初中数学二次函数真题汇编含答案

初中数学二次函数真题汇编含答案

一、选择题

1．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，则下列说法错误的是( ) A ．a +c ＝0

B ．无论a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点，且函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2

C ．当函数在x ＜

1

10

时，y 随x 的增大而减小 D ．当﹣1＜m ＜n ＜0时，m +n ＜2a

【答案】C 【解析】 【分析】

根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可． 【详解】

解：∵函数经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)， ∴a ﹣b +c ＝2，a +b +c ＝﹣2， ∴a +c ＝0，b ＝﹣2， ∴A 正确； ∵c ＝﹣a ，b ＝﹣2， ∴y ＝ax 2﹣2x ﹣a ， ∴△＝4+4a 2＞0，

∴无论a 为何值，函数图象与x 轴必有两个交点， ∵x 1+x 2＝

2

a

，x 1x 2＝﹣1，

∴|x 1﹣x 2|＝＞2， ∴B 正确；

二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)的对称轴x ＝﹣2b a ＝1a

， 当a ＞0时，不能判定x ＜1

10

时，y 随x 的增大而减小； ∴C 错误；

∵﹣1＜m ＜n ＜0，a ＞0， ∴m +n ＜0，2

a

＞0， ∴m +n ＜

2a

；

∴D 正确， 故选：C ． 【点睛】

本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．

2．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a ﹣b+c ，则P 的取值范围是( )

A ．﹣4＜P ＜0

B ．﹣4＜P ＜﹣2

C ．﹣2＜P ＜0

D ．﹣1＜P ＜0

【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】

解:∵二次函数的图象开口向上，∴a ＞0． ∵对称轴在y 轴的左边，∴b

2a

-

＜0．∴b ＞0． ∵图象与y 轴的交点坐标是（0，﹣2），过（1，0）点，代入得：a+b ﹣2=0． ∴a=2﹣b ，b=2﹣a ．∴y=ax 2+（2﹣a ）x ﹣2． 把x=﹣1代入得：y=a ﹣（2﹣a ）﹣2=2a ﹣4， ∵b ＞0，∴b=2﹣a ＞0．∴a ＜2．

∵a ＞0，∴0＜a ＜2．∴0＜2a ＜4．∴﹣4＜2a ﹣4＜0，即﹣4＜P ＜0． 故选A ． 【点睛】

本题考查二次函数图象与系数的关系，利用数形结合思想解题是本题的解题关键．

3．二次函数y ＝2ax bx c ++（a ≠0）图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a b

+＝0；③当m ≠1时，+a b ＞2am bm +；④a b c -+＞0；⑤若211ax bx +＝2

22ax bx +，

且1x ≠2x ，则12x x +＝2．其中正确的有（ ）

A ．①②③

B ．②④

C ．②⑤

D ．②③⑤

【答案】D 【解析】 【分析】

由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断 【详解】

解：抛物线的开口向下，则a ＜0； 抛物线的对称轴为x=1，则-

2b

a

=1，b=-2a ∴b>0，2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴，则c ＞0；

由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标，是最大值，当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标，不是最大值 ∴+a b ＞2am bm +（故③正确）

：b ＞0，b+2a=0；（故②正确） 又由①②③得：abc ＜0 （故①错误） 由图知：当x=-1时，y ＜0；即a-b+c ＜0，b ＞a+c ；（故④错误）

⑤若211ax bx +＝222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=2

11ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1-

x 2)=a(x 1+x 2)（x 1-x 2）+b(x 1-x 2)= （x 1-x 2）[a(x 1+x 2)+b]= 0 ∵1x ≠2x ∴a(x 1+x 2)+b=0 ∴x 1+x 2=2b a

a a

-=-=2 （故⑤正确） 故选D ．

考点：二次函数图像与系数的关系.

4．如图，二次函数()2

00y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，

与y 轴相交于点C ，对称轴为直线2x =，且OA OC =，则下列结论：

①0abc >；②930a b c ++<；③1c >-；④关于x 的方程()2

00ax bx c a ++=≠有

一个根为1

a

-

，其中正确的结论个数有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】C 【解析】 【分析】

由二次图像开口方向、对称轴与y 轴的交点可判断出a 、b 、c 的符号，从而可判断①；由图像可知当x ＝3时，y ＜0，可判断②；由OA ＝OC ，且OA ＜1，可判断③；把﹣1

a

代入方程整理得ac 2－bc ＋c ＝0，结合③可判断④；从而得出答案. 【详解】

由图像开口向下，可知a ＜0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c ＜0，又对称轴方程为x ＝2，∴﹣

2b

a

＞0，∴b ＞0，∴abc ＞0，故①正确；由图像可知当x ＝3时，y ＞0，∴9a ＋3b ＋c ＞0，故②错误；由图像可知OA ＜1，∵OA ＝OC ，∴OC ＜1，即﹣c ＜1，故③正确；假设方程的一个根为x ＝﹣

1a ，把﹣1

a

代入方程，整理得ac 2－bc ＋c ＝0， 即方程有一个根为x ＝﹣c ，由②知﹣c ＝OA ，而当x ＝OA 是方程的根，∴x ＝﹣c 是方程的根，即假设成立，故④正确.故选C. 【点睛】

本题主要考查二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的相关知识是解答此题的关键.

5．如图是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m ），且与x 铀的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c ＞0；③b 2＝4a （c ﹣m ）；④一元二次方程ax 2+bx +c ＝m +1有两个不相等的实数根，其中正确结论的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】C

【分析】

根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a ，b ，c 的正负；根据抛物线的对称轴位置可判别在x 轴上另一个交点；根据抛物线与直线y=m 的交点可判定方程的解． 【详解】

∵函数的图象开口向上，与y 轴交于负半轴 ∴a>0,c<0

∵抛物线的对称轴为直线x=－2b a

=1 ∴b<0

∴abc ＞0；①正确；

∵抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，

∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间． ∴当x=-1时，y<0，

即a-b+c<0，所以②不正确； ∵抛物线的顶点坐标为（1，m ）， ∴

2

44ac b a

=m ， ∴b 2=4ac-4am=4a （c-m ），所以③正确； ∵抛物线与直线y=m 有一个公共点， ∴抛物线与直线y=m+1有2个公共点，

∴一元二次方程ax 2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选:C ． 【点睛】

考核知识点：抛物线与一元二次方程．理解二次函数性质，弄清抛物线与一元二次方程的关系是关键．

6．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1，给出以下结论：①abc ＜0；②3a +c ＝0；③ax 2+bx ≤a +b ；④若M （﹣0.5，y 1）、N （2.5，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＜y 2．其中正确的是（ ）

A ．①③④

B ．①②3④

C ．①②③

D ．②③④

【答案】C

【分析】

根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】

解：①由图象可知：a ＜0，c ＞0， 由对称轴可知：2b

a

-＞0， ∴b ＞0，

∴abc ＜0，故①正确； ②由对称轴可知：2b

a

-＝1， ∴b ＝﹣2a ，

∵抛物线过点（3，0）， ∴0＝9a+3b+c ， ∴9a ﹣6a+c ＝0， ∴3a+c ＝0，故②正确；

③当x ＝1时，y 取最大值，y 的最大值为a+b+c ， 当x 取全体实数时，ax 2+bx+c≤a+b+c ， 即ax 2+bx≤a+b ，故③正确；

④（﹣0.5，y 1）关于对称轴x ＝1的对称点为（2.5，y 1）： ∴y 1＝y 2，故④错误； 故选：C ． 【点睛】

本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．

7．抛物线y 1=ax 2+bx +c 与直线y 2=mx +n 的图象如图所示，下列判断中：①abc ＜0；②a +b +c ＞0；③5a -c =0；④当x ＜或x ＞6时，y 1＞y 2，其中正确的个数有（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】

解：根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知：a >0，b <0，c >0，则

abc <0，则①正确；

根据图形可得：当x=1时函数值为零，则a+b+c=0，则②错误； 根据函数对称轴可得：-2b

a

=3，则b=-6a ，根据a+b+c=0可知：a-6a+c=0，-5a+c=0，则5a-c=0，则③正确；

根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确.

点睛：本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系，属于中等题目,如果函数开口向上，则a 大于零，如果函数开口向下，则a 小于零；如果函数的对称轴在y 轴左边，则b 的符号与a 相同，如果函数的对称轴在y 轴右边，则b 的符号与a 相反；如果函数与x 轴交于正半轴，则c 大于零，如果函数与x 轴交于负半轴，则c 小于零；对于出现a+b+c 、a-b+c 、4a+2b+c 、4a-2b+c 等情况时，我们需要找具体的值进行代入从而得出答案；对于两个函数值的大小比较，我们一般以函数的交点为分界线，然后进行分情况讨论.

8．如图，矩形ABCD 的周长是28cm ，且AB 比BC 长2cm ．若点P 从点A 出发，以

1/cm s 的速度沿A D C →→方向匀速运动，同时点Q 从点A 出发，以2/cm s 的速度沿A B C →→方向匀速运动，当一个点到达点C 时，另一个点也随之停止运动．若设运动

时间为()t s ，APQ V 的面积为(

)2

cm

S ，则()2

cm S 与()t s 之间的函数图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A 【解析】 【分析】

先根据条件求出AB 、AD 的长，当0≤t≤4时，Q 在边AB 上，P 在边AD 上，如图1，计算S 与t 的关系式，分析图像可排除选项B 、C ；当4＜t≤6时，Q 在边BC 上，P 在边AD 上，如图2，计算S 与t 的关系式，分析图像即可排除选项D ，从而得结论． 【详解】

解：由题意得2228AB BC +=，2AB BC =+， 可解得8AB =，6BC =，即6AD =，

①当0≤t≤4时，Q 在边AB 上，P 在边AD 上，如图1，

S △APQ =

211

222

AP AQ t t t ==g g ， 图像是开口向上的抛物线，故选项B 、C 不正确； ②当4＜t≤6时，Q 在边BC 上，P 在边AD 上，如图2，

S △APQ =

11

8422

AP AB t t =?=g ， 图像是一条线段，故选项D 不正确； 故选：A ． 【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象，根据动点P 和Q 的位置的不同确定三角形面积的不同，解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S 与t 的函数关系式．

9．如图，已知点A （4，0），O 为坐标原点，P 是线段OA 上任意一点（不含端点O ，A ），过P 、O 两点的二次函数y 1和过P 、A 两点的二次函数y 2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B 、C ，射线OB 与AC 相交于点D ．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）

A 5

B 4

53

C ．3

D ．4

【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】

过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，

∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，

∴BF∥DE∥CM．

∵OD=AD=3，DE⊥OA，

∴OE=EA=1

2

OA=2．

由勾股定理得：DE=5．

设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，∵BF∥DE∥CM，

∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE．

∴BF OF CM AM

DE OE DE AE

==

，，即

x2x

22

55

-

==

，，解得：

()

52x

5

BF?x CM

2-

==

，．

∴BF+CM=5．

故选A．

10．如图，四边形ABCD是正方形，8

AB=，AC、BD交于点O，点P、Q分别是AB、BD 上的动点，点P的运动路径是AB BC

→，点Q的运动路径是BD，两点的运动速度相同并且同时结束.若点P的行程为x，PBQ

△的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

【分析】

分点P在AB边和BC边上两种情况画出图形，分别求出y关于x的函数关系式，再结合其取值范围和图象的性质判断即可.

【详解】

解：当点P 在AB 边上，即08x ≤≤时，如图1，由题意得：AP=BQ=x ，∠ABD =45°，∴ BP =8－x ，

过点Q 作QF ⊥AB 于点F ，则QF =

2222

BQ x =， 则2

122(8)22224

y x x x x =

-?=-+，此段抛物线的开口向下；

当点P 在BC 边上，即882x <≤时，如图2，由题意得：BQ=x ，BP=x －8，∠CBD =45°， 过点Q 作QE ⊥BC 于点E ，则QE =

22

22

BQ x =， 则2

122(8)22224

y x x x x =

-?=-，此段抛物线的开口向上. 故选A. 【点睛】

本题以正方形为依托，考查了动点问题的函数图象、正方形的性质、等腰直角三角形的性质和二次函数的图象等知识，分情况讨论、正确列出二次函数的关系式是解题的关键.

11．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c ＞﹣3b ；（3）7a ﹣3b+2c ＞0；（4）若点A （﹣3，y 1）、点B （﹣

1

2

，y 2）、点C （7，y 3）在该函数图象上，则y 1＜y 3＜y 2；（5）若方程a （x+1）（x ﹣5）=﹣3的两根为x 1和x 2，且x 1＜x 2，则x 1＜﹣1＜5＜x 2．其中正确的结论有（ ）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

【答案】B 【解析】

根据题意和函数的图像，可知抛物线的对称轴为直线x=-2b

a

=2，即b=-4a ，变形为4a+b=0，所以（1）正确；

由x=-3时，y ＞0，可得9a+3b+c ＞0，可得9a+c ＞-3c ，故（2）正确；

因为抛物线与x 轴的一个交点为(-1,0)可知a-b+c=0，而由对称轴知b=-4a ，可得a+4a+c=0，即c=-5a.代入可得7a ﹣3b+2c=7a+12a-5a=14a ，由函数的图像开口向下，可知a ＜0，因此7a ﹣3b+2c ＜0，故（3）不正确；

根据图像可知当x ＜2时，y 随x 增大而增大，当x ＞2时，y 随x 增大而减小，可知若点A （﹣3，y 1）、点B （﹣1

2

，y 2）、点C （7，y 3）在该函数图象上，则y 1=y 3＜y 2，故（4）不正确；

根据函数的对称性可知函数与x 轴的另一交点坐标为（5，0），所以若方程a （x+1）（x ﹣5）=﹣3的两根为x 1和x 2，且x 1＜x 2，则x 1＜﹣1＜x 2，故（5）正确． 正确的共有3个. 故选B.

点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置，当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定，△=b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2﹣4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．

12．二次函数2y ax bx c =++（,,a b c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：

且当1

2

x =-时，与其对应的函数值0y >．有下列结论：①0abc >；②2-和3是关于

x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；③0m <20

3

n +<

．其中，正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1

C ．2

D ．3

【答案】C 【解析】 【分析】

首先确定对称轴，然后根据二次函数的图像和性质逐一进行分析即可求解． 【详解】

∵由表格可知当x=0和x=1时的函数值相等都为-2 ∴抛物线的对称轴是：x=-2b a =12

； ∴a 、b 异号，且b=-a ； ∵当x=0时y=c=-2 ∴c 0<

∴abc >0，故①正确；

∵根据抛物线的对称性可得当x=-2和x=3时的函数值相等都为t ∴2-和3是关于x 的方程2ax bx c t ++=的两个根；故②正确； ∵b=-a ，c=-2

∴二次函数解析式：2-a -2=y ax x ∵当1

2

x =-时，与其对应的函数值0y >．

∴

3204a ->，∴a 83

>； ∵当x=-1和x=2时的函数值分别为m 和n ， ∴m=n=2a-2， ∴m+n=4a-420

3

>；故③错误 故选：C ． 【点睛】

本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程等知识点，要会利用数形结合的思想，根据给定自变量x 与函数值y 的值结合二次函数的性质逐条分析给定的结论是关键．

13．已知抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点．下列结论：①4c <；②当1x =时，y 有最小值2c -；③方程22420x x c -+-=有两个不等实根；④若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形，则5

2

c =；其中正确的结论的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2

D ．1

【答案】B 【解析】 【分析】

根据“抛物线2

24y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点”即可判断①③；根据抛物

线的对称轴为直线x=1即可判断②；根据等腰直角三角形的性质，用c 表达出两个交点，代入抛物线解析式计算即可判断④． 【详解】

解：∵抛物线224y x x c =-+与直线2y =有两个不同的交点，

∴2242x x c -+=有两个不相等的实数根，即22420x x c -+-=有两个不相等的实数根，故③正确，

∴1642(2)0c ?=-??->，解得：4c <，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=1，且抛物线开口向上， ∴当x=1时，2y c =-为最小值，故②正确；

若连接这两个交点与抛物线的顶点，恰好是一个等腰直角三角形， 则顶点（1，c-2）到直线y=2的距离等于两交点距离的一半， ∵顶点（1，c-2）到直线y=2的距离为2-（c-2）=4-c ， ∴两交点的横坐标分别为1-（4-c ）=c-3与1+（4-c ）=5-c ∴两交点坐标为（c-3,2）与（5-c,2），

将（c-3,2）代入2

24y x x c =-+中得：22(3)4(3)2c c c ---+=

解得：7

2

c =或4c = ∵4c <，

∴7

2

c =

，故④错误， ∴正确的有①②③， 故选：B ． 【点睛】

本题考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握函数与方程之间的联系．

14．已知抛物线y=x 2+2x 上三点A （﹣5，y 1），B （2.5，y 2），C （12，y 3），则y 1，y 2，y 3满足的关系式为（ ）

A ．y 1＜y 2＜y 3

B ．y 3＜y 2＜y 1

C ．y 2＜y 1＜y 3

D ．y 3＜y 1＜y 2 【答案】C 【解析】 【分析】

首先求出抛物线y=x 2+2x 的对称轴，对称轴为直线x=-1；然后根据A 、B 、C 的横坐标与对称轴的位置，接着利用抛物线的增减性质即可求解；由B 离对称轴最近，A 次之，C 最远，则对应y 的值大小可确定. 【详解】 ∵抛物线y=x 2+2x ， ∴x=-1，

而A （-5，y 1），B （2.5，y 2），C （12，y 3）， ∴B 离对称轴最近，A 次之，C 最远， ∴y 2＜y 1＜y 3．

故选:C ． 【点睛】

本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．

15．已知二次函数2()y x h =-- (h 为常数),当自变量x 的值满足25x ≤≤时,与其对应的函数值y 的最大值为-1,则h 的值为( ) A ．3或6 B ．1或6

C ．1或3

D ．4或6

【答案】B 【解析】

分析：分h ＜2、2≤h≤5和h ＞5三种情况考虑：当h ＜2时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论；当2≤h≤5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h ＞5时，根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论． 详解：如图，

当h ＜2时，有-（2-h ）2=-1， 解得：h 1=1，h 2=3（舍去）；

当2≤h≤5时，y=-（x-h ）2的最大值为0，不符合题意； 当h ＞5时，有-（5-h ）2=-1， 解得：h 3=4（舍去），h 4=6． 综上所述：h 的值为1或6． 故选B ．

点睛：本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h ＜2、2≤h≤5和h ＞5三种情况求出h 值是解题的关键．

16．在函数2y x

=

，3y x =+，2

y x =的图象中，是中心对称图形，且对称中心是原点的图象共有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 【答案】B 【解析】 【分析】

根据中心对称图形的定义与函数的图象即可求解． 【详解】

y=x+3的图象是中心对称图形，但对称中心不是原点；y=x 2图象不是中心对称图形；只有函

数2

y x =

符合条件． 故选：B ． 【点睛】

本题考查函数的图象性质与中心对称图形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．

17．在同一直角坐标系中，反比例函数图像与二次函数图像的交点的个数至少有( ) A ．0 B ．1

C ．2

D ．3

【答案】B 【解析】 【分析】

根据二次函数和反比例函数的图象位置，画出图象，直接判断交点个数． 【详解】

若二次函数的图象在第三、四象限，开口向下，顶点在原点，y 轴是对称轴；反比例函数的图象在第一，三象限，故两个函数的交点只有一个，在第三象限．同理，若二次函数的图象在第三、四象限，开口向下，顶点在原点，y 轴是对称轴；反比例函数的图象在第二，四象限，故两个函数的交点只有一个，在第四象限． 故答案为：B ．

【点睛】

本题考查了二次函数和反比例函数的图象问题，掌握二次函数和反比例函数的图象性质是解题的关键．

18．平移抛物线2:L y x =得到抛物线L '，使得抛物线L '的顶点关于原点对称的点仍在抛物线L '上，下列的平移中，不能得到满足条件的抛物线L '的是（ ） A ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位 B ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C ．向左平移

3

2个单位，再向下平移92

个单位 D ．向左平移3个单位，再向下平移9个单位 【答案】D

【解析】 【分析】

通过各个选项的平移分别得到相应的函数关系式，再判断原点是否在该抛物线上即可． 【详解】

解：由A 选项可得L '为：2(1)2y x =--，

则顶点为（1，-2），顶点（1，-2）关于原点的对称点为（-1，2）， 当x ＝-1时，y ＝2，则对称点在该函数图像上，故A 选项不符合题意； 由B 选项可得L '为：2(1)2y x =+-，

则顶点为（-1，-2），顶点（-1，-2）关于原点的对称点为（1，2）， 当x ＝1时，y ＝2，则对称点在该函数图像上，故B 选项不符合题意； 由C 选项可得L '为：2

39()2

2

y x =+-， 则顶点为（-32，-92），顶点（-32，-92

）关于原点的对称点为（32，9

2）， 当x ＝

3

2时，y ＝92

，则对称点在该函数图像上，故C 选项不符合题意； 由D 选项可得L '为：2

(3)9y x =+-，

则顶点为（-3，-9），顶点（-3，-9）关于原点的对称点为（3，9）， 当x ＝3时，y ＝27≠9，则对称点不在该函数图像上，故D 选项符合题意； 故选：D ． 【点睛】

本题考查了二次函数图像的平移，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解决本题的关键．

19．如图1，在△ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝30°，动点P 从点B 开始沿边BA 、AC 向点C 以恒定的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以恒定的速度移动，两点同时到达点C ，设△BPQ 的面积为y （cm 2）．运动时间为x （s ），y 与x 之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC 的中点时，PQ 的长为（ ）

A ．2

B ．4

C ．3

D ．3【答案】C 【解析】 【分析】

点P、Q的速度比为3：3，根据x＝2，y＝63，确定P、Q运动的速度，即可求解．【详解】

解：设AB＝a，∠C＝30°，则AC＝2a，BC＝3a，

设P、Q同时到达的时间为T，

则点P的速度为3a

T

，点Q的速度为

3a

，故点P、Q的速度比为3：3，

故设点P、Q的速度分别为：3v、3v，

由图2知，当x＝2时，y＝63，此时点P到达点A的位置，即AB＝2×3v＝6v，BQ＝2×3v＝23v，

y＝1

2

?AB×BQ＝

1

2

?6v×23v＝63，解得：v＝1，

故点P、Q的速度分别为：3，3，AB＝6v＝6＝a，

则AC＝12，BC＝63，

如图当点P在AC的中点时，PC＝6，

此时点P运动的距离为AB+AP＝12，需要的时间为12÷3＝4，则BQ＝3x＝43，CQ＝BC﹣BQ＝63﹣43＝23，过点P作PH⊥BC于点H，

PC＝6，则PH＝PC sin C＝6×1

2

＝3，同理CH＝3，则HQ＝CH﹣CQ＝33

3，

PQ22

PH HQ

+39

+3，

故选：C．

【点睛】

本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．

20．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③3a+c＞0；④（a+c）2＜b2，其中正确的结论有（）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

【答案】B 【解析】

试题解析：①由开口向下，可得0,a < 又由抛物线与y 轴交于正半轴，可得0c >，

再根据对称轴在y 轴左侧，得到b 与a 同号，则可得0,0b abc ， 故①错误；

②由抛物线与x 轴有两个交点，可得240b ac ->， 故②正确； ③当2x =-时，0,y < 即420a b c -+< ……（1） 当1x =时，0y <,即0a b c ++< ……（2） （1）+（2）×2得，630a c +<， 即20a c +<， 又因为0,a <

所以()230a a c a c ，++=+< 故③错误；

④因为1x =时，0y a b c =++<，1x =-时，0y a b c =-+> 所以()()0a b c a b c ++-+<

即()()2

2

()0,a c b a c b a c b ????+++-=+-

所以22

().a c b +< 故④正确，

综上可知，正确的结论有2个. 故选B ．