振动力学考题集[]

1、四个振动系统中，自由度为无限大的是（）。

A. 单摆；

B. 质量-弹簧；

C. 匀质弹性杆；

D. 无质量弹性梁；

2、两个分别为c1、c2的阻尼原件,并连后其等效阻尼是（）。

A. c1+c2；

B. c1c2/(c1+c2)；

C. c1-c2；

D. c2-c1；

3、（）的振动系统存在为0的固有频率。

A. 有未约束自由度；

B. 自由度大于0；

C. 自由度大于1；

D. 自由度无限多；

4、多自由度振动系统中，质量矩阵元素的量纲应该是（）。

A. 相同的，且都是质量；

B. 相同的，且都是转动惯量；

C. 相同的，且都是密度；

D. 可以是不同的；

5、等幅简谐激励的单自由度弹簧-小阻尼-质量振动系统，激励频率（）固

有频率时，稳态位移响应幅值最大。

A. 等于；

B. 稍大于；

C. 稍小于；

D. 为0；

6、自由度为n的振动系统，且没有重合的固有频率，其固有频率的数目（A ）。

A. 为n；

B. 为1；

C. 大于n；

D. 小于n；

7、无阻尼振动系统两个不同的振型u(r)和u(s)，u(r)T Mu(s)的值一定（）。

A. 大于0；

B. 等于0；

C. 小于0；

D. 不能确定；

8、无阻尼振动系统的某振型u(r)，u(r)T Ku(r)的值一定（）。

A. 大于0；

B. 等于0；

C. 小于0；

D. 不能确定；

9、如果简谐激励力作用在无约束振动系统的某集中质量上，当激励频率为无

限大时，该集中质量的稳态位移响应一定（）。

A. 大于0；

B. 等于0；

C. 为无穷大；

D. 为一常数值；

10、相邻固有频率之间的间隔呈近似无限等差数列的振动系统是（）。

A. 杆的纵向振动；

B. 弦的横向振动；

C. 一般无限多自由度系统；

D. 梁的横向振动；

11、两个刚度分别为k1、k2串连的弹簧,其等效刚度是（）。

A. k1+k2；

B. k1k2/(k1+k2)；

C. k 1-k 2；

D. k 2-k 1；

12、 无阻尼振动系统两个不同的振型u (r )和u (s )，u (r )T Ku (s )

的值一定（ ）。

A. 大于0；

B. 等于0；

C. 小于0；

D. 不能确定；

13、 无阻尼振动系统的某振型u (r )，u (r )T Mu (r )的值一定（ ）。

A. 大于0；

B. 等于0；

C. 小于0；

D. 不能确定；

14、 如果简谐激励力作用在无约束振动系统的某集中质量上，当激励频率为0

时，该集中质量的稳态位移响应一定（ ）。

A. 大于0；

B. 等于0；

C. 为无穷大；

D. 为一常数值；

15、 如果简谐激励力作用在振动系统的某集中质量上，当激励频率无穷大时，

该集中质量的位移响应幅值一定（ ）。

A. 大于0；

B. 等于0；

C. 也为无穷大；

D. 为一常数值；

如图所示作微幅振动的系统，长度l =1m 质量m =1kg 的匀质刚杆AB ，A 端的弹簧刚度k =1N/m ，B 端的作用外力F =sin t ，初始时刻系统水平平衡位置静止不动，请完成：（1）以杆的转角θ为变量列出系统的运动方程；（2）求出系统的固有频率；（3）求系统的运动解。

如图所示作微幅振动的简易地震波记录系统，长度l 质量m 的匀质刚杆AB ，中点A 的弹簧刚度k ，阻尼c ，B 端的记录笔画出地震波形，系统水平位置是平衡位置，设系统随地震一起运动为u (t )，请完成：（1）以B 点垂直位移为变量y 列出系统的运动方程；（2）求

某洗衣机脱水甩干部分简化模型如图所示，振动部分（包含衣物）的总质量M =200kg ，有四根阻尼弹簧支承，每个弹簧的刚度k =100N/cm ，阻尼系数ζ=。脱水甩干时的机器转速n =600r/min ，衣物的偏心质量m =1kg ，偏心距

e =40cm 。请完成：（1）以垂直位移为变量y 列出系统的运动方程；（2）求出系统的频率响应函数；（3）求出系统振幅的数值。 u

(t) B

F

质量为m 的重块处于无摩擦的水平面上，通过刚度为k 的弹簧与质量为M 、长度为l 的匀质杆相连。请完成：（1）列出系统的振动微分方程；（2）写出微小振动条件下的线性化微分方程中的质量矩阵和刚度矩阵。

写出下图所示的质量-

写出下图所示的质量-刚杆-弹簧振动系统微幅振动方程的质量矩阵、刚度矩阵。

k y c

图示为一无阻尼动力减震器动力学模型，其主系统的质量m 1=、刚度k 1=，附加的减震器质量m 2=、刚度k 2=，外界振动引起的支承简谐激励u =U sin ωt 。请完成：（1）列出系统的运动微分方程；（2）求出系统的固有频率；（3）激励频率为多少时主系统m 1无振动。

如图所示两个滑块的质量分别为m 1(包含偏心质量m )和m 2，两弹簧的港督分别为k 1和k 2，偏心质量m 的偏心距为e ，转动角速度ω，请完成：（1）列出系统的振动微分方程；（2）求系统的固有频率；（3）求系统的振型；（4）求两质量的稳态响应振幅。

如图所示的三自由度弹簧-质量振动系统，质量m 1=m 2=m 3=kg ，弹簧刚度k 1=k 2=k 3= k 4=N/m 。请完成：（1）列出系统振动的矩阵微分方程；（2）求出系统的三个固有频率；（3）求出系统的振型并写出振型矩阵。PPT 第5章

简述振动系统自由度的意义及振动系统自由度的分类。

简述振动系统的固有频率及其在振动分析中的意义。

简述矩阵迭代法的计算流程5章7-8

简述多自由度振动系统的振型及其在振动分析中的意义。5章1-2

简述多自由度振动系统分析中振型正交性在振动分析中的作用。5章3-4

简述线性振动系统和非线性振动系统的区别。

y y u (

t )

在第4章中我们讨论过多自由度系统主振型的正交性。这种正交性是主坐标分析法的基础。前面本章中曾提到弹性体振动具有类似的特性。从前几节的讨论中可以看到，一些简单情形下的振型函数是三角函数，它们的正交性是比较清楚的；而在另一些情形下得到的振型函数还包含有双曲函数，它们的正交性以及更一般情形下振型函数的正交性尚待进一步说明。

下面我们仅就梁的弯曲振动的振型函数论证其正交性。因为在讨论正交性时，不必涉及振型函数的具体形式，所以我们稍为放宽一些假设条件。和前几节不同，本节所考

察的梁截面可以是变化的。这时，梁单位长度的质量以及截面刚度都是的已知函数，而不必为常数。故梁的自由弯曲振动微分方程为

（5-60）

采用分离变量法，将表示为

（5-61）

将它代入方程（5-60）进行分离变量后，可得

（5-62）

（5-63）

我们将从方程（5-63）出发进行讨论。这时，与（5-23），（ 5-24），（5-25）相对应的边界条件为

固支端：

（5-64）

铰支端：

（5-65）

自由端：

（5-66）现假设方程（5-63）在一定的边界条件下，对应于任意两个不同的特征值或的振型函数分别为与，于是有

（5-67）

（5-68）

对（5-67）式乘以，然后在上对进行积分，得

（5-69）

再将式（5-68）乘以，然后在上对进行积分，得

（5-70）

再对式（5-69）与式（5-70）相减，可得

（5-71）

可以看到，如果以式（5-64）一（5-66）中任意两个式子组合成梁的边界条件，那么式（5-71）右端都将等于零。所以，在这情形下，就有

但前面已经假设，故有

（5-72）

正是在这一意义上，我们称振型函数与关于质量密度正交。

数学上亦称以为权函数的加权正交，以区别于常数时，与所具有的通常意义下的正交性：

考虑到式（5-72），从式（5-69）或式（5-70）都可以看到，在上述边界条件下，有

（5-73）

由此可见，梁弯曲振动振型函数这种关于刚度的正交性，实际上是振型函数的二阶导数所具有的正交性。

当时，式（5-71）自然满足。这时，可记下列积分为

（5-74）

称为第阶振型的广义质量，称为第阶振型的广义刚度。由式（5-69）或式（5-70）不难看到，有

当梁的端为弹性支承时，边界条件为

将它代入式（5-71）与式（5-69），可得

（5-75）

又当梁的端具有附加质量时，边界条件为

将它代入式（5-71）与式（5-69），可得

（5-76）

由此可见，在弹性支承端情形与附加质量端情形，它们的振型函数的正交性分别由式（5-75）与式（5-76）表示。

现在来看上述正交性的物理意义。设第阶与第阶主振型可分别表示为

我们来证明，当时，对应于的惯性力与弹性力在上所作的功为零。

事实上，对应于，梁微元的惯性力为

对应于，梁在该微元处的速度为

故整个梁对应于的惯性力在上所作功的功率为

在弯曲振动中，关于弹性力的功，只需要考虑截面弯矩所作的功。梁对应于的截面弯矩为

而对应于的截面转角微元为

故整个梁对应于的弯矩在上所作的功为

可见，由于振型函数的正交性，当时，主振动不会激起主振动，换

句话说，振型函数的正交性反映了各阶主振动之间既不存在惯性耦合作用，也不存在弹性耦合作用。上述讨论同样适用于有弹性支承端与附加质量端的情形。

《振动力学》习题集(含答案)【精选】精心总结

《振动力学》习题集（含答案） 1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。求系统的固有频率。 图E1.1 解： 系统的动能为： ()2 22 121x I l x m T += 其中I 为杆关于铰点的转动惯量： 2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ??==?? ? ??= 则有： ()2212212236 16121x l m m x l m x ml T +=+= 系统的势能为： ()()()2 1212124 1 4121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x l g m x mgl U +=+=-? +-= 利用x x n ω= 和U T =可得： ()()l m m g m m n 113223++= ω

1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。 图E1.2 解： 如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为： 22222243212121θθθ mR mR mR I T B =??? ??+== ()[]()22 22 12θθa R k a R k U +=+?= 利用θωθn = 和U T =可得： ()m k R a R mR a R k n 34342 2 +=+=ω

1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。 求系统的固有频率。 图E1.3 解： 系统的动能为： 2 2 1θ J T = 2k 和3k 相当于串联，则有： 332232 , θθθθθk k =+= 以上两式联立可得： θθθθ3 22 33232 , k k k k k k +=+= 系统的势能为： ()2 32323212332222121212121θθθθ?? ????+++=++= k k k k k k k k k k U 利用θωθn = 和U T =可得： ()() 3232132k k J k k k k k n +++= ω

振动力学》习题集(含答案)

《振动力学》习题集（含答案） 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图所示。求系统的固有频率。 图 解： 系统的动能为： ()22 2 121x I l x m T &&+= 其中I 为杆关于铰点的转动惯量： 2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ??==?? ? ??= 则有： ()2 212212236 16121x l m m x l m x ml T &&&+=+= 系统的势能为： ()()()2 1212124 1 4121 cos 12 cos 1glx m m glx m mglx x l g m x mgl U +=+=-? +-= 利用x x n ω=&和U T =可得： ()()l m m g m m n 113223++= ω

质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图所示。求系统的固有频率。 图 解： 如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为： 2222224321212 1θθθ&&&mR mR mR I T B =?? ? ??+== ()[]()22 22 12θθa R k a R k U +=+?= 利用θωθ n =&和U T =可得： ()m k R a R mR a R k n 34342 2 +=+=ω

转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图所示。求系统 的固有频率。 图 解： 系统的动能为： 22 1θ& J T = 2k 和3k 相当于串联，则有： 332232 , θθθθθk k =+= 以上两式联立可得： θθθθ3 22 33232 , k k k k k k +=+= 系统的势能为： ()232323212 332222*********θθθθ?? ????+++=++=k k k k k k k k k k U 利用θωθ n =&和U T =可得： ()() 3232132k k J k k k k k n +++= ω

05_06级振动力学试题

2005级 《振动力学》 课程试题（A 卷） 二、基本概念与简单计算题：（共 50 分） 1．（5分）某粘滞阻尼振动系统，8个振动周期后振幅由10mm 减为1mm ，求 阻尼比。 解：对数衰减率01 ln n X n X δ ??= ???110ln 81??= ???1 ln 108 = ………………..（3分） 而2 21πξδ ξ = -，则阻尼比2 2 4δ ξ π δ = +＝0.046……………………（2分） 2. （10分）求图示系统微幅振动的微分方程和固有频率。已知l 、k 、m 、c 、F 。 不计水平杆的质量。 解：方程 493ml cl kl F θ θθ=--+ …………….（6分） 固有频率 3 n k m ω= …………………… …………….（4分） 或 2 2 2194d n mk c m ωωξ =-=-……………………….（4分） 3. （10分）求单自由度无阻尼标准m -k 振动系统在图示干扰力作用下的零初值 响应。 解：干扰力0000 10()0 t F t t F t t t t ??? -≤≤? ? =??? ? >?….（2分） 000 01 ()(1cos )sin 0n n n n F x t t t t t t t t ωωωω??= --+≤≤ ??? ………..（4分） 题二.2图 m c k F l l l 题二、3图 F (t ) F 0 t 0 t

0000 01 ()cos [sin ()sin ]n n n n n F x t t t t t t t t t ωωωωω??=- + --> ??? ……………………..（4分） 4. （15分）图示系统，均质杆 长为l 质量为m ，上端由铰链悬挂，下端用弹性系数为k 1和k 2的弹簧与光滑水平面上的质量m 1和m 2相连处于自然平衡状态。（1）建立系统的微振动微分方程。（2）写出频率方程（可以不求出固有频率） 解：（1）1 12 2213 m x m l x m θ????? ??? ? ???????????? ? 1112 1122222001()02 00k k l x k l k k l m gl k l x k l k θ-?? ?????????? ??+-++ -=????????????????-? ? .（10分） （2）频率方程…… ………（5分） 5. （10分）左端固定，右端自由的均匀杆，长度为l ，轴向拉压刚度为EA ，单 位长度杆的质量为m ，轴向位移用u 表示，轴向力用P 表示。求杆纵向振动（一维波动方程）的固有频率与固有振型。 解：一维波动方程： 2 2(,)u x t x ??2 2 2 1(,)u x t a t ?= ?，0

(完整版)振动力学试题

1.转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k 、2k 和3k 的轴约束，如图所示。求系统的固有频率。 解： 系统的动能为 2 2 1?=θJ T 2k 和3k 相当于串联，则 32θθθ += 3322θθk k = 联立以上两式得 θθ3 23 2k k k += θθ3223k k k += 系统的势能为 ( )[]2 2 33222213 23 23212 1212121θ θθθk k k k k k k k k k U +++= ++= 利用θωθn =? 和U T =可得 () () 3232132n k k J k k k k k +++= ω 2.面积为S ，质量为m 的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图所示。作用于薄板的阻尼力为νμS F d 2=，S 2为薄板总面积，ν为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为0T ，在粘性流体中自由振动的周期为d T 。求系数μ。

解： 平面在液体中上下振动时： 02=++? ? ?kx x S x m μ d n d n T T m k πξ ωωπω2-1,220==== k S m S m S n n 222,22μξωμξξωμ==?= k S k 2 22 --1μξ= 2020220 -2-22T T T ST m k S k T T T T d d d πμμ=?= 3.如图所示均匀刚性杆质量为1m ，求系统的频率方程。 解：

先求刚度矩阵。 令0x 1,==θ得： 22212111a k b k a a k b b k k +=?+?= b k 221-k = 令1,0==x θ得： a k k 212-= 222-k k = 则刚度矩阵为：?? ? ? ??+=2222221--k a k a k a k b k K 再求质量矩阵。 令0,1==? ?? ?x θ ，得： 0,3 1 212111==m a m m

机械行业振动力学期末考试试题(doc-11页)(正式版)

… 2008年振动力学期末考试试题 第一题（20分） 1、在图示振动系统中，已知：重物C 的质量m 1，匀质杆AB 的质量m 2，长为L ，匀质轮O 的质量m 3，弹簧的刚度系数k 。当AB 杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。 解： 系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C 的位移y 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 y ＝0，此时系统的势能为零。 AB 转角： 系统动能： % m 1动能： m 2动能： m 3动能： 系统势能： 在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有： 上式求导，得系统的微分方程为： E y m m m k y '=+++) 2 1 31(4321 固有频率和周期为： ~ ) 2 131(43210m m m k ++= ω 2、质量为m 1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A 连在质量为m 2的物块B 上；轮心C 与刚度系数为k 的水平弹簧相连；不计滑轮A ，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。 解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B 的位移x 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 x ＝0，此时系统的势能为零。 物体B 动能：2212 1 x m T = 轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为x v c 21=，角速度为x R 21=ω，转过的角度为x R 21 = θ。轮子动能： )83 (21)41)(21(21)41(212121212221212212x m x R R m x m J v m T c =+=+=ω \ x

振动习题答案分解

《振动力学》——习题 第二章 单自由度系统的自由振动 2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。 解： 2 22221v g W h W = ，gh v 22= 动量守恒： 122 122v g W W v g W +=，gh W W W v 221212+= 平衡位置： 11kx W =，k W x 1 1= 1221kx W W =+，k W W x 2 112+= 故： k W x x x 2 1120= -= ()2 121W W kg g W W k n +=+= ω 故： t v t x t x t x x n n n n n n ωωωωωωsin cos sin cos 12 000+ -=+-= x x 0 x 1 x 12 平衡位置

2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。 解：给杆一个微转角θ 2a θ＝h α 2F ＝mg 由动量矩定理： a h a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12 1 2 2-=-≈?-=== =αθ αθ 其中 1 2c o s s i n ≈≈θ αα h l ga p h a mg ml n 2 22 22304121==?+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π22 2= == 2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。试求 其摆动的固有频率。

振动理论及应用期末复习题题

2008年振动力学期末考试试题 第一题（20分） 1、在图示振动系统中，已知：重物C 的质量m 1，匀质杆AB 的质量m 2，长为L ，匀质轮O 的质量m 3，弹簧的刚度系数k 。当AB 杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。 解： 系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C 的位移y 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 y ＝0，此时系统的势能为零。 AB 转角：L y /=? 系统动能： m 1动能：2112 1 y m T = m 2动能：2222222 22222)3 1(21))(31(21)31(2121y m L y L m L m J T ====? ω m 3动能：2322 32333)2 1(21))(21(2121y m R y R m J T ===ω 系统势能： 221)2 1 (21)21(y k y g m gy m V ++-= 在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有： E y k gy m gy m y m m m V T =++-++= +2212321)2 1 (2121)2131(21 上式求导，得系统的微分方程为： E y m m m k y '=+++) 2 1 31(4321 固有频率和周期为： ) 2 131(43210m m m k ++= ω 2、质量为m 1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A 连在质量为m 2的物块B 上；轮心C 与刚度系数为k 的水平弹簧相连；不计滑轮A ，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。 解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B 的位移x 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 x ＝0，此时系统的势能为零。 物体B 动能：2212 1 x m T =

振动力学期末考试试题和答案

振动力学期末考试试题和答案 振动力学(试题) 2008 一、填空(每空2分) 1、设周期振动信号的周期为，则其傅里叶级数的展开的基频为,T ,,, 2、单自由度粘性阻尼系统的阻尼因子与阻尼系数的关系为,,, , 作用下系统响应的稳态振3、单自由度粘性阻尼系统在简谐力ptsin,0 动的幅值为,,, 4、粘性阻尼一周期内所消耗的能量与频率成,,,比。 5、无阻尼多自由度系统的主振型正交关系为,,,,,, 6、写出多自由度系统再频率域的输入与输出之间的关系,,,,, 7、写出瑞利商的表达式,,,,,, r8、多自由度系统中共存在个主固有频率，其相应的主振型,,, 正交。 9、无阻尼多自由度系统，利用里兹法计算出的主振型关于M、K是 否正交,,,,(答是或否) 10、写出如图T-1所示梁的左端边界条件,,,,,,,,,, y L x K 图T-1 二、(20分)系统如图T-2所示，杆AB为刚性、均质，长度为,总L 质量为，弹簧刚度为，阻尼系数为。求系统的固有频率及阻mck

尼因子。 图T-2 三、系统如图T-3所示。求系统的固有频率与主振型。 k k k k k m m m X X X 123 图T-3 四、 五、(20分)简支梁如图T-5所示，弹性模量为E，质量密度为，, 横截面积为A，截面惯性矩为J。求梁在中央受集中弯矩M下的响应。(假设梁的初始状态为零)

图T-5 答案 一、填空(每空2分) 1、周期振动信号的周期为，则其傅里叶级数的展开的基频为 T2/,T 2、单自由度粘性阻尼系统的阻尼因子与阻尼系数的关系为, c ,, 2mk 作用下系统响应的稳态振3、单自由度粘性阻尼系统在简谐力ptsin,0 p10动的幅值为 ,,B222k,,,,，(1)(2) 4、粘性阻尼一周期内所消耗的能量与频率成,正,比。 5、无阻尼多自由度系统的主振型正交关系为加权(M,K)正交: 0()ij,0()ij,,,TTTT ,,,,M,K,,,ijijMij(),Kij(),pipi,, 6、写出多自由度系统在频率域的输入与输出之间的关系 21,其中 xHP()()(),,,,HKMiC()(),,,,,， TXKX7、写出瑞利商的表达式 ()RX,TXMX r8、多自由度系统中共存在个重固有频率，其相应的主振型,,加 权(M,K)正交。 MK9、无阻尼多自由度系统，利用里兹法计算出的主振型关于、是

振动力学参考答案

请打双面 习题与综合训练第一章 2-1一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m，视为一刚性杆；柱子 高h，视为无质量的弹性杆， 其抗弯刚度为EJ。求该房屋 作水平方向振动时的固有 频率。 解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为k 则 其中为两根杆的静形变量，由材料力学易知 = 则= 设静平衡位置水平向右为正方向，则有 所以固有频率 2-2一均质等直杆，长为 l，重量为W，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。 解：给杆一个微转角θ θ＝hα 2F＝mg 由动量矩定理： 其中 2-3求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是和，悬臂梁的质量忽略不计。 解：悬臂梁可看成刚度分 别为k1和k3的弹簧，因此，k1 与k2串联，设总刚度为k1ˊ。 k 1 ˊ与k3并联，设总刚度为k2 ˊ。k2ˊ与k4串联，设总刚度 为k。即为 ，， mg kδ =δ δ 3 24 mgh EJ = k3 24EJ h " m x kx =- 3 n 24 mh EJ p= 2 a a h a mg a mg Fa M ml I M I 8 2 2 cos sin 12 1 2 2 - = - ≈ ? - = == = α θ α θ&& 1 2 cos sin≈ ≈ θ α α h l ga p h a mg ml n2 2 2 2 2 3 4 12 1 = = ? +θ θ&& g h a l ga h l p T n 3 π2 3 π2 π2 2 2 = = = 1 k3k 2 1 2 1 1k k k k k + = ' 2 1 2 1 3 2k k k k k k + + = ' 4 2 4 1 2 1 3 2 3 1 4 2 1 4 3 2 4 2 1 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k + + + + + + = θ F sinα 2 θ α F h mg θ F

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《振动力学》——习题第二章 单自由度系统的自由振动2-1 如图2-1 所示，重物悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物 1W 2 W 从高度为h 处自由下落到上且无弹跳。试求下降的最大距离和两物体碰撞1W 2W 后 的运动规律。 图2-1 图2-22-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。试求 其摆动的固有频率。 图2-3 图2-42-4 如图2-4 所示，一质量m 连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况系统作垂直振动的固有频率： （1）振动过程中杆被约束保持水平位置； （2）杆可以在铅垂平面内微幅转动； （3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB 在A 点的等效质量。已知杆的质量为 m ，A 、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。

振动力学考题集

1、四个振动系统中，自由度为无限大的是（）。 A. 单摆； B. 质量- 弹簧； C. 匀质弹性杆； D. 无质量弹性梁； 2、两个分别为C i、C2的阻尼原件，并连后其等效阻尼是（）。 A. C.C1+C2； C1-C2； B. D. C1C2/( C1+C2) ； C2-C1； 3、（）的振动系统存在为0 的固有频率。 A.有未约束自由度； B.自由度大于0 C.自由度大于1； D.自由度无限多； 4、多自由度振动系统中，质量矩阵元素的量纲应该是（）。 A. 相同的，且都是质量； B. 相同的，且都是转动惯量； C. 相同的，且都是密度； D. 可以是不同的； 5、等幅简谐激励的单自由度弹簧-小阻尼-质量振动系统，激励频率（）固有频率时，稳态位移响应幅值最大。 A. 等于； B. 稍大于； C. 稍小于； D. 为0； 6、自由度为n 的振动系统，且没有重合的固有频率，其固有频率的数目（ A ）。 A. 为n； B. 为1； C. 大于n； D. 小于n； 7、无阻尼振动系统两个不同的振型u（r）和u（s）, u（r）T Mu⑸的值一定（） A. 大于0； B. 等于0； C. 小于0； D. 不能确定； 8、无阻尼振动系统的某振型u（r）, u（r）T Ku⑴的值一定（）。 A. 大于0； B. 等于0； C. 小于0； D. 不能确定； 9、如果简谐激励力作用在无约束振动系统的某集中质量上，当激励频率为无限大时，该集中质量的稳态位移响应一 定（）。 A. 大于0； B. 等于0； C. 为无穷大； D. 为一常数值； 10、相邻固有频率之间的间隔呈近似无限等差数列的振动系统是（）。 A. 杆的纵向振动； B. 弦的横向振动； C. 一般无限多自由度系统； D. 梁的横向振动； 11、两个刚度分别为k1、k2 串连的弹簧, 其等效刚度是（）。 A. k1+k2； B. k1k2/( k1+k2) ；

《振动力学》课程作业

《振动力学》2015春节学期作业 一、无阻尼自由振动 1、如图所示，T型结构可绕水平轴O作微小摆动，已知摆动部分的质量为w，机构绕O轴的转动惯量为J，两弹簧的弹簧系数均为k，且当=0 ?时（即机构处于平衡位置时），两弹簧无伸缩，试求该机构的摆动频率。 （答案：ω） 2、如图所示，长度为L的刚性杆件，在O点铰支，自由端固定一质量为m 的小球。在距离铰支端a处，由两个刚度系数为k/2的弹簧将刚性杆件支持在铅垂面内。求该系统的固有频率。（忽略刚性杆件和弹簧的质量） （答案：ω）

的质量块，弹簧刚度为k，求系统的固有频率。 （答案：ω=） 微摆动，求其固有角频率。 （答案：ω=）

5、如图所示，抗弯刚度为62 EI=??的梁AB，借弹簧支撑于A,B两 3010(N m) 点处，弹簧系数均为300(/) =。忽略梁的质量，试求位于B点左边3m k N m 处，重量为1000() =的物块自由振动的周期。 W N （答案：T=0.533s） 6、一个重W的水箱，借助四根端点嵌固的竖置管柱支撑着。每根柱子的长为L,抗弯刚度为EI。试求该水箱顺水平方向自由振动的周期。（管柱的质量忽略不计） （答案：2 T=） 7、《结构动力学基础》，第2章课后习题，第1题、第2题、第8题 二、有阻尼自由振动 1、如图所示，库伦曾用下述方法测定液体的粘性系数'c：在弹簧上悬挂

一薄板A ，先测出薄板在空气中的振动周期1T ,然后测出在待测粘性系数的液体中的振动周期2T 。设液体对薄板的阻力等于2A 'c v ，其中2A 为薄板的表面面积，v 为薄板的速度。如薄板重W ，试有测得的数据1T 和2T ，求出粘性系数'c 。空气对薄板的阻力不计。 （答案：'c =） 2、物体质量为2kg ，挂在弹簧下端。弹簧常数k=48.02N/cm,求临界阻尼系数。 （答案：196Ns/m ） 3、挂在弹簧下端的物体，质量为1.96kg ，弹簧常数k=0.49N/cm,阻尼系数c=0.196Ns/cm 。设在t=0时刻将物体从平衡位置向下拉5cm ，然后无初速度地释放，求此后的运动。 （答案:55(15t)cm t x e -=+ ） 4、《结构动力学基础》，第2章课后习题，第12题 三、简谐荷载作用下的强迫振动 1、如图所示，一无重简支梁，在跨中有重W=20kN 的电机，电机偏心所产

振动力学期末考试试题以及答案(很有参考价值哦)

2006《振动力学》课程本科生考试试题标准答案 1. 圆筒质量m 。质量惯性矩o J ，在平面上在弹簧k 的限制下作纯滚动，如图所示，求其 固有频率。（10分） 解：令t A x t A x ωωωcos ,sin == t A x r J m x r J m r x J x m J x m T o o o o ωωθ22 2222 2222 2cos )(21)(21)(21212 121 +=+=+=+= t kA kx U ω2 22sin 2121== 2 2 2222max max /2 1)(21r J m k kA A x r J m U T o o += =+∴=ωω 2. 图示的弹簧质量系统，两个弹簧的连接处有一激振力t P t P ωsin )(0=的作用，求质量m 稳态响应的幅值。（10分） )(t 2 x x m 11x k (t P 22x k

解：设m 的位移为x ，则21x x x += (1) 其中,1x 为弹簧1k 的变形，2x 为弹簧2k 的变形 对m 列运动微分方程： 022=+x k x m (2) 对连接点列平衡方程： )(2211t P x k x k += (3) 由(3)式可以得出： 12 21)(k x k t P x += 将上式代入(1)式可得出： 2 112)(k k x k t P x ++-= 将上式代入(2)式可得出：0)(2 12 2121=+-++t P k k k x k k k k x m 令m k k k k k k e e e =+= ω,212 1，有 t k k k P t P k k k x k x m e ωsin )(2 120212 +=+=+ t k P t k k k k P x e e e ωωωωωωsin )(11sin )(11 12 102 2120-?=-??+= ∴ 3. 建立如图所示系统的运动微分方程并求稳态响应。（10分） 解：对物体m 列运动微分方程，有： 0)(1=--+x x k x c x m 即： t kA kx x c x m ωsin =++ t A ωsin 1= x m )x -

《振动力学》习题集(含答案)

《振动力学》习题集（含答案） 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图所示。求系统的固有频率。 图 - 解： 系统的动能为： ()2 22 121x I l x m T += 其中I 为杆关于铰点的转动惯量： 210212 0131l m dx x l m x dx l m I l l ??==?? ? ??= 则有： ()2212212236 16121x l m m x l m x ml T +=+= 系统的势能为： ()()()2 1212124 1 4121 cos 12 cos 1glx m m glx m mglx x l g m x mgl U +=+=-? +-= 利用x x n ω= 和U T =可得： [ ()()l m m g m m n 113223++= ω

质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图所示。求系统的固有频率。 图 解： : 如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为： 22222243212121θθθ mR mR mR I T B =?? ? ??+== ()[]()22 22 12θθa R k a R k U +=+?= 利用θωθn = 和U T =可得： ()m k R a R mR a R k n 343422 += +=ω ：

转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图所示。求系统 的固有频率。 ， 图 解： 系统的动能为： 2 2 1θ J T = 2k 和3k 相当于串联，则有： 332232 , θθθθθk k =+= 以上两式联立可得： θθθθ3 22 33232 , k k k k k k +=+= 系统的势能为： ] ()2 32323212332222121212121θθθθ?? ????+++=++=k k k k k k k k k k U 利用θωθn = 和U T =可得： ()() 3232132k k J k k k k k n +++= ω ：

《振动力学》习题集(含答案)

《振动力学》习题集（含答案） 1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。求系统的固有频率。 图E1.1 解： 系统的动能为： ()2 22 121x I l x m T += 其中I 为杆关于铰点的转动惯量： 210212 0131l m dx x l m x dx l m I l l ??==?? ? ??= 则有： ()2212212236 16121x l m m x l m x ml T +=+= 系统的势能为： ()()()2 1212124 1 4121 cos 12 cos 1glx m m glx m mglx x l g m x mgl U +=+=-? +-= 利用x x n ω= 和U T =可得： ()()l m m g m m n 113223++= ω 1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。

图E1.2 解： 如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为： 22222243212121θ θθ mR mR mR I T B =?? ? ??+== ()[]()22 22 12θθa R k a R k U +=+?= 利用θωθn = 和U T =可得： ()m k R a R mR a R k n 34342 2 +=+=ω

1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。求系统的固有频率。 图E1.3 解： 系统的动能为： 22 1θ J T = 2k 和3k 相当于串联，则有： 332232 , θθθθθk k =+= 以上两式联立可得： θθθθ3 22 33232 , k k k k k k +=+= 系统的势能为： ()2 32323212332222121212121θθθθ?? ????+++=++=k k k k k k k k k k U 利用θωθn = 和U T =可得： ()() 3232132k k J k k k k k n +++= ω 1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。求固有频率。 图E1.4 答案图E1.4 解： mg b a +2 x x 2

完整版振动力学研究生期末考试题

线订装封密线订装封密 西南交通大学2009—2010学年第（1 ）学期考试试卷课程代码6332200 课程名称振动力学考试时间120 分钟 一、如图所示系统，设杆AB为刚性杆，其对A点的转动惯量为1=1 kgm2，杆长L=1 m。在B 端有一集中质量块，杆的中间和B端分别有弹簧支承。已知质量块质量m=10 kg,弹簧系数k1=40 N/m，k2=100 N/m。试以集中质量块的位移x为参照，（1）求系统的等效质量和等效刚度；（2）系统的周期是多少？（3）建立系统的运动微分方程。（15分） L/2L/2 --------- —--- 予 线订装封密 题号-一一二二二-三四五六七八九十总成绩得分 阅卷教师签字：_________________________________________________________________

二、横截面面积为A、质量为m的圆柱形浮子，静止在密度为p的液体中。设从静平衡位置压低距离x o,然后无初速地释放，假定阻尼可以忽略不计。 （1）试建立浮子的运动方程； （2）给出浮子的固有频率及初始条件； （3）求浮子自由运动的响应。（15分） o

三、如图所示滑轮系统，在运动过程中，假设不可伸长绳与滑轮之间无相对滑动。已知m i=9 kg , m2=8 kg，滑轮A的半径R A=0.1 m，对其转轴的惯性矩|A=0.01 kgm2，滑轮B的半径R B=0.2 m，对其转轴的惯性矩I B=0.08 kgm2，弹簧系数k i=k2= k3=1000 N/m。试求： 1)系统的运动方程； (2)系统的频率及振型； (3)验证振型关于质量阵加权正交。(20分)

振动力学习题集

例：一等截面简支梁质量不计，长度3l m =，258800EI N m =?。有一质量90m kg =的物块从梁的中点上方10h mm =处落下，且物块与梁接触后不分开，试计算接触后系统自由振动的固有频率及振幅。 解：（1）梁中点受竖直向下单位力作用的挠度即为柔度系数3 48l EI δ=，因此固有 频率为 ：134.1n s ω-= == （2）重物落下与梁接触时开始振动，初始条件为 33 30909.838.44108.44484858800 st mgl y m mm EI -??=-?=-=-=-?=-? 02y gh = 2 0222st n n y gh h ωω??==? ??? 振幅为 08.4415.5A mm ===? 梁中点的最大位移为15.58.4423.9st s A mm =+?=+= 瑞利法（Rayleigh ）:等效质量的计算方法。应用这种方法时，必须做有关振动过程中系统形态的某些假设，称之为形状函数或振型。相当于对系统附加了某些约束，增加了系统的刚度，固有频率略高于精确值。以静变形曲线作为振动形状，所得结果误差很小。如果对结构的弹性曲线假设任一适当形状，可以期望得到接近振动真实周期的近似值，如果选的形状精确，就会得到精确的周期。 插P10 例1.4.1 如图示，悬臂梁（棱柱形）自由端处带有重量mg ，设梁的密度为 ρ，求考虑梁的质量时，系统的固有频率。

x y m 解：无重悬臂梁端有荷载mg时的静力挠曲线方程为： 23 (3)(0) 6 mg y lx x x l EI =-≤≤ 由此可得B端挠度 EI mgl y m3 3 = 令?? ? ? ? ?- = 3 3 2 2 3 )( l x lx t y y m 则 23 2 3 3 () 22 l m lx x T y dx l ρ- '=? 22 11 3333 , 14022140 m m y y l m m l ρρ =?==为梁作用在B点的等效质量 对于这种情况，振动的周期与端点处承受下列质量的无质量悬臂梁相同1 33 140 M m m m lρ =+=+ ∴ B端总重为: 1 33 ()() 140 Mg m m g m l g ρ =+=+ 即使在 lρ不太小的情况下，等效质量 33 140 l ρ也可以应用 将结果用于0 = m的极端情况（悬臂段的集中质量为零）， 可有： 3 33 () 1403 st l l g EI δρ = 所得的振动周期则为：22 τπ ===

振动力学 部分 课后答案 刘延柱 著 高等教育出版社

1.1质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1 所示。求系统的固有频率。 图E1.1 解： 系统的动能为： ()2 22 121x I l x m T += 其中I 为杆关于铰点的转动惯量： 2 10212 0131l m dx x l m x dx l m I l l ∫∫==?? ????=则有： ()2212212236 16121x l m m x l m x ml T +=+= 系统的势能为： ()()()2 1212124 1 4121 cos 12 cos 1glx m m glx m mglx x l g m x mgl U +=+=?? +?=利用x x n ω= 和U T =可得：()()l m m g m m n 113223++= ω

1.2质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。 图E1.2 解： 如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为： 22222243212121θθθ mR mR mR I T B =?? ????+== ()[]()2 222 12θθa R k a R k U +=+?=利用θωθn = 和U T =可得：()m k R a R mR a R k n 343422 += += ω

1.3转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。 求系统的固有频率。 图E1.3 解： 系统的动能为： 2 2 1θ J T = 2k 和3k 相当于串联，则有： 3 32232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得： θθθθ3 22 33232 , k k k k k k +=+= 系统的势能为： ()232323212 332222*********θθθθ?? ????+++=++=k k k k k k k k k k U 利用θωθn = 和U T =可得：() () 3232132k k J k k k k k n +++= ω

振动力学课后习题答案

2.11 图T 2-11所示是一个倒置的摆。摆球质量为m ，刚杆质量可忽略，每个弹簧的刚 度为2 k 。 （1）求倒摆作微幅振动时的固有频率； （2）摆球质量m 为0.9 kg 时，测得频率()n f 为1.5 Hz ，m 为1.8 kg 时，测得频率为0.75 Hz ，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？ 图 T 2-1 答案图 T 2-11(1) 答案图 T 2-11(2) 解：（1） 2 222 121 θθ ml I T == ()() () 2 2 2 2 2 2 2 12 12 1 cos 121212θ θ θθθmgl ka mgl ka mgl a k U -= - =--?? ? ??? = 利用max max U T =，max max θωθn = ??? ? ??-= - = -= 12 2 22 2 mgl ka l g l g ml ka ml mgl ka n ω ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- （2） 若取下面为平衡位置，求解如下： 2 222 121 θθ ml I T == ()() mgl mgl ka mgl mgl ka mgl ka mgl a k U +-= - +=?? ? ? ? -+= +??? ??? =2 2 2 2 2 2 2 2 22 12 12 1 2sin 212 1cos 21212θ θ θθθθθ ()0= +U T dt d ，() 0222 2=-+θθθ θ mgl ka ml θ 零平衡位置