《三角形内角和定理的证明》教学设计

鲁教版七年级下册数学

《三角形内角和定理的证明》教学设计

莱阳市文峰学校盖海霞

教案背景：在学生掌握了平行线的性质及严格的证明等知识的基础上展开的本节课教学。

教学课题：鲁教版七年级数学《三角形内角和定理的证明》

教材分析：

(一)教材的地位和作用：

这节内容是学生在六年级时，对“三角形内角和是180°”这个结论有了一定直观认识的基础上编排的，以往对这个结论也曾进行过简单的说理，这里则以严格的步骤加以证明，旨在让学生从实践操作转移到理论论证上来，使学生初步掌握证明的要求和格式，促使学生养成严谨的数学思维方法，发展学生的证明素养。

三角形内角和定理从数量角度揭示三角形三内角之间的关系，是三角形的一个重要性质，是今后几何推理的重要依据，教材从学生实践操作到证明过程的呈现训练了学生的抽象思维能力和逻辑推理能力；其中辅助线的作法学生第一次接触，它集中了条件、构造了新图形、形成了新关系，实现了未知与已知的转化，起到了解决问题的桥梁作用；同时，一题多解训练了学生发散的思维模式。本节内容不仅在知识上具有承前启后的地位，而且对今后数学学习将起到重要的指导作用。

(二)教学目标：

1、掌握三角形内角和定理的证明和简单应用，初步学会作辅助线证明的基本方法，培养学生观察、猜想、和推理论证能力。

2、对比过去测量、折纸、撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。

3、通过一题多证、一题多变激发学生勇于探索、合作交流的精神，体验成功的乐趣，训练学生发散的思维模式。

（三）教学重难点：

本节课的重点是：探索证明三角形内角和定理的不同方法，利用三角形内角和定理进行简单的计算或证明。

本节课的难点是：会在证明中添加合适的辅助线。

教学方法：引导发现法、尝试探究法。小组讨论、小组竞赛

教学过程：

一、创设情景、提出问题：

内角三兄弟之争：在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结。可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷。同学们，你们知道其中的道理吗？

学生回答：“三角形内角和是180°教师：“你还记得这个结论的探索过程吗？”

（学生回答：是从度量、折纸、拼角得到的）。教师，自然导入三角形内角和定理证明的学习。

二、探究新知

（一）动手操作、探索解法：

每个学生画出一个三角形，并将它的内角撕下，分小组做拼角实验。通过小组合作交流，讨论有几种拼合方法？

1、开展小组竞赛（看哪个小组发现多？说理清楚。），各小组派代表展示拼图，并说出理由。

学生各抒已见，畅所欲言，鼓励学生倾听他人的方法。

归纳：可以搬一个角用“两直线平行，同旁内角互补”来说理，也可以搬两个角、三个角用“平角定义”说明。引导学生合理添加辅助线（学生讨论，教师点评），为书写证明过

程做好铺垫。

2、指导学生写出已知、求证、证明过程（抽两人板演，教师点评，规范证明格式）。

应指出辅助线通常画为虚线,并在证明前交代说明。添加辅助线不是盲目的，而是证明需要引用某个定义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添辅助线创造条件，以达到证明的目的。

已知：如图，△ABC

求证：∠A+∠B+∠C=180°

证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA．∵CE∥BA

∴∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等）∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）

∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°

A

B C

E

D

∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换)

（二）议一议、开阔思野：

‘搬三个角’的特点：把角‘搬’到一起，让顶点重合、两条边形成一条直线，以便利用平角定义。

在证明三角形内角和定理时，可以把三个角集中到三角形的某一个顶点吗？引导学生叙述证明过程。

已知：如图，△ABC

求证：∠A+∠B+∠C=180° 证明：过A 点作DE ∥BC ∵DE ∥BC

∴∠DAB=∠B ，∠EAC=∠C （两直线平行，内错角相等） ∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180° ∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换)

那么是否可以把三个角集中到三角形的一边上呢？集中在内部任意一点上呢？外部呢？引导学生开阔思维，大胆探索证明方法。

让学生讲解自己的思维过程和解法。

（三）例题解析，强化重点： 例题1

如图，在△ABC 中，已知∠ABC=38 °， ∠ACB=62 °，AD 平分∠BAC ，求∠ADB 的度数。 解：在△ABC 中， ∠B+ ∠C+ ∠BAC=180 ° ∵ ∠B=38 °， ∠C= 62 ° ∴ ∠BAC=180 °— ∠B —∠C = 180 ° — 38 °

— 62 °

= 80 ° ∵AD 平分∠BAC ，

∴ ∠BAD= ∠CAD=1/2 ∠BAC=40 ° 在△ADB 中， ∠B + ∠BAD+ ∠ADB=180 °

A

B

C

D

E

A

D

∵∠B=38 °∠BAD =40 °

∴∠ADB=102 °

例题2

已知：三角形三个内角的度数之比为1:3:5，求这三个内角的度数。解：设三个内角度数分别为：x、3x、5x,

由三角形内角和为180°得x+3x+5x=180°

解得x=20°

所以三个内角度数分别为

20°,60°,100°。

（四）应用知识，深化主题：

1）在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °

则∠ C= .

（2）在△ABC中，∠A :∠B:∠C=2:3:4

则∠A = ∠ B= ∠ C= .

（3）一个三角形中最多有个直角？为什么？

（4）一个三角形中最多有个钝角？为什么？

（5）一个三角形中至少有个锐角？为什么？

（五）随堂练习

已知：在△ABC中，∠C＝ 90゜

求证：∠A＋∠B＝90 ゜

证明：在△ABC中

∵∠A+∠B+∠C=180゜(三角形内角和定

理）

∠C= 90゜（已知）

∴∠A+∠B+90゜=180゜（等量代换）

∴∠A+∠B=180゜－90゜= 90゜

（等式性质）

即∠A+∠B=90゜

推论：直角三角形两个内角互余

2、已知:如图在△ABC 中，DE ∥BC,∠A=600, ∠C=700. 求证： ∠ADE=500 证明： ∵ DE ∥ BC （已知）

∴ ∠ AED= ∠ C （两直线平行，同位角相等） ∵ ∠ C=700（已知）

∴ ∠ AED= 700 （等量代换）

∵ ∠ A+ ∠ AED+ ∠ ADE=1800（三角形的内角和定理） ∠ A=600（已知）

∴ ∠ ADE=1800—600—700=500（等量代换） 即∠ ADE= 500

（六）当堂检测

1、已知：在△ABC 中， ∠A ＋∠B ＝90

求证： △ABC 是直角三角形

2、如图，在△ABC 中,∠ACB=90 ° ，CD ⊥AB ，垂足是D 。求证： ∠A= ∠DCB

D C

B

A E

C

（七）、回顾小结，课堂延伸： “这节课你学到了哪些知识？ （八）、作业布置：

1、必做题：课本P54 习题8.7第3题。

2、选做题：总结并探索三角形内角和定理的证明方法。看谁做的方法多？ 附： 板书设计：

三角形内角和定理的证明

三角形内角和是180” 证明思路：转化平角

两直线平行同旁内角互补 直角三角形两个锐角互余。 例题解析

教学反思 ：

┒

A

B

D

1 2

┏

在教学中采用小组讨论、小组竞赛、板演等形式，充分调动学生的主动性、积极性。特别是由拼图得出“三角形内角和是180°”的结论的过程中，教师鼓励学生尝试用多种方法来证明这个结论，开展小组竞赛，让学生积极思考，大胆发言，营造生动有趣、活泼和谐的课堂气氛。

课堂教学充分发挥课件辅助教学的作用，将知识形象化、生动化、具体化。重视数学思想方法的引导，并及时指导归纳总结。尊重学生的个体差异，鼓励学生合作交流，激发学生学习数学的兴趣。重视培养学生观察问题、发现问题、思考问题、归纳问题的能力和一题多解，一题多法的创新能力，使不同程度的学生都有不同的收获和发展。

为了突出重点、突破难点，我对教材做了少量的补充和扩展，利用多媒体直观形象、节省时间的特点，动画演示再现学生拼图过程、解题过程，引导学生从动态角度直观地思考问题，帮助学生理解运动变化的观点。