求矩阵中各行元素之和

胡冰倩2012329620058 计科3班

1实验内容

编写程序,输入两个正整数m和n（1<= m,n<=6）,然后输入该m行n列矩阵a中的元素，分别求出各行元素之和，并输出。

2实验程序

#include

main()

{

inti,j,m,n,sum;

printf("输入正整数m和n（1<= m,n<=6）:");

scanf("%d%d",&m,&n);

int a[m][n];

printf("输入数:\n");

for(i=0;i

for(j=0;j

scanf("%d",&a[i][j]);

for(i=0;i

sum=0;

for(j=0;j

sum+=a[i][j];

}

printf("第%d行的和为：%d\n",i+1,sum);

}

return 0;

}

3实验结果

4实验心得

剪力墙如何根据SATWE计算结果正确配筋

剪力墙如何根据SATWE计算结果 配筋 假设此楼层为构造边缘构件，剪力墙厚度为200， 剪力墙显示“0”是指边缘构件不需要配筋且不考虑构造配筋（此时按照高规表7.2.16来配），当墙柱长小于3倍的墙厚或一字型墙截面高度不大于800mm 时，按柱配筋，此时表示柱对称配筋计算的单边的钢筋面积。 水平钢筋：H0.8是指Swh范围内的水平分布筋面积（cm2），Swh范围指的就是Satwe参数中的墙水平分布筋间距，是指的双侧的，先换算成1米内的配筋值，再来配，比如你输入的间距是200 mm ，计算结果是H0.8，那就用0.8*100 （乘以100是为了把cm2转换为mm2）*1000/200=400mm2 再除以2 就是 200mm2 再查板配筋表就可以了所以配8@200面积250>200 满足要求了！（剪力墙厚度为200，直径8间距200 配筋率 =2*50.24/(200*200)=0.25%，最小配筋率为排数*钢筋面 积/墙厚度*钢筋间距）。 竖向钢筋：计算过程1000X200X0.25%=500mm2，同样是指双侧，除以2就是250mm2，Φ8@200(面积251mm2)足够。 Satwe参数中的竖向配筋率是可根据工程需要调整的，当边缘构件配筋过大时，可提高竖向配筋率。

剪力墙边缘构件中的纵向钢筋间距应该和箍筋（拉筋）的选用综合考虑 一般情况下，墙的钢筋为构造钢筋，不过在屋面层短墙在大偏心受压下有时配筋很大 墙竖向分布筋配筋率0.3%进行计算是不对的。应该填0.25%(或者0.20%)。 如果填了0.3%，实际配了0.25%，则造成边缘构件主筋配筋偏小。墙竖向分 布筋按你输入配筋率,水平配筋按你输入的钢筋间距根据计算结果选筋。 规范规定的：剪力墙竖向和水平分布钢筋的配筋率，一、二、三级时均不应小于0.25％，四级和非抗震设计时均不应小于0.20％，此处的“配筋率”为水平截面全截面的配筋率，以200mm厚剪力墙为例，每米的配筋面积为：0.25% x 200 x 1000 = 500mm2，双排筋，再除以2，每侧配筋面积为250mm2，查配筋表，φ8@200配筋面积 为251mm2，刚好满足配筋率要求。 至于边缘构件配筋，一般是看SATWE计算结果里面的第三项：“梁弹性挠度、柱轴压比、墙边缘构件简图”一项里面的“边缘构件”，按此配筋，如果出现异常配筋，比如配筋率过大的情况，就用第十五项：“剪力墙组合配筋修改及验算”一项进行组合墙配筋计算，

幂级数求和函数方法概括与总结

常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3)n u x n =L 是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++∈L L 为定义在E 上的函数项级数，简记为1()n n u x ∞ =∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 200102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-++-+∑L L

边缘构件选筋规则

精心整理边缘构件选筋规则 纵筋的选筋规则 1）按照纵筋的最大间距和最小间距计算确定边缘构件纵筋的允许根数范围； 2）按照纵筋的优选间距计算出优选纵筋根数（在根数范围内），根据该边缘构件需要的纵筋面积计算出纵筋直径规格，如果该规格在纵筋直径优选序列中且不小于最小构造直径要求则纵筋选配成功； 3）如果按优选间距未成功选配，则按纵筋直径优选序列进行选配。先对排在最前面的满足最小构 4）如果仍未配出，程序自动逐次增加两根纵筋并重选纵筋直径，直至能选配出箍筋或者纵筋根数达到构造最多根数。所以一般情况下，很少会有选配不出来箍筋的情况。 5）如果有选配失败的情况，软件将标记为N/A(NotAvailable，不可用)。 约束边缘构件非阴影区箍筋的选筋规则

约束边缘构件非阴影区只对配箍提出了要求，非阴影区的箍筋需要墙身的竖向分布筋来固定，所以其位置需要尽量与墙身的竖向分布筋协调。同时为了尽量利用墙身的水平分布筋替代非阴影区的封闭箍，还需要考虑非阴影区的箍筋间距与墙身水平分布筋的直径、间距协调问题。 所以本软件在约束边缘构件非阴影区箍筋的选筋中执行的是协调优选原则，具体来说： 1）非阴影区拉筋的水平间距（肢距）取200mm和相应墙身竖向分布筋间距的较小者，非阴影区长度200和竖向分布筋间距的较小者的整数倍且不小于计算值（参见04SG330P4）； 2）如果墙身配筋强度等级和直径不小于边缘构件箍筋等级情况下，可以考虑用墙身水平分布筋替代封闭箍筋。 3 注意：（优先级低） 4 显大于2 尽量是 5 6 条件， 的钢筋， 箍钢筋条件，则完全标记为等级直径@竖向间距。如下右图中的Ф8@100表示：非阴影区长度为600mm，采用一级直径为8mm的钢筋，竖向间距同阴影区箍筋的间距为100mm，水平间距同墙竖向分布筋间距为150mm。这种情况下，是否还可以由墙身水平筋替代非阴影区封闭箍钢筋，由设计方和施工单位判断，比如右图示意情况下还可以部分利用墙身水平筋替代非阴影区封闭箍钢筋。 边缘构件箍筋计入墙水平分布筋原则 约束边缘构件和构造边缘构件均可以选择考虑墙水平分布筋。 《高规》第7．2．15明确提出约束边缘构件可以考虑墙水平分布筋的。 图集11G101-1给出了剪力墙水平分布筋计入约束边缘构件体积配箍率的做法。

矩阵相关运算

1.2.10矩阵的迹 函数trace 格式b=trace (A) %返回矩阵A的迹，即A的对角线元素之和。 1.2.11矩阵和向量的范数 命令向量的范数 函数norm 格式n = norm(X) %X为向量，求欧几里德范数，即。 n = norm(X,inf) %求-范数，即。 n = norm(X,1) %求1-范数，即。 n = norm(X,-inf) %求向量X的元素的绝对值的最小值，即。 n = norm(X, p) %求p-范数，即，所以norm(X,2) = norm(X)。 命令矩阵的范数 函数norm 格式n = norm(A) %A为矩阵，求欧几里德范数，等于A的最大奇异值。 n = norm(A,1) %求A的列范数，等于A的列向量的1-范数的最大值。 n = norm(A,2) %求A的欧几里德范数，和norm(A)相同。 n = norm(A,inf) %求行范数，等于A的行向量的1-范数的最大值 即：max(sum(abs(A')))。 n = norm(A, 'fro' ) %求矩阵A的Frobenius范数， 即sqrt(sum(diag(A'*A)))，不能用矩阵p-范数的定义来求。 命令范数的估计值 函数normest 格式nrm = normest(A) %矩阵A的2-范数(欧几里德范数)的估计值，相对误差小于 106。 nrm = normest(A,tol) %tol为指定相对误差 [nrm,count] = normest(…) %count给出计算估计值的迭代次数 1.2.12条件数 命令矩阵的条件数 函数cond 格式c = cond(X) %求X的2-范数的条件数，即X的最大奇异值和最小奇异值的商。 c = cond(X,p) %求p-范数的条件数，p的值可以是1、2、inf或者’fro’。 说明线性方程组AX=b的条件数是一个大于或者等于1的实数，用来衡量关于数据中的扰动，也就是A/或b对解X的灵敏度。一个差条件的方程组的条件数很大。条件数的定义为： 命令1-范数的条件数估计 函数condest 格式c = condest (A) %方阵A的1-范数的条件数的下界估值。 [c,v] = condest (A) %v为向量，满足，即norm(A*v,1) =norm(A,1)*norm(v,1)/c。 [c,v] = condest (A,t) %求上面的c和v，同时显示出关于计算的步骤信息。如果t=1，则计算的 每步都显示出来；如果t=-1，则给出商c/rcond(A)。 命令矩阵可逆的条件数估值 函数rcond 格式c = rcond(A) %对于差条件矩阵A来说，给出一个接近于0的数；对于好条件矩阵A， 则给出一个接近于1的数。 命令特征值的条件数 函数condeig

幂级数求和函数方法概括与汇总

幂级数求和函数方法概括与汇总

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常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑

矩阵幂级数

§4.矩阵的幂级数 在研究矩阵幂级数之前先研究一下矩阵（主要是方阵）级数。 一、矩阵级数 1.Df 1.：若给定n n C ?中的一方阵序列， ,,,10m A A A 则和式 +++++m A A A A 210)1( 称为方阵级数，记为∑∞ =0m m A 。其中为通项，m —求和变量。 ∑==+++=N m m N N A A A A S 0 10 称为（1）的前N 项部分和序列（矩 阵序列） 若S S N →}{，则称（1）收敛，且其和为S 说明：若记ij m A )(表示的第i 行第j 列位置上的元素，根据定义1 显然有，∑∞ =0 m m A 收敛 2 n ?个数项级数 ∑∞ ==0 ) ,,2,1,()(m ij m n j i A 收敛。 Df 2.若个数项级数∑∞ =0 )(m ij m A 绝对收敛，则称∑∞ =0 m m A 绝对收敛。

2.收敛方阵级数的性质： ①若方阵级数∑∞ =0m m A 绝对收敛，则它一定收敛，且任意交换各 项的次序，所得新级数仍收敛且和不变。 ②方阵级数∑∞ =0 m m A 收敛对任一方阵范数?，正项级数∑ ∞ =0 m m A 收 敛。 下面研究矩阵（方阵）幂级数 二、矩阵幂级数 Df 1.设n n C A ?∈，称∑∞ =0 m m m A c 为矩阵A 的幂级数，其中}{m c 为一复 数序列，称∑==N m m m N A c S 0 为幂级数∑∞ =0 m m m A c 的部分和，若S S N N =∞ →lim ， 称∑∞=0 m m m A c 收敛于S ，并称S 为幂级数∑∞ =0 m m m A c 的和矩阵。 注：若令m m m A A c =，则矩阵幂级数矩阵级数的形式。因此，矩阵级数的结论对矩阵幂级数的形式是适用的。即： Th 1.矩阵幂级数∑∞ =0 m m m A c 收敛于∑∞ ===?0 ),2,1,()()(m ij ij m m n j i S A c S 其中，ij m m A c )(,ij S )(分别表示m m A c 和的第i 行，第j 列元素。

剪力墙边缘构件的配筋计算刘孝国

1.工程实例： 第一类：短肢墙的边缘构件 （一）：构件信息 图一 横向墙的信息如下： 混凝土墙短肢墙加强区，截面参数(m)B*H=0.300*0.700 抗震构造措施的抗震等级NF=3AS=873.（图一取为9） 竖向墙肢的信息如下： 混凝土墙短肢墙加强区，截面参数(m)B*H=0.300*1.850 墙分布筋间距(mm)SW=200.0 抗震构造措施的抗震等级NF=3计算配筋为0 （二）：边缘构件信息：

上部 中部 下部 图二 （三）：配筋计算结果及过程 图二中，竖向墙肢上部（标注上部的地方）边缘构件配筋信息及计算过程： 第28号:约束边缘构件 抗震等级:3 楼层属性:加强层 竖向墙肢总长度1850，底部加强区三级短肢剪力墙的最小配筋率1%（高规规定），墙宽300，所以整个墙肢的配筋为： 1850*300*1%=5550（cm2） 图二中间部分按照分布筋配筋（分布筋配筋率为0.25%）： （1850-400-400）*300*0.25%=787.5 剩下的部分两边边缘构件按面积分配，两边面积相同 所以上部边缘构件配筋面积为： （5550-787.5）/2=2381.25（cm2）（包括竖向分布筋和阴影区纵筋？） 图中横向墙肢的配筋：从构件信息中知道AS=873 横向墙肢总长700，计算的时候，aa取40 (350-40)*300*0.25%=232.5 计算配筋+分布筋=873+232.5=1105.5 两边分布筋相等，下面也是232.5 图二下部第15号:约束边缘构件 楼层属性:加强层 由2个边缘构件合并而成

(1)纵筋原始数据: 阴影区面积(cm2):2700.0：（300*300+300*600=270000） 构造配筋率(%): 1.00 构造配筋(mm2):2700.00 计算配筋(mm2):3487.15 3487.15=下部配筋面积+分布筋面积+横向墙右侧配筋=2381+873+232.5 (2)纵筋当前结果: 采用最大构造配筋率的计算结果:3900.00 构造钢筋取值:采用求和后，再调整的算法(3900.00) 有效阴影区面积(cm2):3900.0 构造配筋(mm2):3900.00 计算配筋(mm2):4593.07（=3487.15+1105） 主筋配筋率(%): 1.18 第二类：转角加洞口的边缘构件 异形柱框剪的工程，6层，按照规范此工程是3级框架，2级剪力墙，底部一层加强区，构造配筋率0.008Ac和6Φ14中较大值，为其他部位的构造配筋为0.006Ac和6Φ12，那PKPM 里的构造边缘构件的配筋率0.94怎么来的？

幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结

幂级数求和函数方法概括与总结-幂级数总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

常见幂级数求和函数方法综述 引言 级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。 幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。但很多人往往对这一内容感到困难。产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。 一、幂级数的基本概念 （一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3 )n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称 12()()(),n u x u x u x x E ++++ ∈ 为定义在E 上的函数项级数，简记为1 ()n n u x ∞=∑ 。 2、具有下列形式的函数项级数 2 00102000 ()()()()n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-+ +-+ ∑

2.2 矩阵变换(PPT)

专题二 MATLAB矩阵处理 2.2 矩阵变换 ?对角阵 ?三角阵 ?矩阵的转置 ?矩阵的旋转 ?矩阵的翻转 ?矩阵求逆

1．对角阵 ?对角阵：只有对角线上有非零元素的矩阵。 ?数量矩阵：对角线上的元素相等的对角矩阵。?单位矩阵：对角线上的元素都为1的对角矩阵。

(1) 提取矩阵的对角线元素 ?diag(A)：提取矩阵A主对角线元素，产生一个列向量。 ?diag(A,k)：提取矩阵A第k条对角线的元素，产生一个列向量。 矩阵的对角线：与主对角线平 行，往上为第1条、第2条、一 直到第n条对角线，往下为第- 1条、-2条、一直到-n条对角 线。主对角线为第0条对角线。

(2) 构造对角阵 ?diag(V)：以向量 V为主对角线元素，产生对角矩阵。 ?diag(V,k)：以向量 V为第k条对角线元素，产生对角矩阵。

例1 先建立5×5矩阵A ，然后将A 的第一行元素乘以1，第二行乘以2，…，第五行乘以5。 用一个对角阵左乘一个矩阵时，相当于用对角阵对角线的第1个元素乘以该矩阵的第一行，用对角阵对角线的第2个元素乘以该矩阵 的第二行，…，依此类推。 >> A=[7,0,1,0,5;3,5,7,4,1;4,0,3,0,2;1,1,9,2,3;1,8,5,2,9] A = 7 0 1 0 5 3 5 7 4 1 4 0 3 0 2 1 1 9 2 3 1 8 5 2 9 >> D=diag(1:5); >> D*A ans = 7 0 1 0 5 6 10 14 8 2 12 0 9 0 6 4 4 36 8 12 5 40 25 10 45

剪力墙如何根据SATWE计算结果配筋

剪力墙如何根据SATWE计算结果配筋 | 假设此楼层为构造边缘构件，剪力墙厚度为200， 剪力墙显示“0”是指边缘构件不需要配筋且不考虑构造配筋（此时按照高规表7.2.16来配），当墙柱长小于3倍的墙厚或一字型墙截面高度不大于800mm时，按柱配筋，此时表示柱对称配筋计算的单边的钢筋面积。 水平钢筋：H0.8是指Swh范围内的水平分布筋面积（cm2），Swh范围指的就是Satwe 参数中的墙水平分布筋间距，是指的双侧的，先换算成1米内的配筋值，再来配，比如你输入的间距是200 mm ，计算结果是H0.8，那就用0.8*100（乘以100是为了把cm2转换为mm2）*1000/200=400mm2 再除以2 就是200mm2 再查板配筋表就可以了所以配8@200面积250>200 满足要求了！（剪力墙厚度为200，直径8间距200 配筋率 =2*50.24/(200*200)=0.25%，最小配筋率为排数*钢筋面积/墙厚度*钢筋间距）。 竖向钢筋：计算过程1000X200X0.25%=500mm2，同样是指双侧，除以2就是250mm2，Φ8@200(面积251mm2)足够。 Satwe参数中的竖向配筋率是可根据工程需要调整的，当边缘构件配筋过大时，可提高竖向配筋率。 剪力墙边缘构件中的纵向钢筋间距应该和箍筋（拉筋）的选用综合考虑 一般情况下，墙的钢筋为构造钢筋，不过在屋面层短墙在大偏心受压下有时配筋很大墙竖向分布筋配筋率0.3%进行计算是不对的。应该填0.25%(或者0.20%)。如果填了0.3%，实际配了0.25%，则造成边缘构件主筋配筋偏小。墙竖向分布筋按你输入配筋率,水平配筋按你输入的钢筋间距根据计算结果选筋。 规范规定的：剪力墙竖向和水平分布钢筋的配筋率，一、二、三级时均不应小于0.25％，四级和非抗震设计时均不应小于0.20％，此处的“配筋率”为水平截面全截面的配筋率，以200mm厚剪力墙为例，每米的配筋面积为：0.25% x 200 x 1000 = 500mm2，双排筋，再除以2，每侧配筋面积为250mm2，查配筋表，φ8@200配筋面积为251mm2，刚好满足配筋率要求。 至于边缘构件配筋，一般是看SATWE计算结果里面的第三项：“梁弹性挠度、柱轴压比、墙边缘构件简图”一项里面的“边缘构件”，按此配筋，如果出现异常配筋，比如配筋率过大的情况，就用第十五项：“剪力墙组合配筋修改及验算”一项进行组合墙配筋计算，

幂级数求和法的归纳总结与推广

幂级数求和法的归纳总结与推广 摘要：本文研究的是如何对幂级数进行求和，主要从数学专业中的三个学科（常微分方程、初等数学、高等代数），分别通过微分方程法、初等数学中的杨辉三角法以及矩阵法对幂级数进行求和。对那些能用这三种方法进行求和的幂级数进行了一定的归纳和总结，并展开了一定的推广。通过对这三类方法的典型例题的求解，加深对方法的了解和运用，完善级数求和的知识体系。 关键词：级数求和，微分方程，矩阵，杨辉三角 引言 级数是高等数学的一个重要组成部分, 其理论是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。中国魏晋时期杰出的数学家刘徽于公元263 年创立了“割圆术”, 其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆, 从而求得圆的面积。这种“割圆术”就已建立了级数的思想方法, 即无限多个数的累加问题。而今, 级数的理论已发展的相当丰富和完整, 在工程实践中有着广泛的应用, 可用来表示函数、研究函数的性质, 也是其进行数值计算的一种工具。 同时级数也是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数。在各种有力的解析工具中按其简单.灵活.明确以及使用的方便而言，毫无疑问第一位应属于函数级数。这个最重要的解析工具的思想很简单：我们想要研究的函数可以表示为其它的更为简单的。容易研究的函数的系列（即表示此函数为级数的部分和的极限。如果这个部分和在整个所研究的区间上完全趋近于所研究的函数，则我们就有理由从整个近似的部分和的性质来估计所研究函数的一些性质——尽管只是近似的研究。特别地，会对自变量的某个值近似计算这些部分和的值，我们同时也有办法近似计算所研究函数的相应的值。 用什么样的函数作为我们的展开式的元素最方便.最适合呢？即选什么函数作为表示所研究函数级数的项，最便于帮助我们研究函数？对此问题，当然不指望有唯一的答案适用于所有情形。这几乎完全取决于所研究的函数的性质以及我们对函数所提出的问题的性质，只是必须指出，有一种最重要的函数级数类值得推荐起作用，因为每一步都可以应用它们，这样就自然地要求创立相应的一般理论。这种函数级数就是幂级数（其中展开式的元素是自变量的整数次数幂——首先是非整数次幂）。 在幂级数收敛性的判断，求和问题等性质中，求和问题不免也是一处重要的知识点。幂级数求和的求解是一类难度较大技巧性较高的问题，更好地了解和掌握幂级数求和的方法和技巧对于学习幂级数具有更好的指导意义和学习价值。 幂级数求和，包括求某些数项级数的和，利用技术性质，展开定理、收敛定理等求函数项级数的和函数，函数的幂级数展开式、Fourier级数等，无疑是级数理论学习中的重要内容，在一定意义上对这部分知识掌握的程度，也是衡量学生数学能力、数学素质的一项检验指标。 而作为特殊函数项级数的幂级数，由于具有结构形式简单和近似表达函数的灵活性的优点，而作为一个极为有用的计算工具，数项级数的求和就是一个重要的应用。它的基本理论依据是在一致收敛条件下，函数项级数的和函数连续，可导、可积，即求和运算与极限运算求积运算、求导运算可以换序。而幂级数更具有收敛半径易求，在（-R，R）上内闭一致收敛以及在逐项求导或逐项积分收敛

矩阵

特殊矩阵的压缩存储 对称矩阵中的元素关于主对角线对称，因此，让每一对对称元素a ij和a ji(i≠j)分配一个存储空间，则n2个元素压缩存储到n(n+1)/2个存储空间，能节约近一半的存储空间。 不失一般性，假设按“行优先顺序”存储下三角形(包括对角线)中的元素。 设用一维数组(向量)sa[0…n(n+1)/2]存储n阶对称矩阵，如图5-4所示。为了便于访问，必须找出矩阵A中的元素的下标值（i,j）和向量sa[k]的下标值k之间的对应关系。 若i≧j：a i j在下三角形中，直接保存在sa中。a i j之前的i-1行共有元素个数：1+2+…+(i-1)=i?(i-1)/2 而在第i行上，a i j之前恰有j-1个元素，因此，元素a i j保存在向量sa中时的下标值k之间的对应关系是： k=i?(i-1)/2+j-1 i≧j 若i

以主对角线划分，三角矩阵有上三角和下三角两种。 上三角矩阵的下三角（不包括主对角线）中的元素均为常数c(一般为0)。下三角矩阵正好相反，它的主对角线上方均为常数，如图5-5所示。 三角矩阵中的重复元素c可共享一个存储空间，其余的元素正好有n(n+1)/2个，因此，三角矩阵可压缩存储到向量sa[0…n(n+1)/2]中，其中c存放在向量的第1个分量中。 上三角矩阵元素a i j保存在向量sa中时的下标值k与（i,j）之间的对应关系是：下三角矩阵元素a i j保存在向量sa中时的下标值k与（i,j）之间的对应关系是： 3 对角矩阵 矩阵中，除了主对角线和主对角线上或下方若干条对角线上的元素之外，其余元素皆为零。即所有的非零元素集中在以主对角线为了中心的带状区域中，如图5-6所示。 如上图三对角矩阵，非零元素仅出现在主对角(a i i,1≦i≦n)上、主对角线上的那条对角线(a i i+1,1≦i≦n-1) 、主对角线下的那条对角线上(a i+1 i,1≦i≦n-1)。显然，当| i-j |>1时，元素a ij=0。

幂级数展开的多种方法

幂级数展开的多种方法 摘要：本文通过举例论证的说明方法，系统地对幂级数展开的多种解法进行了详细地概括、分类及总结 关键词：幂级数;泰勒展式;洛朗展式;展开 在复变函数的学习过程中，我们涉及了对解析函数幂级数展开的学习.由课本的知识知道，任意一个具有非零收敛半径的幂级数在其收敛圆内收敛于一个解析函数.这个性质是很重要的，但在解析函数的研究上，幂级数之所以重要，还在于这个性质的逆命题也是成立的.即有下面的泰勒定理和洛朗定理： 定理 1（泰勒定理）设()z f 在区域D 内解析，D a ∈，只要圆R a z K <-:含于D ，则()z f 在K 内能展成幂级数()()∑∞ =-= n n n a z c z f ，其中系数 () () () () ! 21 1n a f d a f i c n n n = -= ?Γ+ζζζ π.（ρ=-Γa z : R <<ρ0 n=0,1,2 )且展式唯 一. 定理2（洛朗定理）在圆环R a z r H <-<: （0≥r +∞≤R ）内解析的函数 ()z f 必可展成双边幂级数()() ∑ ∞ -∞ =-= n n n a z c z f ，其中系数() () ζζζ πd a f i c n n ?Γ+-= 121 ( 2,1,0±±=n ρ=-Γa z : R r <<ρ) 且展式唯一. 这两个定理的存在，使得在函数解析的范围内，我们可以通过幂级数展开的方法来更好的研究解析函数的性质.而这两个定理，也是我们后面研究幂级数展开的基础和前提. 接下来，我们将着重开始讨论幂级数展开问题的多种解法： 1、直接法. 即按照泰勒定理和洛朗定理中所给的幂级数展开的公式，直接将函数展开. 例1 求()z z f tan =在4 0π =z 点处的泰勒展开式. 解：用公式 () () ! 0n z f c n n = 求n c ：;14tan 0==π c ()2 ,24 sec | tan 12 4 ==='= c z z π π ；

第三节矩阵基本函数运算与矩阵元素的提取(第二章)

实验三 第三节矩阵基本函数运算与矩阵元素的提取（第二章）一、矩阵基本函数运算 此运算是矩阵运算中最实用的部分，其基本命令如下： 命令集9 矩阵的大小、行列式、逆、特征值、秩、迹、范数size(A) 给出包含A的维数的一个行向量.在这个返回向量中的第一个元素是行数，随后是列数. [ m，n ]=size(A) 给出A的维数、m行数和n列数，即两个标量. length(x) 给出一个向量的长度，即x分量个数. sum(A) 若A是矩阵，给出一个行向量，其每个分量表示A相应的列和； 若A是向量，给出此向量的分量和. det(A) 求矩阵A的行列式. eig(A) 求包含矩阵A的特征值的向量. [X,D]=eig(A) 求包含矩阵A的特征值对应的对角阵D和以相应特征向 量为列的矩阵. inv(A)或A ^ (-1) 求矩阵A的逆矩阵. rank(A) 求矩阵A的秩. trace(A) 求矩阵A的迹（对角线元素之和）. norm(A，1) 矩阵A的1—范数或列和范数，定义如下. norm(A，2) 矩阵A的2—范数. norm(A，inf) 矩阵A的∞—范数. norm(x，1) 向量x的1—范数或列和范数，定义如下. norm(x，2) 向量x的2—范数. norm(x，inf) 向量x的∞—范数.

范数定义如下： 设'12(,, ,)n x x x x =，()ij n m A a ?=，则相应范数定义如下 11 n i i x x ==∑ ；2x = ；max i i x x ∞ = 11 max n ij j i A a ==∑， 1 max n ij i j A a ∞ ==∑ ， 2A'A i A λ=，其中为的最大特征值 二、矩阵元素的提取 在MATLAB 中还有利用已存在的矩阵建立新矩阵的命令.以下假设矩阵 A 是m ×n 的矩阵，x 是个有n 个元素的向量. 1. 对角阵与三角阵的生成 命令集10 diag(A) 生成一个由矩阵A 主对角线元素组成的列向量.主对角线总是 从矩阵左上角开始.对于方阵来说它结束于矩阵的右下角. diag(x) 生成一个n 维的方阵，它的主对角线元素值取自向量 x ，其余 元素的值都为0. diag(A , k) 生成一个由矩阵A 第k 条对角线的元素组成的列向量. k= 0为 主对角线；k< 0为下第k 对角线；k> 0为上第k 对角线. diag(x , k) 生成一个(n+ a b s (k) )×(n+ a b s (k) )维的矩阵，该矩阵的第k 条对角线元素取自向量x ，其余元素都为零.关于参数k 可参考 上个命令. triu(A) 生成一个和A 大小相同的上三角矩阵.该矩阵的主对角线及 以上元素取自A 中相应元素，其余元素都为零. triu(A , k) 生成一个和A 大小相同的上三角矩阵.该矩阵的第k 条对角线 及以上元素取自A 中相应元素，其余元素都为零. 命令t r i u ( A , 0 )等同于命令t r i u ( A ).

PKPM v3.1.6版本 结构 第八层2#号《 边缘构件手工结果校核 》

设计人员问题，为什么构造边缘构件的配筋率与手工验算不符？ 刘孝国答复 第八层边缘构件信息校核如下：（为什么手算与电算不符） 底下这个边缘构件两墙肢信息输入如下： SATWE结果输入图形文件如下：

水平墙肢计算内力及配筋设计过程：

竖向墙肢计算内力及配筋设计过程：

查看边缘构件结果如下：

具体详细的核算过程： 由于属于四级构造边缘构件，按照高规7.2.16的要求构造配筋率应该为0.004Ac和4Φ12的大值（如果是底部加强部位墙体，应该为0.005Ac和4Φ12的大值）.由于该墙肢不属于底部加强部位，应该取值0.004Ac和4Φ12的大值，但是由于在计算的时候勾选了按照“7.2.16-4的构造边缘构件的较高要求执行”，因此，两个墙肢的约束边缘构件结果应该为0.004Ac和4Φ12的大值。

两个边缘构件有重叠部分，应该考虑重叠部分的作用，考虑细部的计算结果调整如下： 由于水平向墙体实际为200*750，按照两个边缘构件长度为200*400，两个边缘构件组成的墙体长度为800，则按照全截面构造配筋为：800.（直径根数与配筋率取大，按照配筋率面积为：0.005*2*200*400=800cm2，按照直径根数控制的面积为：452，取值大800）； 竖向墙体为200*1700，边缘构件的面积为：200*400，其配筋面积为直径根数数与配筋率取大，则竖向那个墙体的其中一个边缘构件的配筋为：452cm2（直径根数与配筋率取大，按照配筋率面积为：0.005**200*400=400，按照直径根数的控制面积为：452，取值大452）.

矩阵的定义及其运算规则

矩阵的定义及其运算规则 1、矩阵的定义 一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成m行n 列（横的称行，纵的称列）的一个数表，并称它为m×n阵。 矩阵通常是用大写字母A 、B …来表示。例如一个m 行n 列的矩阵可以简记为：，或 。即： （2-3） 的第一个注脚字母的元素，a，表为矩阵我们称（2-3A）式中的示矩阵的行数，第二个注脚字母j（j＝1，2，…，n）表示矩阵的列数。 阶方阵，并用表示。当矩阵（a为时，则称n）的元素仅有一当m＝n ij行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵。设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它们的对应元素一一相等，即，则称该两矩阵相等，记为A＝B。 2、三角形矩阵 由i＝j的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。 如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵。例如，以下矩阵都是三角形矩阵： 。，，， 3、单位矩阵与零矩阵的元素不等于零，而其他元素全为零，如：中，如果只有在方阵

彼此如果在对角矩阵中所有的。可记为则称为对角矩阵，，则称为单位矩 阵。单位矩阵常用E来表示，即：都相等且均为1，如： 当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号“0”来表示。 4、矩阵的加法 矩阵A＝（a）和B＝（b）相加时，必须要有相同的行数和列数。如以C＝（c）ijm×nijnijm×表示矩阵A及B的和，则有：nm × 。即矩阵C的元素等于矩阵A和B式中：的对应元素之和。 由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质（设A、B、C都是m×n矩阵）： （1）交换律：A＋B＝B＋A （2）结合律：（A＋B）＋C＝A＋（B＋C） 5、数与矩阵的乘法 ，其积均等于矩阵A中的所有元素都右乘矩阵我们定义用kA或左乘矩阵k之后所得的矩阵。 如：乘上 由上述定义可知，数与矩阵相乘具有下列性质：设A、B都是m×n矩阵，k、h为任意常数，则：（1）k（A＋B）＝kA＋kB （2）（k＋h）A＝kA＋hA （3）k（hA）＝khA 6、矩阵的乘法 ，则只有在前者的列数等于后者的行数时才有意义。矩阵的元乘矩阵若矩阵的计算方法定义为第一个矩阵第i行的元素与第二个矩阵第j列元素对应乘积的和。素若：

约束边缘构件

1::关于约束边缘沿构件的长度lc是设计图籍的规定详见03G101-1 P49页（附图1),具体数值和抗震等级有关。具体的含义其实就是在这个LC长度范围内钢筋配筋的增加 2:bw表示剪力墙的厚度，bf表示二相交剪力墙的另一边墙的厚度，hc和bc分别为约束边缘端柱的截面高度和宽度尺寸。 这些符号详见附图2 举报

6.4.1抗震墙的厚度，一、二级不应小于160MM且不应小于层高的1/20，三、四级不应小于140MM且不应小于层高的1/25。底部加强部位的墙厚，一、二级不宜小于200MM且不宜小于层高的1/16；无端柱或翼墙时不应小于层高的1/12。 6.4.2抗震墙厚度大于140MM时，竖向和横向分布钢筋应双排布置；双排分布钢筋间拉筋的间距不应大于600MM，直径不应小于6MM；在底部加强部位，边缘构件以外的拉筋间距应适当加密。 6.4.3 抗震墙竖向、横向分布钢筋的配筋，应符合下列要求： 1 一、二、三级抗震墙的竖向和横向分布钢筋最小配筋率均不应小于0.25%；四级抗震墙小应小于0.20%；钢筋最大间距不应大于300MM，最小直径不应小于8MM。 2 部分框支抗震墙结构的抗震墙底部加强部位，纵向及横向分布钢筋配筋率均不应小于0. 3%，钢筋间距不应大于200MM。 6.4.4抗震墙竖向、横向分布钢筋的钢筋直径不宜大于墙厚的1/10。 6.4.5一级和二级抗震墙，底部加强部位在重力荷载代表值作用下墙肢的轴压比，一级(9度)时不宜超过0.4，一级(8度)时不宜超过0.5，二级不宜超过0.6。 6.4.6抗震墙两端和洞口两侧应设置边缘构件，并应符合下列要求： 1抗震墙结构，一、二级抗震墙底部加强部位及相邻的上一层应按本章第6.4.7条设置约束边缘构件，但墙肢底截面在重力荷载代表值作用下的轴压比小于表6.4.6的规定值时可按本章第6.4.8条设置构造边缘构件。 2部分框支抗震墙结构，一、二级落地抗震墙底部加强部位及相邻的上一层的两端应设置符合约束边缘构件要求的翼墙或端柱，洞口两侧应设置约束边缘构件；不落地抗震墙应在底部加强部位及相邻的上一层的墙肢两端设置约束边缘构件。 3一、二级抗震墙的其他部位和三、四级抗震墙，均应按本章6.4.8条设置构造边缘构件。

2.4矩阵幂级数

§4. 矩阵的幂级数 在研究矩阵幂级数之前先研究一下矩阵（主要是方阵）级数。 一、矩阵级数 1.Df 1.：若给定n n C ?中的一方阵序列， ,,,10 m A A A 则和式 +++++m A A A A 210 )1( 称为方阵级数，记为∑ ∞ =0m m A 。其中m A 为通项，m —求和变量。 ∑ == +++=N m m N N A A A A S 0 10 称为（1）的前N 项部分和序列（矩 阵序列） 若S S N →}{，则称（1）收敛，且其和为S 说明：若记ij m A )( 表示的 m A 第i 行第j 列位置上的元素，根 据定义1 显然有， ∑ ∞ =0 m m A 收敛 2 n ?个数项级数 ∑∞ ==0 ) ,,2,1,()(m ij m n j i A 收敛。

Df 2.若2 n 个数项级数∑∞ =0 )(m ij m A 绝对收敛，则称∑ ∞ =0 m m A 绝对收敛。 2.收敛方阵级数的性质： ①若方阵级数∑ ∞ =0m m A 绝对收敛，则它一定收敛，且任意交换各 项的次序，所得新级数仍收敛且和不变。 ②方阵级数∑ ∞ =0m m A 收敛?对任一方阵范数?，正项级数∑ ∞ =0 m m A 收 敛。 下面研究矩阵（方阵）幂级数 二、矩阵幂级数 Df 1.设n n C A ?∈，称∑∞ =0m m m A c 为矩阵A 的幂级数，其中}{m c 为一复 数序列，称∑== N m m m N A c S 0 为幂级数∑∞ =0 m m m A c 的部分和，若S S N N =∞ →lim ， 称∑∞ =0m m m A c 收敛于S ，并称S 为幂级数∑∞ =0 m m m A c 的和矩阵。 注：若令m m m A A c =，则矩阵幂级数→矩阵级数的形式。因此， 矩阵级数的结论对矩阵幂级数的形式是适用的。即： Th 1.矩阵幂级数∑∞ =0m m m A c 收敛于∑∞ ===? ),2,1,()()(m ij ij m m n j i S A c S 其中，ij m m A c )(,ij S )(分别表示m m A c 和S 的第i 行，第j 列元素。

幂级数求和问题的几种转化

幂级数求和问题的几种转化 数学与计算机科学学院 数学与应用数学专业 【摘要】本文通过具体例子，介绍了幂级数求和的若干种转化和方法，例如其中的代数方程法， 、微分方程法等．同时对幂级数求和的化归途径进行了分析和实践，探讨了利用化归思想求幂级数和函数的几种方法． 【关键词】幂级数；和函数；微分；化归思想 The power series summation of several transformation Major in Pure and Applied Mathematics College of Mathematics and Computer Science [Abstract] This article through a concrete example, introduces the power series summation of several kinds of transformation and methods, such as one of the algebraic equation method, and differential equation method, etc. Meanwhile to the power series summation of change to approach is analyzed and practiced, this paper has discussed the use of be thought for the power series and the function of several methods. [Key words] power series; And functions; Differential;Change be thought 1.引言 幂级数是微积分中十分重要的内容之一,而求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题,因此是有必要对这类问题进行研究和探讨．求解幂级数的和函数时,我们通常用幂级数的有关运算，综合运用求导，求积分，拼凑，分解等技巧来解决．也可以利用幂级数的有关性质求解． 本文把幂级数求和和化归思想联系在一起，介绍了化归思想在幂级数求和中的应用． 2.预备知识 2.1 幂级数 定义[1] 由幂级数列{0()n n a x x -}所产生的函数项级数 20 0102000 () ()()...()...n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ =-=+-+-++-+∑， （1） 它称为幂级数，是一类最简单的函数项级数，从某种意义上说，它可以看做是多项式函