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江苏省无锡市八年级上学期期末数学试题

一、选择题

1．摩托车开始行驶时，油箱中有油4升，如果每小时耗油0.5升，那么油箱中余油量y （升）与它工作时间t （时）之间函数关系的图象是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（） A ．3，4，4

B ．3，4，5

C ．3，4，6

D ．3，4，8

3．如图，在平面直角坐标系中，点,A C 在x 轴上，点C 的坐标为(1,0),2AC -=.将

Rt ABC ?先绕点C 顺时针旋转90°，再向右平移3个单位长度，则变换后点A 的对应点坐标是( )

A ．(1,2)-

B ．(4,2)-

C ．(3,2)

D ．(2,2)

4．下列根式中是最简二次根式的是( ) A ．

B ．3

C ．9

D ．12

5．下列四个图标中，是轴对称图形的是（） A ．

B ．

C ．

D ．

6．如图，已知O 为ABC ?三边垂直平分线的交点，且50A ∠=?，则BOC ∠的度数为（）

A ．80?

B ．100?

C ．105?

D ．120?

7．下列以a 、b 、c 为边的三角形中，是直角三角形的是（） A ．a ＝4，b ＝5，c ＝6

B ．a ＝5，b ＝6，c ＝8

C ．a ＝12，b ＝13，c ＝5

D ．a ＝1，b ＝1，c ＝3

8．如图， Rt ABC 中，90,B ED ∠=?垂直平分,AC ED 交AC 于点D ，交BC 于点E .已知ABC 的周长为24,ABE 的周长为14，则AC 的长（）

A ．10

B ．14

C ．24

D ．15 9．直线y=ax+b(a ＜0，b ＞0)不经过( ) A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限 10．估算x ＝5值的大小正确的是（） A ．0＜x ＜1

B ．1＜x ＜2

C ．2＜x ＜3

D ．3＜x ＜4

二、填空题

11．等边三角形绕一点至少旋转_____°与自身完全重合． 12．9的平方根是_________．

13．已知y 与x 成正比例，当x=8时，y=﹣12，则y 与x 的函数的解析式为_____． 14．若等腰三角形的两边长为10cm ，5cm ，则周长为__________cm ． 15．已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 16．如图，在ABC ?和EDB ?中，90C EBD ∠=∠=?，点E 在AB 上.若

ABC EDB ??≌，4AC =，3BC =，则DE =______.

17．已知点M (1,a )和点N (2,b )是一次函数y =-2x +1图象上的两点，则a 与b 的大小关系是_________．

18．函数y ＝－3x ＋2的图像上存在一点P ，点P 到x 轴的距离等于3，则点P 的坐标为________．

19．如图，ABC ?中，B C ∠=∠，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，且

BF CD =，BD CE =，55FDE ∠=?，则A ∠=__________?．

20．如图，在△ABC 中，AB ＝ AC ，∠BAC ＝ 120o，AD ⊥BC ，则∠BAD ＝ _____°．

三、解答题

21．如图，在平面直角坐标系中，点B 坐标为

()6,0-，点A 是y 轴正半轴上一点，且

10AB =，点P 是x 轴上位于点B 右侧的一个动点，设点P 的坐标为()0m ,

（1）点A 的坐标为___________；

（2）当ABP △是等腰三角形时，求P 点的坐标；

（3）如图2，过点P 作PE AB ⊥交线段AB 于点E ，连接OE ，若点A 关于直线OE 的对称点为A '，当点A '恰好落在直线PE 上时，BE =_____________.（直接写出答案） 22．已知ABC ?中，AB AC =.

（1）如图1，在ADE ?中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：

BD CE =

（2）如图2，在ADE ?中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，

CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；

（3）如图3，在BCD ?中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求

的值.

23．某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？

（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？

24．定义：到一个三角形三个顶点的距离相等的点叫做该三角形的外心．

（1）如图①，小海同学在作△ABC的外心时，只作出两边BC，AC的垂直平分线得到交点O，就认定点O是△ABC的外心，你觉得有道理吗？为什么？

（2）如图②，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF，连接DE，EF，DF，得到△DEF．若点O为△ABC的外心，求证：点O也是△DEF的外心．

25．已知A、B两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以每小时60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止甲、乙两车相距的路程y(千米)与甲车的行驶时间x(时)之间的函数关系如图所示：

(1)乙年的速度为______千米/时，a =_____，b =______.

(2)求甲、乙两车相遇后y 与x 之间的函数关系式，并写出相应的自变量x 的取值范围.

四、压轴题

26．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点(),A a b ，(),B c d ，若点(),T x y 满足

3a c x +=

，3

b d

y +=那么称点T 是点A ，B 的融合点．例如：()1,8A -，()4,2B -，当点(),T x y 满足14

13x -+==，()8223

y +-==时，则点()1,2T 是点A ，B 的融合点．

（1）已知点()1,5A -，()7,4B ，()2,3C ，请说明其中一个点是另外两个点的融合点．（2）如图，点()4,0D ，点(),25E t t +是直线l 上任意一点，点(),T x y 是点D ，E 的融合点．

①试确定y 与x 的关系式；

②在给定的坐标系xOy 中，画出①中的函数图象；

③若直线ET 交x 轴于点H ．当DTH 为直角三角形时，直接写出点E 的坐标．

27．如图，在△ABC 中，AB =AC =18cm ，BC =10cm ，AD =2BD ．

（1）如果点P 在线段BC 上以2cm /s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．

①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过2s 后，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明理由；

②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？

（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都

逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？

28．问题背景：（1）如图1，已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：DE ＝BD ＋CE ．

拓展延伸：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ．请写出DE 、BD 、CE 三条线段的数量关系．（不需要证明）

实际应用：（3）如图，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点C 的坐标为(－2，0)，点A 的坐标为(－6，3)，请直接写出B 点的坐标．

29．已知ABC 和ADE 都是等腰三角形，AB AC =，AD AE =，

DAE BAC ∠=∠．

（初步感知）（1）特殊情形：如图①，若点D ，E 分别在边AB ，AC 上，则

DB __________EC ．（填＞、＜或=）

（2）发现证明：如图②，将图①中的ADE 绕点A 旋转，当点D 在ABC 外部，点E 在ABC 内部时，求证：DB EC =．

（深入研究）（3）如图③，ABC 和ADE 都是等边三角形，点C ，E ，D 在同一条直线上，则CDB ∠的度数为__________；线段CE ，BD 之间的数量关系为__________．

（4）如图④，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=?，点C 、

D 、

E 在同一直线上，AM 为ADE 中DE 边上的高，则CDB ∠的度数为__________；线段AM ，BD ，CD 之间的数量关系为__________．

（拓展提升）（5）如图⑤，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，

90BAC DAE ∠=∠=?，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连结BE 、CD ．当5AB =，

2AD =时，在旋转过程中，ABE △与ADC 的面积和的最大值为__________．

30．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 点在边BC 上运动（不与B ，C 重

合），点E 在边AB 的延长线上，点F 在边AC 的延长线上，AD DE DF ==．（1）若30AED ∠=?，则ADB =∠______．（2）求证：BED CDF △≌△．

（3）试说明点D 在BC 边上从点B 至点C 的运动过程中，BED 的周长l 是否发生变化？若不变，请求出l 的值，若变，请求出l 的取值范围．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】

由题意根据剩余油量等于油箱中的原有的油量减去用去的油量，列出y 、x 的关系式，然后根据一次函数的图象选择答案即可．【详解】

解：∵油箱中有油4升，每小时耗油0.5升， ∴y=4-0.5x ， ∵4-0.5x ≥0， ∴x ≤8，

∴x 的取值范围是0≤x ≤8，所以，函数图象为：

故选：D ．【点睛】

本题考查一次函数的应用，一次函数的图象，比较简单，难点在于根据实际意义求出自变

量x 的取值范围．

2．B

解析：B 【解析】【分析】

利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．【详解】

解：A 、∵2223+44≠，∴三条线段不能组成直角三角形，错误； B 、∵2223+4=5，∴三条线段能组成直角三角形，正确； C 、∵2223+46≠，∴三条线段不能组成直角三角形，错误； D 、∵2223+48≠，∴∴三条线段不能组成直角三角形，错误；故选：B ．【点睛】

此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．

3．D

解析：D 【解析】【分析】

先求出A 点绕点C 顺时针旋转90°后所得到的的坐标A '，再求出A '向右平移3个单位长度后得到的坐标A ''，A ''即为变换后点A 的对应点坐标. 【详解】

将Rt ABC ?先绕点C 顺时针旋转90°，得到点坐标为A '(-1,2),再向右平移3个单位长度，则A '点的纵坐标不变，横坐标加上3个单位长度，故变换后点A 的对应点坐标是

A ''(2,2). 【点睛】

本题考察点的坐标的变换及平移.

4．B

解析：B 【解析】【分析】【详解】

C ，故此选项错误；

D．12=23，故此选项错误；

故选B．

考点：最简二次根式．

5．B

解析：B

【解析】

【分析】

直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案．

【详解】

A、不是轴对称图形，不合题意；

B、是轴对称图形，符合题意；

C、不是轴对称图形，不符合题意；

D、不是轴对称图形，不合题意．

故选：B．

【点睛】

本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

6．B

解析：B

【解析】

【分析】

延长AO交BC于D，根据垂直平分线的性质可得到AO=BO=CO，再根据等边对等角的性质得到∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA，再由三角形的外角性质可求得∠BOD=∠OAB+∠OBA，∠COD=∠OAC+∠OCA，从而不难求得∠BOC的度数．

【详解】

延长AO交BC于D．

∵点O在AB的垂直平分线上．

∴AO=BO．

同理：AO=CO．

∴∠OAB=∠OBA，∠OAC=∠OCA．

∵∠BOD=∠OAB+∠OBA，∠COD=∠OAC+∠OCA．

∴∠BOD=2∠OAB，∠COD=2∠OAC．

∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2∠OAB+2∠OAC=2（∠OAB+∠OAC）=2∠BAC．

∵∠A=50°．

∴∠BOC=100°．

故选：B．

【点睛】

此题主要考查：（1）线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．（2）三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．7．C

解析：C

【解析】

【分析】

根据直角三角形的判定，符合a2+b2＝c2即可．

【详解】

解：A、因为42+52＝41≠62，所以以a、b、c为边的三角形不是直角三角形；

B、因为52+62≠82，所以以a、b、c为边的三角形不是直角三角形；

C、因为122+52＝132，所以以a、b、c为边的三角形是直角三角形；

D、因为12+12≠）2，所以以a、b、c为边的三角形不是直角三角形；

故选：C．

【点睛】

本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．

8．A

解析：A

【解析】

【分析】

首先依据线段垂直平分线的性质得到AE=CE；接下来，依据AE=CE可将△ABE的周长为:14转化为AB+BC=14，求解即可.

【详解】

∵DE是AC的垂直平分线，

∴AE=CE，

∴△ABE的周长为:AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC

∵ABC的周长为24,ABE的周长为14

∴AB+BC=14

∴AC=24-14=10

故选：A

【点睛】

本题主要考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键. 9．C

解析：C

【解析】

【分析】

先根据一次函数的图象与系数的关系得出直线y＝ax＋b（a＜0，b＞0）所经过的象限，故可得出结论．

【详解】

∵直线y＝ax＋b中，a＜0，b＞0，

∴直线y＝ax＋b经过一、二、四象限，

∴不经过第三象限．

故选：C．

【点睛】

本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y＝kx＋b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时函数的图象经过一、二、四象限．

10．C

解析：C

【解析】

【分析】

【详解】

∴23，

故选：C.

【点睛】

此题主要考查无理数的估值，熟练掌握，即可解题.

二、填空题

11．120

【解析】分析：等边三角形的中心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与中心连线的夹角相等，求旋转角即可．

详解：因为等边三角形的中心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与中心连线的夹角相等，

所以，旋转角

解析：120

【解析】分析：等边三角形的中心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与中心连线的夹角相等，求旋转角即可．

详解：因为等边三角形的中心到三个顶点的距离相等，相邻顶点与中心连线的夹角相等，所以，旋转角为360°÷3=120°，故至少旋转120度才能与自身重合．

故答案为：120．

点睛：本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始

图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．

12．±3

【解析】

分析：根据平方根的定义解答即可．

详解：∵（±3）2=9，

∴9的平方根是±3．

故答案为±3．

点睛：本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是

解析：±3

【解析】

分析：根据平方根的定义解答即可．

详解：∵（±3）2=9，

∴9的平方根是±3．

故答案为±3．

点睛：本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．

13．y=-x

【解析】

【分析】

根据题意可得y=kx，再把x=8时，y=-12代入函数，可求k，进而可得y与x 的关系式．

【详解】

设y=kx，

∵当x=8时，y=-12，

∴-12=8k，

解得k=

解析：y=-3 2 x

【解析】

【分析】

根据题意可得y=kx，再把x=8时，y=-12代入函数，可求k，进而可得y与x的关系式．【详解】

设y=kx，

∵当x=8时，y=-12，

∴-12=8k，

解得k=-3

2，

∴所求函数解析式是y=-3

2 x；

故答案为:y=-3

2 x．

【点睛】

本题考查了待定系数法求函数解析式，解题的关键是理解成正比例的关系的含义．14．【解析】

【分析】

此题有两种可能：10厘米的边长做腰或5厘米的边长做腰进行分类讨论，结合三角形三边关系，从而求解．

【详解】

解：①以10cm为腰时，三角形周长为10+10+5=25cm；②以5

解析：25cm

【解析】

【分析】

此题有两种可能：10厘米的边长做腰或5厘米的边长做腰进行分类讨论，结合三角形三边关系，从而求解．

【详解】

解：①以10cm为腰时，三角形周长为10+10+5=25cm；②以5cm为腰，因为5+5=10，不符合三角形两边之和大于第三边，此情况不成立；

故答案为：25cm．

【点睛】

此题主要考查三角形三边关系及等腰三角形的性质，注意分类讨论思想的应用是本题的解题关键．

15．5或

【解析】

试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：

①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：；

②长为3、4的边都是直角边时：第三边的

解析：5

【解析】

试题分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：

①长为3的边是直角边，长为4=

②长为3、45；

∴

或5．

考点：1．勾股定理；2．分类思想的应用．

16．5

【解析】

【分析】

先根据勾股定理求得AB的长度，再由全等三角形的性质可得DE的长度. 【详解】

解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4，BC=3，

由勾股定理得：AB=5，

∵△ABC≌

解析：5

【解析】

【分析】

先根据勾股定理求得AB的长度，再由全等三角形的性质可得DE的长度.

【详解】

解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4，BC=3，

由勾股定理得：AB=5，

∵△ABC≌△EDB，

∴DE=AB=5.

【点睛】

本题考查勾股定理，全等三角形的性质.熟记全等三角形对应边相等是解决此题的关键. 17．a>b

【解析】

【分析】

【详解】

解：∵一次函数y=﹣2x+1中k=﹣2，

∴该函数中y随着x的增大而减小，

∵1＜2，∴a＞b．

故答案为a＞b．

【点睛】

本题考查一次函数图象上点的坐标特征

解析：a>b

【解析】

【分析】

【详解】

解：∵一次函数y=﹣2x+1中k=﹣2，

∴该函数中y随着x的增大而减小，

∵1＜2，∴a＞b．

故答案为a＞b．

【点睛】

本题考查一次函数图象上点的坐标特征．

18．或

【解析】

【分析】

根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度求出点P的纵坐标，然后代入函数解析式求出x的值，即可得解．

【详解】

解：∵点P到x轴的距离等于3，

∴点P的纵坐标的绝对值为3，

解析：

或

，

【解析】

【分析】

根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度求出点P的纵坐标，然后代入函数解析式求出x的值，即可得解．

【详解】

解：∵点P到x轴的距离等于3，

∴点P的纵坐标的绝对值为3，

∴点P的纵坐标为3或﹣3，

当y=3时，﹣3x+2=3，解得，x=﹣1

；

当y=﹣3时，﹣3x+2=﹣3，解得x=5

；

∴点P的坐标为（﹣1

3，3）或（

，﹣3）．

故答案为（﹣1

，3）或（

，﹣3）．

【点睛】

本题考查一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合思想解题是本题的关键，注意分类讨论．

19．【解析】

【分析】

根据SAS 定理判定△FBD≌△DCE，然后根据全等三角形的性质求得

∠FDB=∠DEC，从而求得∠DEC+∠EDC 的度数，然后求出∠C 的度数，最后利用等腰三角形的性质求∠A. 【解析：70?

【解析】【分析】

根据SAS 定理判定△FBD ≌△DCE ，然后根据全等三角形的性质求得∠FDB=∠DEC ，从而求得∠DEC+∠EDC 的度数，然后求出∠C 的度数，最后利用等腰三角形的性质求∠A. 【详解】

解：∵BF CD =，B C ∠=∠，BD CE = ∴△FBD ≌△DCE ∴∠FDB=∠DEC ∵55FDE ∠=?

∴∠FDB++∠EDC=∠DEC+∠EDC=180°-55°=125° ∴∠C=180°-125°=55° ∴∠A=180°-2×55°=70° 【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质，掌握判定定理正确推理论证是本题的解题关键.

20．60° 【解析】【分析】

根据等腰三角形三线合一的性质得：AD 平分∠BAC，由此根据角平分线的定义得出结论．【详解】如图，

∵AB=AC，AD⊥BC， ∴AD 平分∠BAC， ∴∠BAD=∠BA

解析：60° 【解析】【分析】

根据等腰三角形三线合一的性质得：AD 平分∠BAC ，由此根据角平分线的定义得出结论．【详解】如图，

∵AB=AC ，AD ⊥BC ，

∴AD 平分∠BAC ，

∴∠BAD=

∠BAC ， ∵∠BAC=120°，

∴∠BAD=1

×120°=60°，

故答案为：60°. 【点睛】

本题考查的知识点是等腰三角形的性质，解题关键是熟记等腰三角形三线合一的性质.

三、解答题

21．（1）()0,8；（2）()4,0或()6,0或7,03?? ???

；（3）425

【解析】【分析】

（1）根据勾股定理可以求出AO 的长，则可得出A 的坐标；（2）分三种情况讨论等腰三角形的情况，得出点P 的坐标；（3）根据PE AB ⊥，点A '在直线PE 上，得到EAG

OPG ，利用点A ，A '关于直线

OE 对称点，根据对称性，可证

OPG EAO ，可得'

8OP OA ，82AP

，

设BE x =，则有6AE x ，根据勾股定理，有：2222

2BP BE EP AP AE

解之即可．【详解】

解：（1）∵点B 坐标为6,0，点A 是y 轴正半轴上一点，且10AB =，

∴ABO 是直角三角形，根据勾股定理有：

1068AO

AB BO ，

∴点A 的坐标为()0,8；（2）∵ABP △是等腰三角形，当BP

AB 时，如图一所示：

OP BP BO，∴1064∴P点的坐标是()4,0；

=时，如图二所示：当AP AB

OP BO

∴6

∴P点的坐标是()6,0；

=时，如图三所示：当AP BP

设OP x =，则有6AP x

∴根据勾股定理有：222OP AO AP += 即：2

x x

解之得：73

x =

∴P 点的坐标是

,03

；（3）当ABP △是钝角三角形时，点A '不存在；当ABP △是锐角三角形时，如图四示：

连接'OA ，

∵PE AB ⊥，点A '在直线PE 上，

∴AEG △和GOP 是直角三角形，EGA

OGP

∴

EAG

OPG ，

∵点A ，A '关于直线OE 对称点，根据对称性，有'

8OA OA ，'EA

∴'

FAO FAO

，'

FAE FAE

∴

EAG

EAO