重积分
重积分的计算方法
重积分的计算方法 重积分包括二重积分和三重积分，它是定积分的推广；被积函数由一元函数f（x）推广为二元函数f（x,y），三元函数（fx,y,z）;积分围由数轴上的区域推广为平面域（二重积分）和空间域（三重积分）。我个人在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较繁琐，而在日常生活中多重积分有着很多的应用。通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点，重积分的计算方法还是有规律可循的。为了更好的应用重积分，本人结合前人的经验，在这里介绍几种常用的重积分计算方法，以及一些小技巧。着重介绍累次积分的计算与变量代换。 一．二重积分的计算 1．常用方法 （1）化累次积分计算法 对于常用方法我们先看两个例子
对于重积分的计算主要采用累次积分法，即把一个二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计算求得二重积分值，分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下： 第一步：画出积分区域D的草图； 第二步：按区域D和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限； 第三步：计算累次积分。 需要强调一点的是，累次积分要选择适当的积分次序。积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种次序却“积不出来”。所以，适当选择积分次序是个很重要的工作。 选择积分次序的原则是：尽可能将区域少分块，以简化计算过程；第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。 （2）变量替换法 着重看下面的例子：
在计算定积分时，求积的困难在于被积函数的原函数不易求得。从而适当地在计算重积分时，求积的困难来自两个方面，除了被积函数的原因以外还在而且，有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。 利用换元法的好处是可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式。 于积分区域的多样性。为此，针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。 （3）极坐标变换公式（主要是∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(pcosθ,psinθ)pdpdθ）
二重积分部分练习题
精心整理题目部分，(卷面共有100题,405.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择(16小题,共53.0分) (2分)[1] (3分)[2]二重积分 D xydxdy ??(其中D：0≤y≤x2,0≤x≤1)的值为（A 答() (3分 （A 答() (3分|x|+|y|≤1 ( D f ?? （A 答() (3分 (A)1 ? (B)1 01 (,) dy f x y dx - ? (C)11 0111 (,)(,) y dy f x y dx f x y dx - -- + ??? (D)2 01 (,) dy f x y dx - ?? 答() (3分)[6]设函数f(x,y)在区域D：y2≤－x,y≥x2上连续，则二重积分(,) D f x y dxdy ??可化累
次积分为 (A)2 1(,)x dx f x y dy -? (B)2 1(,)x dx f x y dy -?? (C)2 1 0(,)y dy f x y dx -?? (D)2 1 0(,)y dy f x y dx ? 答() (3分)[7]设f (x ,y ) 为连续函数，则二次积分2 1 102 (,)y dy f x y dx ??可交换积分次序为 (A) (B)(C)(D)答(3(A)(B)(C)(D)答() (4分)[9]若区域D 为(x －1)2+y 2≤1,则二重积分(,)D f x y dxdy ??化成累次积分为 (A)2cos 00 (,)d F r dr πθ θθ??(B)2cos 0 (,)d F r dr πθ π θθ-?? (C)2cos 20 2 (,)d F r dr π θ πθθ- ??(D)2cos 20 2(,)d F r dr π θ θθ?? 其中F (r ,θ)=f (r cos θ,r sin θ)r .
考研试题分析十(重积分的应用)
考研试题分析十（重积分的应用） 例1.(1989年高数一) 设半径为R 的球面的球心在定球面上,问当R 取何值时,球面在定球面内部的那部分面积最大? Σ)0(2222>=++a a z y x Σ[答案]a R 3 4=. [分析] 球面在定球面内部的那部分面积属于曲面面积。欲求空间曲面面积， 必须建立曲面方程， 并且明确曲面在坐标面上的投影区域。球面Σ在定球面内部的那部分可视为球面Σ0),,(=z y x F Σ与定球面相交而成，因此明确所求曲面在xoy 坐标面上的投影区域，必须考察球面Σ与定球面的交线。 [解答] 设球面方程为：两球面的交线在xoy 面上的投影为Σ.)(2222R a z y x =?++?????=?=+0 )4(42222 22z R a a R y x 设投影曲线所围平面区域为，球面xy D Σ在定球面内部的那部分方程为： 222y x R a z ???=，这部分的面积为 ∫∫∫∫∫∫??=??=++= 224202*********)(R a a R D D y x dr r R rR d dxdy y x R R dxdy z z R S xy xy πθ )20(,23 2a R a R R <0） ，求球体的重心。 0P 0P [答案] 重心为)4 ,0,0(R 。
重积分及其应用
重积分及其应用： ?????? ?????????????? ????++-=++=++==>=== = == ? ?? ? ????+??? ????+===' D z D y D x z y x D y D x D D y D x D D D a y x xd y x fa F a y x yd y x f F a y x xd y x f F F F F F a a M z xoy d y x x I y d y x y I x d y x d y x y M M y d y x d y x x M M x dxdy y z x z A y x f z rdrd r r f dxdy y x f 2 3 22 2 2 3 22 2 2 3 22 2 22D 2 2 ) (),() (),() (),(},,{)0(),,0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin ,cos (),(σ ρσ ρσ ρσρσρσ ρσ ρσ ρσ ρθ θθ， ， ，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量： 平面薄片的重心：的面积曲面 柱面坐标和球面坐标： ????????????????????????????????????Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω ΩΩ+=+=+==== = = ===???=?? ???=====??? ??===dv y x I dv z x I dv z y I dv x M dv z M z dv y M y dv x M x dr r r F d d d drd r r F dxdydz z y x f d drd r dr d r rd dv r z r y r x z r r f z r F dz rdrd z r F dxdydz z y x f z z r y r x z y x r ρρρρρρρ?θ?? θθ??θ?θ ??θ???θ?θ?θθθθθθθπ πθ?)()()(1,1,1sin ),,(sin ),,(),,(sin sin cos sin sin cos sin ) ,sin ,cos (),,(,),,(),,(,sin cos 22222220 ) ,(0 2 2 2 ， ， 转动惯量：， 其中 重心：， 球面坐标：其中： 柱面坐标： 曲线积分： ?? ?==<'+'=≤≤? ? ?==? ?)()()()()](),([),(),(,)()(),(22t y t x dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f L ?βαψ?ψ?βαψ?β α 特殊情况： 则： 的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）： 第一类曲线积分（对弧
重积分部分练习题
(2分)[1] (3分)[2]二重积分D xydxdy ?? (其中D ：0≤y ≤x 2 ,0≤x ≤1)的值为 （A ）16 （B ） 112 （C ）12 （D ）14 答 ( ) (3分)[3]若区域D 为0≤y ≤x 2,|x |≤2,则2D xy dxdy =??= （A ）0； （B ） 323 （C ）64 3 （D ）256 答 ( ) (3分)[4]设D 1是由ox 轴，oy 轴及直线x +y =1所圈成的有界闭域，f 是区域D ：|x |+|y |≤1上的连续函数，则二重积分 22(,)D f x y dxdy =?? __________1 22(,)D f x y dxdy ?? （A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）1 2 答 ( ) (3分)[5]设f (x ,y )是连续函数，则二次积分 (A)11 2 011 1 (,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx ---+?? ? (B)1 1 01(,)y dy f x y dx --?? (C)1 101 1 1 (,)(,)y dy f x y dx f x y dx ---+?? ? (D)201 (,)dy f x y dx -?? 答 ( ) (3分)[6] 设函数f (x ,y )在区域D ：y 2≤－x ,y ≥x 2上连续，则二重积分(,)D f x y dxdy ??可化累次积分为 (A)20 1(,)x dx f x y dy -? (B)2 1(,)x dx f x y dy -?? (C)2 1 (,)y dy f x y dx -?? (D)210 (,)y dy f x y dx ? 答 ( )
重积分的应用word版
第四节 重积分的应用 1 求半径为a 的球的表面积。 解 取上半球面方程为z=222y x a --，则它在x0y 面上的投影区域D=(){}222,a y x y x ≤+。 由 x z ??=222y x a x --- , x z ??=222y x a y --- 得 2 2 1??? ? ????+??? ????+y z x z = 2 2 2 y x a a --- 因为这函数在闭区域D 上无界，我们不能直接应用曲面面积公式。所以先取区域D 1=(){}222,b y x y x ≤+(0 6400km ） 解 取低心为坐标原点，低心到通讯卫星中心的连线为z 轴，建立坐标系，如图9-40所示。 通讯卫星覆盖的曲面∑是上半球面被半顶角为a 的圆锥面所截得的部分。 的方程为 ????--=? ??? ????+??? ????+=xy D Dxy dxdy yy x R R dxdy y z x z A 2222 2 1 其中∑是曲面在xOy 面上的投影区域，(){}α2222sin ,R y x y x D xy ≤+= 利用极坐标 得 () απρ ρ ρ πρρρ θπ α α cos 122220sin 0 sin 0 2 2 2 2 -=-=-=?? ? R d R R d R R d A R R 由于h R R += αcos ，代入上式 得 h R h R h R R R A +? =??? ? ?+- =2 2212ππ 由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为 ()()5.42104.63621036246 6 2≈?+?=+=h R h R A π% 又以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔π3 2 角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面。 3．求位于两圆θρsin 2=和θρsin 4=之间的均匀薄片的质心（图9-41） 解 因为闭区域D 对称于y 轴，所以质心C ()y x ,必位于y 轴上，于是 高数测试题七（重积分部分）答案 一、 选择题（每小题5分，共25分） 1、交换积分0 (,)(a y dy f x y dx a ? ?为常数）的次序后得（ B ） A 00 (,)y a dx f x y dy ?? B 0 (,)a a x dx f x y dy ?? C (,)a x dx f x y dy ? ? C 0 (,)a y dx f x y dy ?? 2、设2222 222()()x y z t F t f x y z dv ++≤= ++??? ，其中 f 为连续函数，(0)f '存 在，而(0)0,(0)1f f '==，则5 0() lim t F t t →=（ B ） A π B 45π C 35π D 2 5 π 3、球面2 2 2 2 4x y z a ++=与柱面2 2 2x y ax +=所围成立体体积（含在柱内部分）为（ C ） A 2cos 2 04a d π θ θ? ? B 2cos 20 8a d π θ θ?? C 2cos 20 4 a d πθ θ? ? D 2cos 20 2 a d π θ πθ-?? 4、设D 是xy 平面上以点(1,1),(1,1),(1,1)---为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限的部分，则(cos sin )D xy x y d σ+??=（ A ） A 1 2 cos sin D x yd σ?? B 1 2D xyd σ?? C 1 (cos sin )D xy x y d σ+?? D 0 5、设22222222 22sin()1 arctan 0 (,)0 2 x y x y x y x y f x y x y π?++≠??++=? ?+=?? ， 重积分的应用 为了研究重积分的应用，以及重积分在学习生活中的应用，运用重积分的基本概念和应用解决问题. 通过探索重积分在各个领域中的应用,提高解题的效率,改进用基本方法解重积分问题的思想,和处理重积分在各个领域的应用能力．结果表明,重积分的应用非常广泛,不仅在数学的相关领域有重要的应用,而且在实际问题中也发挥着重要作用．由于重积分的重要地位,进而对重积分及其应用进行更深层次的研究和探讨是十分必要的． 关键词: 重积分；转动惯量；不等式 Abstract In order to research the applications of multiple integral，and the applications in learning and life，use the concept and application to solve the problem．Through exploring the various methods of multiple integral in various areas of application, improve the efficiency of the problem solving, improve the basic ways to solve problems with the thought of multiple integral, and processing multiple integral application in all fields ability. The results show that the application of multiple integral is very wide, not only in the related fields of mathematics has an important application, but in the actual problem also plays a role． Because of the important role of the multiple integral, and multiple integral and its application in a better research and discussion is very necessary． Keywords: multiple integral; moment of inertia; inequality 引言 重积分在数学中是一个知识独特、应用广泛的重要内容,是近代数学的 重要基础,是高等数学最基本的内容,也是高等院校其它专业知识联系紧密的部分,它的引入为解决数学中的问题提供了新的视野． 重积分测试题 一、填空题 1. 222x y R σ+≤=?? ； 2. 1(1)x y x y d σ+≤++=?? ； 3. 将二重积分 (,)D f x y d σ??化为二次积分 （两种次序都写出来） ，其中D 为,0,y x y y ===在第一象限所围成的封闭区域； 4. 改变积分次序 2120(,)y y dy f x y dx -=?? ； 5. 将二重积分(,)D f x y d σ ??转化为极坐标系下的两次单积分 ，其中D 为0,y y == 6. 将三重积分(,,)f x y z d v Ω???化 为三次积分 ，其中Ω为22z x y =+， 1,0,0,0x y y x z +====所围成的封闭区域； 7. 将三重积分(,,)f x y z dv Ω???化为柱面坐标系下的三次积分 ，其中Ω为22z x y =+ ， z =所围成的封闭区域. 二、计算题 1. 计算二重积分 D xydxdy ??，其中D 是由,1,3y x xy x ===所围成的区域； 2. 计算二重积分D x ydxdy -??，其中D ：221,0,0x y x y +≤≥≥； 3. 计算二次积分 1 10x y dx dy ?； 4. 计算三重积分 3z dv Ω???，其中Ω ：2221,x y z z ++≤≥ 5. 计算三重积分 Ω ???，其中Ω 是由柱面y =及平面0, (0),0z z a a y ==>=所围成的区域. 三、应用题 求旋转抛物面22z x y =+ 与上半球面z = 所围成的立体体积及表面积. 一、填空题 1．32 3R π； 2. 2 ； 3.1000(,)(,)x f x y dy f x y dy +? 及0(,)y f x y dx ； 4. 122001 0(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy -+???； 5. 2cos 200(cos ,sin )d f d πθ θρθρθρρ??； 6. 2211000(,,)x x y dx dy f x y z dz -+???； 7. 22100(cos ,sin ,)d d f z dz π ρθρρρθρθ?? 二、计算题 1. 110ln 32- ； 2. 21)3 ； 3. 12 ； 4. 116 π ； 5. 289a 三、应用题 V = ； 121)1)6A A A π=+=+ 第二节 二重积分的计算法 教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法 教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题 教学内容： 利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的. 一、利用直角坐标计算二重积分 我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题. 讨论中,我们假定 ； 假定积分区域可用不等式 表示, 其中, 在上连续. 据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积. 在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为 一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为 利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为 从而有 (1) 上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对 计算从到的定积分,然后把所得的结果( 它是的函数 )再对从到计算定积分. 这个先对, 后对的二次积分也常记作 在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的(在上连续),公式(1)总是成立的. 例如:计算 解: 类似地,如果积分区域可以用下述不等式 表示,且函数,在上连续,在上连续,则 (2) 显然,(2)式是先对,后对的二次积分. 二重积分化二次积分时应注意的问题 1、积分区域的形状 前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点: 对于I型(或II型)区域, 用平行于轴(轴 )的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点. 如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集. 2、积分限的确定 二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二 次积分限的方法 -- 几何法.画出积分区域的图形(假设的图形如下 ) 在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交 点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限； 又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为 . 例1计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域. 第十章 重积分单元测试卷 一、填空题（每小题4分，共20分）： {} . ,1)2()1(.5.,),,(,2,1,2.4. sin .3. ,0,1|),(.2. ,),(,),(.1222221 0221 20 2 ???????? ???? Ω Ω -= ≤+-+-Ω= ====+Ω==≥≤+== =dv z y x I dxdydz z y x f I z z z y x dy x x dy ydxdy y y x y x D I dy y x f dx I y x f y y D x x 则为设则下的三次积分化为柱面坐标系将所围成由设则设则改变积分次序将连续设 二、选择题（每小题5分，共20分）： .)(;)(;)(;)()( ,,,)sin(,)(, )ln(,1,21 ,0,0.1312231123321321321I I I D I I I C I I I B I I I A I I I dxdy y x I dxdy y x I dxdy y x I y x y x y x D D D D <<<<<<<<+=+=+==+=+==??????间的大小关系为则所围成由设 ( ) . ),(),()(; ),()(;),(),()(; ),()(),(,),(.201 80 21 21 21 228 26 218 2 2121 212282122 6 21 4 2 ??? ? ?? ??? ? ?? ??--+-++------+++---+---++=y y y y y y y y y y y x x dx y x f dy dx y x f dy D dx y x f dy C dx y x f dy dx y x f dy B dx y x f dy A dy y x f dx y x f 则二次积分是连续函数设 3. 半径为R 和r(0 高数重积分测试题 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY- 高数测试题七（重积分部分）答案 一、 选择题（每小题5分，共25分） 1、交换积分00(,)(a y dy f x y dx a ? ?为常数）的次序后得（ B ） A 00(,)y a dx f x y dy ?? B 0(,)a a x dx f x y dy ?? C 00(,)a x dx f x y dy ?? C 00(,)a y dx f x y dy ?? 2、设2222222()()x y z t F t f x y z dv ++≤= ++???，其中 f 为连续函数， (0)f '存在，而(0)0,(0)1f f '==，则50()lim t F t t →=（ B ） A π B 45π C 35π D 25 π 3、球面22224x y z a ++=与柱面222x y ax +=所围成立体体积（含在柱内部分）为（ C ） A 2cos 2 00 4a d πθθ?? B 2cos 2008a d π θθ?? C 2cos 2004a d πθθ?? D 2cos 202a d π θπθ-?? 4、设D 是xy 平面上以点(1,1),(1,1),(1,1)---为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限的部分，则(cos sin )D xy x y d σ+??= （ A ） A 12cos sin D x yd σ?? B 12D xyd σ?? C 1 (cos sin )D xy x y d σ+?? D 5、设22222222 22sin()1arctan 0(,)0 2x y x y x y x y f x y x y π ?++≠??++=??+=?? ， 区域22:(0)D x y ε ε+≤>，则01lim (,)D f x y d εσπε+→??=（ A ） A 2 π B π C 0 D ∞ 二、填空题（每小题5分，共25分） 1、设(,,)I f x y z dxdydz Ω =???，积分区域 :0z z y Ω≤≥≥所确定，则I 在柱面坐标系下的三次积分为 1200(cos ,sin ,)d rdr f r r z dz πθθθ?? 2、设D 是由3,(0)y x y x x ==>所围成的平面区域， 则 sin D x d x σ??= 32(cos1sin1)-+ 3、二次积分2220y x dx e dy -??= 41(1)2 e -- 4、设D 是由11,22x y -≤≤-≤≤围成的平面区域，则 3(2)D x y dxdy +??= 0 5、设Ω是由球面2221x y z ++=所围成的闭区域，则 222222ln(1)1z x y z dxdydz x y z Ω ++++++???= 0 三、计算题 二重积分自测题 （一）选择题 1．设D 是由直线0=x ，0=y ，3=+y x ，5=+y x 所围成的闭区域， 记：??σ+= D d y x I )ln(1，??σ+=D d y x I )(ln 22 ，则（ ） A ．21I I < B ．21I I > C ．122I I = D ．无法比较 2．设D 是由x 轴和∈=x x y (sin [0，π])所围成，则积分??=σD yd （ ） A ． 6π B ．4π C ．3π D ．2 π 3．设积分区域D 由2 x y =和2+=x y 围成，则=σ??D d y x f ),(（ ） A ．? ?-+2 122),(x x dy y x f dx B ．??-212 ),(dy y x f dx C ． ? ?-+1 2 22),(x x dy y x f dx D ．??+1 2 2),(x x dy y x f dx 4．设),(y x f 是连续函数，则累次积分? ? =4 2),(x x dy y x f dx （ ） A ． ?? 40 412),(y y dx y x f dy B ．?? -4 412),(y y dx y x f dy C ． ? ?4 4 1),(y dx y x f dy D ．??40 2 1 2 ),(y y dx y x f dy 5．累次积分? ?=-2 2 2 x y dy e dx （ ） A ． )1(212--e B ．)1(314--e C ．)1(214--e D ．)1(3 1 2--e 6．设D 由14122≤+≤y x 确定，若??σ+=D d y x I 2211，??σ+=D d y x I )(2 22， ??σ+=D d y x I )ln(223，则1I ，2I ，3I 之间的大小顺序为（ ） A ．321I I I << B ．231I I I << C ．132I I I << D ．123I I I << 7．设D 由1||≤x ，1||≤y 确定，则 =??D xy xydxdy xe sin cos （ ） A ．0 B ．e C ．2 D ．2-e 8．若积分区域D 由1≤+y x ，0≥x ，0≥y 确定，且 ? ?=1 1 )()(x dx x xf dx x f ， 则 ??=D dxdy x f )(（ ） 三重积分和多重积分方法 在第三节中我们讨论了二重积分，本节将之推广到一般的n 维空间中去. 类似于第三节,我们先定义一个R 3中集合的可求体积性. 同样可以给出一列类似的结论. 读者自己推广. 这里将不再赘述. 一、 引例 设一个物体在空间R 3中占领了一个有界可求体积的区域V ，它的点密度为()z y x f ,,，现在要求这个物体的质量．假设密度函数是有界的连续函数，可以将区域V 分割为若干个可求体积的小区域n V V V ,...,,21，其体积分别是n V V V ???,...,,21，直径分别是n d d d ,...,,21，即},||sup{|i i V Q W W Q d ∈=, (i =1,2,…,n ）, |WQ|表示W, Q 两点的距离．设 },...,,max{21n d d d =λ，则当λ很小时，()z y x f ,,在i V 上的变化也很小．可以用这个小 区域上的任意一点()i i i z y x ,,的密度()i i i z y x f ,,来近似整个小区域上的密度，这样我们可以求得这个小的立体的质量近似为()i i i i V z y x f ?,,，所有这样的小的立体的质量之和即为这个物体的质量的一个近似值．即 ()i i i i n i V z y x f M ?≈∑=,,1 ． 当0→λ时，这个和式的极限存在，就是物体的质量．即 ()i i i i n i V z y x f M ?=∑=→,,lim 1 λ． 从上面的讨论可以看出，整个求质量的过程和求曲顶柱体的体积是类似的，都是先分割，再求和，最后取极限．所以我们也可以得到下面一类积分． 二、 三重积分的定义 设()z y x f ,,是空间3 R 中的一个有界可求体积的闭区域V 上的有界函数，将V 任意分割 为若干个可求体积的小闭区域n V V V ,...,,21，这个分割也称为V 的分划，记为P : n V V V ,...,,21. Φ=?o o j i V V (空, j i ≠), 其体积分别是n V V V ???,...,,21，直径分别是n d d d ,...,,21．设 },...,,max{21n d d d =λ,或记为||P ||. 在每个小区域中任意取一点()i i i i V z y x ∈,,，作和 ()i i i i n i V z y x f ?∑=,,1 (称为Riemann 和)，若当0→λ时，这个和式的极限存在，则称其极 归纳二重积分的计算方法 摘 要 ：本文总结出了求二重积分的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 前言 二重积分的概念和计算是多元函数微积分学的重要部分,在几何\物理\力学等方面有着重要的应用.重积分是由一元函数积分推广而来的,但与一元函数相比,计算重积分的难度除了与被积函数有关外,还与积分区域的特点有关,计算重积分的主要思想方法是化重积分为累次积分.求二重积分的方法很多且非常灵活，本文归纳了二重积分计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1二重积分的定义]1[ 设(),f x y 是定义在可求面积的有界区域D 上的函数. J 是一个确定的数,若对任给的正数 ε ,总存在某个正数δ,使对于D 的任意分割T ,当它的细度T δ<时,属于T 的所有积分和 都有 ()1 ,n i i i i f J ξησ ε=?-<∑, 则称(),f x y 在D 上可积,数J 称为函数(),f x y 在D 上的二重积分,记作 (),D J f x y d σ=??, 其中(),f x y 称为二重积分的被积函数, ,x y 称为积分变量, D 称为积分区域. 1.2二重积分的若干性质 1.21若(),f x y 在区域D 上可积, k 为常数,则(),kf x y 在D 上也可积,且 (),D kf x y d σ??(),D k f x y d σ=??. 1.22 若(),f x y ,(),g x y 在D 上都可积,则()(),,f x y g x y ±在D 上也可积,且 ()()[,,]D f x y g x y d σ±??()(),,D D f x y d g x y d σσ=±????. 1.23 若(),f x y 在1D 和2D 上都可积,且1D 与2D 无公共内点,则(),f x y 在12D D 上也可积,且 ()12 ,D D f x y d σ?? ()()1 2 ,,D D f x y d f x y d σσ=±???? 1.3在矩形区域上二重积分的计算定理 设(),f x y 在矩形区域D [][],,a b c d =?上可积,且对每个[],x a b ∈,积分(),d c f x y dy ?存 在,则累次积分(),b d a c dx f x y dy ??也存在,且 (),D f x y d σ?? (),b d a c dx f x y dy =??. 同理若对每个[],y c d ∈,积分(),b a f x y dx ?存在,在上述条件上可得 (),D f x y d σ?? (),d b c a dy f x y dx =?? 2.求的二重积分的几类理论依据 二重积分类似定积分,可看成一个函数在有界区域内的积分,它计算的主要思路是把重积分化为我们学过的累次积分的计算,在这思想下如何化为更容易求的累次积分成为问题关键,下文介绍了把区域化为简单的X -型\Y -型区域及把复杂的函数通过变量变换化为简单函数的几种计算技巧,另外还列举几类特殊二重积分的简单求法. 2.1在直角坐标系下,对一般区域二重积分的计算 X -型区域: ()()(){}12 ,,D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤ Y -型区域: ()()(){}1 2 ,,D x y x y x x y c y d = ≤≤≤≤ 定理:若(),f x y 在X -区域D 上连续,其中()1y x ,()2y x 在[],a b 上连续,则 (),D f x y d σ??()()() 21,b y x a y x dx f x y dy =?? 即二重积分可化为先对y ,后对x 的累次积分. 同理在上述条件下,若区域为Y -型,有 高数重积分测试题 Prepared on 22 November 2020 高数测试题七（重积分部分）答案 一、 选择题（每小题5分，共25分） 1、交换积分00(,)(a y dy f x y dx a ??为常数）的次序后得（ B ） A 00(,)y a dx f x y dy ?? B 0(,)a a x dx f x y dy ?? C 00(,)a x dx f x y dy ?? C 00(,)a y dx f x y dy ?? 2、设2222222()()x y z t F t f x y z dv ++≤= ++???，其中 f 为连续函数，(0)f '存在，而 (0)0,(0)1f f '==，则5 0()lim t F t t →=（ B ） A π B 45π C 35π D 25π 3、球面22224x y z a ++=与柱面222x y ax +=所围成立体体积（含在柱内部分）为（ C ） A 2cos 200 4a d π θθ?? B 2cos 2008a d πθθ?? C 2cos 2 004a d πθθ?? D 2cos 2 02a d π θπθ-?? 4、设D 是xy 平面上以点(1,1),(1,1),(1,1)---为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限的部分，则(cos sin )D xy x y d σ+??=（ A ） A 12cos sin D x yd σ?? B 12D xyd σ?? C 1 (cos sin )D xy x y d σ+?? D 0 5、设22222222 22sin()1arctan 0(,)0 2x y x y x y x y f x y x y π ?++≠??++=??+=?? ， 区域22:(0)D x y ε ε+≤>，则01lim (,)D f x y d εσπε+→??=（ A ） A 2 π B π C 0 D ∞ 二重积分和多重积分方法 在第三节中我们讨论了二重积分，本节将之推广到一般的n维空间中去. 类似于第三节，我们先定义一个R3中集合的可求体积性.同样可以给出一列类似的结论.读者自己推广.这里将不再赘述. 一、引例 设一个物体在空间R3中占领了一个有界可求体积的区域V ,它的点密度为f x,y,z , 现在要求这个物体的质量.假设密度函数是有界的连续函数，可以将区域V分割为若干个可求体积的小区域V1,V2,...,V n，其体积分别是V1, V2,..., V n,直径分别是d1,d2,...,d n , 即d i sup(| WQ ||W,Q V i} , (i=1,2，…,n ) , |WQ| 表示W, Q 两点的距离.设 max( d1,d2,...,d n)，则当很小时，f x, y, z在V i上的变化也很小.可以用这个小 区域上的任意一点X i,y i,Z i的密度f X i,y i,Z i来近似整个小区域上的密度，这样我们可 以求得这个小的立体的质量近似为 f X. y i’Z j V i,所有这样的小的立体的质量之和即为 这个物体的质量的一个近似值.即n M f X i ,y i, Z i V i . 当0时，这个和式的极限存在，就是物体的质量.即 n M lim0 f X i, y i ,Z i V i - 从上面的讨论可以看出，整个求质量的过程和求曲顶柱体的体积是类似的，都是先分割，再求和，最后取极限.所以我们也可以得到下面一类积分. 二、三重积分的定义 设f X,y,Z是空间R3中的一个有界可求体积的闭区域V上的有界函数，将V任意分割为若干个可求体积的小闭区域VeVE.^V n，这个分割也称为V的分划，记为P: V1,V2,...,V n. V「V「(空，i j),其体积分别是V1, V2,..., V n，直径分别是d1,d2,...,d n .设maX( d1,d2,...,d n},或记为||P||.在每个小区域中任意取一点X i, y i, Z i V i ,作和 n f X i, y i,Z i V i (称为Riemann和)，若当0时，这个和式的极限存在，则称其极 i 1 积分运算的常用方法 Warren K 引言： 本学期课程的一大重点在于重积分的运算、利用重积分解决实际问题的微元法以及线面积分及其应用。这里根据自己学习的一些心得以及课本和参考书籍上的知识，归纳总结一些积分运算的常用方法。 一、 二重积分 （1）、化为累次积分 公式 ? ? ? ? ?? ==b a x y x y d c y x y x s dxdy y x f dxdy y x f ds y x f ) (2) (1) (2) (1) (),(),(),( 例1:计算??) (s xyds ,其中S 为抛物线x y =2与直线2-=x y 所围成的区域. 解 将S 视为y 型区域，先对x 后对y 积分，得 855])2[(5.02 1 4 22 1 2 ) (2=-+==?????--+dy y y y xydx dy xyds y s y 如果用直线 把此区域（S ）分成两部分，那么（S ）可以看作是两个x 型区域的并。先对y 后对x 积分得 ??????--+=41 2 1 ) (x x x x s xydy dx xydy dx xyds 由上式可以得出同样的结果，但这种方法显然要麻烦一些。从这也可以看到，计算二重积分时，选取适当的积分顺序是一个值得注意的问题。如果积分顺序选择不当，不仅可能引起计算上的麻烦，而且可能 导致积分无法算出。 （2）、化为极坐标 若积分域（S ）与被积函数f(x,y)用极坐标表示更为简便，则应考虑将其化为极坐标的二重积分来计算。为此，建立极坐标系，令极点与xOy 直角坐标系的原点重合，x 轴取为极轴。利用直角坐标与极坐标的转换公式 ),20,0(sin ,cos π?ρ?ρ?ρ≤≤+∞≤≤==y x 将（S ）的边界曲线化为极坐标，并把被积函数变换为 ).sin ,cos (),(?ρ?ρf y x f = 接下来就是把面积微元由极坐标表示出来， .?ρρ??≈?s 从而 ??????==β α?ρ?ρ ρρ?ρ?ρ??ρρ?ρ?ρ) () (21)sin ,cos (.)sin ,cos (),(d f d d d f ds y x f s s =??b a d f d ) ()(21 )sin ,cos (ρ?ρ??ρ?ρ?ρρ 例2：)0() (4102 2 2 2 2>+-=??-+--a dy y x a dx I a x a a x 解：将原积分化为极坐标下的累次积分计算. a d a d I a 2 2 240 4sin 20 2 2 -= -=?? --πρρ ρ θπθ （3）、曲线坐标下二重积分的计算法 1.正则变换 二重积分??) (),(s ds y x f高数重积分测试题
重积分的应用
高数重积分测试题
二重积分的计算方法
第十章 重积分单元测试卷
高数重积分测试题
二重积分练习题
重积分及其计算和多重积分
归纳二重积分的计算方法
高数重积分测试题
重积分及其计算和多重积分
重积分运算的常用解法