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向量的坐标表示及其运算

【知识概要】

1. 向量及其表示

1）向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量（向量可以用一个小写英文字母上面加箭头

来表示，如a 读作向量a ，向量也可以用两个大写字母上面加箭头来表示，如AB

，表示由

A 到

B 的向量. A 为向量的起点，B 为向量的终点）.向量AB

（或a ）的大小叫做向量的模，记作AB （或a

）.

注：① 既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量，向量与标量是两种不同的量，要加以区别；

② 长度为0的向量叫零向量，记作00的方向是任意的注意0与0的区别

③ 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.

说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.

例1 下列各量中不是向量的是（ D ）

A.浮力

B.风速

C.位移

D.密度例2 下列说法中错误．．

的是（ A ） A.零向量是没有方向的 B .零向量的长度为0

C.零向量与任一向量平行

D.零向量的方向是任意的

例 3 把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ D ）

A.一条线段 B .一段圆弧 C.圆上一群孤立点 D.一个单位圆

2）向量坐标的有关概念

① 基本单位向量: 在平面直角坐标系中，方向分别与x 轴和y 轴正方向相同的两个单位

向量叫做基本单位，记为i 和j .

② 将向量a 的起点置于坐标原点O ，作OA a =

，则OA 叫做位置向量，如果点A 的坐

标为(,)x y ，它在x 轴和y 轴上的投影分别为,M N ，则,.OA OM ON a OA xi y j =+==+

③ 向量的正交分解

在②中，向量OA 能表示成两个相互垂直的向量i 、j

分别乘上实数,x y 后组成的和式，该和式称为i 、j

的线性组合，这

种向量的表示方法叫做向量的正交分解，把有序的实数对(,)

x y 叫做向量a 的坐标，记为a

=(,)x y .

一般地，对于以点111(,)P x y 为起点，点222(,)P x y 为终点的向量12PP

，容易推得

122121()()PP x x i y y j =-+- ，于是相应地就可以把有序实数对2121(,)x x y y --叫做12PP 的坐标，记作12PP =2121(,)x x y y --.

3）向量的坐标运算：1122(,),(,)a x y b x y ==

，R λ∈

则1212121212(,);(,);(,)a b x x y y a b x x y y a x x λλλ+=++-=--=

. 4）向量的模：设(,)a x y =

，由两点间距离公式，可求得向量a 的模()norm .

22a x y =+

注：① 向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示； ② 向量的模是个标量，并且是一个非负实数.

例4 已知点A 的坐标为(2,0)，点B 的坐标为(3,0)-，且4,3AP BP ==

，求点P 的

坐标.

解：点P 的坐标为612(,)55-

或 612

(,)55

--. 例5 已知2(4,3),2(3,4)a b a b +=--=

，求a 、b 的坐标.

解：(1,2),(2,1)a b =-=--

例6 设向量,,,,a b c R λμ∈

，化简：

（1）()()()()a b c a b c b c λμμλμλ+--+-+--

；（2）2()(22)2a b c a b c λμλμλμμ+--++

. 解：都为0

2. 向量平行的充要条件

平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量（我们规定0与任一向量平行）.

已知a 与b 为非零向量，若1122(,),(,)a x y b x y ==

，则//a b 的充要条件是1221x y x y =，

所以，向量平行的充要条件可以表示为：

1221//().a b a b x y x y λλ?=?=

其中为非零实数

例7 已知向量(2,3)a =-

，点(2,1)A -，若向量AB 与a 平行，且213AB = ，求向量

的坐标.

解：OB

的坐标为(6,7)- 或 (2,5)-.

3. 定比分点公式

1）定比分点公式和中点公式

① 12,P P 是直线l 上的两点，P 是l 上不同于12,P P 的任一点，存在实数λ，

使P P 1=2PP λ

，

λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况

：

(内分) λ>0 (外分) λ<-1 (外分) -1<λ<0

② 已知111(,)P x y 、222(,)P x y 是直线l 上任一点，且P P 1=2PP λ

(,1)R λλ∈≠.

P 是直线12PP 上的一点，令(,)P x y ，则12

1211x x x y y y λλ

λλ

=??

+?=?+?

，这个公式叫做

线段12PP 的定比分点公式，特别地1λ=时，P 为线段12PP 的中

点，此时121

2x x x y y y +?

=???+?=??，叫做线段12PP 的中点公式.

注：① 12PP PP λ=? 可得12PP PP λ=±?

；

② 当1λ=-时，定比分点的坐标公式121x x x λλ+=+和12

1y y y λλ

+=+显然都无意义，也

就是说，当1λ=-时，定比分点不存在

2）三角形重心坐标公式

设ABC ?的三个点的坐标分别为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，G 为ABC ?的重心，则

1231233

3G G x x x x y y y y ++?=???

++?=??

例8 在直角坐标系内12(4,3),(2,6)P P --，

点P 在直线12PP 上，且122PP PP =

，求出P 的坐标.

解：当P 在12PP 上时，(0,3)P ；当P 在12PP 延长线上，(8,15)P -.

例9 已知(3,1),(4,2)A B ---，P 是直线AB 上一点，若23AP AB =

，求点P 的坐标.

解: 注意定比分点的定点，可得155(,)22

P --.

*方法提炼*

几个重要结论

1. 若,a b 为不共线向量，则a b + ，a b - 为以,a b

为邻边的平行四边形的对角线的向量；

2. 2222

2()a b a b a b ++-=+ ；

3. G 为ABC ?的重心0GA GB GC ?++= 1

23123

(,)33

x x x y y y G ++++? 112233[(,),(,)(,)]A x y B x y C x y

【基础夯实】

1. 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.

①向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一直线上； ②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等；

④四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB ＝DC ⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB 、

AC 在同一直线上.

②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.

③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的. ④、⑤正确.⑥不正确.如图AC 与BC 共线，虽起点

不

同，但其终点却相同.

评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.

2.下列命题正确的是（ C ）

A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c 也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

3. 在下列结论中,正确的结论为（ D ） (1)a ∥b 且|a |=|b |是a =b 的必要不充分条件

(2)a ∥b 且|a |=|b |是a =b 的既不充分也不必要条件 (3)a 与b 方向相同且|a |=|b |是a =b 的充要条件

(4)a 与b 方向相反或|a |≠|b |是a ≠b 的充分不必要条件 A. (1)(3) B. (2)(4) C. (3)(4) D. (1)(3)(4)

4. 已知点A 分有向线段BC 的比为2，则在下列结论中错误的是（ D ）

A. 点C 分AB 的比是-31

B.点C 分BA 的比是-3 C 点C 分AC 的比是-3

D 点A 分CB 的比是2

5. 已知两点1(1,6)P --、2(3,0)P ，点7

(,)3

P y -分有向线段21P P 所成的比为

λ，则λ、y 的值为（ C ）

A －

41，８ B.41，－８ C －41，－８ D ４，8

6. △ABC 的两个顶点A(3，7)和B(-2，5)，若AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，则顶点C 的坐标是（ A ）

A (2，-7)

B (-7，2)

C (-3，-5)

D (-5，-3)

7. “两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的条件. 答案：必要非充分

8. 已知a 、b 是两非零向量,且a 与b 不共线,若非零向量c 与a 共线,则c 与b 必定 . 答案：不共线

9. 已知点A(x,2),B(5,1),C(-4,2x)在同一条直线上，那么x=

答案：2或

10. △ABC 的顶点A(2，3)，B(-4，-2)和重心G(2，-1)，则C 点坐标为答案：(8,-4)

11. 已知M 为△ABC 边AB 上的一点，且1

AMC ABC S S ??=，则M 分AB 所成的比为答案：

【巩固提高】

12. 已知点(1,4)A =--、(5,2)B ，线段AB 上的三等分点依次为1P 、2P ，求1P 、2P 点的

坐标以及,A B 分21P P 所成的比

λ．解：P 1(1,-2),P 2(3,0),A 、B 分21p p 所成的比λ1、λ2分别为-2

,-2

13. 过1(1,3)P 、2(7,2)P 的直线与一次函数5

52+=x y 的图象交于点P ，求P 分21P P 所成的比值

解：

14. 已知平行四边形ABCD 一个顶点坐标为A(-2,1)，一组对边AB 、CD 的中点分别为M(3，0)、N(-1，-2)，求平行四边形的各个顶点坐标解：Ｂ（８，－１），Ｃ（４，－３），Ｄ（－６，－１）

15. 设P 是ABC ?所在平面内的一点，2BC BA BP +=

,则（ B ） (A). 0PA PB += (B). 0PC PA +=

(C). 0PB PC += (D). +0PA PB PC +=

16. 若平面向量,a b 满足1,a b a b +=+ 平行于x 轴，(2,1)b =- ，则(1,1)(3,1)a =--

或.

17．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点．若P A →＝(4,3)，PQ →

＝(1,5)，则BC →

等于( )

A ．(－6,21)

B ．(－2,7)

C ．(6，－21)

D ．(2，－7)

解析：选A.AC →＝2AQ →＝2(PQ →－P A →)＝(－6,4)，PC →＝P A →＋AC →＝(－2,7)，BC →＝3PC →

＝(－6,21)．

18.已知O 为坐标原点，向量(2,),(,1),(5,1).OA m OB n OC =-==-

若A,B,C 三点共线，且2m n =，求实数,m n 的值

19.已知点A(3，0),B(-1，-6), P 是直线AB 上一点，且1||||3

AP AB =

，求点P 的坐标.

20. 已知向量(cos ,sin )m θθ= 和(2sin ,cos ),(,2)n θθθππ=-∈

，且8||25

m n += ，求cos()28

θπ

+的值。

空间向量的坐标运算练习

空间向量的坐标运算练习 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#

空间向量的坐标运算——1 1、已知向量b ,a 分别平行于x 、y 轴，则它们的坐标各有什么特点答：a 的__________________________； b 的________________________________ 2、如果的横坐标为0，其它坐标都不为0，则与哪个坐标平面平行答：_________ 4、点P(2,-3,4)在xoy 面上的射影坐标是___________;在xoz 面上的射影坐标是 ___________; 在yoz 面上的射影坐标是___________ 5、点Q （－3，2，5）关于原点对称的点的坐标是___________；关于xoz 面对称的点的坐标是__________________ 6、已知A （3，4，5），B （0，2，1），若 AB 5 2OC =，则C 点的坐标是______________ 7、写出与原点距离等于3的点所满足的条件________________________________ 8、已知A(2，0，0)，B(6，2，2)，C(4，0， 2) A ：2 D 3C 4B 6ππππ ：：： 9、如图，ABC-A 1B 1C 1是正三棱柱（即底面是正三角形，沿着垂直于底面的向量平移所得到的轨迹），若AB ＝2，AA 1＝4，R 是BB 1的中点，取AB 的中点为原点建立坐标系如图，写出下列向量的坐标： ______________= ______________=______________=A A'

《空间向量运算的坐标表示》说课稿

《空间向量运算的坐标表示》——说课稿各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，我将从教材分析、教学目标、学生情况、教法学法分析、教学过程、教学效果及反思六个方面来介绍：一、教材分析（一）地位和作用本节课内容选自人教数学选修2-1第三章，这节课是在学生学习了空间向量几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识内容，是在学生已经学过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广，是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，是以后学习“立体几何中的向量方法”等内容的基础。它将数与形紧密地结合起来。这节课学完后，如把几何体放入空间直角坐标系中来研究，几何体上的点就有了坐标表示，一些题目如两点间距离、异面直线成的角等就可借助于空间向量来解答，所以，这节课对于沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构，起到了很重要的作用。（二）目标的确定及分析根据新课标和我对教材的理解，结合学生实际水平，从知识与技能；过程和方法；情感态度价值观三个层面出发，我将本课的目标定位以下三个：（1）知识与技能：通过与平面向量类比学习并掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积运算的坐标表示以及向量的长度、夹角公式的坐标表示，并能初步应用这些知识解决简单的立体几何问题。（2）过程与方法：①通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比，使学生掌握空间向量运算的坐标表示，渗透类比的数学方法；②会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题，体会向量方法在研究空间图形中的作用，培养学生的空间想象能力和几何直观能力。（3）情感态度价值观：通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动，培养学生主人翁意识、集体主义精神。（三）重难点的确定及分析本节课的重点是：空间向量运算的坐标表示，应用向量法求两条异面直线所

空间向量的坐标运算(人教A版)(含答案)

空间向量的坐标运算（人教A版）一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知点的坐标分别为与，则向量的相反向量的坐标是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示 2.已知空间直角坐标系中且，则点的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示 3.若向量，，则向量的坐标是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示 4.已知向量，，则=( ) A. B. C. D. 答案：C

解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量运算的坐标表示 5.已知向量是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下的坐标为，那么向量在基底下的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量的基本定理及其意义 6.已知为空间的一组单位正交基底，而是空间的另一组

基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：试题难度：三颗星知识点：空间向量的基本定理及其意义 7.已知三点不共线，点为平面外的一点，则下列条件中，能使得平面成立的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量 8.已知，，，若，，三向量共面，则实数=( ) A. B.

C. D. 答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：共线向量与共面向量 9.已知空间三点的坐标为，，，若三点共线，则=( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：

空间向量的基本运算

第六节空间向量 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有和的量叫做向量。 2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3. 共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线或，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a ＝。 4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是的。（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y ，使。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使。若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使zk yi xi OA ++=，有序实数组 (,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作

空间向量的坐标运算

空间向量的坐标运算第一课时空间直角坐标系教学目标：㈠知识目标： ⒈空间直角坐标系； ⒉空间向量的坐标表示； ⒊空间向量的坐标运算； ⒋平行向量、垂直向量坐标之间的关系； 5.中点公式。㈡能力目标： ⒈掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标； ⒉掌握空间向量坐标运算的规律； 3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直； 4.会用中点坐标公式解决有关问题。教学重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算教学难点：向量坐标的确定教学方法：讨论法．教具准备：多媒体投影．教学过程：复习回顾空间向量基本定理探索研究 1、空间右手直角坐标系的概念 ⑴单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示。 ⑵空间直角坐标系O－xyz 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O 为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个直角坐标系O－xyz，点O叫做原点，向量i,j,k叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz平面，zOx平面。 ⑶空间直角坐标系的画法作空间直角坐标系O－xyz 时，一般使∠xOy＝135°(或45°),∠yOz＝90°。注：在空间直角坐标系O－xyz中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指能指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。 ⑷空间向量的坐标表示给定一空间直角坐标系和向

向量的直角坐标运算设a=(a 1,a 2,a 3),b=(b 1,b 2,b 3)，则a+b=(a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3) a －b=(a 1－ b 1,a 2－b 2,a 3－b 3)λa=(λa 1,λa 2,λa 3) a ?b=a 1 b 1+a 2b 2+a 2b 2 a//b a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3(λ∈R)a ⊥b a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0设A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2)，则 AB ＝OB －OA ＝(x 2－x 1,y 2－y 1,z 2－z 1)　量a ，且设i,j,k 为坐标向量（如图），由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a 1,a 2,a 3）叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标，可简记作a ＝（a 1,a 2,a 3）。在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任一点A ，对应一个向量OA ，若 ,k z j y i x OA ++=则有序数组(x,y,z)叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x,y,z)，其中x 叫做A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。 ⑸空间任一点P 的坐标的确定过P 分别作三个与坐标平面平行的平面（或垂面），分别交坐标轴于A 、B 、C 三点，|x|=|OA|,|y|=|OB|,|z|=|OC|,当OA 与i 方向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理可确定y 、z （如图）例1已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 、F 分别是BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标。分析：要求点E 的坐标，过点E 与x 轴、y 轴垂直的平面已存在，只要过E 作平面垂直于z 轴交E ‘ 点，此时|x|＝|,|DA |y|＝|,|DC |z|＝||'DE ，当DA 的方向与x 轴正向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理确定y 、z 的符号，这样可求得点E 的坐标。解：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)， A 1(2,0,2)， B 1(2,2,2)， C 1(0,2,2)，, D 1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0) 2、向量的直角坐标运算注：3 32 21 1i 321321b a b a b a b //a 1,2,3),0(i b ),b ,b ,(b b ),a ,a ,(a a = = ? =≠==则若

空间向量运算的坐标公式

空间向量运算的坐标公式如果三个向量不共面那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组x、y、z使得cbapczbyaxpcba叫做空间的一个 ______基底空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底一、空间直角坐标系单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直且长都为1则这个基底叫做单位正交基底常用i j k 来表示.点O叫做原点向量i、j、k都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。分别称为xOy平面yOz平面xOz平面.空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底i、j、k 。以点O为原点分别以i、j、k的正方向建立三条数轴x轴、y轴、z轴它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O--xyzOxyzijk二、向量的直角坐标aaaa 1 2 3给定一个空间坐标系和向量且设i、j、k为坐标向量由空间向量基本定理存在唯一的有序实数组1 2 3使1i 2j 3k 有序数组1 2 3叫做在空间直角坐标系 O--xyz中的坐标记作.aaaaaaaaaaaaxyzOAa1a2a3ijka在空间直角坐标系O--xyz中对空间任一点A对应一个向量OA于是存在唯一的有序实数组xyz使OAxiyjzk在单位正交基底i j k 中与向量OA对应的有序实数组xyz叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标记作Axyz其中x叫做点A的横坐标y叫做点A的纵坐标z叫做点A的竖坐标.xyzOAxyzijka三、向量的直角坐标运算.111222axyzbxyz设则 121212abxxyyzz111axyzR121212abxxyyzz121212abxxyyzz例

空间向量及其运算的坐标表示

1.3 空间向量及其运算的坐标表示【学习目标】 1.空间直角坐标系在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以O为原点，分别以i，j，k方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立，O叫做，i，j，k都叫做。对于空间任意一个向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝x e1＋y e2＋z e3，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作。 2.空间向量的坐标运算空间向量a，b，其坐标形式为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 3. 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则

夹角 cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b | cos 〈a ，b 〉＝ a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 a 21＋a 22＋a 2 3 b 21＋b 22＋b 2 3 1．已知i ，j ，k 分别是空间直角坐标系Oxyz 中x 轴，y 轴，z 轴的正方向上的单位向量，且AB → ＝－i ＋j －k ，则点B 的坐标是( ) A ．(－1,1，－1) B ．(－i ，j ，－k ) C ．(1，－1，－1) D ．不确定 2、判断对错。 (1)空间直角坐标系中，向量AB → 的坐标与终点B 的坐标相同．( ) (2)设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)且b ≠0，则a ∥b ∥x 1x 2 ＝y 1y 2 ＝z 1 z 2 .( ) (3)四边形ABCD 是平行四边形，则向量AB →与DC → 的坐标相同．( ) (4)设A (0,1，－1)，O 为坐标原点，则OA → ＝(0,1，－1)．( ) 【经典例题】题型一空间直角坐标系注意：建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示．例1已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，并且P A ＝AD ＝1，建立适当坐标系，求向量MN → 的坐标．

空间向量及其坐标运算练习题

空间向量及其坐标运算一．选择题 1.若a =（2x ，1，3），b =（1，－2y ，9），如果a 与b 为共线向量，则 A.x =1，y =1 B.x = 21，y =－21 C.x =61，y =－23 D.x =－61，y =2 3 2.在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是 ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，－z ） A.0 B.1 C.2 D.3 3.已知向量a =（1，1，0），b =（－1，0，2），且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 值是 A.1 B.51 C.53 D.5 7 4.设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG =3GG 1，若OG = x OA +y OB +z OC ，则（x ，y ，z ）为 A.（ 41，41，41） B.（43，43，43） C.（31，31，31） D.（32，32，32 ） 5.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成的角为的余弦值 A D B C B C D 1 1 1 1 M N A. 2 3 B. 10 10 C. 5 3 D. 5 2 二．填空题 6.已知空间三点A （1，1，1）、B （－1，0，4）、C （2，－2，3），则AB 与CA 的夹角 θ的大小是_________. 7.已知点A （1，2，1）、B （－1，3，4）、D （1，1，1），若AP =2PB ，则|PD |的值是__________. 8.命题：①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；②向量a 、b 、c 共面，则它们所在的直线也共面；③若a 与b 共线，则存在唯一的实数λ，使b =λa ；④若A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM = 31OA + 31OB + 3 1 OC ，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 内部. 上述命题中的真命题是_____________.

空间向量的坐标表示及其运算

空间向量的坐标表示及其运算 1. 已知()2,1,3=，()3,2,1-B ，则A 的坐标是 . 2. 已知()()m b a ,4,2,2,2,1-=-= ，若b a //，则实数=m . 3. 在空间直角坐标系中，已知点A （1，0，2），B(1，－3，1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是______ . 4. 若()1,1,1A ，()4,0,1-B ，()3,2,2-C ，则以AC AB ,为邻边的平行四边形的面积为 . 5. 若A(3cos α，3sin α，1)，B(2cos α，2sin α，1)，则|AB → |的取值范围是 . 6. 若()()222111,,,,,z y x A z y x A ，且P 为AB 中点，则P 的坐标为 . 7. 在长方体1111D C B A ABCD -中，3,4,51===AA BC AB ，如图，建立空间直角坐标系，写出11,,CB B A AC 及D B 1. 8. 已知()()1,2,3,3,6,4--B A ，且3 2 -=，求点P 的坐标。 9. 已知()()5,3,2,1,5,1-==b a ，（1）当()() b a b a 3//-+λ，求实数λ的值；（2）当()() b a b a 3/-⊥+λ，求实数λ的值 y

10. 已知空间三点()2,0,2-A ，()()4,0,3,2,1,1--C B ，求：（1）BAC ∠；（2）若向量k k +与向量k 2-垂直，求实数k 值。 11. 已知()3,2,1=，()2,1,2=，()2,1,1=，点S 在直线OP 上，求?的最小值，并指出此时S 的坐标。 12. 在棱长为a 的正四面体ABCD 中，建立恰当的坐标系，（1）求D C B A ,,,的坐标；（2）求AB BC ? +AC BD ? 的值。 C P A