圆锥曲线 点差法专题

圆锥曲线 点差法专题

【学习目标】 圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。 使用说明及学法指导】

1、通过证明定理，熟悉“点差法”的运用；

2、记住点差法推导出的公式，并熟练应用；

若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(1

1

y x A 、),(2

2

y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 一、自主证明

1、定理 在椭圆122

2

2=+b y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于

M 、N 两点，点),(0

y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN

k ，

则

2

2

00a b x y k MN -=?.

同理可证，在椭圆122

22=+a y b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于

M 、

N 两点，点)

,(0

y

x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN

k ，

则

2

2

00b a x y k MN -=?.

2、定理

在双曲线122

2

2=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相

交于M 、N 两点，点

)

,(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN

所在的直线l 的斜率为MN k ，则

2

2

00a b x y k MN =?.

同理可证，在双曲线122

22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相

交于M 、N 两点，点),(0

y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜

率为MN k ，则

2

2

00b a x y k MN =?.

3、定理 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于

M 、N 两点，点),(0

y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN

k ，则m

y k MN

=?0

.

例 1

设椭圆方程为1

422

=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点

A 、

B ，O

为坐标原点，点P

满足)

(21

+=，点

N

的坐标为?

??

??21,21.当l 绕点

M

旋转时，求：

（1）动点P 的轨迹方程； （2）||NP 的最大值和最小值.

例2 已知双曲线1

3:2

2

=-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线

C 于A 、B 两

点.

（1）求弦AB 的中点M 的轨迹；

（2）若P 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程.

例3 抛物线

x y 42=的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（

）

A. 12

-=x y

B. )1(22

-=x y

C. 212-

=x y

D.

122-=x y

1. 已知椭圆422

2

=+y

x ，则以)1,1(为中点的弦的长度为（ ）

A. 23

B. 32

C. 3

30 D. 2

63 2. 已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 的中点的横坐标为

32

-

，则此双曲线的方程为（

）

A.1432

2=-y x

B. 1342

2=-y x

C. 1252

2=-y x

D.

1522

2=-y x

3. 已知直线02=--y x 与抛物线x y 42

=交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是________. 【规律总结】

同理可证，在抛物线)0(22

≠=m my x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(0

y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN

k ，则

m

x k MN

=?01.

一、 以定点为中点的弦所在直线的方程

例1、过椭圆14

162

2

=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条

弦所在直线的方程。

例2、已知双曲线12

2

2

=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲

线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。

二、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹 例3、已知椭圆125

752

2

=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2

1=x 的交点恰为

这条弦的中点M ，求点M 的坐标。

例4、已知椭圆125

752

2

=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。

)2

3

5235(0<<-

=+x y x 三、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程

例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的

弦的中点的横坐标为2

1，求椭圆的方程。

四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题

例6、已知椭圆13

42

2=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，

椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。

答 案

例1. 解：设直线与椭圆的交点为),(1

1

y x A 、),(2

2

y x B

)1,2(M 为AB 的中点 ∴42

1

=+x x 22

1

=+y y

又A 、B 两点在椭圆上，则1642

1

2

1

=+y x ，1642

2

2

2

=+y x 两式相减得0)(4)(2

2

2

1

2

2

2

1

=-+-y y x x 于是0))((4))((2

1212121=-++-+y y y y x x x x ∴

2

1

244)

(4212

12

121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21

-

=AB

k

，故所求直线的方程为)2(2

11--=-x y ，即042=-+y x 。 例2. 解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(1

1

y x A 、),(2

2

y x B 则22

1

=+x x ，22

1

=+y y

12212

1=-y x ，12

2

22

2=-y x

两式相减，得

0))((2

1

))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22121

=--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB

由??

???=--=-12)

1(212

2y

x x y 消去y ，得03422

=+-x x

∴ 08324)4(2<-=??--=?

这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。

评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2）若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。

例3. 解：设弦端点),(1

1

y x P 、),(2

2

y x Q ，弦PQ 的中点),(0

y x M ，则2

10

=x

12021==+x x x ， 0212y y y =+

又

125752

121=+x

y ，125

752

22

2=+x y

两式相减得0))((75))((2521

2

1

2

1

2

1

=-++-+x x x x y y y y 即0)(3)(22

1

2

1

=-+-x x y y y ∴0

2

12

1

23y x x y y -

=-- 32

12

1=--=

x x y y k ∴

3230=-

y ，即2

10-=y ∴点M 的坐标为)2

1

,21(-。

例4. 解：设弦端点),(1

1

y x P 、),(2

2

y x Q ，弦PQ 的中点),(y x M ，则

x x x 221

=+， y y y 22

1=+

又

125752121

=+x

y ，125

752

222=+x y 两式相减得0))((75))((252121

2

1

2

1

=-++-+x x x x y y y y 即0)(3)(2

1

2

1

=-+-x x x y y y ，即y

x x x y

y 3212

1-=-- 32

12

1=--=

x x y y k ∴33=-y

x ，即0=+y x

由????

?=+=+1257502

2x y y x ，得)235,235(-P )235,235(-Q 点M 在椭圆内 ∴它的斜率为

3的弦中点的轨迹方程为

例5.解：设椭圆的方程为12

2

2

2

=+b

x a

y ，则502

2=-b

a ┅┅①

设弦端点),(1

1

y x P 、),(2

2

y x Q ，弦PQ 的中点),(0

y x M ，则 2

10

=x ，2

1

230

0-=-=x y ∴12021==+x x x ，120

21-==+y y y

又

1221

221=+b x a y ，12

2

2222=+b x a y 两式相减得0))(())((2

1

2

1

2

2

1

2

1

2

=-++-+x x x x a y y y y b 即0)()(2

1

2

2

1

2

=-+--x x a y y b

∴ 222

12

1b a

x x y y =

-- ∴ 32

2

=b a ┅┅② 联立①②解得752

=a ，252=b

∴所求椭圆的方程是

125

75

2

2

=+x y 例6.解：设),(1

1

1

y x P ，),(2

2

2

y x P 为椭圆上关于直线m x y +=4的对称两点，)

,(y x P 为弦21P P 的中点，则12432

12

1=+y x ，12432

2

2

2=+y x 两式相减得，0)(4)(32

2

212221=-+-y y x x 即0))((4))((32

1212121=-++-+y y y y x x x x

(完整版)用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题

用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式求解，但运算量较大。若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。下面就如何用点差法计算举几个例子供大家参考。 一、 求以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B Θ )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y Θ又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642 222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴2 1244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2 11--=-x y ，即042=-+y x 。 例2、已知双曲线12 2 2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。 解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B 则221=+x x ，221=+y y 122121=-y x ，122 222=-y x 两式相减，得 0))((21))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22 121 =--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB

圆锥曲线点差法

圆锥曲线--- 点差法 1、椭圆14162 2=+y x 的弦被点)1,2(P 所平分，求此弦所在直线的方程. 2、椭圆22 1369x y +=的一条弦被(4,2)A 平分,那么这条弦所在的直线方程是. 3、已知椭圆1222=+y x ，求过点?? ? ??2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 4、已知直线y =－x +1与椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上，求此椭圆的离心率. 5、已知椭圆C 的方程x y 22 43 1+=，试确定m 的取值范围，使得对于直线4y x m =+，椭圆C 上有不同两点关于该直线对称. 6、在抛物线24y x =上恒有两点关于直线y =kx +3对称，求k 的取值范围. 7、已知P 、Q 是椭圆C ：1242 2=+y x 上的两个动点，)26,1(M 是椭圆上一定点， F 是其左焦点，且|PF |、|MF |、|QF |成等差数列. 求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ； 8、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2 1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。 9、过点M （-2,0）的直线m 与12 22 =+y x 交于21,P P ,线段21P P 的中点为P ,设直线m 的斜率为),0(1 1≠k k 直线OP 的斜率为2k ，则21k k 的值为 10、椭圆122=+by ax 与直线x y -=1交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为 23，b a 的值为

11、过椭圆14 92 2=+y x 内一点M （2,0）引椭圆的动弦AB ，则弦AB 的中点N 的轨迹方程是 12、点P （8,1）平分双曲线4422=-y x 的一条弦，则这条弦所在的直线方程 13、已知椭圆2222=+y x 及椭圆外一点（0,2），过这点任意引直线与椭圆交于点A 、B ，求弦AB 的中点P 的轨迹方程。 14、求k 的取值范围，使抛物线02:2=-+kx y y C )0(≠k 上存在关于直线1:-=x y l 对称的两点。 15、已知直线l 与椭圆164:22=+y x C 交于21,P P ,线段21P P 的中点为P ，设直线 l 的斜率为k )0(≠k ，直线OP 的斜率为 'k 。求证：'kk 是一个定值。 16、已知双曲线12 122=-y x ，过点B(1,1)是否存在直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且B 是线段PQ 的中点，若存在，求直线方程；若不存在，说明理由。 17、在双曲线113 122 2=-x y 的一支上不同三点，A 、B （6,26）、C 与焦点F(0,5)的距离成等差数列，求证：线段AC 的垂直平分线l 经过一定点。

用点差法解圆锥曲线的中点弦问题

用点差法解圆锥曲线的中点弦问题 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 一、 以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B Θ )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y Θ又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642 222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴ 2 1244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2 11--=-x y ，即042=-+y x 。 例2、已知双曲线12 2 2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。 策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。 本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B 则221=+x x ，221=+y y 122121=-y x ，122 222=-y x 两式相减，得 0))((2 1))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22121 =--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB 由?? ???=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x ∴ 08324)4(2<-=??--=? 这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。 评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2）若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。 二、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹 例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2 1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。

用点差法解圆锥曲线问题

用点差法解圆锥曲线的中点弦问题 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 一、 以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆 14 16 2 2 =+ y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线 的方程。 解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y 又A 、B 两点在椭圆上，则1642 12 1=+y x ，1642 22 2=+y x 两式相减得0)(4)(2 2212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴ 2 12 44) (421212 121- =?- =++-=--y y x x x x y y 即2 1- =AB k ，故所求直线的方程为)2(2 11-- =-x y ，即042=-+y x 。 例2、已知双曲线12 2 2 =- y x ， 经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。 策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设 的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B 则221=+x x ，221=+y y 12 2 12 1=- y x ，1 2 2 22 2=- y x

解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型

解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型 总论：常用的八种方法 1、定义法 2、韦达定理法 3、设而不求点差法 4、弦长公式法 5、数形结合法 6、参数法（点参数、K 参数、角参数） 7、代入法中的顺序 8、充分利用曲线系方程法 七种常规题型 （1）中点弦问题 （2）焦点三角形问题 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 （4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题 1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 2．曲线的形状未知-----求轨迹方程 （6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题 常用的八种方法 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、设而不求法 解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 02 20=+k b y a x 。(其中K 是直线AB 的斜率) （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 020 20=-k b y a x (其中K 是直线AB 的斜率) （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. (其中K 是直线AB 的斜率) 4、弦长公式法 弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程y kx b =+代入圆锥曲线方程中，得到型如ax bx c 2 0++=的方程，方程的两根设为x A ，x B ，判别式为△，则||||AB k x x A B =+-=12·| |12a k △ ·+，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。 5、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来

点差法在圆锥曲线的应用

中点弦与点差法在圆锥曲线的应用 【考情分析】 1、高考要求 （1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； （2）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）； （3）了解双曲线的定义、结合图形和标准方程、知道它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）； （4）了解曲线与方程的对应关系； （5）理解数形结合的思想； （6）了解圆锥曲线的简单应用。 从全国卷考试说明，全国卷椭圆和抛物线要求比较高，都是“掌握”和“理解”，而对双曲线要求大大降低，是“了解”；直线与圆锥曲线、曲线与方程的要求都是“了解”。 【复习本专题的意义】 解析几何是高考的重点，也是难点。一轮复习应该在注重知识面广的同时，要根据文科数学的特点加强思想方法的渗透，总结一些源于教材而高于教材的重要结论和解题规律，做到基础扎实、结论熟练、思路清晰、方法准确、讲练得体，并引导学生充分结合考试说明和命题规律，学会整理知识要点、解题方法、解题技巧，分类收集典型考例，深入浅出，自然实现重点突出，难点的突破，在能力提升同时也为二轮复习打下前站，为二轮复习的飞跃打下坚实的基础。 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。涉及到解决圆锥曲线中点弦的问题，常采用“点差法”来求解。“点差法”是利用直线和圆锥曲线的两个交点，把交点代入圆锥曲线的方程，得到两个等式，两式相减，可以得到一个与弦的斜率及中点相关的式子（也称中点和斜率结合公式），再结合已知条件，运用学过的知识使问题得到解决。当题目涉及弦的中点、斜率时，一般都可以用点差法来解。与韦达定理法复杂繁琐的计算相比，点差法可以大大减少运算量，优化解题过程，达到“设而不求”的目的。 本微专题将从求弦的斜率与弦的中点问题、求弦中点轨迹、求弦的中点坐标、弦的垂直平分线问题和求曲线的方程等方面引导学生自主学习、合作探究，使一轮复习备考落实到实处，为2019年高考取胜作充分准备。 【教学内容】 直线与二次曲线相交，特别是直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。 一、求中点弦所在直线方程问题

高中数学解题方法系列：解析几何中的点差法解中点弦问题

高中数学解题方法系列：点差法解圆锥曲线的中点弦问题 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 一、以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、) ,(22y x B )1,2(M 为AB 的中点∴4 21=+x x 221=+y y 又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，16 42222=+y x 两式相减得0 )(4)(2 2212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴2 1244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2 11--=-x y ，即042=-+y x 。例2、已知双曲线12 2 2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。 策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。 本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、) ,(22y x B 则221=+x x ，221=+y y

圆锥曲线中“点差法”的应用

圆锥曲线中“点差法”的应用 丹江口市一中数学组 严高翔 在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为()()1122,,x y x y 、，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率,设而不求，优化运算。本文列举数例，以供参考。 一．以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆 14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y 又A 、B 两点在椭圆上，则 1642121=+y x ，1642222=+y x 两式相减得 0)(4)(2 2212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴2 1 244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21- =AB k ，故所求直线的方程为)2(2 1 1--=-x y ，即042=-+y x 。 例2、已知双曲线12 2 2 =-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。 策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题 设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B 则221=+x x ，221=+y y 12212 1=-y x ，12 2 22 2=-y x 两式相减，得

高中数学圆锥曲线解题技巧总结

高中数学圆锥曲线解题 技巧总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

解圆锥曲线问题的常用方法大全 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020 =-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =现，当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。

高中数学圆锥曲线的解题技巧汇总(精华)

高中数学圆锥曲线的解题技巧汇总 一、常规七大题型： （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入 方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去 四个参数。 如：（1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020 =-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 典型例题 给定双曲线x y 2 2 21-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。 （1）求证离心率β αβαsin sin )sin(++=e ； （2）求|||PF PF 13 23+的最值。 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数 的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直

圆锥曲线专题点差法

圆锥曲线专题：点差法的使用 例1：椭圆C ：13 42 2=+y x 的左顶点为A ，左焦点为F 。过M （-4，0）作直线l 交曲线C 于B 、C 两点（B 在M 、C 之间），N 为BC 的中点。 （1） 证明：ON BC k k ?为定值； （2） 求点N 的轨迹方程； （3） 是否存在直线l ，使得FN ⊥AC （1）134212 1 =+y x ；1342 222=+y x 作差得()()()()03421212121 =+-++-y y y y x x x x ， 所以4 3 21212121-=++?--= ?x x y y x x y y k k ON BC 。 （2）? ??????????+=--=+=+=+=+4221341342 121212 1 22222 121x y x x y y y y y x x x y x y x ()()()()()。 y x x y y x y y y y x x x x 1 34204324203 42221212121=++=+?+=+-++-整理可得代入得作差得 再由中点须在原椭圆内部得点N 的轨迹为：() ()0x 113 4 22 2 ≤<-=+ +y x 。 （3）由F （-1，0），可知0>FN k ，0>AC k ，所以不存在直线l ，使得FN ⊥AC 。 例2：椭圆C ：13 42 2=+ y x 上有两个不同的点A 、B ，已知弦AB 的中点T 在直线1=x 上，试在x 轴上找一点P ，使得BP AP =。 解：()11,y x A 、()22,y x B 、()0,0x P 、()t T ,1。 1342 12 1=+y x ；13 42 22 2=+y x ；221=+x x ；t y y 221=+。

差分法(点差法)在圆锥曲线中的应用

差分法（点差法）在圆锥曲线中的应用 圆锥曲线综合题是每年高考必考的题目，这些题目的解法灵活多变，其中涉及圆锥曲线中点弦的有关问题，用差分法求解，具有构思精巧，简便易行的优点，现举例说明如下： （一）在椭圆中的应用： ()()()()()()()()2222 11 22 221212121212 1212121122 11 11 2 2,,mx ny mx ny mx ny m x x x x n y y y y y y x x y y AB AB x x AB A x y B x y +=+=+=+-++-=-++-??????? ??? 设是椭圆上不重合的两点， 则，， 两式相减得是直线的斜率，，是线段的中点坐标，所以1式可以解决与椭圆弦的斜率及中点有关的问题， 此法称为代点作差法，简称，点差法。 ()221 1625400 x y +=例：求以椭圆内一点P 3，1为中点的弦AB 所在的直线方程。 ()()()()()()11222222 1122 221212121212121212,, A B 1625400 1625400 1625400 25048 6 2A x y B x y x y x y x y x x x x y y y y y y x x y y x x +=?+=??+=??+-++-=-+=+=∴=-- 解：设弦AB 的两个端点的坐标分别为，、两点在椭圆上， 则，两式相减得 16由题知，，()12AB 12, 25 48 : 3, 48251690. 25 y y l x x y x x -∴=--+-=-即 （二）在双曲线中的应用： 在处理有关弦的问题时,也可以应用”点差法”。但特别需要注意的是椭 圆是封闭型曲线，而双曲线是开放型曲线，求解后应检查其存在性，否则容易产生增根。

用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题

用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题 一、求以定点为中点的弦所在直线的方程例 1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。解：设直线与椭圆的交点为、为的中点 又、两点在椭圆上，则，两式相减得于是即，故所求直线的方程为，即。例 2、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。解：设存在被点平分的弦，且、则，，两式相减，得故直线由消去，得这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线。策略：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的位置非常重要。（1）若中点在圆锥曲线内，则被点平分的弦一般存在；（2）若中点在圆锥曲线外，则被点平分的弦可能不存在。 二、求弦的中点坐标和中点轨迹方程例 3、已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点，求点的坐标。解：设弦端点、，弦的中点，则，又，两式相减得即，即点的坐标为。例

4、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。解：设弦端点、，弦的中点，则，又，两式相减得即，即，即由，得点在椭圆内它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为 三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例 5、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。解：设椭圆的方程为，则┅┅①设弦端点、，弦的中点，则，，又，两式相减得即┅┅②联立 ①②解得，所求椭圆的方程是 四、求圆锥曲线上两点关于某直线对称的问题例 6、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。解：设，为椭圆上关于直线的对称两点，为弦的中点，则，两式相减得，即，， 这就是弦中点轨迹方程。它与直线的交点必须在椭圆内联立，得则必须满足，即，解得例 7、已知抛物线C: 和直线为使抛物线上存在关于对称的两点，求的取值范围。解：设抛物线C上存在不同的两点关于直线对称，线段的中点为，则，①，②① －②可得：＝，即由于，所以，故，即，即。又因为在直线上，所以，因为在抛物线开口内，所以，故，所以。即的取值范围是。策略：本题需要根据弦中点位置求的取值范围，如果不考虑位置，可能得出错误的结果。请务必小心。

点差法巧解圆锥曲线

点差法巧解圆锥曲线 高中部 周钢 点差法是指在求解圆锥曲线时，题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标，利用直线和圆锥曲线的两个交点，把交点代入圆锥曲线的方程并作差，求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程的一种特殊方法。点差法在解决特定问题时，可以减少很多的运算，因此对于这种方法，我们应该予以重视。 例1：过点()1,4P 作抛物线x y 82=的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 所在直线的方程. 解：法一、设AB 所在直线的方程为()()014≠+-=k x k y ， 由()?? ?=+-=x y x k y 81 42 ，消去x 并整理，得083282=+--k y ky . 设()11,y x A ，()22,y x B ，由根与系数的关系，得k y y 821=+， 又P 是AB 的中点，所以 12 21=+y y . 所以428 =?=k k ， 所以直线AB 的方程为()441-=-x y ，即0154=--y x . 法二、设()11,y x A ，()22,y x B ，则有12 18x y =，22 28x y =， 两式相减，得()()()2121218x x y y y y -=+-， 又221=+y y ，则482 11212=+=--= y y x x y y k ， 所以直线AB 的方程为()441-=-x y ，即0154=--y x . 通过例1可以看出：法一为传统解法，在联立求解过程中，可能出现计算失误导致最终结果的偏差；法二为点差法，利用中点直接解出直线斜率，计算简便。例1比较简单，传统方法亦可解决，但已经能够看出点差法在计算方面的优势。 例2：已知椭圆C 的两个焦点分别为()0,11-F ，()0,12F ，M 是此椭圆上的一点，且 21MF MF ⊥8=. （1）求椭圆C 的方程； （2）点B 是椭圆C 短轴的一个端点，且其纵坐标大于零，M 、N 是椭圆C 上不同于点B

圆锥曲线专题(点差法)

圆锥曲线专题：点差法的使用 例1:椭圆C:13 42 2=+y x 的左顶点为A,左焦点为F 。过M （-４,0)作直线l 交曲线C 于B 、C 两点(B 在M 、Ｃ之间），N 为B Ｃ的中点。 （1） 证明:ON BC k k ?为定值; （2） 求点Ｎ的轨迹方程； （3） 是否存在直线l ，使得FN ⊥AC ？ (1)1342121=+y x ；1342 222=+y x 作差得()()()()03 421212121=+-++-y y y y x x x x ， 所以4 3 21212121-=++?--= ?x x y y x x y y k k ON BC 。 (2)? ??????????+=--=+=+=+=+4221341342 121212 1 2 2222 1 21x y x x y y y y y x x x y x y x ?()()()()()。y x x y y x y y y y x x x x 13420432420342221212121=++=+?+=+-++-整理可得代入得作差得 再由中点须在原椭圆内部得点N 的轨迹为：()()0x 113 422 2≤<-=++y x 。 (3)由F （-1,0），可知0>FN k ,0>AC k ,所以不存在直线ｌ，使得FN ⊥AC 。 例2：椭圆Ｃ:13 42 2=+y x 上有两个不同的点A 、B,已知弦ＡB 的中点T 在直线1=x 上,试在x 轴上找一点P ，使得BP AP =。 解: ()11,y x A 、()22,y x B 、()0,0x P 、()t T ,1。 1342 12 1=+y x ；13 42 22 2=+y x ;221=+x x ；t y y 221=+。 BP AP =PT AB ⊥?=-=??1PT AB k k 0 2 1211x t x x y y -? -- 由()()()()03421212121=+-++-y y y y x x x x ,所以4 10 =x 。 例3:抛物线x y 42 =上两点A 、Ｂ满足0=+PB PA k k ,其中Ｐ(1，2），求证:AB k 为定值。 1214x y =；22 24x y =作差得 2 121214 y y x x y y +=-- 由0=+PB PA k k 得 241+y +0242=+y 。所以AB k 2 121214 y y x x y y +=--==-1。

圆锥曲线题型解题通法

圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型： （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11， (,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意 斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。 如：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 020 20=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 典型例题 给定双曲线x y 2 2 2 1-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点， ∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。

（1）求证离心率β αβαsin sin ) sin(++= e ； （2）求|||PF PF 13 23 +的最值。 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义去解。 典型例题 抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。 y p x p x y t x 2 10=+>+=()() （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点 （2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。 （4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。 （1），可以设法得到关于a 的不等式，通过解不等式求出a 的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a 的范围；对于（2）首先要把△NAB 的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。 最值问题的处理思路： 1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x 、y 的范围； 2、数形结合，用化曲为直的转化思想； 3、利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值； 4、借助均值不等式求最值。 典型例题 已知抛物线y 2=2px(p>0)，过M （a,0）且斜率为1的直线L 与抛物线交于不同的两点A 、B ， |AB|≤2p （1）求a 的取值范围；（2）若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值。

双曲线点差法

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用 圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。 定理 在双曲线122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点 ),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00a b x y k MN =?. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有???????=-=-)2(.1)1(,122 222222 1221 b y a x b y a x )2()1(-，得.022 22 122 22 1=---b y y a x x .22 12121212a b x x y y x x y y =++?--∴ 又.22,0 0021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--= .2200a b x y k MN =?∴ 同理可证，在双曲线122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点， 点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2 2 00b a x y k MN =?. 典题妙解 例1 已知双曲线13 :2 2 =-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点.

圆锥曲线点差法

圆锥曲线-------点差法 椭圆14162 2=+y x 的弦被点)1,2(P 所平分，求此弦所在直线的方程.2、椭圆22 1369x y +=的一条弦被(4,2)A 平分,那么这条弦所在的直线方 程是. 3、已知椭圆1222=+y x ，求过点?? ? ??2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 4、已知直线y =－x +1与椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 相交于A 、B 两点，且 线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上，求此椭圆的离心率.5、已知椭圆C 的方程x y 22 43 1+=，试确定m 的取值范围，使得对于直线4y x m =+，椭圆C 上有不同两点关于该直线对称. 6、在抛物线24y x =上恒有两点关于直线y =kx +3对称，求k 的取值范围. 7、已知P 、Q 是椭圆C ：1242 2=+y x 上的两个动点，)26,1(M 是椭圆上 一定点，F 是其左焦点，且|PF |、|MF |、|QF |成等差数列. 求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ； 8、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2 1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。 过点M （-2,0）的直线m 与12 22 =+y x 交于21,P P ,线段21P P 的中点为P ,设直线m 的斜率为),0(1 1≠k k 直线OP 的斜率为2k ，则21k k 的值为 10、椭圆 122=+by ax 与直线x y -=1交于A 、B 两点，过原点与

线段AB 中点的直线的斜率为23，b a 的值为 11、过椭圆14 92 2=+y x 内一点M （2,0）引椭圆的动弦AB ，则弦AB 的中点N 的轨迹方程是 点P （8,1）平分双曲线4422=-y x 的一条弦，则这条弦所在的直线方程 13、已知椭圆2222=+y x 及椭圆外一点（0,2），过这点任意引直线与椭圆交于点A 、B ，求弦AB 的中点P 的轨迹方程。 14、求k 的取值范围，使抛物线02:2=-+kx y y C )0(≠k 上存在关于直线1:-=x y l 对称的两点。 已知直线l 与椭圆164:22=+y x C 交于21,P P ,线段21P P 的中点为P ，设直线l 的斜率为k )0(≠k ，直线OP 的斜率为'k 。求证：'kk 是一个定值。16、已知双曲线12 122=-y x ，过点B(1,1)是否存在直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且B 是线段PQ 的中点，若存在，求直线方程；若不存在，说明理由。 17、在双曲线113 122 2=-x y 的一支上不同三点，A 、B （6,26）、C 与焦点F(0,5)的距离成等差数列，求证：线段AC 的垂直平分线l 经过一定点。 已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为 21，求椭圆的方程。19、已知某椭圆的焦点是).0,4(),0,4(21F F -过点2F 并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且1021=+B F B F ,椭圆上不同的两点A （11,y x ），C （22,y x ）满足条件：C F B F A F 222,,成等差数列。 （1）、求该椭圆的方程 （2）、求弦AC 中的横坐标 （3）、设弦AC 的垂直平分线的方程为m kx y +=，求m 的取值范围