读波利亚的《怎样解题》
读波利亚的《怎样解题》
波利亚致力于解题的研究，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了数学解题的思维过程，并把研究所得写成《怎样解题》一书。这本书的核心是他分解解题的思维过程得到的一张《怎样解题》表。
波利亚的“怎样解题表”将解题过程分成了四个步骤，只要解题时按这四个步骤去做，必能成功。
怎样解题
第一步：你必须弄清问题。
1.已知是什么？未知是什么？要确定未知数，条件是否充分？
2.画张图，将已知标上。
3.引入适当的符号。
4.把条件的各个部分分开。
第二步：找出已知与未知的联系。
1.你能否转化成一个相似的、熟悉的问题？
2.你能否用自己的语言重新叙述这个问题？
3.回到定义去。
4.你能否解决问题的一部分？
5.你是否利用了所有的条件？
第三步：写出你的想法。
1.勇敢地写出你的方法。
2.你能否说出你所写的每一步的理由？
第四步：回顾。
1.你能否一眼就看出结论？
2.你能否用别的方法导出这个结论？
3.你能否把这个题目或这种方法用于解决其他的问题？
在这张包括“弄清问题”、“拟定计划”、“实现计划”和“回顾”四大步骤的解题全过
程的解题表中，对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，可能不得不考虑辅助问题。最终得出一个求解计划。”他把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和23个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢动作镜头”，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着。
波利亚感叹：“学数学是一种乐趣！”教师如果能在平时的解题教学过程中不断实践和体会该表，必能很快地会发出这样一种感叹：“教会学生善解数学题目是学数学的乐趣的根本。”
1、教师最重要的任务之一是帮助学生。
学生解题时应当有尽可能多的独立的思考时间。但是如果让他独自面对问题而得不到任何帮助或者帮助得不够，那么他很可能没有进步。但若教师对他帮助过多，那么学生却又无事可干，教师对学生的帮助应当不多不少，恰好能使学生有一份合理的思考过程。
如果学生不太能够独立思考解题，那么教师也至少应当使他感觉自己是在独立思考。为了做到这一点，教师应当考虑周到地、不显眼地帮助学生，对学生的帮助最好是顺乎自然，教师对学生应当设身处地，应当了解学生情况，应当弄清学生正在想什么，并且提出一个学生自己可能会产生的问题，或者指出一个学生自己可能会想出来的步骤。
2、所提问题应该是具有建议性的，能有助于学生的思维活动
在打算对学生进行有效、不显眼而又自然的帮助时，教师不免一而再，再而三地提出一些相同的问题，指出一些相同的步骤。这样，在大量的问题中，可以问：未知数是什么?可以变换提法，以各种不同的方式提问同一个问题：要求什么?你想找到什么?你假定求的是什么?这类问题的目的是把学生的注意力集中到未知数上。有时，教师用一条建议：看着未知数，来更为自然地达到同一效果。问题与建议都以同一效果为目的：即企图引起同样的思维活动。
从波利亚看来，在与学生讨论的问题中，收集一些典型的有用问题和建议，并加以分类是有价值的。前面这张表就包含了这类经过仔细挑选与安排的问题和建议；它们对于那些能独立解题的人也同样有用。教师充分熟悉这张表并且看出在建议之后所应采取的行动
之后，他会感到这张表中所间接列举的是对解题很有用的典型思维活动。这些思维活动在表中的次序是按其发生的可能性大小排列的。
3、教师给学生的解题的提示与建议应带有普遍性
波利亚的表中所提问题与建议的重要特点之一是普遍性，例如：未知数是什么?已知数是什么?条件是什么?这些问题都是普遍适用的，对于所有各类问题，教师提出这些问题都会取得良好效果它们的用途不限于任何题目。教师的问题可以是代数的或几何的，数学的或非数学的，理论的或实际的，一个严肃的问题或仅仅是个谜语。所提问题都应是有意义的，而且有助于教师教会学生解题。
例如可以这样对学生建议：看着未知数，试想出一个具有相知数或类似未知数的熟悉的问题。你是不是作一个几何作图题?如果你想作一个三角形，你也会想起你所熟悉的一些作三角形的办法。你是否有一个任意的问题?你若希望找出某个未知数，你就会想起找出这样一个未知数或你所熟悉的类似未知数的一些办法。如果你这样做了，那你的路子也是对头的；这种建议是个好建议，它向你提出一个常能成功的程序。
给学生的所有问题与建议都是自然的、简单的、显而易见的，而且只不过是普通常识；但是这张表把常识概括地加以叙述。这张表所提出的处理办法对于那些认真对待其问题并有某些常识的人来说是很自然的。然而按正确道路行动的人往往不注意用明确的语言来表达其行动，而且他可能根本不会这样做；这张表却尝试去表达这些。
4、教师与学生、模仿与实践，这是课堂教学的两个重要方面
当教师在教学中向学生提出表中的问题或建议时，可能有两个目的：第一，帮助学生解决手头的问题；第二，培养学生将来能够独立解题的能力。
教师适当使用表中的问题与建议，常能对学生有所裨益。在教学时所用的问题与建议应具备两个特点：常识性与普遍性。由于此表来源于普通常识，所以显得很自然，学生自己也会提出这类问题。由于此表具有普遍性，所以它们对学生的帮助并非强加于人；它们只不过指出了一般的方向，而留给学生去做的还很多。
上述两个目的是密切相关的。如果学生在解决手边的问题中获得成功，就提高了一些解题的能力。这时，教师不应该忘记所提问题具有普遍性而且可适用于许多情况。如果同
一个问题反复地对学生有所帮助，那么教师就应注意到这个问题，于是在类似的情况下，学生自己就会提出这个问题。通过反复地提出这个问题，学生总会有一次成功地诱导出正确解题的念头。通过这样一次又一次的成功，学生便发现了利用这个问题的正确途径，于是，他真正地领会了怎样解题。
学生可能对教师的一些问题领会得很好，以致他最终能够在恰当的时刻向自己提出正确的问题，并进行相应的自然而活跃的思维活动。这样，学生就无疑从教师的教学中得到了尽可能多的收获。
5、帮助学生养成解题后良好的反思习惯
解题后对审题过程和解题方法及解题所用知识应该回顾并思考，只有这样，才能有效的深化对知识的理解，提高思维能力。
有时多次受阻而后“灵感”突来。不论哪种情况，思维都有很强的直觉性，若在解题后及时重现一下这个思维过程，追溯“灵感”是怎样产生的，多次受阻的原因何在，总结审题过程中的思维技巧，这对发现审题过程中的错误，提高分析问题的能力都有重要作用。
这些方法的熟练程度密切相关，学生在解题时总是用最先想到的方法，也是他们最熟悉的方法，因此，解题后反思一下有无其它解法,可使学生开拓思路，提高解题能力。
教师希望提高学生解题能力，必须培养学生的兴趣，然后给他们提供大量的机会去模仿与实践。如果教师想要在他的学生中发展相应于波利亚的表中的问题与建议的思维活动，那么他就应该尽可能地经常而自然地向学生提出这些问题和建议。在教育中要及时了解学生的学习状况，给学生以适时的点拨，这样的教学才是高效的。这也是在我的课堂中应该时刻关注的。要与学生进行有效的沟通与交流并非易事。沟通与交流的有效性并不在于教师与学生的年龄的差距是否小，而是真正地了解学生，明白他们什么时候需要教师的帮助。在教育中要及时了解学生的学习状况，给学生以适时的点拨，这样的教学才是高效的。这也是在课堂教学中教师应该时刻关注的，要与学生进行有效的沟通与交流并非易事，沟通与交流的有效性在于教师真正地了解学生，明白他们什么时候需要教师的帮助。