩阵知识点归纳
矩阵知识点归纳
(一)二阶矩阵与变换
1．线性变换与二阶矩阵
在平面直角坐标系xOy中，由错误!(其中a，ｂ，c,ｄ是常数)构成的变换称为线性变换.由四个数a，b，c，d排成的正方形数表错误!称为二阶矩阵,其中a,ｂ,c，d称为矩阵的元素,矩阵通常用大写字母A，B，C,…或（aｉｊ)表示(其中ｉ,j分别为元素ａｉj所在的行和列).
２.矩阵的乘法
行矩阵［a11a12]与列矩阵错误!的乘法规则为［a11ａ12］错误!=[a1１b11+a１2b２1］，二阶矩阵错误!与列矩阵错误!的乘法规则为错误!错误!=错误!．矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律.
3.几种常见的线性变换
(1)恒等变换矩阵M＝错误!；
（2)旋转变换Rθ对应的矩阵是M＝错误!;
(３)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x轴对称，则变换对应矩阵为M1=错误!;若关于y轴对称,则变换对应矩阵为Ｍ２=错误!;若关于坐标原点对称,则变换对应矩阵M3＝错误!;
(4)伸压变换对应的二阶矩阵M=错误!,表示将每个点的横坐标变为原来的k１倍，纵坐标变为原来的k2倍,k１，k2均为非零常数；
(5)投影变换要看投影在什么直线上,例如关于ｘ轴的投影变换的矩阵为M＝错误!;
（6)切变变换要看沿什么方向平移,若沿x轴平移|ky|个单位，则对应矩阵M=错误!，若沿y轴平移|kx|个单位,则对应矩阵Ｍ＝错误!.(其中k为非零常数)．4．线性变换的基本性质
设向量α＝错误!，规定实数λ与向量α的乘积λα=错误!;设向量α＝错误!，β＝错误!，规定向量α与β的和α＋β＝错误!.
(1)设Ｍ是一个二阶矩阵,α、β是平面上的任意两个向量,λ是一个任意实数，则①Ｍ(λα)＝λMα,②M（α＋β）=Ｍα＋Mβ.
(2)二阶矩阵对应的变换（线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)．
(二)矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量
１．矩阵的逆矩阵
(１)一般地,设ρ是一个线性变换,如果存在线性变换σ，使得σρ=ρσ＝I，则称变换ρ可逆．并且称σ是ρ的逆变换.
(2)设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得BA=AB＝E,则称矩阵A可逆,或称矩阵A是可逆矩阵,并且称B是A的逆矩阵．
（3)(性质1）设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.Ａ的逆矩阵记为Ａ-1.
(4）（性质2)设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆,则AＢ也可逆，且(AB)－1=B－1A－1.
(５）已知Ａ，B，C为二阶矩阵，且AB=AC,若矩阵A存在逆矩阵，则Ｂ=C.
(6)对于二阶可逆矩阵A=错误!(ａd-bc≠0），它的逆矩阵为A-１＝错误!．
2.二阶行列式与方程组的解
对于关于x，y的二元一次方程组错误!我们把错误!称为二阶行列式,它的运算结果是一个数值(或多项式),记为ｄet(A)＝错误!=ad－bc.
若将方程组中行列式错误!记为D,错误!记为Dｘ,错误!记为Dｙ,则当D≠0时,方程组的解为错误!
3．二阶矩阵的特征值和特征向量
（1)特征值与特征向量的概念
设A是一个二阶矩阵,如果对于实数λ,存在一个非零向量α,使得Aα=λα，那么λ称为Ａ的一个特征值,α称为A的一个属于特征值λ的一个特征向量.
(2)特征多项式
设λ是二阶矩阵A=错误!的一个特征值,它的一个特征向量为α=错误!,则A错误!=λ错误!,即错误!也即错误!(*)
定义：设A＝错误!是一个二阶矩阵,λ∈Ｒ，我们把行列式f(λ)＝错误!=λ2-(a+d)λ＋ad-ｂc称为A的特征多项式.
(３)矩阵的特征值与特征向量的求法
如果λ是二阶矩阵A的特征值,则λ一定是二阶矩阵A的特征多项式的一个根，即ｆ(λ)＝０,此时，将λ代入二元一次方程组（*),就可得到一组非零解错误!,于是非零向量错误!即为Ａ的属于λ的一个特征向量
．
所有变换矩阵
单位矩阵：
10
01
M
??
=??
??
,点的变换为(,)(,)
x y x y
→
伸压变换矩阵：
01
k
M
??
=??
??
:1
k>，将原来图形横坐标扩大为原来k倍，纵坐标不变
01
k
<<，将原来图形横坐标缩小为原来k倍，纵坐标不变
点的变换为(,)(,)
x y kx y
→
10
M
k
??
=??
??
：1
k>，将原来图形纵坐标扩大为原来k倍，横坐标不变
01
k
<<,将原来图形纵坐标缩小为原来k倍,横坐标不变
点的变换为(,)(,)
x y x ky
→
反射变换:
10
01
M
??
=??
-
??
：点的变换为(,)(,)
x y x y
→-变换前后关于x轴对称
10
01
M
-??
=??
??
:点的变换为(,)(,)
x y x y
→-变换前后关于y轴对称
10
01
M
-??
=??
-
??
：点的变换为(,)(,)
x y x y
→--变换前后关于原点对称
01
10
M
??
=??
??
:点的变换为(,)(,)
x y y x
→变换前后关于直线y x
=对
称
旋转变换:cos sin sin cos M θ
θθθ-??=????：逆时针090:0110M -??=????；顺时针090:0110M ??=??-??
旋转变化矩阵还可以设为：a b M b a -??=?
??? 投影变换：
1000M ??=????
：将坐标平面上的点垂直投影到x 轴上 点的变换为(,)(,0)x y x →
0001M ??=????
:将坐标平面上的点垂直投影到y 轴上 点的变换为(,)(0,)x y y →
1010M ??=????
：将坐标平面上的点垂直于x 轴方向投影到y x =上 点的变换为(,)(,)x y x x →
0101M ??=????
:将坐标平面上的点平行于x 轴方向投影到y x =上 点的变换为(,)(,)x y y y →
11221
122M ????=????????
：将坐标平面上的点垂直于y x =方向投影到y x =上 点的变换为(,)(,)22
x y x y x y ++→ 切变变换:101k M ??=????
:把平面上的点沿x 轴方向平移||ky 个单位 点的变换为(,)(,)x y x ky y →+
101M k ??=????
:把平面上的点沿y 轴方向平移||kx 个单位 点的变换为(,)(,)x y x kx y →+