初中数学 垂径定理教学案(第2课时)

(第2题图)

A B C O

垂径定理（第2课时）

【目标导航】

1．掌握弦长a 、弦心距d 、半径r 及弓形高h 之间的关系，并能熟练运用这一关系进行计算． 2．了解垂径定理及其推论在实际中的应用，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力和计算能力． 【要点梳理】

1．垂径定理及其推论的图形认识： 若垂径定理或推论中的某一个成立，则 ⑴△CAB 、△OAB 、△DAB 都是等腰三角形，弦AB 是它们公共的底边，直径CD 是它们的顶角平分线和底边的垂直平分线．

⑵△ACD 和△BCD 是全等的直角三角形，直径CD 是它们公共的斜边，AE 、BE 分别是斜边上的高，AO 、BO 分别是斜边上的中线在这两个三角形中可以运用直角三角形的一系列性质． ⑶

．

2．圆的半径r 、弦长a 、弦心距d 及弓形高h 之间的关系： 一条弦的中点和它所对的弧的中点的连线段叫做弓形的高． 圆心到弦的距离可以简称为弦心距．

设圆的半径为r 、弦长为a 、弦心距为d ，弓形高为h ，则

⑴2

222a d r ??+= ???； ⑵ h r d h r d =-=+或．

说明：这两个公式是关于四个量r 、a 、d 、h 的一个方程组，只要已知其中任意两个量即可求出其余两个量.

例题1（安徽）如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 互相垂直，垂足为E ，且AB=CD ，已知CE=1，ED=3，求⊙O 的半径的长．

解：

过O 作OF ⊥CD 于F ，OQ ⊥AB 于Q ，连接OD ， ∵AB=CD ， ∴OQ=OF ，

∵OF 过圆心O ，OF ⊥CD ， ∴CF=DF=2， ∴EF=2-1=1， ∵OF ⊥CD ，OQ ⊥AB ，AB ⊥CD ， ∴∠OQE=∠AEF=∠OFE=90°， ∵OQ=OF ，

∴四边形OQEF 是正方形，∴OF=EF=1，

在△OFD 中由勾股定理得：OD=2

2

5DF OF +=， 故答案为：

5．

【课堂操练】

1．在同一个圆中，两条弦长分别是a 、b ，它们的弦心距分别是c 、d ，若c ＞d ，则a 、b 的大小关系是 ． 答案: a

∵AB=AC ，O 是等腰Rt △ABC 的外心，∴AO ⊥BC ，BD=DC=3，AO 平分∠BAC ，

∵∠BAC=90°，∴∠ADB=90°，∠BAD=45°，∴∠BAD=∠ABD=45°，

∴AD=BD=3，∴OD=3-1=2，由勾股定理得：OB=

13．

例2 （广东佛山）如图，己知AB 是⊙O 的弦，半径OA = 20cm, ∠AOB = 120°,求△AOB 的

面积.

O

A

B

解：如图，作OC ⊥AB 于点C ， 则有AC=CB ，∠AOC=1

2

∠AOB=60°

在直角Rt △AOC 中，OA=30cm,所以AC=103cm,OC=10cm. 所以△AOB 的面积=1

2

AB×OC=1003cm

【课堂操练】

1．某公园的一石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为 ． 答案：8米

2．（浙江绍兴）一条排水管的截面如图所示.已知排水管的截面圆半径10OB =，截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，求水面宽AB 的长.

C O A

B

N M

B A

解：∵截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6， ∴OC ⊥AB ， ∴AB=2BC ，

在Rt △BOC 中，OB=10，OC=6， ∴BC=86102

2

2

2

=-=-OC OB ,

∴AB=2BC=2×8=16． 3．（四川南充市）在圆柱形油槽内装有一些油。截面如图，油面宽AB 为6分米，如果再注入一些油 后，油面AB 上升1分米，油面宽变为8分米，求圆柱形油槽直径MN

解：如图，依题意得AB=6，CD=8，过O 点作AB 的垂线，垂足为E ，交CD 于F 点，连接OA ，OC ，

由垂径定理，得AE=12AB=3，CF=1

2CD=4，

设OE=x ，则OF=x ﹣1，

在Rt △OAE 中，OA2=AE2+OE2， 在Rt △OCF 中，OC2=CF2+OF2， ∵OA=OC ，

∴32+x2=42+（x ﹣1）2， 解得x=4，

∴半径OA=2234+=5，

∴直径MN=2OA=10分米．

故选C ．

【课后盘点】 1．圆弧形蔬菜大棚的剖面如图⑴所示，已知AB ＝16m ，半径 OA ＝10m ，高度CD 为 m ． 答案：4

2．如图⑵是一个隧道的横截面，若它的形状是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB ＝8米，净高CD ＝8米，则此圆的半径OA 的长是 ． 答案：5米

⑴ ⑵ 3．（江苏泰州）如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD 的边BC 为大圆的弦，边AD 与小圆相切于点M ，OM 的延长线与BC 相交于点N ． （1）点N 是线段BC 的中点吗？为什么？

（2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm ，AB=5cm ，BC=10cm ，求小圆的半径．

M O

D

A

C

B N

解：(1)N 是BC 的中点。原因：∵AD 与小圆相切于点M ，

∴OM ⊥AD ，又AD ∥BC ，∴ON ⊥BC ，∴在大圆O 中，由垂径定理可得N 是BC 的中点． (2)连接OB ，设小圆半径为r ，则有ON=r+5,OB=r+6,BN=5cm, 在Rt △OBN 中，由勾股定理得OB2=BN2+ON2 ，即：（r+6）2=(r+5)2+52 ，解得r=7cm. ∴小圆的半径为7cm.

4．（山东济宁）如图，AD 为ABC ?外接圆的直径，AD BC ⊥，垂足为点F ，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，连接BD ，CD . (1) 求证：BD CD =；

(2) 请判断B ，E ，C 三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上？并说明理由.

【答案】（1）证明：∵AD 为直径，AD BC ⊥， ∴BD CD =.∴BD CD =.

（2）答：B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上. 理由：由（1）知：BD CD =，∴BAD CBD ∠=∠.

∵DBE CBD CBE ∠=∠+∠，DEB BAD ABE ∠=∠+∠，CBE ABE ∠=∠， ∴DBE DEB ∠=∠.∴DB DE =

由（1）知：BD CD =.∴DB DE DC ==.

∴B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上.

A

B

C

E

F

D

(第19题)