正弦函数和余弦函数图像和性质

6.1正弦函数和余弦函数的图像与性质

一、复习引入 1、复习 （1）函数的概念

在某个变化过程中有两个变量x 、y ，若对于x 在某个实数集合D 内的每一个确定的值，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的实数值与它对应，则y 就是x 的函数，记作

()x f y =，D x ∈。

（2）三角函数线

设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点

(,)P x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，设它与角α的

终边（当α在第一、四象限角时）或其反向延长线（当α为第二、三象限角时）相交于

T .

规定：当OM 与x 轴同向时为正值，当OM 与x 轴反向时为负值；

当MP 与y 轴同向时为正值，当MP 与y 轴反向时为负值； 当AT 与y 轴同向时为正值，当AT 与y 轴反向时为负值；

根据上面规定，则,OM x MP y ==,

由正弦、余弦、正切三角比的定义有：

sin 1

y y

y MP r α====； cos 1

x x

x OM r α=

===； tan y MP AT AT x OM OA

α=

===；

这几条与单位圆有关的有向线段,,MP OM AT 叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。

二、讲授新课

【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比，就以正弦(或余弦)为例，对于每一个给定

的角和它的正弦值(或余弦值)之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义；若不存在，请说明理由．

1、正弦函数、余弦函数的定义

（1）正弦函数：R x x y ∈=,sin ； （2）余弦函数：R x x y ∈=,cos

【问题驱动2】——如何作出正弦函数R x x y ∈=,sin 、余弦函数R x x y ∈=,cos 的函

数图象？

2、正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像 （1）[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像

【方案1】——几何描点法

步骤1：等分、作正弦线——将单位圆等分，作三角函数线（正弦线）得三角函数值； 步骤2：描点——平移定点，即描点()x x sin ,； 步骤3：连线——用光滑的曲线顺次连结各个点

小结：几何描点法作图精确，但过程比较繁。

【方案2】——五点法

步骤1：列表——列出对图象形状起关键作用的五点坐标； 步骤2：描点——定出五个关键点；

步骤3：连线——用光滑的曲线顺次连结五个点

小结：[]π2,0,sin ∈=x x y 的五个关键点是()0,0、??? ??1,2π、()0,π、??

?

??0,23π、()0,2π。

（2）R x x y ∈=,sin 的图像

由()Z k x x k ∈=+,sin 2sin π，所以函数x y sin =在区间[]πππ22,2+k k

()0,≠∈k Z k 上的图像与在区间[]π2,0上的图像形状一样,只是位置不同.

于是我们只要将函数[]π2,0,sin ∈=x x y 的图像向左、右平行移动(每次平行移动π

2个单位长度)，就可以得到正弦函数R x x y ∈=,sin 的图像。

3、余弦函数R x x y ∈=,cos 的图像 （1）[]π2,0,cos ∈=x x y 的图像

（2）R x x y ∈=,cos 的图像 图像平移法 由x x cos 2sin =???

?

?+π，可知只须将R x x y ∈=,sin 的图像向左平移2

π

即可。

三、例题举隅

例、作出函数[]π2,0,sin 1∈+=x x y 的大致图像；

【设计意图】——考察利用“五点法”作正弦函数、余弦函数图像 【解】 x 0

2

π

π 23π π2 x sin 0 1 0 1- 0 x y sin 1+= 1 2 1 0 1

在直角坐标系中，描出五个关键点：

()1,0、 ??

? ??2,2

π、()1,π、??

? ??0,2

3π、()1,2π

③连线

练习、作出函数[]π2,0,sin 2

1

∈-=x x y 的大致图像

二、性质

1．定义域：

正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，

分别记作：

y＝sin x，x∈R y＝cos x，x∈R

2．值域

因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sin x｜≤1，｜cos x｜≤1，即－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1

也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］

其中正弦函数y=sin x，x∈R

①当且仅当x ＝

2π

＋2k π，k ∈Z 时， 取得最大值1 ②当且仅当x ＝－2

π

＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1

而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R

①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1

②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1

3．周期性

由sin(x ＋2k π)＝sin x ，cos(x ＋2k π)＝cosx (k ∈Z )知： 正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的。

一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

由此可知，2π，4π，……，－2π，－4π，……2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是这两个函数的周期

对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期。 4．奇偶性

由sin(－x)＝－sinx ，cos(－x)＝cosx 可知：y ＝sinx 为奇函数， y ＝cosx 为偶函数 ∴正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称

5．单调性

结合上述周期性可知：

正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2

π

＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2

π

＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从

1减小到－1。

余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1

y =sin x y = cos x

图 象

定义域 R R 值 域 [-1,1]

[-1,1]

最 值

当且仅当x ＝

2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1

当且仅当x ＝－

2

π

＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1

当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1

当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k

∈Z 时，取得最小值－1

周期性 2π 2π 奇偶性 奇函数 偶函数

单调性

在闭区间［－2

π

＋2k π，

2

π

＋2k π］(k ∈Z )上单调递增，；在闭区间

［2

π

＋2k π，23π＋2k

π］(k ∈Z )上单调递减

在闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上单调递增；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上单调递减

典型例题（3个，基础的或中等难度）

例1：求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么。 （1）y ＝cosx ＋1，x ∈R ； （2）y ＝sin2x ，x ∈R

解：（1）使函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最大值的x 的集合，就是使函数y ＝cos x ，x

∈R 取得最大值的x 的集合｛x ｜x ＝2k π，k ∈Z ｝。 ∴函数y ＝cos x ＋1，x ∈R 的最大值是1＋1＝2。

（2）令Z ＝2x ，那么x ∈R 必须并且只需Z ∈R ，且使函数y ＝sinZ ，Z ∈R 取得最大

值的Z 的集合是｛Z ｜Z ＝

2

π

＋2k π，k ∈Z ｝ 由2x ＝Z ＝2π＋2k π，得x ＝4

π

＋k π

即 使函数y ＝sin2x ，x ∈R 取得最大值的x 的集合是｛x ｜x ＝4

π

＋k π，k ∈Z ｝ ∴函数y ＝sin2x ，x ∈R 的最大值是1。

例2：求下列函数的单调区间 （1）y ＝－cosx （2）y=

41sin(4x-3

π) （3）y=3sin(3π

-2x) 解：（1）由y ＝－cosx 的图象可知：

单调增区间为［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z ) 单调减区间为［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )

（2）当2k π-

2

π≤4x-3π≤2k π+2π

，

∴函数的递增区间是[2πk -24π，2πk +24

5π

](k ∈Z )

当2k π+2π≤4x-3π

≤2k π+2

3π

∴函数的递减区间是[2πk +245π,2πk +24

11π

](k ∈Z )

（3）当2k π-2π≤3π-2x ≤2k π+2

π

时，函数单调递减， ∴ 函数单调递减区间是[k π-12π，k π+12

5π

](k ∈Z )

当2k π+2π≤3π

-2x ≤2k π+2

3π时，函数单调递增，

∴ 函数单调递减区间是[k π+125π，k π+12

11π

](k ∈Z )

例3：求下列三角函数的周期：

(1) y=sin(x+

3

π

) (2) y=cos2x (3) y=3sin(2x +5π)

解：(1)令z= x+

3

π

而 sin(2π+z)=sinz 即：f(2π+z)=f (z) f[(x+2π)+

3π]=f(x+3

π

)∴周期T=2π. (2)令z=2x ∴f (x )=cos2x=cosz=cos(z+2π)=cos(2x+2π)=cos[2(x+π)]

即：f (x +π)=f (x )∴周期T=π。

(3)令z=

2x +5

π

则 f (x )=3sinz=3sin(z+2π)=3sin(2x +

5π+2π)=3sin(5

24ππ++x )=f (x +4π) ∴周期T=4π。

注：y ＝A sin(ωx ＋φ)的周期T=

|

|2ωπ。 （四）课堂练习（2个，基础的或中等难度） 1、求使下列函数y=3-cos 2

x

取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么。 解：当cos

2x =-1，即2

x

=2k π+π，k ∈Z ，∴{x|x=4k π+2π，k ∈Z }， y=3-cos 2x

取得最大值。

2、求y=x 2

sin 21的周期。

解：∵y=x 2sin 21=41(1-cos2x)=41-4

1

cos2x ，∴T=π。

3、求函数y=3cos(2x+3

π

)的单调区间。

解：当2k π≤2x+

3

π

≤2k π+π时，函数单调递减， ∴ 函数的单调递减区间是[k π-6

π，k π+3π

](k ∈Z )

当2k π-π≤2x+3

π

≤2k π时，函数单调递增，

∴ 函数的单调递增区间是[k π-32π，k π-6

π

](k ∈Z )

（五）拓展探究（2个） 1、求下列函数的周期： （1）y=sin(2x+

4π)+2cos(3x-6

π

) （2）y=|sinx| （3）

y=23sinxcosx+2cos 2x-1

解：（1）y 1=sin(2x+4

π

) 最小正周期T 1=π y 2=2cos(3x-6π) 最小正周期 T 2=3

2π ∴T 为T 1 ,T 2的最小公倍数2π∴T=2π

（2）T=π

（3） y=3sin2x+cos2x=2sin(2x+

6

π

)∴T=π 2、求下列函数的最值： （1）y=sin(3x+

4π)-1 （2）y=sin 2x-4sinx+5 （3）y=x x cos 3cos 3+- 解：（1）当3x+

4π=2k π+2π即 x=1232π

π+k (k ∈Z)时，y max =0 当3x+

4π=2k π-2π即x=4

32ππ-k (k ∈Z)时，y min =-2 （2） y=(sinx-2)2+1 ∴当x=2k π-2

π

k ∈Z 时，y max =10 当x=2k π-2

π

k ∈Z 时，y min = 2 （3） y=-1+

x

cos 31

+当x=2k π+π k ∈Z 时，y max =2

当x=2k π k ∈Z 时， y min =

2

1

作业 一、填空题 1、函数y=cos(x-

2

π

)的奇偶性是_________________。 2、函数y=-5sinx+1的最大值是__________，此时相应的x 的值是________________。 3、函数y=sinxcosx 的最小正周期是_________。 4、函数y=sinxcos(x+4

π

)+cosxsin(x+4π)的最小正周期是________。

5、函数y=3cos(2x+

3

π

)的单调递减区间是___________________。 6、函数y=sinx 和y=cosx 都为减函数的区间是___________________。 7、函数y=sin(

6

π

-2x)的单调递增区间是________________________。 8、已知函数y=f(x)是以3

π

为周期，且最大值为3，最小值为-1，则这个函数的解读

式可以是________________。

二、选择题

1、函数y=sinx ，x ∈[

6π，3

2π]的值域是 （ ） （A ）[-1，1] （B ）[

21，1] （C ）[2

1，23] （D ）[23，1]

2、下列函数中，周期是2

1

的函数是 （ ） （A ）y=sin πx （B ）y=cos2x （C ）y=sin 2

x

π （D ）y=sin4k π

3、下列函数是奇函数的是 （ ） （A ）y=sin|x| （B ）y=xsin|x| （C ）y=-|sinx| （D ）y=sin(-|x|) 4*、函数y=sin(2x+

6π)+cos(2x+3

π

)的最小正周期和最大值分别为 （ ） （A ）π，1 （B ）π，2（C ）2π，1 （D ）2π，2

三、解答题

1、已知函数y=acosx-2b的最小值为-2，最大值为4，求a和b的值。

2、求函数y=2x2

sin+5cosx-1的值域。

3、判断下列函数的奇偶性：

5 )；（2）y=xsinx+cos3x

（1）y=cos(2x-

2

4、求函数y=x2

sin-sinxcosx的单调区间。

一、填空题

1、 奇函数；

2、 6， {x|x=2k π-2

π

，k ∈Z } ； 3、π； 4、π； 5、[k π-6π，k π+3π](k ∈Z )； 6、[2k π+2π

,2k π+π](k ∈Z )

7、[k π+3π

，k π+6

5π](k ∈Z )； 8、y=2sin6x+1（答案不唯一）

二、1、B ； 2、D ； 3、B ； 4、A （y=

23sin2x+21cos2x+2

1

cos2x-23sin2x

=cos2x ） 三、解答题

1、当a>0时，???=--=--4222b a b a ???

?

??-==213

b a

当a<0时，???=---=-4222b a b a ???

?

??-=-=213

b a

2、y=2(1-x 2

cos )+5cosx-1=-28

33)4

5

(cos 2

+

-x , ∵cosx ∈[-1,1]，∴y ∈[-6，4]

3、（1）奇函数；（2）偶函数。

4、解：y=

22cos 1x --21sin2x=21-21(sin2x+cos2x)=21-22sin(2x+4

π

)

当2k π-2π≤2x+4π≤2k π+2

π

时，函数单调递减， ∴ 函数单调递减区间是[k π-83π，k π+8

π

](k ∈Z ) 当2k π+2π≤2x+4π≤2k π+2

3π

时，函数单调递增，

∴ 函数单调递减区间是[k π+8

π

，k π+85π](k ∈Z )