广东省2020年中考数学模拟卷(新题型,含解析)

广东省2020年中考数学模拟卷（新题型）

考试时间：90分钟；满分：120

学校:___________班级：___________姓名：___________学号：___________一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．（3分）﹣2020的相反数是（）

A．B．C．2020 D．﹣2020

2．（3分）港珠澳大桥2018年10月24日上午9时正式通车，这座大桥跨越伶仃洋，东接香港，西接广东珠海和澳门，总长约55000m，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥，数据55000用科学记数法表示为（）

A．5.5×105B．55×104C．5.5×104D．5.5×106

3．（3分）如图，下列结论正确的是（）

A．c＞a＞b B．C．|a|＜|b| D．abc＞0

4．（3分）如表是我国近六年“两会”会期（单位：天）的统计结果：

时间2014 2015 2016 2017 2018 2019 会期（天）11 13 14 13 18 13 则我国近六年“两会”会期（天）的众数和中位数分别是（）

A．13，11 B．13，13 C．13，14 D．14，13.5 5．（3分）在Rt△ABC，∠C＝90°，sin B＝，则sin A的值是（）

A．B．C．D．

6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（）

A．34°B．46°C．56°D．66°

7．（3分）下列运算中，计算正确的是（）

A．2a+3a＝5a2B．（3a2）3＝27a6

C．x6÷x2＝x3D．（a+b）2＝a2+b2

8．（3分）甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相等，求甲每小时做中国结的个数．如果设甲每小时做x个，那么可列方程为（）

A．＝B．＝C．＝D．＝

9．（3分）如图，以正方形ABCD的顶点A为坐标原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，对角线AC与BD相交于点E，P为BC上一点，点P坐标为（a，b），则点P绕点E顺时针旋转90°得到的对应点P′的坐标是（）

A．（a﹣b，a）B．（b，a）C．（a﹣b，0）D．（b，0）10．（3分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，下列说法：

①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac＞0；

②若方程两根为﹣1和2，则2a+c＝0；

③若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；

④若b＝2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（）

A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④

二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）

11．（4分）因式分解：x2﹣9＝．

12．（4分）在平面直角坐标系中点P（﹣2，3）关于x轴的对称点在第象限．13．（4分）一个正数a的平方根分别是2m﹣1和﹣3m+，则这个正数a为．14．（4分）已知反比例函数y＝（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k 的取值范围是．

15．（4分）在一个不透明的布袋中装有4个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均

相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则n＝．

16．（4分）如图，AB是半圆的直径，∠BAC＝20°，D是的中点，则∠DAC的度数是．

17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为．

三．解答题（共8小题，满分62分）

18．（6分）计算：2sin30°﹣（π﹣）0+|﹣1|+（）﹣1

19．（6分）先化简，再求值（﹣）÷，其中a，b满足a+b﹣＝0．

20．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°．

（1）作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；（要求：不写做法，保留作图痕迹）

（2）判断（1）中AC与⊙O的位置关系，直接写出结果．

21．（8分）如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，

CF．

（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．

（2）若GB＝3，BC＝6，BF＝，求AB的长．

22．（8分）2019年4月23日是第二十四个“世界读书日“．某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整），请你根据图中信息解答下列问题：

（1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图；

（2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数；

（3）学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．

23．（8分）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．

销售量y（千克）…34.8 32 29.6 28 …

售价x（元/千克）…22.6 24 25.2 26 …

（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．

（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？

24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，

E两点，过点D作DH⊥AC于点H．

（1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求证：H为CE的中点；

（3）若BC＝10，cos C＝，求AE的长．

25．（10分）如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．

（1）求二次函数的表达式；

（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；

（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N 从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1．（3分）﹣2020的相反数是（）

A．B．C．2020 D．﹣2020

【分析】直接利用相反数的定义得出答案．

【解答】解：﹣2020的相反数是：2020．

故选：C．https://www.wendangku.net/doc/d57730154.html,

2．（3分）港珠澳大桥2018年10月24日上午9时正式通车，这座大桥跨越伶仃洋，东接香港，西接广东珠海和澳门，总长约55000m，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥，数据55000用科学记数法表示为（）

A．5.5×105B．55×104C．5.5×104D．5.5×106

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：55000＝5.5×104，

故选：C．

3．（3分）如图，下列结论正确的是（）

A．c＞a＞b B．C．|a|＜|b| D．abc＞0

【分析】A、根据数轴上的数右边的总比左边的大，可得结论；

B、根据0＜b＜1＜c，可得结论；

C、根据数轴上数a表示的点离原点比较远，可得|a|＞|b|；

D、根据a＜0，b＞0，c＞0，可得结论．

【解答】解：A、由数轴得：a＜b＜c，故选项A不正确；

B、∵0＜b＜1＜c，

∴＞，

故选项B正确；

C、由数轴得：|a|＞|b|，

故选项C不正确；

D、∵a＜0，b＞0，c＞0，

∴abc＜0，

故选项D不正确；

故选：B．

4．（3分）如表是我国近六年“两会”会期（单位：天）的统计结果：

时间2014 2015 2016 2017 2018 2019 会期（天）11 13 14 13 18 13 则我国近六年“两会”会期（天）的众数和中位数分别是（）

A．13，11 B．13，13 C．13，14 D．14，13.5

【分析】根据中位数和众数的定义解答．第3和第4个数的平均数就是中位数，13出现的次数最多．

【解答】解：由表知这组数据的众数13，中位数为＝13，

故选：B．

5．（3分）在Rt△ABC，∠C＝90°，sin B＝，则sin A的值是（）

A．B．C．D．

【分析】根据互余两角三角函数的关系：sin2A+sin2B＝1解答．

【解答】解：∵在Rt△ABC，∠C＝90°，

∴∠A+∠B＝90°，

∴sin2A+sin2B＝1，sin A＞0，

∵sin B＝，

∴sin A＝＝．

故选：B．

6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，如果∠ACD＝34°，那么∠BAD等于（）

A．34°B．46°C．56°D．66°

【分析】由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ADB＝90°，又由∠ACD＝34°，可求得∠ABD的度数，再根据直角三角形的性质求出答案．

【解答】解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∵∠ACD＝34°，

∴∠ABD＝34°

∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝56°，

故选：C．

7．（3分）下列运算中，计算正确的是（）

A．2a+3a＝5a2B．（3a2）3＝27a6

C．x6÷x2＝x3D．（a+b）2＝a2+b2

【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、完全平方公式分别化简得出答案．

【解答】解：A、2a+3a＝5a，故此选项错误；

B、（3a2）3＝27a6，正确；

C、x6÷x2＝x4，故此选项错误；

D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；

故选：B．

8．（3分）甲、乙两位同学做中国结，已知甲每小时比乙少做6个，甲做30个所用的时间与乙做45个所用的时间相等，求甲每小时做中国结的个数．如果设甲每小时做x个，那么可列方程为（）

A．＝B．＝C．＝D．＝

【分析】根据甲乙的工作时间，可列方程．

【解答】解：设甲每小时做x个，乙每小时做（x+6）个，

根据甲做30个所用时间与乙做45个所用时间相等，得

，

故选：A．

9．（3分）如图，以正方形ABCD的顶点A为坐标原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，对角线AC与BD相交于点E，P为BC上一点，点P坐标为（a，b），则点P绕点E顺时针旋转90°得到的对应点P′的坐标是（）

A．（a﹣b，a）B．（b，a）C．（a﹣b，0）D．（b，0）

【分析】如图，连接PE，点P绕点E顺时针旋转90°得到的对应点P′在x轴上，根据正方形的性质得到∠ABC＝90°，∠AEB＝90°，AE＝BE，∠EAP′＝∠EBP＝45°，由点P坐标为（a，b），得到BP＝b，根据全等三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：如图，连接PE，点P绕点E顺时针旋转90°得到的对应点P′在x轴上，∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，

∴∠AEB＝90°，AE＝BE，∠EAP′＝∠EBP＝45°，

∵点P坐标为（a，b），

∴BP＝b，

∵∠PEP′＝90°，

∴∠AEP′＝∠PEB，

在△AEP′与△BEP中，，

∴△AEP′≌△BEP（ASA），

∴AP′＝BP＝b，

∴点P′的坐标是（b，0），

故选：D．

10．（3分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，下列说法：

①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac＞0；

②若方程两根为﹣1和2，则2a+c＝0；

③若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；

④若b＝2a+c，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（）

A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④

【分析】①观察条件，知是当x＝1时，有a+b+c＝0，因而方程有根．

②把x＝﹣1和2代入方程，建立两个等式，即可得到2a+c＝0．

③方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则△＝﹣4ac＞0，左边加上b2就是方程ax2+bx+c

＝0的△，由于加上了一个非负数，所以△＞0．

④把b＝2a+c代入△，就能判断根的情况．

【解答】解：①当x＝1时，有若a+b+c＝0，即方程有实数根了，

∴△≥0，故错误；

②把x＝﹣1代入方程得到：a﹣b+c＝0 （1）

把x＝2代入方程得到：4a+2b+c＝0 （2）

把（2）式减去（1）式×2得到：6a+3c＝0，

即：2a+c＝0，故正确；

③方程ax2+c＝0有两个不相等的实数根，

则它的△＝﹣4ac＞0，

∴b2﹣4ac＞0而方程ax2+bx+c＝0的△＝b2﹣4ac＞0，

∴必有两个不相等的实数根．故正确；

④若b＝2a+c则△＝b2﹣4ac＝（2a+c）2﹣4ac＝4a2+c2，

∵a≠0，

∴4a2+c2＞0故正确．

②③④都正确，故选C．

二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）

11．（4分）因式分解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．

【分析】原式利用平方差公式分解即可．

【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3），

故答案为：（x+3）（x﹣3）．

12．（4分）在平面直角坐标系中点P（﹣2，3）关于x轴的对称点在第三象限．【分析】应先判断出所求的点的横纵坐标，进而判断所在的象限．

【解答】解：点P（﹣2，3）满足点在第二象限的条件．关于x轴的对称点的横坐标与P 点的横坐标相同，是﹣2；纵坐标互为相反数，是﹣3，则P关于x轴的对称点是（﹣2，﹣3），在第三象限．

故答案是：三

13．（4分）一个正数a的平方根分别是2m﹣1和﹣3m+，则这个正数a为4．【分析】直接利用平方根的定义得出2m﹣1+（﹣3m+）＝0，进而求出m的值，即可得出答案．

【解答】解：根据题意，得：2m﹣1+（﹣3m+）＝0，

解得：m＝，

∴正数a＝（2×﹣1）2＝4，

故答案为：4．

14．（4分）已知反比例函数y＝（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k 的取值范围是k＜1．

【分析】由于反比例函数y＝的图象有一支在第二象限，可得k﹣1＜0，求出k的取值范围即可．

【解答】解：∵反比例函数y＝的图象有一支在第二象限，

∴k﹣1＜0，

解得k＜1．

故答案为：k＜1．

15．（4分）在一个不透明的布袋中装有4个白球和n个黄球，它们除颜色不同外，其余均

相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则n＝8．

【分析】根据白球的概率公式＝列出方程求解即可．

【解答】解：不透明的布袋中的球除颜色不同外，其余均相同，共有n+4个球，其中白球4个，

根据古典型概率公式知：P（白球）＝＝，

解得：n＝8，

故答案为：8．

16．（4分）如图，AB是半圆的直径，∠BAC＝20°，D是的中点，则∠DAC的度数是35°．

【分析】首先连接BC，由AB是半圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠C ＝90°，继而求得∠B的度数，然后由D是的中点，根据弧与圆周角的关系，即可求得答案．

【解答】解：连接BC，

∵AB是半圆的直径，

∴∠C＝90°，

∵∠BAC＝20°，

∴∠B＝90°﹣∠BAC＝70°，

∵D是的中点，

∴∠DAC＝∠B＝35°．

故答案为：35°．

17．（4分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M．P为抛物线的顶点．若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为2．

【分析】先根据抛物线解析式求出点A坐标和其对称轴，再根据对称性求出点M坐标，利用点M为线段AB中点，得出点B坐标；用含a的式子表示出点P坐标，写出直线OP 的解析式，再将点B坐标代入即可求解出a的值．

【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+（a＞0）与y轴交于点A，

∴A（0，），抛物线的对称轴为x＝1

∴顶点P坐标为（1，﹣a），点M坐标为（2，）

∵点M为线段AB的中点，

∴点B坐标为（4，）

设直线OP解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0）

将点P（1，）代入得＝k

∴y＝（）x

将点B（4，）代入得＝（）×4

解得a＝2

故答案为：2．

三．解答题（共8小题，满分62分）

18．（6分）计算：2sin30°﹣（π﹣）0+|﹣1|+（）﹣1

【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案．

【解答】解：原式＝2×﹣1+﹣1+2

＝1+．

19．（6分）先化简，再求值（﹣）÷，其中a，b满足a+b﹣＝0．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．

【解答】解：原式＝?＝，

由a+b﹣＝0，得到a+b＝，

则原式＝2．

20．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°．

（1）作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；（要求：不写做法，保留作图痕迹）

（2）判断（1）中AC与⊙O的位置关系，直接写出结果．

【分析】（1）首先利用角平分线的作法得出CO，进而以点O为圆心，OB为半径作⊙O 即可；

（2）利用角平分线的性质以及直线与圆的位置关系进而求出即可．

【解答】解：（1）如图所示：

；

（2）相切；过O点作OD⊥AC于D点，

∵CO平分∠ACB，

∴OB＝OD，即d＝r，

∴⊙O与直线AC相切，

21．（8分）如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G，连接AD，

CF．

（1）求证：四边形AFCD是平行四边形．

（2）若GB＝3，BC＝6，BF＝，求AB的长．

【分析】（1）由E是AC的中点知AE＝CE，由AB∥CD知∠AFE＝∠CDE，据此根据“AAS”即可证△AEF≌△CED，从而得AF＝CD，结合AB∥CD即可得证；

（2）证△GBF∽△GCD得＝，据此求得CD＝，由AF＝CD及AB＝AF+BF可得答案．

【解答】解：（1）∵E是AC的中点，

∴AE＝CE，

∵AB∥CD，

∴∠AFE＝∠CDE，

在△AEF和△CED中，

∵，

∴△AEF≌△CED（AAS），

∴AF＝CD，

又AB∥CD，即AF∥CD，

∴四边形AFCD是平行四边形；

（2）∵AB∥CD，

∴△GBF∽△GCD，

∴＝，即＝，

解得：CD＝，

∵四边形AFCD是平行四边形，

∴AF＝CD＝，

∴AB＝AF+BF＝+＝6．

22．（8分）2019年4月23日是第二十四个“世界读书日“．某校组织读书征文比赛活动，评选出一、二、三等奖若干名，并绘成如图所示的条形统计图和扇形统计图（不完整），请你根据图中信息解答下列问题：

（1）求本次比赛获奖的总人数，并补全条形统计图；

（2）求扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数；

（3）学校从甲、乙、丙、丁4位一等奖获得者中随机抽取2人参加“世界读书日”宣传活动，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率．

【分析】（1）由一等奖人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去一等奖、三等奖人数求出二等奖人数即可补全图形；

（2）用360°乘以二等奖人数所占百分比可得答案；

（3）画出树状图，由概率公式即可解决问题．

【解答】解：（1）本次比赛获奖的总人数为4÷10%＝40（人），

二等奖人数为40﹣（4+24）＝12（人），

补全条形图如下：

（2）扇形统计图中“二等奖”所对应扇形的圆心角度数为360°×＝108°；

（3）树状图如图所示，

∵从四人中随机抽取两人有12种可能，恰好是甲和乙的有2种可能，

∴抽取两人恰好是甲和乙的概率是＝．

23．（8分）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．

销售量y（千克）…34.8 32 29.6 28 …

售价x（元/千克）…22.6 24 25.2 26 …

（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量．

（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？

【分析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x＝23.5即可求出结论；

（2）根据总利润＝每千克利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．

【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，

将（22.6，34.8）、（24，32）代入y＝kx+b，

，解得：，

∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+80．

当x＝23.5时，y＝﹣2x+80＝33．

答：当天该水果的销售量为33千克．

（2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）＝150，

解得：x1＝35，x2＝25．

∵20≤x≤32，

∴x＝25．

答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元．

24．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．

（1）判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）求证：H为CE的中点；

（3）若BC＝10，cos C＝，求AE的长．

【分析】（1）连结OD、AD，如图，先利用圆周角定理得到∠ADB＝90°，则根据等腰三角形的性质得BD＝CD，再证明OD为△ABC的中位线得到OD∥AC，加上DH⊥AC，所以OD⊥DH，然后根据切线的判定定理可判断DH为⊙O的切线；

（2）连结DE，如图，有圆内接四边形的性质得∠DEC＝∠B，再证明∠DEC＝∠C，然后根据等腰三角形的性质得到CH＝EH；

（3）利用余弦的定义，在Rt△ADC中可计算出AC＝5，在Rt△CDH中可计算出CH ＝，则CE＝2CH＝2，

然后计算AC﹣CE即可得到AE的长．

【解答】（1）解：DH与⊙O相切．理由如下：

连结OD、AD，如图，

∵AB为直径，

∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BD＝CD，

而AO＝BO，

∴OD为△ABC的中位线，

∴OD∥AC，

∵DH⊥AC，

∴OD⊥DH，

∴DH为⊙O的切线；

（2）证明：连结DE，如图，

∵四边形ABDE为⊙O的内接四边形，

∴∠DEC＝∠B，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴∠DEC＝∠C，

∵DH⊥CE，

∴CH＝EH，即H为CE的中点；

（3）解：在Rt△ADC中，CD＝BC＝5，

∵cos C＝＝，

∴AC＝5，

在Rt△CDH中，∵cos C＝＝，

∴CH＝，

∴CE＝2CH＝2，

∴AE＝AC﹣CE＝5﹣2＝3．

25．（10分）如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，

与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．

（1）求二次函数的表达式；

（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N 从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．

【分析】（1）代入A（1，0）和C（0，3），解方程组即可；

（2）求出点B的坐标，再根据勾股定理得到BC，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP＝CB；②BP＝BC；③PB＝PC；

（3）设AM＝t则DN＝2t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，S△MNB＝×（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t，运用二次函数的顶点坐标解决问题；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．

【解答】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c，

解得：b＝﹣4，c＝3，

∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣4x+3；

（2）令y＝0，则x2﹣4x+3＝0，

解得：x＝1或x＝3，

∴B（3，0），

∴BC＝3，

点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，

①当CP＝CB时，PC＝3，∴OP＝OC+PC＝3+3或OP＝PC﹣OC＝3﹣3

∴P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；