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高考数学重点难点复习(22)：轨迹方程的求法

轨迹方程的求法

求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点. ●难点磁场

(★★★★)已知A 、B 为两定点，动点M 到A 与到B 的距离比为常数λ,求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线. ●案例探究

［例1］如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.

命题意图：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目.

知识依托：利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB 中点的轨迹方程.

错解分析：欲求Q 的轨迹方程，应先求R 的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题. 技巧与方法：对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程. 解：设AB 的中点为R ，坐标为(x,y)，则在Rt △ABP 中，|AR|=|PR|.

又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)

又|AR|=|PR|=2

2)4(y x +-

所以有(x －4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x －10=0

因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动.

设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R 是PQ 的中点，所以x1=20

41+=

+y y x , 代入方程x2+y2－4x －10=0,得

4)2()24(

22+?-++x y x －10=0

整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.

［例2］设点A 和B 为抛物线 y2=4px(p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.

命题意图：本题主要考查“参数法”求曲线的轨迹方程，属★★★★★级题目. 知识依托：直线与抛物线的位置关系.

错解分析：当设A 、B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)时，注意对“x1=x2”的讨论.

技巧与方法：将动点的坐标x 、y 用其他相关的量表示出来，然后再消掉这些量，从而就建立了关于x 、y 的关系.

解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依题意，有

????????????--=---=--?

-=?==11

2121212

1122

212

11144x x y y x x y y x x y y x y x y x y px y px y

①－②得(y1－y2)(y1+y2)=4p(x1－x2)

若x1≠x2,则有2

121214y y p

x x y y +=

-- ⑥ ①3②,得y122y22=16p2x1x2 ③代入上式有y1y2=－16p2

⑦

⑥代入④，得

y y p -

=+214 ⑧

⑥代入⑤，得

p y x y y x x y y y y p

442

11121-

-=--=+ 所以2

11214)(44y px y y p y y p

--=+

即4px －y12=y(y1+y2)－y12－y1y2

⑦、⑧代入上式，得x2+y2－4px=0(x ≠0)

当x1=x2时，AB ⊥x 轴，易得M(4p,0)仍满足方程.

故点M 的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x ≠0)它表示以(2p,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.

解法二：设M(x,y)，直线AB 的方程为y=kx+b

由OM ⊥AB ，得k=－y x

由y2=4px 及y=kx+b ，消去y,得k2x2+(2kb －4p)x+b2=0

① ② ③ ④ ⑤

所以x1x2=2

2k b ,消x,得ky2－4py+4pb=0

所以y1y2=k pb

4，由OA ⊥OB ，得y1y2=－x1x2 所以k pk

4=－2

k b ,b=－4kp

故y=kx+b=k(x －4p),用k=－y x

代入，得x2+y2－4px=0(x ≠0)

故动点M 的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x ≠0)，它表示以(2p,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.

［例3］某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？

命题意图：本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程，及将实际问题转化为数学问题的能力，属★★★★★级题目.

知识依托：圆锥曲线的定义，求两曲线的交点.

错解分析：正确理解题意及正确地将此实际问题转化为数学问题是顺利解答此题的关键. 技巧与方法：研究所给圆柱的截面，建立恰当的坐标系，找到动圆圆心的轨迹方程.

解：设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切. 建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r,则 |PA|+|PO|=1+r+1.5－r=2.5

∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为

3225)41(162

2y x ++=1 ①

同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为

(x －21)2+34

y2=1 ②

由①、②可解得

)

1412

,149(),1412,149(

-Q P ，∴r=73)1412()149(2

322=+- 故所求圆柱的直径为76

cm.

●锦囊妙计

求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法.

(1)直接法

直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即

得动点轨迹方程.

(2)定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.

(3)相关点法根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程. (4)参数法若动点的坐标(x,y)中的x,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.

求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念. ●歼灭难点训练一、选择题

1.(★★★★)已知椭圆的焦点是F1、F2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F1P 到Q ，使得|PQ|=|PF2|，那么动点Q 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线

2.(★★★★)设A1、A2是椭圆

492

2y x +=1的长轴两个端点，P1、P2是垂直于A1A2的弦的端点，则直线A1P1与A2P2交点的轨迹方程为( )

A.1492

2=+y x

B.1492

2=+x y C.1492

2=-y x

D.1492

2=-x y

二、填空题

3.(★★★★)△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B(－2a ,0),C(2a

,0)，且满足条件sinC －sinB=21

sinA,则动点A 的轨迹方程为_________.

4.(★★★★)高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A(－5，0)、B(5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________. 三、解答题

5.(★★★★)已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB|=|BC|=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.

6.(★★★★)双曲线22

22b y a x -=1的实轴为A1A2，点P 是双曲线上的一个动点，引A1Q ⊥A1P ，

A2Q ⊥A2P ，A1Q 与A2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.

7.(★★★★★)已知双曲线

22n y m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A1、A2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于点P 、Q.

(1)求直线A1P 与A2Q 交点M 的轨迹方程；

(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.

8.(★★★★★)已知椭圆22

2b y a

x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F1、F2为椭圆的焦点，∠F1PF2的外角平分线为l ，点F2关于l 的对称点为Q ，F2Q 交l 于点R.

(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；

(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y=k(x+2a)与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.

参考答案

难点磁场

解：建立坐标系如图所示，设|AB|=2a,则A(－a,0）,B(a,0). 设M(x,y ）是轨迹上任意一点.

则由题设，得|||

|MB MA =λ,坐标代入，得222

2)()(y a x y a x +-++=λ,

化简得

(1－λ2)x2+(1－λ2)y2+2a(1+λ2)x+(1－λ2)a2=0

(1)当λ=1时，即|MA|=|MB|时，点M 的轨迹方程是x=0，点M 的轨迹是直线(y 轴).

(2)当λ≠1时，点M 的轨迹方程是x2+y2+2

21)

1(2λ-λ+a x+a2=0.点M 的轨迹是以 (－221)

1(λ-λ+a ，0）为圆心，

|1|22λ-λa 为半径的圆. 歼灭难点训练

一、1.解析：∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|, ∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,

即|F1Q|=2a,∴动点Q 到定点F1的距离等于定长2a,故动点Q 的轨迹是圆. 答案：A

2.解析：设交点P(x,y ）,A1(－3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,－y0)

∵A1、P1、P 共线，∴

300+=

--x y

x x y y

∵A2、P2、P 共线，∴3

00-=

-+x y

x x y y

解得x0=149,149,3,92

00=-=-=y x y x x y y x 即代入得

答案：C

二、3.解析：由sinC －sinB=21sinA,得c －b=21

∴应为双曲线一支，且实轴长为2a ,故方程为)4(1316162

222a x a y a x >=-. 答案：)4(1316162

222a

x a y a x >=-

4.解析：设P(x,y ），依题意有

222

2)5(3

)5(5

y x y x +-=

++,化简得P 点轨迹方程为4x2+4y2

－85x+100=0.

答案：4x2+4y2－85x+100=0

三、5.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P.由切线的性质知：|BA|=|BD|，|PD|=|PE|，|CA|=|CE|，故|PB|+|PC|=|BD|+|PD|+|PC|=|BA|+|PE|+|PC|

=|BA|+|CE|=|AB|+|CA|=6+12=18＞6=|BC|，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨

迹方程为

72812

2y x +=1(y ≠0) 6.解：设P(x0,y0）(x ≠±a),Q(x,y).

∵A1(－a,0),A2(a,0).

由条件?????-=±≠-=??????

?-=-?--=+?+y a x y a x x x a x y a x y a x y a x y 22000000

0)( 11得

而点P(x0,y0)在双曲线上，∴b2x02－a2y02=a2b2.

即b2(－x2)－a2(y a x 2

2-)2=a2b2

化简得Q 点的轨迹方程为：a2x2－b2y2=a4(x ≠±a).

7.解：(1)设P 点的坐标为(x1,y1)，则Q 点坐标为(x1,－y1),又有A1(－m,0),A2(m,0),

则A1P 的方程为：y=

)(11

m x m x y ++ ①

A2Q 的方程为：y=－)(11

m x m

x y -- ②

①3②得：y2=－)(222

m x m

x y -- ③

又因点P 在双曲线上，故).(,12

21222122

1221m x m n y n y m x -==-即代入③并整理得

22n y m x +=1.此即为M 的轨迹方程. (2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.

(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±2

2n m -,0)，准线方程为x=±

222

n m m -,离心率

e=m n m 22-；

(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±

22n m -),准线方程为y=±222

m n n -,离心率

e=n m n 22-.

8.解：(1)∵点F2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ，

∴∠F2PR=∠QPR ，|F2R|=|QR|，|PQ|=|PF2|

又因为l 为∠F1PF2外角的平分线，故点F1、P 、Q 在同一直线上，设存在R(x0,y0）,Q(x1,y1),F1(－c,0),F2(c,0).

|F1Q|=|F2P|+|PQ|=|F1P|+|PF2|=2a,则(x1+c)2+y12=(2a)2.

又??????

?=+=221

010y y c x x

得x1=2x0－c,y1=2y0.

∴(2x0)2+(2y0)2=(2a)2，∴x02+y02=a2. 故R 的轨迹方程为：x2+y2=a2(y ≠0)

(2)如右图，∵S △AOB=21|OA|2|OB|2sinAOB=22

a sinAOB 当∠AOB=90°时，S △AOB 最大值为21

a2.

此时弦心距|OC|=2

2|k ak +.

在Rt △AOC 中，∠AOC=45°，

,2245cos 1|2|||||2±=∴=?=+=∴

k k a ak OA OC