清华大学一元微积分期末考题-答案

一．填空题（每空3分，共15空）（请将答案直接填写在横线上！）

1.

=-?dx x x

2)1(ln

答案：C x x x x

+--+-ln |1|ln 1ln 2. ?=+x

dx

2cos 1 。

答案：

C x +??

? ??tan 21arctan 21 3.

=?

+∞

1

2

arctan dx x

x

解：

22

ln 4)1(arctan arctan 121

1

2+=++-=??

∞++∞

∞+πx x dx x x dx x x 4.C x dx x xf +=?arctan )(，则

=?

dx x f )

(1

。 答案：C x x ++4

24

2 5.

=++?-dx x x

x 2

22sin 1cos )1(π

π 。

答案：

2

π 6. =??

? ???22x x t dt e dx d 。

答案：2

4

2x x e xe

-

7. 设)(x f 为连续函数，0)0(≠f ，?=x

dt t f t x F 02)()(，当0→x 时，)(x F 与k

x 是同阶无穷小，则=k 。

答案：3

8. 将22

(3)1x y -+=绕y 轴转一圈，则所得图形围成的体积为 。 答案：2

6π

9. 设0>m ，且广义积分?

+∞

+0

m

x

x dx 收敛，则m 的范围为

答案：1>m

10．幂级数∑∞

=-+1

2)5(2n n

n n

x 的收敛域为 。 答案：)5,5(-

11. 级数

∑

∞

+=-1

1

sin

)1(n p

n n n 条件收敛，则参数p 的范围为 。

答案：01≤<-p 12.在00=x 点，函数

?

-x

t dt e 0

2

的幂级数展开为

答案：∑+∞

=++-0

1

2)12(!)1(n n n

n n x ，?∈x

13.'x

x y

y e e

++=，的通解是 。

答案：ln 1y y

x e e e

C =++ 14.0)2(=-+dx y x xdy 满足0)1(=y 的解为 。 答案：2

x x y -=

15. 初值问题()???='=='+''0

)0(,1)0(0

22y y y x y 的解为 。

答案：1=y

二．计算题（每题10分，共40分）

1．求p 的范围，使得1sin ln p dx

x x

π∞?收敛

解：???∞+∞+=2211ln sin ln sin ln sin x

dx

x x dx x x dx x p p p πππ， 1x =附近，p p x x x x )1(1

11~ln 1sin

-??

? ??-ππ

，所以仅当20p ->时?21ln sin x dx x p π收敛 ……………………………………………….5分

x

x x x x p p ln ~ln 1sin ,π

π

+∞→对任意的p 成立,所以只需要考虑广义积分2ln p dx x x π∞?

的收敛性。因为

ln 2

ln 2,ln a a

p p

dx du x x u =?

?所以仅当1p >时广义积分2ln p dx x x π

∞?收敛. ……………………………………………….5分 最终,我们得到仅当(1,2)p ∈时1

sin

ln p

dx

x x

π∞

?

收敛。

2．计算摆线]2,0[,cos 1,sin π∈-=-=t t y t t x ， 绕x 轴旋转体的体积和表面积。

解：旋转体的体积

???=-+-=-==π

π

πππππ20

23220

320

25)cos cos 3cos 31()cos 1(dt t t t dt t dx y V

………………………………………………5分

旋转体的表面积

???

==--='+'=πππ

ππππ2032020

2

23

642sin 8cos 22)cos 1(22dt t dt t t dt y x y S

………………………………………………5分

3．求级数∑+∞

=-1

2

2)1(n n

n n 的和。 解：记∑+∞

==1

2

)(n n

x n x S ，则???

??-=-∑+∞

=212)1(12S n n n

n ， ,11

2∑+∞=-=n n x n x S ,10∑?+∞

==n n x

nx dx x

S ……………………………………3分 ,11

1

0∑?+∞

=-=n n x nx dx x S x ,11100x x x dx dx x S x n n

x

x -==??? ??∑??+∞

= ……………3分 故 ,)1(1

12

0x dx x S x x -=

? ,)1(2

x x

dx x S x

-=?

,)1(1)(3x x x x S -+= ,)

1()

1()(3x x x x S -+= 272212)1(1

2-=???

??-=-∑+∞

=S n n n

n ……………………………………4分 4．设),0()(+∞∈C x f ，且对任意0>x 满足40

1

)()(2)(x x xf dt t f dt tx f x

x

++-=??

，

0)1(=f ，求)(x f 。

解：令tx u =，则原方程可化为

40

)()(2)(x x xf dt t f du u f x

x

++-=??

两边求导得，3

4)()()(2)(x x f x x f x f x f +'++-=， 从而得一阶线性ODE ，24)(2

)(x x f x

x f -=-

'， ……………………………………5分 解得，)4()(2

x C x x f -= ，由于0)1(=f ，得4=C

所以)44()(2

x x x f -=。 ……………………………………5分

三．证明题

1.（8分）己知函数∑∞

=++?++==0

2

!)1()1(ln )(n n n n x x x x f y 。求)(x f 的定义域, 并证明

)(x f y =满足微分方程x e x y y x =-'，并且0)0(lim 0

=+→y x 。

证明：x x ln 的定义域为()+∞,0,∑∞

=++?+02

!

)1()1(n n n n x 收歛域为()+∞∞-,.

所以函数)(x f 的定义域为()+∞,0. ……………………………………2分 以下证明)(x f 为所设初值问题的解。

∑

∞

=++?++++='01

!

)1()1()2(ln 1n n n n x n x y ∑

∞

=++?++++='?0

2

!)1()1()2(ln n n n n x n x x x y x ∑

∑∞=+∞

=++?+-+?+++=-'?02

02!

)1()1(!)1()1()2(n n n n n n x n n x n x y y x x n n n n e x n x x x n x x x =?

???

?

?++-+=++=∑∑∞

=∞

=+101!1)1(!)1(. ……………4分 ()()0!

)1()1(lim ln lim lim 02

00=+?++=∑∞

=+→→→+++n n x x x n n x x x x y ……………2分

2．（7分）设)(x f 在]1,0[上可导，且]1,0[,1)(0,0)0(∈?<'<=x x f f ，求证：

[]??>??????10

32

10)()(dx x f dx x f

证明：记[]??-??

????=x x dt t f dt t f x 032

0)()()(? 则 ??

????-=-??????='??)()(2)()()()(2)(2

032

0x f dt t f x f x f dt t f x f x x

x ?……………2分

记 ??

????-=?)()(2)(20x f dt t f x x

ψ 则 [])(1)(2)(x f x f x '-='ψ ……………….……………2分 因为)(x f 在]1,0[上可导，且]1,0[,1)(0,0)0(∈?<'<=x x f f ，

]1,0[,0)(1,0)(∈?>'->x x f x f

故]1,0[,0)(∈?>x x ψ，]1,0[,0)(∈?>'x x ?。又0)0(=?，所以

[]]1,0(,0)()()(032

0∈?>-??

????=??x dt t f dt t f x x

x ?

[]0)()()1(1

032

10>-??

????=??dt t f dt t f ? ……………3分

2.（备选）设)(x f 在),0[+∞上连续，且存在常数0>k ，使得

?≤x

dt t f k x f 0

)()(

证明：在),0[+∞上，0)(≡x f 。 证明：0)0(=f ，且0)(),

,0[0

≥+∞∈??

x

dt t f x 。

?≤x dt t f k x f 0

)()( 0)()(0

≤-?x

dt t f k x f

0)()(0≤??

????-?-x

kx dt t f k x f e

0)(0≤'??

?????-x kx dt t f e

积分，),0[,0)(0

+∞∈?≤?

-x dt t f e

x

kx

，

),0[,0)(0

+∞∈?≤?

x dt t f x

于是

),0[,0)(0

+∞∈?=?

x dt t f x

，在),0[+∞上，0)(≡x f 。

关于清华大学高等数学期末考试

关于清华大学高等数学 期末考试 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

清华大学 2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷（A 卷） 考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2010级工科各班 考试方式： 闭卷 命题教师： 一. 9分 ） 1、若在), (b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ，曲线是 的。 2、设?????+=+=232322t t y t t x 确定函数)(x y y =，求=22dx y d 。 3、=? dx 1cos 12 。 本大题共3小题，每小题3分，总计 9分） 1、设A x x ax x x =-+--→1 4lim 231，则必有 答( ) 2、设211)(x x f -=，则)(x f 的一个原函数为 答( ) 3、设f 为连续函数，又，?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F 答( ) 2小题，每小题5分，总计10分 ） 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。

2、x y 2ln 1+=,求y '。 3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、讨论?? ???=≠=0,00arctan )(2 x x x x x f ，，在0=x 处的可导性。 2、设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得 ξξ=)(f 。 3、证明不等式：当4>x 时，22x x >。 3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、求函数x e y x cos =的极值。 2、求不定积分? x x x d cos sin 3。 3、计算积分?-+-+2222)cos 233(ln sin ππdx x x x x 。 4小题，每小题6分，总计24分 ） 1、求不定积分? +)1(10x x dx 。 2、计算积分?+πθθ4 30 2cos 1d 。 3、求抛物线221x y = 被圆822=+y x 所截下部分的长度。 4、求微分方程''-'-=++y y y x e x 2331的一个特解。

清华大学微积分习题(有答案版)

第十二周习题课 一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2） 广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。 （3） Young 不等式：由（2）可得 设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。 （4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。 （5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。 （6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1

大一上学期微积分期末试卷及答案

1 1?设f(x) 2cosx,g(x) (l)sinx在区间(0, —)内( 2 2 A f (x)是增函数，g (x)是减函数 Bf (x)是减函数，g(x)是增函数 C二者都是增函数 D二者都是减函数2、x 0时，e2x cosx与sinx相比是() A高阶无穷小E低阶无穷小C等价无穷小 1 3、x = 0 是函数y = (1 -sinx)书勺() A连续点E可去间断点C跳跃间断点 4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( ) n 1 n A X n ( 1) B X n sin - n 2 1 1 C X n n (a 1) D X n cos— a n 5、若f "(x)在X。处取得最大值，则必有() A f /(X。)o Bf /(X。)o Cf /(X。)0且f''( X o)

5、 若 则a,b 的值分别为： X 1 X + 2x-3

2 1 In x 1 ; 2 y x 3 2x 2; 3 y log^x 1 -,(0,1), R ; 4(0,0) x lim 5解：原式=x 1 (x 1)( x m ) ~~1)( x 7 b lim 3) x 7, a 1、 2、 、判断题 无穷多个无穷小的和是无穷小( lim 沁在区间(， X 0 X 是连续函数() 3、 f"(x 0)=0—定为f(x)的拐点 () 4、 若f(X)在X o 处取得极值，则必有 f(x)在X o 处连续不可导( 5、 f (x) 0,1 f '(x) 0令 A f'(0), f '(1),C f (1) f (0),则必有 A>B>C( 1~5 FFFFT 二、计算题 1用洛必达法则求极限 1 2 ~ lim x e x x 0 1 e 解：原式=lim x 0 1 x x 2 lim e x 2 ( 2x x 0 2x 3 3 4 k 2 若 f(x) (x 10),求f”(0) 3) 1 lim e x x 0 3 3 2 2 f '(x) 4(x 10) 3x 12x (x 3 3 2 3 2 2 f ''(x) 24x (x 10) 12x 3 (x 10) 3x 24x f ''(x) 0 10)3 3 .. .3 3 4 , 3 (x 10) 108 x (x 10)2 4 r t I 八］ 2 3 求极限 lim(cos x)x x 0

大一微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（　） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ） n 1 X cos n = 2 00000001( ) 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 二、填空题 1d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3

1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim lim 2 (1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 三、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 20lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解：332233 33232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限

清华大学微积分试题库完整

(3343)．微分方程0cos tan =-+'x x y y 的通解为 x C x y cos )(+=。 (4455)．过点)0,2 1(且满足关系式11arcsin 2 =-+ 'x y x y 的曲线方程为 21arcsin - =x x y 。 (4507)．微分方程03='+''y y x 的通解为 2 2 1x C C y + =。 (4508)．设)(),(),(321x y x y x y 是线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，且 C x y x y x y x y ≠--) ()() ()(1312，则该微分方程的通解为 )())()((())()((1132121x y x y x y C x y x y C y +-+-=。 (3081)．设x e x y x y -++=+=22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相 应齐次方程的一个解为x y =3，则该微分方程的通解为x e C x C x y -+++=212 3。 (4725)．设出微分方程x e xe x y y y x x 2cos 32++=-'-''-的一个特解形式 )2sin 2cos ()(*x F x E e e D Cx x B Ax y x x +++++=-。 (4476)．微分方程x e y y y =+'-''22的通解为 )sin cos 1(21x C x C e y x ++=。 (4474)．微分方程x e y y 24=-''的通解为 x x e x C e C y 222141??? ? ? ++=-。 (4477)．函数x C x C y 2s i n 2c o s 21+=满足的二阶线性常系数齐次微分方程为04=+''y y 。 (4532)．若连续函数)(x f 满足关系式 2ln )2 ()(20 +=? x dt t f x f ，则=)(x f 2ln 2x e 。 (6808)．设曲线积分 ?--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关，其中)(x f 具有一阶 连续导数，且0)0(=f ，则)(x f 等于[ ] (A) )(2 1x x e e --。 (B) )(21 x x e e --。

大一微积分期末试卷及答案

微积分期末试卷 选择题（6×２） cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时，与相比是（　） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小 ３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线 Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘ ｘ２ ２１ １、（ ）＝ ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝ 相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１４、ｙ拐点为：ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3

1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函数ｆ(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求 解：3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限

大一微积分期末试题附答案

微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（　）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（　） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（　） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（　）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3

三、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、 证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（） 六、应用题 1、 描绘下列函数的图形 21y x x =+

清华微积分答案

清华微积分答案

a=? f是向量值函数，可以观察，e与a平行时，f的方向导数最大，且大小a.e=||a||，称a是f的梯度场 向量值函数的切平面、微分、偏导 f(x)=(f1(x),f2(x),…,fm(x))，若所有fi在x0处可微，则称f在x0处可微，即 f(x)=f(x0)+a(x-x0)+o(||x-x0||)，其中 a=(aij)m*n=?f/?x=?(f1,f2,…,fm)/?(x1,x2,…,xn)=j(f(x0)))称为f在x0处的jacobian (f的jacobian的第i行是f的fi分量的梯度， aij := ?fi/?xj) f的全微分df=adx 当m=n时，f有散度div(f)和旋度curl(f) div(f) = ?.f=?f1/?x1 +…+?fm/?xm 复合函数求导 一阶偏导： 若g=g(x)在x0可微，f=f(u) (u=g(x))在g(x0)可微，则f○g在x0处可微， j(f○g) = j(f(u)) j(g(x)) 具体地，对于多元函数f(u)=f(u1,…,um)，其中u=g(x)即 ui=g(x1,…,xn) ?f/?xj = ?f/?u * ?u/?xj = sum[?f/?ui * ?ui/?xj]{for each ui in u} 高阶偏导：不要忘记偏导数还是复合函数 例：f(u):=f(u1,u2), u(x):=(u1(x1,x2),u2(x1,x2))

?2f/(?x1)2 = 数学分析教程p151 隐函数、隐向量值函数 由f(x,y)=0确定的函数y=f(x)称为隐函数 隐函数： 1. 存在定理：若n+1元函数f(x,y)在零点(x0,y0)处导数连续， 且?(f)/?(y)(x0,y0)0，则存在(x0,y0)附近的超圆柱体b=b(x0)*b(y0)，使得b(x0)上的任意一点x可以确定一个y使得f(x,y)=0，即函数f 在b内确定了一个隐函数y=f(x)，而且这个隐函数的一阶偏导数也连续 注：如果?(f)/?(y)=0，那么在x=x0超平面上，y在x0处取得了极值， 那么沿曲面被x=x0截的曲线从x0处向任意方向走，y都会减小，所以y 是双值函数，不是函数 ,??)处，2.偏导公式：在b内的(?? ????????/??????=???或者说 ????????/????=?????不正式的证明：f(x,y)≡0, 所以?f/?xi=0,即 sum[?f/?xj* ?xj/?xi]=0 (把y记做xn+1) 由于x的各分量都是自变量，?xj/?xi=0 (ij) 所以?f/?xi + ?f/?y * ?y/?xi=0 于是立即可得上述公式 隐向量值函数： 1.存在定理：若x∈rn,y∈rm，m维n+m元向量值函数f(x,y)=0，在p0=(x0,y0)点的某个邻域b(p0,r)内是c(1)类函数，f(p0)=0，且?f/?y

微积分期末测试题及答案

微积分期末测试题及答 案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞.

清华大学微积分A(1)期中考试样题

一元微积分期中考试答案 一． 填空题（每空3分，共15题） 1. e 1 2。21 3. 31 4。3 4 5. 1 6．第一类间断点 7。()dx x x x ln 1+ 8。 22sin(1)2cos(1)x x x e ++ 9。 0 10。11?????? ?+x e x 11．x x ne xe + 12。13 13。0 14。)1(223 +? =x y 15． 13y x =+ 二． 计算题 1. 解：,)(lim ,0)(lim 00b x f x f x x ==+?→→故0=b 。 …………………3分 a x f x f f x =?=′? →?)0()(lim )0(0 …………………3分 1)0()(lim )0(0=?=′+→+x f x f f x …………………3分 1=a 故当1=a ，0=b 时，)(x f 在),(+∞?∞内可导。 …………………1分 2. 解：=?+∞→])arctan ln[(lim ln /12x x x πx x x ln )arctan ln(lim 2?+∞→π = x x x x /1arctan ) 1/(1lim 22?+?+∞→π …………罗比达法则…………4分 =x x x x arctan )1/(lim 2+?++∞→π = )1/(1)1/()1(lim 2222x x x x ++?+∞→ = 2211lim x x x +?+∞→ = 1? ………………………4分 所以，原极限=1?e ………………………………………………………………………2分 3． 解：)'1)((''y y x f y ++= ，故 1) ('11)('1)(''?+?=+?+=y x f y x f y x f y ；……4分 3 2)]('1[)('')]('1[)'1)((''''y x f y x f y x f y y x f y +?+=+?++= …………………………………………6分 4.解：

微积分期末试卷及答案

一、填空题(每小题3分,共15分) 1、已知2 )(x e x f =,x x f -=1)]([?,且0)(≥x ?,则=)(x ? . 答案：)1ln(x - 王丽君 解：x e u f u -==1)(2 ,)1ln(2x u -=,)1ln(x u -=. 2、已知a 为常数,1)12 ( lim 2=+-+∞→ax x x x ,则=a . 答案：1 孙仁斌 解：a x b a x ax x x x x x x x -=+-+=+-+==∞→∞→∞→1)11(lim )11( 1lim 1lim 022. 3、已知2)1(='f ,则=+-+→x x f x f x ) 1()31(lim . 答案：4 俞诗秋 解：4)] 1()1([)]1()31([lim 0=-+--+→x f x f f x f x

4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 答案：2 俞诗秋 解：)(x f '有3个零点321,,ξξξ:4321321<<<<<<ξξξ, )(x f ''有2个零点21,ηη:4132211<<<<<<ξηξηξ, ))((12)(21ηη--=''x x x f ,显然)(x f ''符号是：＋,－,＋,故有2个拐点. 5、=? x x dx 22cos sin . 答案：C x x +-cot tan 张军好 解：C x x x dx x dx dx x x x x x x dx +-=+=+=????cot tan sin cos cos sin sin cos cos sin 22222222 . 二、选择题(每小题3分,共15分) 答案： 1、 2、 3、 4、 5、 。 1、设)(x f 为偶函数,)(x ?为奇函数,且)]([x f ?有意义,则)]([x f ?是 (A) 偶函数； (B) 奇函数； (C) 非奇非偶函数； (D) 可能奇函数也可能偶函数. 答案：A 王丽君 2、0=x 是函数??? ??=≠-=.0 ,0 ,0 ,cos 1)(2x x x x x f 的 (A) 跳跃间断点； (B) 连续点； (C) 振荡间断点； (D) 可去间断点. 答案：D 俞诗秋

清华大学第二学期高等数学期末考试模拟试卷及答案

清华大学第二学期期末考试模拟试卷 一．填空题（本题满分30分，共有10道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中． 1. 设向量AB 的终点坐标为()7,1, 2-B ，它在x 轴、y 轴、z 轴上的投影依 次为4、4-和7，则该向量的起点A 的坐标为___________________________． 2. 设a 、b 、c 都是单位向量，且满足0 =++c b a ，则=?+?+?a c c b b a _____________________________． 3. 设()()xy xy z 2cos sin +=，则 =??y z _____________________________． 4. 设y x z =，则=???y x z 2___________________． 5. 某工厂的生产函数是),(K L f Q =，已知⑴. 当20,64==K L 时， 25000=Q ；（2）当20,64==K L 时，劳力的边际生产率和投资的边际生产率 为270='L f ，350='K f 。如果工厂计划扩大投入到24,69==K L ，则产量的近似增量为_______________ 6. 交换积分顺序，有()=?? --2 21 , y y y dx y x f dy _____________________________． 7. 设级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，且 u u n n =∑∞ =1 ，则级数()=+∑∞ =+1 1n n n u u __________． 8. -p 级数 ∑∞ =1 1 n p n 在p 满足_____________条件下收敛． 9. 微分方程x x y sin +=''的通解为=y ______________________．

微积分期末测试题及答案

一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0 ()(2) lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②, 2 2π π? ? - ???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0 lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0 lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞ -=+____________. 2.3 1lim (1) x x x +→∞ + =____________. 3.()f x = 那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.1 11lim ( )ln 1 x x x →- - 2.t t x e y te ?=?=?,求2 2d y d x 3.ln (y x =+,求dy 和 2 2 d y d x . 4.由方程0x y e x y +-=确定隐函数y = f (x ) ,求d y d x . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞ .

大一高等数学期末考试试卷及答案详解

大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 π π -?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设1 y x = +求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +?

4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 312 2 +--= x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2．函数()2 1ln x y +=，则= 'y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 .

期末高等数学(上)试题及答案

第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限　lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 2、(本小题5分) .d )1(22x x x ?+求 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数　的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设　dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分)

关于清华大学高等数学期末考试

关于清华大学高等数学期 末考试 This manuscript was revised on November 28, 2020

清华大学 2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷（A 卷） 考试科目： 高等数学A （上） 考试班级： 2010级工科各班 考试方式： 闭卷 命题教师： 一. 9分 ） 1、若在) ,(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ，曲线是 的。 2、设?????+=+=232322t t y t t x 确定函数)(x y y =，求=22dx y d 。 3、=? dx 1cos 12 。 本大题共3小题，每小题3分，总计 9分） 1、设A x x ax x x =-+--→1 4lim 231，则必有 答( ) 2、设211)(x x f -=，则)(x f 的一个原函数为 答( ) 3、设f 为连续函数，又，?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F 答( ) 2小题，每小题5分，总计10分 ） 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。

2、x y 2ln 1+=,求y '。 3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、讨论?? ???=≠=0,00arctan )(2 x x x x x f ，，在0=x 处的可导性。 2、设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得 ξξ=)(f 。 3、证明不等式：当4>x 时，22x x >。 3小题，每小题8分，总计24分 ） 1、求函数x e y x cos =的极值。 2、求不定积分? x x x d cos sin 3。 3、计算积分?-+-+2222)cos 233(ln sin ππdx x x x x 。 4小题，每小题6分，总计24分 ） 1、求不定积分? +)1(10x x dx 。 2、计算积分?+πθθ4 30 2cos 1d 。 3、求抛物线221x y = 被圆822=+y x 所截下部分的长度。 4、求微分方程''-'-=++y y y x e x 2331的一个特解。

清华大学一元微积分期末考题 答案

一．填空题（每空3分，共15空）（请将答案直接填写在横线上！） 1. =-?dx x x 2)1(ln 答案：C x x x x +--+-ln |1|ln 1ln 2. ? =+x dx 2cos 1 。 答案： C x +?? ? ??tan 21arctan 21 3. =? +∞ 1 2 arctan dx x x 解： 22 ln 4)1(arctan arctan 121 1 2+=++-=?? ∞++∞ ∞+πx x dx x x dx x x 4.C x dx x xf +=?arctan )(，则 =? dx x f ) (1 。 答案：C x x ++4 24 2 5. =++?-dx x x x 2 22sin 1cos )1(π π 。 答案： 2 π 6. =?? ? ???22x x t dt e dx d 。 答案：2 4 2x x e xe - 7. 设)(x f 为连续函数，0)0(≠f ，? =x dt t f t x F 0 2 )()(，当0→x 时，)(x F 与k x 是同阶无穷小，则=k 。 答案：3 8. 将22 (3)1x y -+=绕y 轴转一圈，则所得图形围成的体积为 。 答案：2 6π 9. 设0>m ，且广义积分? +∞ +0 m x x dx 收敛，则m 的范围为 答案：1>m

10．幂级数∑∞ =-+1 2)5(2n n n n x 的收敛域为 。 答案：)5,5(- 11. 级数 ∑ ∞ +=-1 1 sin )1(n p n n n 条件收敛，则参数p 的范围为 。 答案：01≤<-p 12.在00=x 点，函数 ? -x t dt e 0 2 的幂级数展开为 答案：∑+∞ =++-0 1 2)12(!)1(n n n n n x ，?∈x 13.'x x y y e e ++=，的通解是 。 答案：ln 1y y x e e e C =++ 14.0)2(=-+dx y x xdy 满足0)1(=y 的解为 。 答案：2 x x y -= 15. 初值问题()? ??='=='+''0)0(,1)0(0 22y y y x y 的解为 。 答案：1=y 二．计算题（每题10分，共40分） 1．求p 的范围，使得1sin ln p dx x x π∞?收敛 解：???∞+∞+=2211ln sin ln sin ln sin x dx x x dx x x dx x p p p πππ， 1x =附近，p p x x x x )1(1 11~ln 1sin -?? ? ??-ππ ，所以仅当20p ->时?21ln sin x dx x p π收敛 ……………………………………………….5分 x x x x x p p ln ~ln 1sin ,π π +∞→对任意的p 成立,所以只需要考虑广义积分2ln p dx x x π∞?

清华大学 2016-2017学年第2 学期 高等数学A期末考试试卷

清华大学高等数学A 期末考试试卷 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy = 2．求极限 (,)(0,0)lim x y →= （ ） A ． 14 B ．12- C ．1 4 - D ．12 3 ．直线: 327 x y z L ==-和平面:327 80x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上

C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤， 则D σ= （ ） A ．33()2 b a π - B ．332()3b a π- C ．334()3b a π- D ．333()2b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D ．1 n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 3．设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z z x y ??+??。