上海高中数学专题讲座：函数的奇偶性、单调性及其应用(练习部分)2018.09.12 (1)

函数的奇偶性、单调性及其应用（练习部分）

教研组： 2018.09.12

函数的奇偶性：

1．若函数()()()2f x x a bx a =++（常数,a b R ∈）是偶函数，且它的值域为(],4-∞，则该函数的解析式()f x = ． 2．判断函数的奇偶性：(

)(

12

log f x x =是 函数，

()()11

x x x a g x a -=

+()0a >是 函数．

3．如果函数()23,

0,,

x x y f x x ->??=?

4．写出函数()f x 的一个解析式，使()f x 同时具有下述各性质：①是定义在R 上的偶函数；②最小正周期为6的周期函数；③其图像经过定点()3,2-，则()f x = ． 5．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图像关于直线1

2

x =

对称，则()()()()()12345f f f f f ++++= ．

6．设函数()f x 是定义在R 上的以5为周期的奇函数，若()21f >，()23

33

a a f a ++=-，则a 的取值范

围是（ ） A 、()(),20,3-∞- B 、()()2,03,-+∞

C 、()

(),20,-∞-+∞

D 、()

(),03,-∞+∞

7．已知函数(

)13

log )12

a x

f x x a =++-(0,1a a >≠)，如果()3lo

g 5f b =（0,1b b >≠），那么13

log f b ?? ??

?

的值是（ ）

A ．3-

B ．3

C ．5

D ． 2-

8．设a 为实常数,()y f x =是定义在R 上的奇函数,当0x <时,2

()97a f x x x

=++,若()1f x a ≥+对一切．．

0x ≥成立,则a 的取值范围为___________.

9．设a R ∈，()()22

21

x x

a a f x x R ?+-=∈+． （1）确定a 的值，使()f x 为奇函数；

（2）当()f x 为奇函数时，对于给定的正实数k ，解关于x 的不等式()1

2

1log x

f x k

-+>． 10．设函数x x g 3)(=，x x h 9)(=.

（1）解方程：)9)((log )8)(2(log 33+=-+x h x g x ； （2）令3

)()()(+=

x g x g x p ，3

)(3

)(+=

x h x q ，求证：

)2014

2013()20142012()20142()20141()20142013()20142012()20142()20141(

q q q q p p p p ++++=++++ （3）若b

x g a

x g x f +++=

)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>?-+-x g k f x h f 对任意

实数x 恒成立，求实数k 的取值范围.

提高题型

1．设函数f(x)＝2 013x ＋

1＋2 0122 013x

＋1

＋2 014sin x ????x ∈????－π2，π2的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝________．

2．差数列{}n a 前n 项和为n S ,已知310061006(1)2013(1)1,a a -+-=310081008(1)2013(1)1,a a -+-=-则（ ） A ．2013100810062013,S a a => B ．2013100810062013,S a a =< C ．2013100810062013,S a a =->

D ．201310081006

2013,S a a =-<

3．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且()f x 在[-3，-2]上单调递减，,αβ是锐角三角形的两内角，那么 （ ）

A ． (s i n )(s i n f f α

β> B. (cos )(cos )f f αβ< C. (sin )(cos )f f αβ> D. (sin )(cos )f f αβ<

4．若函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，在(),0-∞上都是减函数，且

(2)(2)0f g ==，则使得()()0f x g x <的x 的取值范围是__________________.

5．设(),P x y

是函数()y f x =的图象上一点，向量()

()5

1,2x =-a ，()1,2y x =-b ，且//a b .数列{}n

a

是公差不为0的等差数列，且()()()12936f a f a f a ++???+=，则129a a a ++???+=________．

6．对于函数()f x ，若存在实数0x ，使()00f x x =成立，则称0x 为函数的不动点． （1）已知函数()()()()2

110f x ax b x b a =+++-≠．

①若对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围；

②在①的条件下，若()y f x =的图像上A B 、两点的横坐标都是函数()f x 的不动点，且A B 、两点关于直线2121

y kx a =+

+对称，求实数b 的最小值；

（2）命题“若定义在实数集R 上的奇函数()g x 存在有限个相异的不动点，则不动点的个数是奇数个”是否正确？若正确则加以证明，若不正确请举一反例加以说明．

2．212

()log (3)f x x mx m =-+在(2,)+∞上是减函数，则实数m 的取值范围是 ．

3．已知函数1

()f x ax x

=+

在[)1,x ∈+∞上是单调函数，则实数a 的取值范围是 ． 4．设函数()log a f x x =在(,0)-∞上单调递增，则(1)f a +与(2)f 的大小关系是 ． 5．已知奇函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，且(2)0f =，则不等式(1)(1)0x f x -->的解集为 ．

6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，并且在[0,)+∞上是增函数，且(3)0f =，那么满足不等式

()0f x ≥的x 的取值范围是 ．

7．函数2

||y x x =+的单调递减区间是 ．

8．已知函数22

40()40

x x x f x x x x ?+≥=?-，则实数a 的取值范围是 ． 9．已知函数()21(0)x

f x a a =?+≠，定义函数(),0,

()(),0.

f x x F x f x x >?=?

-

①()()F x f x =；②函数()F x 是奇函数；③当0a <时，若0mn <，0m n +>，总有()()0F m F n +<成立，其中所有正确命题的序号是 ．

10．已知定义域为R 的函数()x f 在区间()+∞,8上为减函数，且函数()8+=x f y 为偶函数，则（ ）． A ．()()76f f > B ． ()()96f f > C ．()()97f f > D ．()()107f f >

11．在R 上定义的函数()f x 是奇函数，且(4)()f x f x +=，若()f x 在区间(1,2)是减函数，则函数()f x （ ）．

A ．在区间(2,1)--上是增函数，区间(3,4)上是增函数

B ．在区间(2,1)--上是减函数，区间(3,4)上是增函数

C ．在区间(2,1)--上是增函数，区间(3,4)上是减函数

D ．在区间(2,1)--上是减函数，区间(3,4)上是减函数

12．对于函数①()f x =，②2

()(2)f x x =-，③()sin(2)f x x =+．

命题甲：(2)f x +是偶函数；命题乙：()f x 在(,2)-∞上是减函数，在(2,)+∞上是增函数； 命题丙：(2)()f x f x +-在(,)-∞+∞上是增函数．

能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（ ）．

A ．①③

B ．①②

C ．③

D ．②

13．若()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则下列结论：①|()|y f x = 是偶函数；②对任意的x ∈R 都有()|()|0f x f x -+=；③()y f x =-在(,0]-∞上单调递增 ④()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增．其中正确结论的个数为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

14．设定义在[2,2]-上的函数()f x 是偶函数，且在区间[0,2]上单调递减，求不等式(1)()f m f m -<的解集．

15．设()f x 是定义在+

R 上的递增函数，且对任意实数,x y +∈R ，总有()()()f xy f x f y =+．

（1）求证：()()()x f f x f y y

=-；

（2）若(3)1,()(1)2f f a f a =>-+，求实数a 的取值范围．

16．已知函数2

()()x f x a x a

=

∈+R ， （1）判断()f x 的奇偶性，并说明理由；

（2）当1a =-时，讨论函数()f x 在区间(1,)+∞上的单调性． 17．已知()1

22+-=

x m x x f 定义在实数集R 上的函数，把方程x x f 1

)(=称为函数)(x f 的特征方程，特征方

程的两个实根βα,（βα<）称为)(x f 的特征根． （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）求()()f f αββα+的值；

（3）判断函数()[]βα,,∈=x x f y 的单调性，并证明．

18．已知：函数()n f x （*n ∈N ）的定义域为()

(),00,-∞+∞，其中11

()1f x x x =++，并且当1n >且

*n ∈N 时，满足11()()n n n n f x f x x x

--=+

． （1）求函数()n f x （*n ∈N ）的解析式；

（2）当1,2,3n =时，分别研究函数()n f x 的单调性与值域；

（3）借助（2）的研究过程或研究结论，提出一个类似（2）的研究问题，并写出问题的研究过程与研究结论．

提高练习

1．已知,αβ为一个锐角三角形的两个内角，()cos cos ()sin sin x

x

f x x R αββα????

=+∈

? ???

??（ ）

A ．()f x 在定义域上是增函数

B ．()f x 在定义域上是减函数

C ．()f x 在[)0,+∞上是增函数，在(],0-∞上是减函数

D ．()f x 在[)0,+∞上是减函数，在(],0-∞上是增函数 2．已知4sin 2

tan

)(+-=x b x

a x f (其中a 、

b 为常数且0≠ab )，如果5)3(=f ，则)32004(-πf 的值为______________。

3．设0,1a a >≠且,函数1

()log 1

a

x f x x -=+在(1,)+∞单调递减,则()f x （ ） A ．在(,1)-∞-上单调递减,在(1,1)-上单调递增 B ．在(,1)-∞-上单调递增,在(1,1)-上单调递减 C ．在(,1)-∞-上单调递增,在(1,1)-上单调递增

D ．在(,1)-∞-上单调递减,在(1,1)-上单调递减

4．设

x 都有f(1－x)＋f(1＋x)＝0恒成立．如果实数m 、n 满足

m 2＋n 2的取值范围是________． 51>）.

（1）判断函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由； （2）判断

n

m n f m f ++)

()(（其中R n m ∈,且0≠+n m ）的正负号，并说明理由；

（3）若两个函数)(x F 与)(x G 在闭区间],[q p 上恒满足2)()(>-x G x F ，则称函数)(x F 与)(x G 在闭区间

],[q p 上是分离的.试判断)(x f y =的反函数)(1

x f

y -=与x a x g =)(在闭区间]2,1[上是否分离？若分离，求

出实数a 的取值范围；若不分离，请说明理由.

6．定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界．

已知函数()11124x x

f x a ????

=+?+ ? ?????

；()1212x x m g x m -?=+?．

（1）当1a =时，求函数()f x 在()0-∞，上的值域，并判断函数()f x 在()0-∞，上是否为有界函数，请说明理由．

（2）若函数()f x 在[)0+∞，上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围． （3）若0m >，函数()g x 在[0，1]上的上界是()T m ，求()T m 的取值范围．