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2011年高考数学分类汇编10——数列

十、数列

一、选择题 1．（天津理4）已知

{}n a 为等差数列，其公差为-2，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为

{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则10S 的值为

A ．-110

B ．-90

C ．90

D ．110 【答案】D

2．（四川理8）数列

{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈．若则

32b =-，1012b =，则8a =

A ．0

B ．3

C ．8

D ．11

【答案】B

【解析】由已知知

128,28,n n n b n a a n +=--=-由叠加法

21328781()()()642024603a a a a a a a a -+-++-=-+-+-++++=?==

3．（四川理11）已知定义在

[)0,+∞上的函数()f x 满足()3(2)f x f x =+，当[)0,2x ∈时，

2()2f x x x =-+．设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为(*)n a n N ∈，且{}n a 的前n 项

和为n S ，则lim n n S →∞=

A ．3

B ．5

C ．2

D ．32

【答案】D

【解析】由题意

(2)()3f x f x +=

,在[22,2]n n -上，

211

1()111331,()1,2,(),3,()()()lim 1333213n

n n n n

n f x n f x n f x a S S --=======?=?=-

4．（上海理18）设

{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为1,i i a a +的矩形面积（1,2,i = ），则{}n A 为等比数列的充要条件为

A ．

{}n a 是等比数列。

B ．1321,,,,n a a a - 或242,,,,n a a a 是等比数列。

C ．1321,,,,n a a a - 和242,,,,n a a a 均是等比数列。

D ．

1321,,,,n a a a - 和242,,,,n a a a 均是等比数列，且公比相同。

【答案】D 5．（全国大纲理4）设

n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，2

24k k S S +-=，则k =

A ．8

B ．7

C ．6

D ．5

【答案】D

6．（江西理5）已知数列{

n a }的前n 项和n S 满足：n m n m S S S ++=，且1a =1．那么10a =

A ．1

B ．9

C ．10

D ．55 【答案】A 7．（福建理10）已知函数f （x ）=e+x ，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，

给出以下判断： ①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形其中，正确的判断是 A ．①③ B ．①④ C ． ②③ D ．②④ 【答案】B 二、填空题

8．（湖南理12）设n S 是等差数列

{}n a ()n N *

∈，的前n 项和，且141,7a a ==，则

9S = ．

【答案】25

9．（重庆理11）在等差数列{}n a 中，3737a a +=，则2468a a a a +++=__________

【答案】74

10．（北京理11）在等比数列{an}中，a1=1

2，a4=-4，则公比q=______________；

12...n a a a +++=

____________。—2

【答案】

21-

-n

11．（安徽理14）已知ABC ?的一个内角为120o ，并且三边长构成公差为4的

等差数列，则ABC ?的面积为_______________.

【答案】315

12．（湖北理13）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积

成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升。

【答案】67

13．（广东理11）等差数列n

a 前9项的和等于前4项的和．若

141,0k a a a =+=，则

k=____________．【答案】10 14．（江苏13）设

7211a a a ≤≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，6

42,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________ 【答案】3

3 三、解答题

15．（江苏20）设Ｍ部分为正整数组成的集合，数列

1}{1=a a n 的首项，前n 项和为n S ，

已知对任意整数k ∈M ，当整数)(2,k n k n k n S S S S k n +=+>-+时都成立

（1）设52,2},1{a a M 求==的值；（2）设

}{},4,3{n a M 求数列=的通项公式

本小题考查数列的通项与前n 项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生

分析探究及逻辑推理的能力，满分16分。解：（1）由题设知，当1112,2()n n n n S S S S +-≥-=+时，

即

111()()2n n n n S S S S S +----=，

从而112222,2,2,2(2)2 2.n n n a a a a n a a n n +-===≥=+-=-又故当时

所以

5a 的值为8。

（2）由题设知，当{3,4},22n k n k n k k M n k S S S +-∈=>+=+且时,S

111

22n k n k n k S S S S +++-++=+且，

两式相减得

11111112,n k n k n n k n k n n k a a a a a a a +++-++++-++-+=-=-即

所以当63368,,,,,n n n n n n a a a a a --++≥时成等差数列，且6226,,,n n n n a a a a --++也成等差数

列从而当8n ≥时，33662.n

n n n n a a a a a +-+-=+=+ （*）

且662222,8,2n n n n n n n a a a a n a a a +-+-+-+=+≥=+所以当时，

即

223113.9,,,,n n n n n n n n a a a a n a a a a +---++-=-≥于是当时成等差数列，从而

3311n n n n a a a a +-+-+=+，

故由（*）式知

11112,.n n n n n n n a a a a a a a +-+-=+-=-即

当9n ≥时，设

1.n n d a a +=-

当28,68m m ≤≤+≥时，从而由（*）式知6122m m m a a a ++=+

故

71132.m m m a a a +++=+

从而

76113122()()m m m m m m a a a a a a +++++-=-+-，于是12.m m a a d d d +-=-=

因此，1n n a a d +-=对任意2n ≥都成立，又由22({3,4})n k n k k k S S S S k +-+-=∈可

知

34()()2,92162n k n n n k k S S S S S d S d S +----===故且，

解得

42173,,.222d a d a d a =

==从而

因此，数列{}n a 为等差数列，由11 2.a d ==知

所以数列

{}n a 的通项公式为2 1.n a n =-

16．（安徽理18）

在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令,lg n n a T =1n ≥.

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设

1tan tan ,n n n b a a += 求数列{}n b 的前n 项和n S .

本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等基本知识，考查

灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.

解：（I ）设

221,,,+n l l l 构成等比数列，其中,100,121==+n t t 则

,2121++????=n n n t t t t T ① ,1221t t t t T n n n ????=++ ②

①×②并利用

得),21(102

2131+≤≤==+-+n i t t t t n i n .1,2lg ,10)()()()()2(2122112212≥+==∴=????=+++++n n T a t t t t t t t t T n n n n n n n n

（II ）由题意和（I ）中计算结果，知

.1),3tan()2tan(≥+?+=n n n b n

另一方面，利用

tan )1tan(1tan )1tan())1tan((1tan k k k

k k k ?++-+=

-+=

得

11tan tan )1tan(tan )1tan(--+=

?+k

k k k

所以

∑∑+==?+==23

tan )1tan(n k n

k k n k

k b S

1tan 3tan )3tan()

11tan tan )1tan((

n n k k n k --+=--+=∑+= 17．（北京理20）

若数列12,,...,(2)

n n A a a a n =≥满足

111(1,2, (1)

n a a k n +-==-，数列

n A 为E 数列，

记()n S A =12...n a a a +++．

（Ⅰ）写出一个满足10s a a ==，且()s S A 〉0的E 数列n A ；

（Ⅱ）若

112a =，n=2000，证明：E 数列n A 是递增数列的充要条件是n a =2011；

（Ⅲ）对任意给定的整数n （n≥2），是否存在首项为0的E 数列

n A ，使得()n S A =0？

如果存在，写出一个满足条件的E 数列

n A ；如果不存在，说明理由。

解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具满足条件的E 数列A5。

（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一个满足条件的E 的数列A5）（Ⅱ）必要性：因为E 数列A5是递增数列，所以

)1999,,2,1(11 ==-+k a a k k .

所以A5是首项为12，公差为1的等差数列.

所以a2000=12+（2000—1）×1=2011. 充分性，由于a2000—a1000≤1， a2000—a1000≤1 …… a2—a1≤1 所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999. 又因为a1=12，a2000=2011, 所以a2000=a1+1999. 故

n n n A k a a 即),1999,,2,1(011 =>=-+是递增数列.

综上，结论得证。（Ⅲ）令

.1),1,,2,1(011±=-=>=-=+A k k k c n k a a c 则

因为2111112c c a a c a a ++=++= ……

,1211+++++=n n c c c a a

所以13211)3()2()1()(-++-+-+-+=n n c c n c n c n na A S

)].1()2)(1()1)(1[(2)

1(121--++--+----=

n c n c n c n n

因为).1,,1(1,1-=-±=n k c c k k 为偶数所以

所以

)1()2)(1()1)(1*21n c n c n c -++--+-- 为偶数,

所以要使

1(,0)(-=n n A S n 必须使

为偶数,

即4整除*)(144),1(N m m n m n n n ∈+==-或亦即. 当

,1,0,*)(14241414-===∈+=--+k k k n a a a A E N m m n 的项满足数列时14=k a

),,2,1(m k =时，有;0)(,01==n A S a

;0)(,0,0),,,2,1(11144=====+n k k A S a a m k a 有时

当

n A E N m m n 数列时,*)(14∈+=的项满足，,1,0243314-===---k k k a a a

当)1(,)(3424-∈+=+=m n N m m n m n 时或不能被4整除，此时不存在E 数列An ，使得

.0)(,01==n A S a

18．（福建理16）

已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=133。

（I ）求数列{an}的通项公式；

（II ）若函数()sin(2)(0,0)f x A x A p ??π=+><<<在6x π

处取得最大值，且最大值

为a3，求函数f （x ）的解析式。

本小题主要考查等比数列、三角函数等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，满分13分。

解：（I ）由313(13)1313

3,,

3133a q S -===-得解得

3a = 所以121

33.

3n n n a --=?=

（II ）由（I ）可知

33, 3.n n a a -==所以因为函数()f x 的最大值为3，所以A=3。

因为当

6x π

时()f x 取得最大值，

所以

sin(2) 1.

又

0,.

6π

?π?<<=

故

所以函数()f x 的解析式为

()3sin(2)

6f x x π

=+ 19．（广东理20）

设b>0,数列

{}n a 满足a1=b ，

1(2)

22n n n nba a n a n --=

≥+-．

（1）求数列

{}n a 的通项公式；

（2）证明：对于一切正整数n ，1

1 1.

2n n n b a ++≤+

解：

（1）由

1111121

0,0,.

22n n n n n nba n n a b a a n a b b a ----=>=

>=++-知

令

,n n n A A a b =

=，

当

112

2,n n n A A b b -≥=

+时

12111222n n n n A b b b b ----=++++ 21211222.n n n n b b b b ---=++++

①当2b ≠时，

12(1)

2(2)1n

n n n n b b b A b b b ??

- ?-??==--

②当

2,.2n n

b A ==

时

(2)

,222,2n n n

n nb b b a b b ?-≠?

=-??=?

（2）当2b ≠时，（欲证

1111(2)21,(1)2222n n n n n n

n n n

n n nb b b b b a nb b b ++++--=≤+≤+--只需证） 1

111212(2

)(2)(22)2n n

n n n n n n n b b

b b b b ++++----+=++++-

112222*********n n n n n n n n n b b b b b +-+---+=+++++++

21212222()

222

n n n n

n n n b b b

b b b b --=+++++++

12(222)222n n n n n n b n b n b +>+++=?=? ，

1(2) 1.

22n n n n n n nb b b a b ++-∴=<+-

当1

12,2 1.

2n n n b b a ++===+时

综上所述1

1 1.

2n n n b a ++≤+

20．（湖北理19）已知数列

{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：1a a =(0)a ≠，1n n

a rS +=(n ∈N*，

,1)r R r ∈≠-．

（Ⅰ）求数列

{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若存在k ∈N*，使得1k S +，k S ，2k S +成等差数列，是判断：对于任意的m ∈N*，

且2m ≥，1m a +，m a ，2m a +是否成等差数列，并证明你的结论．

本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，同时考查推理论证能力，以及特殊与

一般的思想。（满分13分）解：（I ）由已知1,n n a rS +=可得21n n a rS ++=，两式相减可得

2111

(),n n n n n a a r S S r a ++++-=-= 即21(1),n n a r a ++=+

又

21,a ra ra ==所以r=0时，

数列

{}n a 为：a ，0，…，0，…；

当0,1r r ≠≠-时，由已知0,0n a a ≠≠所以（*n N ∈），

于是由2

1(1),n n a r a ++=+可得2

1()

n n a r n N a *++=+∈，

23,,,n a a a ∴+ 成等比数列，

∴≥当n 2时，

(1).n n a r r a -=+

综上，数列{}n a 的通项公式为21,(1),2n

n n a n a r r a n -=?=?

+≥?

（II ）对于任意的*

m N ∈，且

122,,,m m m m a a a ++≥成等差数列，证明如下：

当r=0时，由（I ）知，

,1,

0,2m a n a n =?=?

≥? ∴对于任意的*

m N ∈，且122,,,m m m m a a a ++≥成等差数列，

当0r ≠，1r ≠-时，

21211

,.k k k k k k S S a a S a +++++=+++ 若存在*

k N ∈，使得112,,k k S S S ++成等差数列，

则122k k k S S S +++=，

1221222,2,k k k k k k S a a S a a ++++∴++==-即

由（I ）知，

23,,,,m a a a 的公比12r +=-，于是

对于任意的*

m N ∈，且122,2,4,m m m m m a a a a ++≥=-=从而

12122,,,m m m m m m a a a a a a ++++∴+=即成等差数列，

综上，对于任意的*

m N ∈，且

122,,,m m m m a a a ++≥成等差数列。

21．（辽宁理17）

已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=-10 （I ）求数列{an}的通项公式；

（II ）求数列??

??-12n n a 的前n 项和．

解：

（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=??

+=-?

解得11,

1.a d =??

=-?

故数列

{}n a 的通项公式为2.n a n =- ………………5分

（II ）设数列1{

}2n n n a n S -的前项和为，即2

111

,122n n n a a S a S -=+++= 故，

12.2242n n n S a

a a =+++

所以，当1n >时，

1211111222211121()

2422

121(1)22n n n n n n

n n n n

S a a a a a a n n

------=+++--=-+++--=---

.2n

所以

n n n S -=

综上，数列11

{

}.22n n n n a n n S --=的前项和 ………………12分

22．（全国大纲理20）

设数列{}n a 满足10a =且111 1.

11n n a a +-=--

（Ⅰ）求

{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设

1, 1.

n n k n k b b S ==

=<∑记S 证明：

解：

（I ）由题设111

11n n a a +-=--

即

1{}

1n a -是公差为1的等差数列。

又111

1,.11n n a a ==--故所以

11.

n a n =-

（II ）由（I ）得

n b ==

=， …………8分

1 1.n

n k k k S b =====<∑∑ …………12分

23．（全国新课标理17）

已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且

12326231,9a a a a a +==．（I ）求数列

{}n a 的通项公式．

（II ）设31323log log log n

n b a a a =+++ ，求数列1

{}

n b 的前n 项和．

解：

（Ⅰ）设数列{an}的公比为q ，由

23269a a a =得32

49a a

=所以

219q =

．

由条件可知c>0，故

13q =

．

由

12231a a +=得12231a a q +=，所以

113a =

．

故数列{an}的通项式为an=13n

．

（Ⅱ ）

31323n log log ...log n b a a a =+++

(12...)

(1)2n n n =-++++=-

故12112()(1)1n b n n n n =-=--++

12111111112...2((1)()...())22311n n b b b n n n +++=--+-++-=-++

所以数列1{}n b 的前n 项和为21n n -+

24．（山东理20）

等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）若数列{}n b 满足：(1)ln n n n b a a =+-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

解：（I ）当13a =时，不合题意；

当12a =时，当且仅当236,18a a ==时，符合题意；当

110a =时，不合题意。

因此

1232,6,18,a a a ===

所以公式q=3，

故1

23.n n

a -=? （II ）因为

(1)ln n

n n n b a a =+- 111123(1)(23)23(1)[ln 2(1)ln 3]23(1)(ln 2ln 3)(1)ln 3,n n n n n n n n n n ----=?+-?=?+-+-=?+--+-

所以

21222(133)[111(1)](ln 2ln3)[125(1)]ln3,

n n n n S n -=++++-+-++--+-+-++- 所以

当n 为偶数时，132ln 3

132n n n

S -=?+- 3ln 31;

2n n

=+-

当n 为奇数时，131

2(ln 2ln 3)()ln 3

132n n n S n --=?--+--

3ln 3ln 2 1.2n n -=-

综上所述，

3ln 31,212n n n n

n S n ?+-??=?

-???为偶数3-ln3-ln2-1,n 为奇数

25．（上海理22）已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为36n a n =+，27

n b n =+（*

n N ∈），将集合

**{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈=∈ 中的元素从小到大依次排列，构成数列 123,,,,,n c c c c 。

（1）求

1234,,,c c c c ；

（2）求证：在数列{}n c 中．但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a ；

（3）求数列{}n c 的通项公式。

解：⑴

12349,11,12,13c c c c ====；

⑵ ① 任意*n N ∈，设21

3(21)66327n k a n n b k -=-+=+==+，则32k n =-，即 2132n n a b --=

② 假设26627n k a n b k =+==+?*

32k n N =-∈（矛盾），∴ 2{}n

n a b ? ∴ 在数列{}n c 中．但不在数列{}n b 中的项恰为242,,,,n a a a 。

⑶

32212(32)763k k b k k a --=-+=+=，

3165k b k -=+，266k a k =+，367k b k =+

∵ 636

5666k k k k +<+<+<+ ∴ 当1k =时，依次有1

11222334,,,b a c b c a c b c =====，……

∴ *

63(43)65(42),66(41)67(4)n k n k k n k c k N k n k k n k +=-??+=-?=∈?+=-??+=?。

26．（四川理20）设d 为非零实数，12211*1(2(1)]()n n n n

n n n n n a C d C d n C d nC d n N n --=

+++-+∈

（1）写出

123,,a a a 并判断{}n a 是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；

（II ）设

()n n b nda n N =∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

解析：（1）

1223(1)(1)a d a d d a d d ==+=+

0122311

(1)(1)1n n

n n n n n n n n n n

a C d C d C d C d d d a d d a d a --++=++++=+=+=+

因为d 为常数，所以

{}n a 是以d 为首项，1d +为公比的等比数列。

（2）

20212221

20121(1)(1)2(1)3(1)(1)[(1)2(1)3(1)(1)](1)n n n n n b nd d S d d d d d d nd d d d d d n d ---=+=++++++++=++++++++

2123(1)[(1)2(1)3(1)(1)](2)n n d S d d d d n d +=++++++++

（2）-（1）2

221(1(1))

[(1)()(1)1(1)n n n

n d dS d d n d d d n d d d ?-+==-++=+-+-+

1(1)(1)n n S dn d ∴=+-+

27．（天津理20）

已知数列{}n a 与{}n b 满足：112

3(1)0,2n

n n n n n n b a a b a b ++++-++==， *

n ∈N ，且

122,4a a ==．

（Ⅰ）求

345,,a a a 的值；

（Ⅱ）设*

2121,n n n c a a n N -+=+∈，证明：{}n c 是等比数列；

（III ）设*

242,,k k S a a a k N =++???+∈证明：4*

17()6n

k k k S n N a =<∈∑．

本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综

合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分14分.

（I ）解：由*3(1),,

n b n N +-=∈ 可得

1,n n b ?=?

?为奇数

2,n 为偶数又

1120,n n n n n b a a b a +++++=

123123234434543;5;4.

=-=-=当n=1时,a +a +2a =0,由a =2,a =4,可得a 当n=2时,2a +a +a =0,可得a 当n=3时,a +a +2a =0,可得a

（II ）证明：对任意

,n N ∈ 2122120,n n n a a a -+++= ① 2212220,n n n a a a ++++=

②

21222320,n n n a a a +++++= ③

②—③，得

223.n n a a += ④

将④代入①，可得

21232121()n n n n a a a a ++-++=-+

即

1()n n c c n N +=-∈ 又

1131,0,n c a a =+=-≠故c

因此1

1,{}n n n c c c +=-所以是等比数列.

（III ）证明：由（II ）可得2121(1)k

k k a a -++=-，于是，对任意*

2k N k ∈≥且，有

133********,()1,1,(1)() 1.

k k k a a a a a a a a --+=--+=-+=--+=-

将以上各式相加，得121(1)(1),k

k a a k -+-=-- 即

21(1)(1)k k a k +-=-+，此式当k=1时也成立.由④式得

2(1)(3).k k a k +=-+ 从而

22468424()()(),k k k S a a a a a a k -=++++++=-

2124 3.k k k S S a k -=-=+

所以，对任意

,2n N n ∈≥， 44342414114342414()n

k m m m m

k m k m m m m S S S S S a a a a a ---==---=+++∑∑

12221232(

)2222123n

m m m m m

m m m m =+-+=--++++∑ 1

(

)

2(21)(22)(22)n

m m m m m ==++++∑

2253232(21)(22)(23)n

m m m n n ==++

?+++∑

21533(21)(21)(22)(23)n m m m n n =<++

-+++∑

151111113[()()()]3235572121(22)(23)n n n n =+?-+-++-+-+++

1551336221(22)(23)7.6n n n =+-?+

+++<

对于n=1，不等式显然成立.

所以，对任意

,n N ∈

21212

12212n n n n S S S S a a a a --++++ 321212

41234212(

)()()n n n n S S S S S S a a a a a a --=++++++

22211121(1)(1)(1)41244(41)4(41)n n

n =--+--++----- 22211121()()()

41244(41)44(41)n n n n n =-+-+--+-- 111().

4123n n ≤-+=-

28．（浙江理19）已知公差不为0的等差数列

{}n a 的首项1a 为a （a R ∈）,设数列的前n

项和为n S ，且11a ，21a ，41a 成等比数列

（1）求数列

{}n a 的通项公式及n S

（2）记1231111...n n A S S S S =++++，212221111...n n

B a a a a =++++，当2n ≥时，试比较n

A 与

n B 的大小．

本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想。

满分14分。

（I ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由22

14111(

a a a =?

得

111()(3)a d a a d +=+ 因为0d ≠，所以d a =所以

1(1)

,.2n n an n a na S +==

（II ）解：因为1211

()1n S a n n =-+，所以

123111121(1)1n n A S S S S a n =

++++=-+

因为

1122n n a a

--=，所以

21122211()11111212(1).212n n

n n

B a a a a a a --=++++=?=--

当

0122,21n n

n n n n n C C C C n ≥=++++>+ 时，即

11,12n n -

<-+

所以，当0,;n n a A B ><时

当

0,.n n a A B <>时

29．（重庆理21）

设实数数列}{n a 的前n 项和n S ，满足

)(*

11N n S a S n n n ∈=++ （I ）若

122,2a S a -成等比数列，求2S 和3a ；

（II ）求证：对14

303k k k a a +≥≤≤≤

有

（I ）解：由题意22

21222221122,2,S a a S S S a S a a ?=-=-?

==?得，

由S2是等比中项知220. 2.S S ≠=-因此

由

23332S a S a S +==解得

23222

.1213S a S -=

==---

（II ）证法一：由题设条件有

11,n n n n S a a S +++=

故

11111,1,,11n n n n n n n n S a

S a a S S a ++++≠≠=

=--且

从而对3k ≥有

11211

2111211111.

111

1k k k k k k k k k k k k k k k k a a S a S a a a a S a S a a a a ---------------+

+-====-+--++-- ①

因222

1111131()0024k k k k a a a a -----+=-+>≥且，由①得0k

a ≥ 要证43k a ≤，由①只要证2

114,31k k k a a a ---≤-+ 即证

222

111134(1),(2)0.k k k k a a a a ----≤-+-≥即此式明显成立.

因此

(3).3k a k ≤

≥

最后证

1.k k a a +≤若不然

2,1k

k k k k a a a a a +=>-+

又因22

0,1,(1)0.1k

k k k k a a a a a ≥>-<-+故

即矛盾.

因此

1(3).k k a a k +≤≥

证法二：由题设知

111n n n n n S S a a S +++=+=，

故方程

1110n n n n x S x S S a +++-+=有根和（可能相同）.

因此判别式

1140.n n S S ++?=-≥ 又由

212212121.1n n n n n n n n n a S S a a S a S a +++++++++=+=≠=

-得且

因此222

2222

2240,3401(1)n n n n n n a a a a a a ++++++-≥-≤--即，

解得

3n a +≤≤ 因此

40(3).

k a k ≤≤

≥

天津市近五年高考数学真题分类汇总

天津市近五年高考数学试题分类汇总 [2011 ?天津卷]i是虚数单位，复数1 3i 1 i = C. 1 2i A. 2 i B. 2 i 【答案】A. 1 3i 【解析】'3i(1 3i)(1 i) 42i2 i. 1 i(1 i)(1 i)2 【2010】(1) i是虚数单位，复数 1 3i( 1 2i (A)1 + i(B)5+ 5i (C)-5-5i(D)-1 —i 5i 【2009,1】i是虚数单位，5=( ) 2 i (A) 1+2i(B) -1-2i(C) 1-2i 选择题1:—复数【考点定位】本小题考查复数的运算，基础题。) D. 1 2i (D) -1+2i 解析：旦5^ 2 i 5 1 2i，故选择D o 【2008 】 1. ?3 i是虚数单位i i 1() i是虚数单位，i1 (A) 1 (B) 1(C) i(D) i A 【2007】 2i3 1.i是虚数单位，——() 1 i A.1i B.1 i C.1 【答案】 C 【分析】2i32i3(1 i)2i(1 i)i 1，故选C 1i (1 i)(1 i)2 D. 1 i 2 (1)i 3 1,i 4 i,i1 复数运算技巧： 4n i 1,i 4n 1 4n 2 i,i 4n 3 hi n n 1n 2n 3 ■ i■ i■ i■ i0 复数概念、复数运算、共轭复数、复数几何意义。 (2)(1 i)2 2i

i i A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 .1 i i,r _ i ⑷设 -1+凋 3 2 1, — 2 3 , 0 2 , 选择题 2: 充要条件与命题 [2011 ? 天津卷］设x,y R,则 2 2 “x 2 且 y 2 ”是“ x y 4 的充分而不必要条件 A . B .必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D .即不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当x 2且y 2时，「疋有x y 4 ；反过来当【2010】(3)命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是 (A) 若f(x)是偶函数，则f(-x)是偶函数 (B) 若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数 (C) 若f(-x)是奇函数，贝U f(x)是奇函数 (D) 若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 B 【2009】(3)命题“存在x 0 R , 2x0 0”的否定是 (A )不存在 x 0 R, 2x0 >0 (B )存在 X 。R, 2x0 0 (C )对任意的x R, 2x 0 (D )对任意的x R, 2x >0 【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题。解析：由题否定即“不存在 x 0 R ，使2x0 0”，故选择D o 【2007 】3." —"是"ta n 2cos — "的 3 2 x 2 y 2 4，不一定有x 2且y 2，例如x 4, y 0也可以，故选A 【2008】(4)设 a,b 是两条直线, 是两个平面，则a b 的一个充分条件是 C (A) a , b 〃， (C) a ,b , // (B) a ,b , // (D) a ,b 〃 ,

三年高考(2016-2018)数学(理)真题分类解析：专题14-与数列相关的综合问题

专题14 与数列相关的综合问题考纲解读明方向分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 2018年高考全景展示 1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且．若，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 详解：令则，令得，所以当时，，当时，，因此，若公比，则，不合题意；若公比，则

但，即，不合题意；因此，，选B. 点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 2．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________．【答案】27 【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）. 3．【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.

（I）求和的通项公式；（II）设数列的前n项和为，（i）求；（ii）证明. 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（II）（i）由（I），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为（II）（i）由（I），有，故 . （ii）因为，所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

高考数学数列题型专题汇总

高考数学数列题型专题汇总公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

高考数学数列题型专题汇总一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列条件中，使得()*∈q a （B ）6.07.0,01-<<-q a （D ）7.08.0,01-<<-

A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5= . 【答案】1 121

2015高考数学分类汇编数列

专题六数列 1.【2015高考重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 【答案】B 【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=?-=，选B . 【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式及等差数列的性质. 【名师点晴】本题可以直接利用等差数列的通项公式求解，也可应用等差数列的性质求解，主要考查学生灵活应用基础知识的能力.是基础题. 2.【2015高考福建，理8】若,a b 是函数()()2 0,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】D 【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ?=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ?==，．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，，解得1a =，4b =；当 4 a 是等差中项时，，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ．【考点定位】等差中项和等比中项．【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等差数列或等比数列，项及项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进行讨论，属于难题． 3.【2015高考北京，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +< C ．若120a a <<，则2a > D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C

全国各地高考数学试题数列分类大全

全国各地高考数学试题数列分类大全 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 1．（2018全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若3243S S S =+，12a =，则 =5a （） A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 答案：B 解答： 1111113243 3(3)249967320 22 a d a d a d a d a d a d ??+?=+++??+=+?+=6203d d ?+=?=-，∴51424(3)10a a d =+=+?-=-. 2.（2018北京理）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________．【答案】63n a n =- 【解析】13a =，33436d d ∴+++=，6d ∴=，()36163n a n n ∴=+-=-． 3．（2017全国新课标Ⅰ理）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 【答案】C 【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=， 61165 6615482S a d a d ?=+=+=，联立11 2724,61548a d a d +=?? +=?解得4d =，故选C. 秒杀解析：因为166346() 3()482 a a S a a +==+=，即3416a a +=，则 4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，故选C. 4.（2017全国新课标Ⅱ理）我国古代数学名着《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏【答案】B 5.（2017全国新课标Ⅲ理）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{} n a

2018年高考数学试题分类汇编数列

2018试题分类汇编---------数列一、填空题 1.（北京理4改）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为__________． 1.1272f 2.（北京理9）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________． 2．63n a n =- 3.（全国卷I 理4改）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a __________． 3.10- 4.（浙江10改）．已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则13,a a 的大小关系是_____________，24,a a 的大小关系是_____________． 4.1324,a a a a >< 5.（江苏14）．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________． 5．27 二、解答题 6.（北京文15）设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求12e e e n a a a +++. 6．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵235ln 2a a +=，∴1235ln 2a d +=，又1ln 2a =，∴ln 2d =.∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=. （2）由（I ）知ln 2n a n =，∵ln2ln2e e e =2n n a n n ==， ∴{e }n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.∴2 12ln2ln2ln2e e e e e e n n a a a ++ +=++ + 2=222n +++1=22n +-.∴12e e e n a a a +++1=22n +-. 7.(全国卷I 文17)已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n n a b n = ．（1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式． 7．解：（1）由条件可得a n +1=2(1) n n a n +．将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4．将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12．从而b 1=1，b 2=2，b 3=4．（2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得121n n a a n n +=+，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．（3）由（2）可得12n n a n -=，所以a n =n ·2n -1． 8.（全国卷II 理17）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值． 8. 解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-.由17a =-得d =2.所以{}n a 的通项公式为 29n a n =-.（2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--，所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为?16.

年高考数学试题知识分类大全数列

年高考数学试题知识分类大全数列 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.

2007年高考数学试题汇编数列重庆文1 在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 5＝64，，则公比q 为（ A ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 重庆理1 若等差数列{n a }的前三项和93=S 且11=a ，则2a 等于（ A ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 安徽文3 等差数列{}n a 的前n 项和为x S 若＝则432,3,1S a a ==（ B ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．6 辽宁文5 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ B ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 福建文2 等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ?等于（ C ）Ａ．4 Ｂ．8 Ｃ．16 Ｄ．32 福建理2 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1 (1) n a n n = +，则5S 等于（ B ） A ．1 B ．56 C ．16 D ．1 30

广东理5 已知数列{n a }的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k =（ B ） A ．9 B ．8 C. 7 D ．6 湖北理5 已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则111 lim 111p q n n n ∞ ??+- ??? =??+- ??? →（ C ） A ．0 B ．1 C ． p q D ．11p q -- 湖南文4 在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，41 8 a =，则该数列的前10项和为（ B ） A ．4122- B ．2122- C ．10122- D ．11122 - 湖北理8 已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且 7453 n n A n B n +=+，则使得 n n a b 为整数的正整数n 的个数是（ D ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 湖南理10 设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈、，，，，），都有

历年高考数学真题(全国卷整理版)

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试一、选择题 1、复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. m }， B ＝{1， m} ,A U B ＝A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中， AB=2， CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ， a 5=5， S 5=15，则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中， AB 边的高为CD ，若 a·b=0， |a|=1， |b|=2，则 (A) （B ） (C) (D)

历届高考数学压轴题汇总及答案

历届高考数学压轴题汇总及答案一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分）已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合 {}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3 a d π ==，求集合S ；（2）若12 a π = ，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分) 已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34 a =-时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)对任意21[ ,)e x ∈+∞均有()2f x a ≤ 求a 的取值范围. 注： 2.71828e =为自然对数的底数.

设2 *012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=+++ +∈N .已知2 3242a a a =. （1）求n 的值；（2）设(1n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值. 四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。 (1)设{}n a 是首项为1，公比为1 2 的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由； (2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ； (3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在 2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围．

2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列

2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列（综合题） 1.（2019?江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }()* n N ∈满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为 “M－数列”；（2）已知数列{b n }满足: 111221,n n n b S b b +==- ，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式； ②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }()* n N ∈ ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值．【答案】（1）解：设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0. 由，得，解得．因此数列为“M—数列”. （2）解：①因为，所以．由得，则 . 由，得，当时，由，得，整理得．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n . ②由①知，b k =k ， . 因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1 ，所以，其中k =1，2，3，…，m .

当k=1时，有q≥1；当k=2，3，…，m时，有．设f（x）= ，则．令，得x=e.列表如下： x e(e，+∞) +0– f（x）极大值因为，所以．取，当k=1，2，3，4，5时，，即，经检验知也成立．因此所求m的最大值不小于5．若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关系的确定【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数列”的定义证出数列{a n}为“M－数列”。（2）①利用与的关系式结合已知条件得出数列为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列的通项公式。②由①知，b k=k， .因为数列{c n}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0，因为c k≤b k≤c k+1，所以，其中k=1，2，3，…，m ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最值，从而求出m的最大值。

三年高考(2017-2019)理科数学高考真题分类汇总：函数的综合及其应用

函数的综合及其应用一、选择题 1．（2017天津）已知函数23,1, ()2 , 1.x x x f x x x x ?-+? =?+>? ? ≤设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．47[,2]16 - B ．4739 [,]1616- C ．[- D ．39 []16 - A 【解析】解法一根据题意，作出()f x 的大致图象，如图所示当1x ≤时，若要()| |2x f x a +≥恒成立，结合图象，只需2 3()2 x x x a -+-+≥，即2302x x a -++≥，故对于方程2302x x a -++=，21 ()4(3)02a ?=--+≤，解得 4716a -≥；当1x >时，若要()||2x f x a +≥恒成立，结合图象，只需22 x x a x ++≥，即22x a x +≥，又222x x +≥，当且仅当2 2x x =，即2x =时等号成立，所以2a ≤，综上，a 的取值范围是47 [,2]16 - ．选A ．解法二由题意()f x 的最小值为114，此时12 x =．不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立等价于11 | |24 x a +≤在R 上恒成立．当a =-1 2 x = ，11|| |28x -=>，不符合，排除C 、D ；当3916a = 时，令12x =，394311 ||||216168 x +=>，不符合，排除B ．选A ．二、填空题 x

1．（2017山东）若函数e ()x f x (e=2．71828L ，是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是． ①()2 x f x -= ②2 ()f x x = ③()3 x f x -= ④()cos f x x = ①④【解析】①()2()2 x x x x e e f x e -=?=在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()3()3 x x x x e e f x e -=?=在R 上单调递减，故()3x f x -=不具有M 性质； ③3 ()x x e f x e x =?，令3 ()x g x e x =?，则3 2 2()3(2)x x x g x e x e x x e x '=?+?=+， ∴当2x >-时，()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<， ∴3()x x e f x e x =?在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，故()3 f x x =不具有M 性质； ④2 ()(2)x x e f x e x =+，令()() 22x g x e x =+，则22 ()(2)2[(1)1]0x x x g x e x e x e x '=++?=++>， ∴2()(2)x x e f x e x =+在R 上单调递增，故2()2f x x =+具有M 性质． 2．（2017江苏）设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,(),x x D f x x x D ?∈=? ??其中集合1 {|,}n D x x n n -==∈*N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是． 8【解析】由于，则需考虑的情况，在此范围内，且时，设，且互质，若，则由，可设，且,m n 互质，因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此， ()[0,1)f x ∈110x ≤

2008年高考数学试题分类汇编(数列)

2008年高考数学试题分类汇编数列一．选择题： 1.（全国一5）已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ C ） A ．138 B ．135 C ．95 D ．23 2.（上海卷14）若数列{a n }是首项为1，公比为a －3 2的无穷等比数列，且{a n }各项的和为a ，则a 的值是（B ） A ．1 B ．2 C ．12 D ．5 4 3.（北京卷6）已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么 10a 等于（ C ） A ．165- B ．33- C ．30- D ．21- 4.（四川卷7）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是(D ) （Ａ）(],1-∞- （Ｂ）()(),01,-∞+∞ （Ｃ）[)3,+∞ （Ｄ）(][),13,-∞-+∞ 5.（天津卷4）若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =B （A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15 6.（江西卷5）在数列{}n a 中，12a =， 11 ln(1)n n a a n +=++，则n a = A A ．2ln n + B ．2(1)ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++ 7.（陕西卷4）已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ B ） A ．64 B ．100 C ．110 D ．120 8.（福建卷3)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为C A.63 B.64 C.127 D.128

高考数学真题汇编数列理(解析版)

2012高考真题分类汇编：数列一、选择题 1.【2012高考真题重庆理1】在等差数列}{n a 中，12=a ，54=a 则}{n a 的前5项和5S = A.7 B.15 C.20 D.25 【答案】B 【解析】因为12=a ，54=a ，所以64251=+=+a a a a ，所以数列的前5项和1562 52)(52)(542515=?=+=+=a a a a S ,选B. 2.【2012高考真题浙江理7】设n S 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列﹛a n ﹜的前n 项和，则下列命题错误的是 A.若d ＜0，则数列﹛S n ﹜有最大项 B.若数列﹛S n ﹜有最大项，则d ＜0 C.若数列﹛S n ﹜是递增数列，则对任意*N n ∈，均有0>n S D. 若对任意*N n ∈，均有0>n S ，则数列﹛S n ﹜是递增数列【答案】C 【解析】选项C 显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n }是递增数列，但是S n ＞0不成立．故选C 。 3.【2012高考真题新课标理5】已知{} n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（） ()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7 【答案】D 【解析】因为}{n a 为等比数列，所以87465-==a a a a ，又274=+a a ，所以2474-==a a ，或4274=-=a a ，.若2474-==a a ，，解得18101=-=a a ，，7101-=+a a ；若4274=-=a a ，，解得18110=-=a a ，，仍有7101-=+a a ，综上选 D. 4.【2012高考真题上海理18】设25 sin 1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在

2015-2019全国卷高考数学分类汇编-数列

2014年1卷 17.(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数. (Ⅰ)证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由. 2014年2卷 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. （Ⅰ）证明{} 12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112 n a a a ++<…+. 2015年1卷 (17)(本小题满分12分) S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0， (Ⅰ)求{a n }的通项公式： (Ⅱ)设，求数列}的前n 项和 2015年2卷（4）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，a 1+ a 3+ a 5=21，则a 3+ a 5+ a 7 = （A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84 （16）设S n 是数列{a n }的前项和，且111 1,n n n a a s s ++=-=，则S n =___________________． 2016年1卷（3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （）（A ）100（B ）99（C ）98（D ）97 （15）设等比数列满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为。 2016-2 17.（本小题满分12分）

n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，. （I ）求111101b b b ，，；（II ）求数列{}n b 的前1 000项和. 2016-3 （12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,, ,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有（）（A ）18个（B ）16个（C ）14个（D ）12个（17）（本小题满分12分）已知数列的前n 项和1n n S a λ=+，其中λ0. （I ）证明是等比数列，并求其通项公式（II ）若53132 S = ，求λ 2017-1 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22 ，依此类推.求满足如下条件的学最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440 B ．330 C ．220 D ．110 2017-2 3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 15.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11n k k S ==∑ ．

2017年高考数学试题分类汇编之数列(精校版)

2017年高考试题分类汇编之数列一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. (2017年新课标Ⅰ) 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则 {}n a 的公差为（）1.A 2.B 4.C 8.D 2.( 2017年新课标Ⅱ卷理) 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） 1.A 盏 3.B 盏 5.C 盏 9.D 盏 3.(2017年新课标Ⅲ卷理) 等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若632,,a a a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（） 2 4.-A 3.-B 3.C 8.D 4. (2017年浙江卷) 已知等差数列}{n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0>d ”是 “5642S S S >+”的（） .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 5.(2017年新课标Ⅰ) 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列?,16,8,4,2,1,8,4,2,1,4,2,1,2,1,1其中第一项是0 2，接下来的两项是1 2,2，再接下来的三项是2 1 2,2,2，依此类推.求满足如下条件的最小整数 100:>N N 且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（） 440.A 330.B 220.C 110.D 二、填空题（将正确的答案填在题中横线上） 6. (2017年北京卷理) 若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足8,14411==-==b a b a ， 2 2 a b =_______. 7.(2017年江苏卷)等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，则=_______________． {}n a n n S 36763 44 S S ==,8a

关于历年成人高考数学真题分类汇总文

2011-15成考数学真题题型分类汇总（文）一、集合与简易逻辑 (2011) 已知集合A={1,2,3,4}, B={x|—1- B {}1x x > D {}12x x ≤≤ （2014）若,,a b c 设甲：2 40b ac -≥ 乙：20ax bx c ++=有实数根。则（） A 甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件 B 甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 C 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 D 甲是乙的充分必要条件 (2015)设集合M={2，5，8}，N={6，8}，则M U N= (A){8} (B){6} (C){2，5，6，8} (D){2，5，6} (2015)设甲：函数Y=kx+b 的图像过点(1，1)，乙：k+b=1，则 (A)甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件 (B)甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件 (C)甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 (D)甲是乙的充分必要条件

2011年高考数学分类汇编10——数列

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三年高考(2016-2018)数学(理)真题分类解析：专题14-与数列相关的综合问题

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