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2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准(A卷和B卷)

2018 年全国初中数学联赛试题参考答案及评分标准

说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题，

请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在

评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.

第一试(A)

一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）

1．设二次函数 2

y x ax 的图象的顶点为A ，与x 轴的交点为B,C .当△ABC 为等边

三角

形时，其边长为（）

A. 6 ．

B.2 2 ．

C.2 3 ．

D.3 2 ．

【答】C.

由题设知A (a ,) .设B(x1,0) ，C(x2 ,0) ，二次函数的图象的对称轴与x 轴的交点为D ，则

BC | x 1 x |(x x ) 4x x 4a 42a .

2 2 2

2 1 2 1 2

3 3

又AD BC | | 2a

，则 2 ，解得a 2 6 或a 2 0 （舍去）.

2 2 2

所以，△ABC 的边长BC 2a 2 2 3 .

2．如图，在矩形ABCD 中，BAD的平分线交BD 于点E ，AB 1，CAE 15，则BE （）

． B.

． C. 2 1． D. 3 1． A D 【答】D.

延长AE 交BC 于点F ，过点E 作BC 的垂线，垂足为H .

由已知得BAF FAD AFB HEF 45，B F AB

1，

EBH ACB 30.

B C

H F

设BE x，

则

HF HE

，

BH .

因为BF BH HF ，所以

3 x

，解得x 3 1.所以BE 3

2 2

3．设p,q 均为大于 3 的素数，则使p 2 5pq 4q 为完全平方数的素数对(p,q) 的个数为

（）

A.1．

B.2．

C.3．

D.4．

【答】B.

2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 1 页（共 10 页）

设p2 5pq 4q2 m2 （m 为自然数），则(p 2q)2 pq m2 ，即

(m p 2q)(m p 2q) pq .

由于p,q 为素数，且m p 2q p,m p 2q q ，所以m p 2q 1，m p 2q

pq ，从

而pq 2p 4q 1 0，即(p 4)(q 2) 9，所以(p,q) (5,11)或(7, 5) .

所以，满足条件的素数对(p,q) 的个数为 2.

2 2

4．若实数a,b 满足a b 2，(1 ) (1 ) 4

a b

，则a5 b5 （）

b a

A.46．

B.64．

C.82．

D.128．

【答】C.

( 2 2

1 a) (1 b)

由条件 4

得a b 2a2 2b2 4ab a3 b3 0，

b a

即(a b) 2[(a b)2 4ab] (a b)[(a b)2 3ab] 0，

又a b 2，所以2 2[4 4ab] 2[4 3ab] 0，解得ab 1.所以a2 b2 (a b)2 2ab

6 ，

a b a b a b ab ，a5 b5 (a2 b2 )(a3 b3) a2b2 (a b) 82 .

3 3 ( )[( )2 3 ] 14

5．对任意的整数x, y ，定义x@ y x y xy ，则使得(x@ y)@z (y @z)@x (z@x)@ y

的整数组(x, y, z) 的个数为（）

A.1．

B.2．

C.3．

D.4．

【答】D.

(x@ y)@z (x y xy)@z (x y xy) z (x y xy)z x y z xy yz zx xyz ，

由对称性，同样可得

(y@z)@x x y z xy yz zx xyz ，(z@x)@ y x y z xy yz zx xyz .

所以，由已知可得x y z xy yz zx xyz 0 ，即(x 1)(y 1)(z 1) 1.

所以，x, y, z 为整数时，只能有以下几种情况：

x 1

1, y 1 1,

z 1 1,

x 1

或

y 1

z 1

1 1,

或

y 1

z 1

或

所以，(x, y, z ) (2,2,0)或(2,0,2) 或(0,2,2) 或(0,0,0)，故共有 4 个符合要求的整数组.

2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 2 页（共 10 页）

1 1 1

6．设M ，则2018 2019 2020 2050 1

的整数部分是（）

A.60．

B.61．

C.62．

D.63．

【答】B.

1 2018

5 因为M 33 ，所以

2018 M 33 33

1 1 1 1 1 1

又M ( ) ( )

2018 2019 2030 2031 2032 2050

1 1 1345

13 20 ，

2030 2050 83230

1 1

83230 1185

所以61 ，故的整数部分为 61.

M 1345 1345 M

二、填空题：（本题满分28 分，每小题7 分）

1．如图，在平行四边形ABCD 中，BC 2AB ，CE AB于E ，F 为AD 的中点，若AEF

48，

则 B _______．

【答】84.

F 设BC 的中点为

G ，连结FG 交CE 于

H ，由题设条件知FGCD 为菱形.

由AB // FG // DC及F 为AD 的中点，知H 为CE 的中点.

又CE AB，所以CE FG ，所以FH 垂直平分CE ，故

DFC GFC EFG AEF 48.

所以B FGC 180 248 84 .

E H

B C

2．若实数x, y 满足

1 15

x 3 y 3 (x y ) ，则x y的最大值为．

4 2

【答】3.

1 1 15

由

x 3 y 3 (x y ) 可得x y x 2 xy y 2 x y ，即

( )( ) ( )

4 4 2

2 2 1 15

(x y)(x xy y ) . ①

4 2

令x y k ，注意到 2 2 1 ( )2 3 2 1 0

x xy y x y ，故x y k 0 .

4 2 4 4

又因为x2 xy y2 1 (x y)2 3xy 1 ，故由①式可得 3 3 1 15

k xyk k ，所以

4 4 4 2 1

k k

4 2

xy .

1 15

k k

4 2

于是，x, y 可看作关于t 的一元二次方程t2 kt 0 的两根，所以

1 15

k k

4 2

2 ，

( k) 4 0

化简得k3 k 30 0 ，即(k 3)(k2 3k 10) 0，所以0 k 3.

故x y 的最大值为3.

2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 3 页（共 10 页）

3．没有重复数字且不为 5 的倍数的五位数的个数为．

【答】21504.

显然首位数字不能为 0，末位不能为 0 和 5.

当首位数字不为 5 时，则首位只能选 0,5 之外的 8 个数.相应地个位数只能选除 0,5 及万位数之外的 7

个数，千位上只能选万位和个位之外的 8 个数，百位上只能选剩下的 7 个数，十位上只能选剩下的 6 个数.

所以，此时满足条件的五位数的个数为8787 6 18816个.

当首位数字为 5 时，则个位有 8 个数可选，依次千位有 8 个数可选，百位有 7 个数可选, 十位有 6 个

数可选.所以，此时满足条件的五位数的个数为887 6 2688个.

所以，满足条件的五位数的个数为18816 2688 21504（个）.

4．已知实数a,b,c满足a b c 0 ，a 2 b 2 c 2 1，则

a5 5 5

b c

abc

．

【答】.

1 2 2 2 2

由已知条件可得

ab bc ca a b c a b c ，a 3 b 3 c 3 3abc ，所以

[( ) ( )]

2 2

a 5

c (a 2 b 2 c2 )(a 3 b 3 c3) [a2 (b 3 c3 ) b2 (a 3 c3) c2 (a 3 b3)]

5 5

3abc (a2b2c a2c2b b2c2a) 3abc [a b (a b) a c (a c) b c (b c)]

2 2 2 2 2 2

1 5

3abc abc(ab bc ca ) 3abc abc abc .

2 2

所以

abc

第一试(B)

一、选择题：（本题满分42 分，每小题7 分）

1．满足(x 2 x 1)x 2 1的整数x 的个数为（）A.1． B.2． C.3． D.4．

【答】C.

当x 2 0且x 2 x 1 0时，x 2.

当x2 x 1 1时，x 2或x 1.

当x2 x 11且x 2为偶数时，x 0.

所以，满足条件的整数x 有 3 个.

2．已知x1, x2 ,x3 (x1 x2 x3 )为关于x 的方程

x3 3x2 (a 2)x a 0 的三个实数根，则4x x x x （）

2 2 2

1 1

2 3

A.5．

B.6．

C.7．

D.8．

2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 4 页（共 10 页）

【答】A. 方程即 (x

1)(x 2

2x a ) 0 ，它的一个实数根为 1，另外两个实数根之和为 2，其中必有一根小

于 1，另一根大于 1，于是 x 2 1, x 1 x 3 2 ，故

4x x x x (x

x )(x

x )

2(x

x ) 4x

2 2 2 1

2(x x )1

5 .

3．已知点 E ， F 分别在正方形 ABCD 的边CD ， AD 上，CD 4CE ，EFB FBC ，则

tan ABF

（

）

A. 12 ．

B. 35

．

C. 2 2

．

D. 3 2

．

【答】B. 不妨设CD 4，则CE 1,DE 3.设 DF x ，则 AF 4 x ， EF

x 2

9 .

作 BH

EF 于点 H .因为 EFB

FBC AFB ， BAF 90 BHF ， BF 公共，所以

△ BAF ≌△ BHF ，所以 BH BA 4.

由 S 四边形ABCD

ABF

BEF S

DEF

BCE 得

1 1

4 2 x

x 2

， 2

2 2 4 (4 ) 4 9

4 1

解得所以

x . 5

12 AF 3 AF

4 x

， tan

ABF

5 AB 5

H E

4．方程 3 9 x

3 x 的实数根的个数为

（）

A.0．

B.1．

C.2．

D.3．

【答】B. 令 y 9 x ，则 y 0，且 x y 2 9 ，原方程变为 3 y 3 y 2 9 ，解得 y 1或 y 6，从

而

可得 x 8或 x 27 .

检验可知： x 8是增根，舍去； x

27 是原方程的实数根.

所以，原方程只有 1 个实数根.

5．设 a ,b ,c 为三个实数，它们中任何一个数加上其余两数之积的 2017 倍都等于 2018，则这样的三元数组 (a ,b ,c )的个数为

（

）

A.4．

B.5．

C.6．

D.7．

【答】B.

由已知得， a 2017bc 2018，b 2017ac 2018 ，c 2017ab 2018，两两作差，可得(a b)(1 2017c) 0，(b c)(1 2017a) 0，(c a)(1 2017b) 0.

2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 5 页（共 10 页）

由(a b )(1 2017c ) 0，可得 a b 或

c .

2017

2018

（1）当a b c 时，有2017a 2 a 2018 0，解得a 1或

a .

2017

1 1

a ， c 2018 .

2017 2017

（2）当a b c 时，解得b

1 1 1 1

1 （3）当a b时，

c ，此时有：a ,b 2018 ，或a 2018 ,b .

2017 2017 2017 2017 2017

故这样的三元数组(a,b,c)共有 5 个.

6．已知实数a,b 满足a 3 3a 2 5a 1，b 3 3b 2 5b 5，则a b （）

A.2．

B.3．

C.4．

D.5．

【答】A.

有已知条件可得(a 1)3 2(a 1) 2，(b 1)3 2(b 1) 2 ，两式相加得

(a 1) 2(a 1) (b 1) 2(b 1) 0 ，

3 3

因式分解得(a b2)[(a 1)2 (a 1)(b 1) (b1)2 2] 0 .

因为

1 3

(a 2 a b b 2 a b 2 b 2 ，

2 4

1) ( 1)( 1) ( 1) 2 [( 1) ( 1)] ( 1) 2 0

所以 a b 2 0，因此 a b 2.

二、填空题：（本题满分28 分，每小题7 分）

1．已知p,q,r 为素数，且pqr 整除pq qr rp 1，则p q r _______．

【答】10.

设k

pq qr rp 1 1 1 1 1

，由题意知k 是正整数，又p,q,r

2 ，所以

pqr p q r pqr

k ，

从

而k 1，即有pq qr rp 1pqr ，于是可知p,q,r 互不相等.

当2 p q r 时，pqr pq qr rp 1 3qr ，所以q 3，故q 2 .于是2qr qr 2q 2r

，故(q 2)(r 2) 3，所以q 2 1,r 2 3，即q 3,r 5 ，所以，(p,q,r) (2,3,5) . 1

再由p,q,r 的对称性知，所有可能的数组( p,q,r)共有6组，即(2,3,5)，(2,5,3) ，(3,2,5) ，(3,5,2) ，(5,2,3) ，(5,3,2) .

于是p q r 10 .

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2．已知两个正整数的和比它们的积小 1000，若其中较大的数是完全平方数，则较小的数为．

【答】8.

设这两个数为m2 ,n (m 2 n) ，则m 2 n m2n 1000，即(m 2 1)(n 1) 1001.

又1001100111437 9111 7713 ，所以(m 2 1,n 1) ＝(1001, 1) 或(143, 7) 或(91,11) 或(77,13) ，验证可知只有(m 2 1,n 1) (143,7) 满足条件，此时m 2 144,n 8.

3 ．已知D 是△ABC 内一点，E 是AC 的中点，AB 6 ，BC 10 ，BAD BCD ，

EDC ABD ，则DE ．

【答】4.

延长CD 至F ，使DF DC ，则DE// AF 且DE AF ，

AFD EDC ABD ，故A, F, B, D 四点共圆，于是

所以

B C

BFD BAD BCD，所以BF BC 10 ，且BD FC ，

FAB FDB 90.

故

又AB 6，故AF 102 62 8，所以AF 4

DE .

4．已知二次函数y x 2 2(m 2n 1)x (m 2 4n 2 50) 的图象在x 轴的上方，则满足条件的正

整数对(m,n)的个数为．

【答】16.

因为二次函数的图象在x 轴的上方，所以 [2(m 2n 1)]2 4(m 2 4n 2 50) 0 ，整理得

4mn 2m 4n 49 ，即(m n .因为m,n 为正整数，所以(m 1)(2n 1) 25.

1)(2 1)

又m 1 2，所以2n ，故n 5.

25 22

当n 1时， 1 m ，符合条件的正整数对(m,n)有 8 个；

m ，故

3 3

当n 2 时，m 1 5，故m 4，符合条件的正整数对(m,n)有 4 个；

25 18

当n 3时， 1

m ，故m ，符合条件的正整数对(m,n)有 2 个；

7 7

25 17

当n 4 时， 1 m ，符合条件的正整数对(m,n)有 1 个；

m ，故

9 9

25 14

当n 5时，m 1 ，故m ，符合条件的正整数对(m,n)有 1 个.

11 11

综合可知：符合条件的正整数对(m,n)有 8＋4＋2＋1＋1＝16 个.

2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 7 页（共 10 页）

第二试（A）

一、（本题满分20分）设a,b,c,d 为四个不同的实数，若a,b 为方程x 2 10cx 11d 0的根，c,d

为方程x 2 10ax 11b 0的根，求a b c d 的值.

解由韦达定理得a b 10c ，c d 10a，两式相加得a b c d 10(a c) .

……………………5 分因为a 是方程x 2 10cx 11d 0 的根，所以a 2 10ac 11d 0 ，又d 10a c ，所以

a 110 11 10 0 . ①……………………10 分

2 a c ac

类似可得c 2 110c 11a 10ac 0 . ②……………………15 分

①－②得(a c)(a c 121) 0.

因为a c，所以a c 121，所以a b c d 10(a c ) 1210. ……………………20 分

二、（本题满分25 分）如图，在扇形OAB 中，AOB 90，OA 12 ，点C 在OA上，AC 4，点D 为OB 的中点，点E 为弧AB 上的动点，OE 与CD的交点为F .

（1）当四边形ODEC 的面积S 最大时，求EF ；

（2）求CE 2DE 的最小值.

解(1)分别过O, E 作CD 的垂线，垂足为M , N .

由OD 6,OC 8，得CD 10.所以

S S OCD S ECD CD (OM EN)

D B

1 1

CD OE 10 12 60，……………………5 分

2 2

当OE DC 时，S 取得最大值 60.

此时，12 68 36

EF OE OF . ……………………10 分

10 5

G （2）延长OB 至点G ，使BG OB 12 ，连结GC,GE .

因为O D

O E

2 ，

DOE

EOG，所

D E

，故

2DE .

以△ODE

∽△OEG ，

所以

……………………20 分

所以CE 2DE CE EG CG 242 82 8 10 ，当C, E,G 三点共线时等号成立. 故CE 2DE 的最小值为8 10 . ……………………25 分

2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准第 8 页（共 10 页）

三、（本题满分25 分）求所有的正整数m,n ，使得m3n 3

m2n2

(m n)

是非负整数.

解记

m n m n

3 3 2 2

，则

(m n)

(m n)[(m n ) 3mn ] m n 3mn mn

(m n )

( ) .

2 (m n) 2

m n m n

因为m,n 为正整数，故可令

m n q

，p,q 为正整数，且( p,q ) 1.

于是S

3q q2 3pq q2 (m n ) (m n )

p 2 2

p p

因为S 为非负整数，所以p | q2 ，又( p,q ) 1，故p 1，即(m n) | mn . ①

……………………10 分

所以

是整数，所以(m n) | n2 ，故n 2 m n ，即n 2 m

n .

又由S 0，知m 3 n 3 m2n 2 0 . ②

所以n 3 m2n 2 m 3 m2 (n 2 m ) m2n，所以n m.

由对称性，同理可得m n，故m n. ……………………20 分

把m n代入①，得2 | m ，则m 2.把m n代入②，得2m 3 m 4 0，即m 2 .

故m 2.

所以，满足条件的正整数m,n 为m 2，n 2 . ……………………25 分

第二试（B）

1 1 1 9

一、（本题满分20 分）若实数a,b,c 满足(a b c )( ) ，求

a b 5c b c 5a c a 5b 5

1 1 1

(a b c )( )的值.

a b c

解记 a b c x ， ab bc ca y ， abc z ，则

( a

c )( a 1 b 5c

1 c 5a

c 1 ) a 5b x (

x 1 6a

x 1 6b

x 1

) 6c

3 x 2 x [3x 6( a

12( a b c )x b c )x

36(ab

2 36(ab bc bc ca )x

ca )] 216abc

x (9x

36y ) 2 5x 3 36xy 216z

， ……………………10 分

2018 年初中数学联赛试题参考答案及评分标准

第 9 页（共 10 页）

结合已知条件可得

x( 9x 36y) 9

5 3 3

6 216

x xy z

，整理得xy z .所以

1 1 1 xy 27

(a b c )( ) . ……………………20 分

a b c z 2

二、（本题满分25 分）如图，点E 在四边形ABCD 的边AB 上，△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，AB AC ，DE DC.

（1）证明：AD // BC ；（2）设AC 与DE 交于点P ，如果ACE 30，求DP PE

解（1）由题意知ACB DCE 45，BC 2AC ，EC 2DC ，

D 所以

DCA ECB ，AC DC

，所以△ADC ∽△BEC ，故DAC

BC EC

EBC 45，所以DAC ACB ，所以AD // BC . E

……………………10 分

B C

（2）设AE x ，因为ACE 30，可得AC 3x ，CE 2x ，DE DC 2x .

因为

EAP CDP 90，EPA CPD ，所以△APE ∽△DPC ，故可得S APE S DPC

2 …………

…………15 分

又S EPC APE ACE 2 ，S EPC S DPC S CDE x2 ，于是可得S S x

S DPC ，S EPC ( 3 1)x2 . ……………………20 分

(2 3)x

所以DP

DPC

EPC

2 3

3 1

. ……………………25 分

3 1 2

三、（本题满分25 分）设x 是一个四位数，x 的各位数字之和为m ，x 1的各位数字之和为n ，并且m 与n 的最大公约数是一个大于2的素数.求x .

解设x abcd ，由题设知m 与n 的最大公约数(m,n)为大于 2 的素数.

若d 9 ，则n m 1，所以(m,n) 1，矛盾，故d 9. ……………………5 分

若c 9 ，则n m 19 m 8 ，故(m,n) (m, 8) ，它不可能是大于 2 的素数，矛盾，故c 9 .

……………………10 分若b 9 ，显然a 9 ，所以n m 19 9 9 m 26，故(m,n) (m, 26) 13，但此时可得

n ，m n 26 39 36，矛盾. ……………………15 分

若b 9，则n m 19 9 m 17，故(m,n) (m,17) 17，只可能n 17,m 34.

……………………20 分于是可得x 8899或9799. ……………………25 分

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