新人教版九年级数学上册第5课时 解一元二次方程-因式分解法学案

新人教版九年级数学上册第5课时解一元二次方程-因式分解法学

案

一、学习目标1．会用因式分解法解一元二次方程；

2．会用换元法解一元二次方程；

3．灵活选用简便的方法解一元二次方程.

二、知识回顾1．分解因式的常用方法有哪些？

（1）提取公因式法：

am+bm+cm= m(a+b+c)

（2）公式法：

22()()

a b a b a b

-=+-，222

2()

a a

b b a b

++=+222

-2(-)

a a

b b a b

+=，

（3）十字相乘法：

2()()()

x a b x ab x a x b

+++=++

三、新知讲解1．因式分解法

把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.

当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们可以使两个一次式分

别等于0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.

2．因式分解法解一元二次方程的步骤：

①把方程的右边化为0；

②用提公因式法、公式法（这里指因式分解中的公式法）或十字相乘法把方程左边化成两个一次因

式乘积的形式；

③令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

3．因式分解法的条件、理论依据

因式分解法解一元二次方程的条件是：方程右边等于0，而左边易于分解；

理论依据是：如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零.

四、典例探究1．用因式分解法解一元二次方程

【例1】用因式分解法解方程：

（1）2(2x－1)2=(1－2x)；（2）4(y＋2)2=(y－3)2.

总结：

用因式分解法解一元二次方程，是利用了“当ab=0时，必有a=0或者b=0”的结论.

因式分解法解一元二次方程的步骤：

（1）把方程的右边化为0；

（2）用提公因式法、公式法（这里指因式分解中的公式法）或十字相乘法把方程左边化成两个一次

因式乘积的形式；

（3）令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；

（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

练1（2014秋?赵县期末）用因式分解法解方程：x2﹣6x+9=（5﹣2x）2

2．用换元法解一元二次方程

【例2】（2014?山西校级模拟）解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2；当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为x1=2，x2=5．利用这种方法求方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解．

总结：

换元法在解特殊一元二次方程的时候用的较多，运用了整体思想.

在一元二次方程中，某个代数式几次出现，用一个字母来代替它可以简化问题时，我们可以考虑用换元法来解.

解高次方程时，通过换元的方法达到降次的目的．

练2（2015?呼和浩特）若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b﹣2）﹣8=0，则a+b=_______．

练3解方程：（x2-3）2-5(3-x2)+4=0.

3．灵活选用方法解一元二次方程

【例3】（2014秋?漳县校级期中）选择适当方法解下列方程：

（1）x2﹣5x+1=0；

（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）；

（3）2x2﹣2x﹣5=0；

（4）（y+2）2=（3y﹣1）2．

总结：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，根据一元二次方程的特征，灵活选用解方程的方法，可以起到事半功倍的作用.

（1）一般地，当一元二次方程一次项系数为0时，即形如ax2+c=0形式的一元二次方程，应选用直接开平方法.

（2）若常数项为0，即形如ax2+bx=0的形式，应选用因式分解法.

（3）若一次项系数和常数项都不为0，即形如ax2+bx+c=0的形式，看左边的整式是否能够因式分解，如果能，则宜选用因式分解法；不然选用公式法；不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.

（4）公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的. 因此在解方程时，我们首先考虑能否应用直接开平方法、因式分解法等简单方法，若不行，则再考虑公式法（适当也可考虑配方法）.

练4（2015春?无锡校级期中）选择合适的方法解下列方程.

（1）x2﹣5x﹣6=0；

（2）3x2﹣4x﹣1=0；

（3）x（x﹣1）=3﹣3x；

（4）x2﹣2x+1=0．

五、课后小测 一、选择题

1．方程（x-16）(x+8)=0的根是（ ）

A. x 1=-16，x 2=8

B. x 1=16，x 2=-8

C. x 1=16，x 2=8

D. x 1=-16，x 2=-8

2. 方程5x(x+3)=3(x+3)的解为（ ）

A.123,35x x ==

B.35x =

C.123,35x x =-=-

D.123,35

x x ==- 3.（2015?滕州市校级模拟）方程x 2﹣2x=3可以化简为（ ）

A ．（x ﹣3）（x+1）=0

B ．（x+3）（x ﹣1）=0

C ．（x ﹣1）2=2

D ．（x ﹣1）2+4=0

二、填空题

4．（2015?丽水）解一元二次方程x 2+2x ﹣3=0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个

一元一次方程 ．

5．（2014?杭州模拟）方程x （x+1）=2（x+1）的解是 ．

6．（2013秋?苏州期末）已知（x 2+y 2+1）（x 2+y 2+2）=6，则x 2+y 2的值为 ．

三、解答题

7．（2014秋?静宁县期末）解下列方程：

（1）x 2﹣2x+1=0

（2）x 2﹣2x ﹣2=0

（3）（x ﹣3）2+2（x ﹣3）=0．

8．（2014秋?沧浪区校级期末）解下列方程：

（1）x 2﹣4x ﹣3=0

（2）（x ﹣2）2=3（x ﹣2）

（3）2（﹣x ）2

﹣（x ﹣）﹣1=0．

9．（2014秋?宛城区校级期中）为了解方程（x 2﹣1）2﹣5（x 2﹣1）+4=0，我们可以将x 2﹣1看作一个

整体，然后设x 2﹣1=y ，则（x 2﹣1）2=y 2，那么原方程可化为y 2﹣5y+4=0，解得y 1=1，y 2=4．

当y=1时，x 2﹣1=1，x 2=2，x=±．

当y=4时，x 2﹣1=4，x 2=5，x±．

故原方程的解为x 1=，x 2=﹣，x 3=，x 4=﹣．

请借鉴上面的方法解方程（x 2﹣x ）2﹣5（x 2﹣x ）+6=0．

10．（2014秋?蓟县期中）已知（x 2+y 2﹣3）（x 2+y 2+1）=12，求x 2+y 2的值．

典例探究答案：

【例1】【解析】（1）移项，提取公因式；（2）移项并利用平方差公式分解因式求解.

解：（1）2(2x －1)2=(1－2x )

移项，得2(2x －1)2－(1－2x )=0，

即：2(2x －1)2+(2x －1)=0，

因式分解，得（2x-1）[2(2x-1)+1]=0，

整理，得(2x-1)(4x-1)=0，

解得x 1=12，x 2=14

； （2）4(y ＋2)2=(y －3)

2

移项，得4(y ＋2)2-(y －3)2=0

因式分解，得[2（y+2）+(y-3)][2(y+2)-(y-3)]=0

整理，得(3y+1)(y+7)=0

解得y 1=－13

，y 2=－7. 练1．【解析】首先利用完全平方公式以及平方差公式分解因式，进而解方程得出即可；

解：x 2﹣6x+9=（5﹣2x ）2，

（x ﹣3）2﹣（5﹣2x ）2=0，

因式分解得：（x ﹣3+5﹣2x ）（x ﹣3﹣5+2x ）=0，

整理得：（2﹣x ）（3x ﹣8）=0，

解得：x 1=2，x 2=.

点评：此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键．

【例2】【解析】先设2x+5=y ，则方程即可变形为y 2﹣4y+3=0，解方程即可求得y （即2x+5）

的值，进一步可求出x 的值．

解：设x ﹣1=y ，则原方程可化为y 2﹣4y+3=0，

所以（y ﹣1）（y ﹣3）=0

解得y 1=1，y 2=3．

当y=1时，即2x+5=1，

解得x=﹣2；

当y=3时，即2x+5=3，

解得x=﹣1，

所以原方程的解为：x 1=﹣2，x 2=﹣1．

点评：本题运用换元法解一元二次方程．

练2．【解析】设a+b=x ，则原方程转化为关于x 的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求x （即a+b ）的值．

解：设a+b=x ，则由原方程，得

4x （4x ﹣2）﹣8=0，

整理，得

（2x+1）（x ﹣1）=0，

解得x 1=﹣，x 2=1．

则a+b的值是﹣或1．

故答案是：﹣或1．

点评：本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．

练3 【解析】设x2-3=y，则原方程转化为关于y的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求y（即x2-3）的值．

解：设x2-3=y，则原方程可化为y2-5(-y)+4=0，即：y2+5y+4=0，

因式分解得：（y+1）(y+4)=0,

解得y1=-1，y2=-4.

x=±.

当y1=-1时，x2-3=-1，即x2=2，解得2

当y2=-4时，x2-3=-4，即x2-3=-1，方程无实数根.

x=±.

综上，2

【例3】【解析】（1）利用配方法得到（x﹣）2=，然后根据直接开平方法求解；

（2）先变形得到3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，然后利用因式分解法解方程；

（3）先计算判别式的值，然后利用求根公式法求解；

（4）先变形得到（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，然后利用因式分解法解方程．

解：（1）x2﹣5x=﹣1，

x2﹣5x+（）2=﹣1+（）2，

（x﹣）2=，

x﹣=±，

所以x1=，x2=；

（2）3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）=0，

（x﹣2）（3x﹣6﹣x）=0，

所以x1=2，x2=3；

（3）△=（﹣2）2﹣4×2×（﹣5）=48

x===，

所以x1=，x2=；

（4）（y+2）2﹣（3y﹣1）2=0，

（y+2+3y﹣1）（y+2﹣3y+1）=0，

y+2+3y﹣1=0或y+2﹣3y+1=0，

所以y1=﹣，y2=．

点评：本题考查了一元二次方程的四种常见解法．

练4．【解析】（1）根据因式分解法，可得方程的解；

（2）根据公式法，可得方程的解；

（3）根据因式分解法，可得方程的解；

（4）根据公式法，可得方程的解．

解：（1）因式分解，得

（x ﹣1）（x ﹣6）=0，解得x 1=6，x 2=﹣1；

（2）a=3，b=﹣4，c=﹣1，x 1=

，x 2=； （3）方程化简得x 2+2x ﹣3=0，

因式分解，得（x+3）（x ﹣1）=0，

解得x 1=1，x 2=﹣3；

（4）a=1，b=﹣2，c=1，x 1=1+，x 2=﹣1+．

点评：本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选择适当的方法是解题关键． 课后小测答案：

一、选择题

1．【解析】先移项，再分解因式，即可得出选项．

解：x 2﹣2x=3，

x 2﹣2x ﹣3=0，

（x ﹣3）（x+1）=0，

故选A ．

点评：本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确分解因式，题目比较好，难度不是很大．

2.【解析】先移项，再分解因式，即可求得5x(x+3)=3(x+3)的解.

解：5x(x+3)=3(x+3)，

移项，得5x(x+3)-3(x+3)=0，

分解因式，得（5x-3）（x+3）=0， 解得123,35x x ==-

故选D.

点评：注意本题不能两边约去（x+3），这样会失去一个解.

3.【解析】先移项，再利用十字相乘法分解因式；或者方程两边同时加1，左边配成完全平方式.

解：方法一：x 2-2x=3,

移项，得x 2-2x-3=0,

因式分解，得（x-3）(x+1)=0,

方法二：x 2-2x+1=3+1,即：（x-1）2=4,

移项，得（x-1）2-4=0.

故选A.

点评：本题考查了解一元二次方程——因式分解法.

二、填空题

4．【解析】把方程左边分解，则原方程可化为x ﹣1=0或x+3=0．

解：（x ﹣1）（x+3）=0，

x﹣1=0或x+3=0．

故答案为x﹣1=0或x+3=0．

点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．

5．【解析】移项后分解因式得到（x+1）（x﹣2）=0，推出方程x+1=0，x﹣2=0，求出方程的解即可

解：x（x+1）=2（x+1），

移项得：x（x+1）﹣2（x+1）=0，

即（x+1）（x﹣2）=0，

∴x+1=0，x﹣2=0，

解方程得：x1=2，x2=﹣1，

故答案为：x1=2，x2=﹣1．

点评：本题主要考查对解一元二次方程﹣因式分解法，解一元一次方程，等式的性质等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．

6．【解析】令x2+y2=t，将原方程化为（t+1）（t+2）=6，解出t，再求得x即可．

解：令x2+y2=t，将原方程化为（t+1）（t+2）=6，

即（t﹣1）（t+4）=0，

解得t1=1，t2=﹣4，

∵t≥0，∴t=1，

∴x2+y2=1，

故答案为1．

点评：本题考查了用换元法解一元二次方程，注意题目中的整体是x2+y2．

三、解答题

7．【解析】（1）先分解因式，即可得出一元一次方程，求出方程的解即可；

（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；

（3）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

解：（1）x2﹣2x+1=0，

因式分解，得（x﹣1）2=0，

解得x﹣1=0，即x1=x2=1；

（2）x2﹣2x﹣2=0，

移项，得x2﹣2x=2，

配方，得x2﹣2x+1=2+1，

即：（x﹣1）2=3，

解得x﹣1=，即x1=1+，x2=1﹣；

（3）（x﹣3）2+2（x﹣3）=0，

因式分解，得（x﹣3）（x﹣3+2）=0，

即x﹣3=0，x﹣3+2=0，解得x1=3，x2=﹣1．

点评：本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，此题是一道中档题目，难度适中．

8．【解析】（1）方程利用配方法求出解即可；

（2）原式利用因式分解法求出解即可；

（3）将方程变形后，设y=x﹣，得到关于y的一元二次方程，求出方程的解得到y的值，

可列出关于x的一元一次方程，分别求出一次方程的解即可得到原方程的解．

解：（1）方程变形得：x2﹣4x=3，

配方得：x2﹣4x+4=7，即（x﹣2）2=7，

开方得：x﹣2=±，

解得：x1=2+，x2=2﹣；

（2）方程变形得：（x﹣2）2﹣3（x﹣2）=0，

分解因式得：（x﹣2）（x﹣2﹣3）=0，

解得：x1=2，x2=5；

（3）2（﹣x）2﹣（x﹣）﹣1=0，

变形得：2（x﹣）2﹣（x﹣）﹣1=0，

设y=x﹣，则原方程可化为2y2﹣y﹣1=0，

因式分解得：（2y+1）（y﹣1）=0，

解得：y=﹣或y=1，

当y=﹣时，x﹣=﹣，解得：x=0；

当y=1时，x﹣=1，解得：x=，

∴x1=，x2=0．

点评：此题考查了解一元二次方程——因式分解法、配方法、换元法等，熟练掌握解一元二次的方法是解本题的关键．

9．【解析】设x2﹣x=y，原方程可化为y2﹣5y+6=0，解得y的值，再代入求得x即可．

解：设x2﹣x=y，则（x2﹣x）2=y2，那么原方程可化为y2﹣5y+6=0，解得y1=2，y2=3．

当y=2时，x2﹣x=2，x1=2，x2=﹣1．

当y=3时，x2﹣x=3，x3=，x4=．

故原方程的解为x1=2，x2=﹣1，x3=，x4=．

点评：本题考查了用换元法解一元二次方程．找出整体是解题的关键．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

10．【解析】先设z=x2+y2，则原方程变形为z2﹣2z﹣15=0，运用因式分解法解得z1=5，z2=﹣3，即可求得x2+y2的值．

解：设z=x2+y2，

原方程变形为（z﹣3）（z+1）=12，

整理，得z2﹣2z﹣15=0，

因式分解，得（z﹣5）（z+3）=0，

解得z1=5，z2=﹣3，

∵x2+y2≥0，

∴x2+y2的值为5．

点评：本题考查了换元法解一元二次方程．

最新七年级数学下册因式分解题型归纳总结

8.4 因式分解 一、知识梳理 1. 因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式． 2. 提公因式法 多项式ma ＋mb ＋mc ，各项都有一个公共的因式m ，我们把因式m 叫做这个多项式各项的公因式． 由m （a ＋b ＋c ）＝ma ＋mb ＋mc 可得ma ＋mb ＋mc ＝m （a ＋b ＋c ）．这样就把ma ＋mb ＋mc 分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式（a ＋b ＋c ）是ma ＋mb ＋mc 除以m 所得的商．像这种分解因式的方法叫做提公因式法． 3. 公式法 （1）分解因式的平方差公式： ))((22b a b a b a -+=- （2）分解因式的完全平方公式法： 222)(2b a b ab a ±=+± 二、例题精讲 题型一：提公因式法 【例1】分解因式 （1）c ab b a 323128+-； （2）)()()(y x c x y b y x a -+---； 【变式1】分解因式 （1）y x xy x 2221239-+- （2）)2()2(x y y x x ---

题型二：公式法 【例2】下列各式：①22y xy x -+-；②222 121b ab a ++；③2244b a ab +--；④xy y x 129422-+； ⑤22363y xy x +-，能用完全平方公式分解的有 .（填序号） 【变式2】因式分解. （1） 224 1b ab a +- （2） 222y x xy --- （2） 9)(6)(2++++b a b a （4）22)(9)(25b a b a --+ （5）22)()(y x y x --+ （6）14-x 【例3】若多项式42++mx x 能用完全平方公式分解因式，则m 的值为 . 【变式3】若222)32(924y x y kxy x +=+-，则k 的值是 . 题型三：分组分解法 【例4】因式分解. （1）b a b a 24422-+- （2）1222-+-y xy x （3）22269y y x x -++ （4）by ax b a y x 222222++-+-

初中数学帮你梳理《因式分解》

因式分解教材解读 ◆因式分解 1、 因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫这个多项式分解因式。 2、 因式分解的实质是一种恒等变形，是一种化和为积的变形：多项式→几个整式的积。 3、 因式分解与整式乘法的关系： 因式分解与整式乘法的关系是互逆的。多项式可以通过因式分解化为因式的乘积；因式乘积可以通过运用整式乘法化为一个多项式。 因式分解在计算、约分等方面的应用。 ◆提公因式法 一、 公因式的定义及确定公因式 1、 公因式：一个多项式各项都含有的公因式，叫这个多项式的公因式。 2、 确定公因式：系数，取各项整数系数的最大公约数；字母，取各项的相同字母；指 数，取各相同字母的最低指数。 二、 提公因式法的概念和步骤 1、概念：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫提取公因式法。 2、提取公因式的依据：乘法分配律。 3、提取公因式的步骤： “一定”：确定公因式。“二提”：将各项的公因式提出来并确定另一个因式，提取过程实际是用原多项式除以公因式的过程。 三、 用提公因式法分解因式时要注意的几点 1、 因式分解要彻底，要分解到不能再分解为止。 2、 当多项式第一项的系数是负数时，通常提出“－”号，使括号内第一项的系数变为 正数，在提出“－”号后，多项式都要变号。 3、 形如()2n m -与()2m n -可以写成同一个形式，面对于()2n m -与()3 m n -，在化成同一个形式时要注意符号的变化。 ◆公式法

一、 运用平方差公式对多项式进行因式分解 1、 平方差公式：()()b a b a b a -+=-2 2 2、 公式特点：（1）二项式，（2）两项都是平方项，（3）两项符号相反；右边：两平方 项的底数和与底数积。 二、 运用完全平方公式对多项式进行因式分解 1、完全平方公式：()2 222b a b ab a ±=+± 2、公式特点：左边：（1）三项式，（2）首尾两项为两个数的平方和，中间项是两个底数的积的2倍，（3）两平方项符号必须相同，右边：两个底数的和或差的平方。 三、运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解 1、根据多项式的项数选择公式，二项式考虑平方差公式，三项式考虑完全平方公式。 2、运用公式的关键是将多项式改写成符合公式特征的形式。 3、有的多项式需打乱顺序，有些较烦琐的多项式可以先整体考虑，运用公式，再逐步来考虑。 帮你梳理《因式分解》 因式分解的意义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫把这个多项式因式分解。 1、因式分解是一种恒等变形，其是否正确，可以用整式乘法检验，看乘得的结果是否等于原多项式。 2、因式分解强调的结果是整式的积的形式，是一种形式上的恒等变形。 3、因式分解的结果要求，是必须进行到每个因式都不能再分解为止，要注意要求在何种数集内进行因式分解的。 4、并不是所有多项式在任何数集内都能因式分解。 因式分解的基本方法： 1、提公因式法，形如ma mb mc m a b c ++=++()。 2、运用公式法：

七年级下册数学因式分解十字相乘练习题

初一数学因式分解专项训练 班级：__________ 姓名：__________ 学号：______ 一：用十字相乘法分解因式 (1) t 2-15t+36 （2） x 2-7x+6 (3) a 2-a-12 (4)m 2-8m-20 （5）x 2- 2x-3 （6）x 2-7x+6 （7）x 2-10x+24 (8) a 2+4a-21 (9) p 2-10p-11 (10)x 2-3x-28 (11)b 2+11b+28 (12)2x 2-6x-8 （13）2x 2+15x+7 (14)3a 2-8ab+4b 2 （15）4x 2y 2-5xy 2-9y 2 （16）4m 2+8mn+3n 2 （17）6x 2-11xy+3y 2 （18）a 4-13a 2+36 (19)2x 2-6x-8 (20)6x 2-13x+6 （21）2x 2+3x+1 （22）(x+y)2-5(x+y)-14 （23）ap 2-8ap+7a （24）a a a 12423+-- （25）24129x x -+ （26）24359a a -- （27）2 5()14()8x y x y -+-+ \

二：利用分组分解分解因式 (1) 3a-ax-3b+bx (2) 3ax+4by+4ay+3bx (3) xy-y2-yz+xz （4）20(x+y)+x+y (5)p-q+k(p-q) (6)ac+bc+2a+2b (7)a2+ab-ac-bc (8)x2-y2+ax+ay (9)4a2-b2+6a-3b (10) m2-n2+am+an （11）xy-xz+y-z(12) 4m2-4m+2n-n2 (13) 9y2+6y-4x-4x2(14) x2-6x+9-y2(15) 16a2+8a-b2+1 （16）x2-a2-2x-2a (17)4x2-y2+2x-y (18) x2y2-y2+1-x2(19)4x2-4xy+y2-a2 (20)x2-2xy-m2+y2 (21)1-a2+2ab-b2 （22）x2+2xy+y2-a2(23) 4xy-3xz+8y-6z (24) x2-4y2+x-2y (25)x2-y2-z2+2yz (26) 1-m2-n2+2mn (27)a2－2ab+b2－m2－2mn－n2

2019初三数学因式分解法九大方式

2019初三数学因式分解法九大方式 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 时间总感觉是昨天的回忆。小编整理了2019 因式分解法九大方式内容，欢迎大家参考复习。 2019初三数学因式分解法九大方式 运用公式法： 我们知道乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。于是有： a2-b2= a2+2ab+b2=2 a2-2ab+b2=2 如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。 平方差公式 1.平方差公式

式子：a2-b2= 语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。 因式分解 1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。 2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。 完全平方公式 把乘法公式2=a2+2ab+b2 和2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =2 a2-2ab+b2 =2 这就是说，两个数的平方和，加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和的平方。 把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。 上面两个公式叫完全平方公式。 完全平方式的形式和特点 ①项数：三项

②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。 ③有一项是这两个数的积的两倍。 当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。 完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。这里只要将多项式看成一个整体就可以了。 分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。 分组分解法 我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式. 如果我们把它分成两组和，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式. 原式=+ =a+b 做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义.但不

高一数学用因式分解法解下列方程 (1)

高一数学：用因式分解法解下列方程 1.a^4-4a+3 2.(a+x)^m+1*(b+x)^n-1-(a+x)^m*(b+x)^n 3.x^2+(a+1/a)xy+y^2 4.9a^2-4b^2+4bc-c^2 5.(c-a)^2-4(b-c)(a-b) 答案1.原式=a^4-a-3a+3=(a-1)(a^3+a^2+a-3) 2.[1-(a+x)^m][(b+x)^n-1] 3.(ax+y)(1/ax+y) 4.9a^2-4b^2+4bc-c^2=(3a)^2-(4b^2-4bc+c^2)=(3a)^2-(2b-c)^2=(3a+2b-c)(3a-2b+c) 5.(c-a)^2-4(b-c)(a-b) = (c-a)(c-a)-4(ab-b^2-ac+bc) =c^2-2ac+a^2-4ab+4b^2+4ac-4bc =c^2+a^2+4b^2-4ab+2ac-4bc =(a-2b)^2+c^2-(2c)(a-2b) =(a-2b-c)^2 1.x^2+2x-8 2.x^2+3x-10 3.x^2-x-20 4.x^2+x-6 5.2x^2+5x-3 6.6x^2+4x-2 7.x^2-2x-3 8.x^2+6x+8 9.x^2-x-12 10.x^2-7x+10 11.6x^2+x+2 12.4x^2+4x-3

解方程：（x的平方+5x-6）分之一=（x的平方+x+6）分之一 十字相乘法虽然比较难学,但是一旦学会了它,用它来解题,会给我们带来很多方便,以下是我对十字相乘法提出的一些个人见解。 1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。 2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。 3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。 4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。3、十字相乘法比较难学。 5、十字相乘法解题实例： 1)、用十字相乘法解一些简单常见的题目 例1把m2+4m-12分解因式 分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题 解：因为1 -2 1 ╳6 所以m2+4m-12=（m-2）（m+6） 例2把5x2+6x-8分解因式 分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题 解：因为 1 2 5 ╳-4 所以5x2+6x-8=（x+2）（5x-4） 例3解方程x2-8x+15=0 分析：把x2-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。 解：因为 1 -3 1 ╳-5

青岛版七年级下册数学因式分解专题练习及答案

七年级下册数学因式分解专题练习 1．将下列各式分解因式 （1）3p2﹣6pq （2）2x2+8x+8 2．将下列各式分解因式 （1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2． 3．分解因式 （1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 4．分解因式： （1）2x2﹣x （2）16x2﹣1 （3）6xy2﹣9x2y﹣y3 （4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2 5．因式分解： （1）2am2﹣8a （2）4x3+4x2y+xy2 6．将下列各式分解因式： （1）3x﹣12x3（2）（x2+y2）2﹣4x2y2 7．因式分解：（1）x2y﹣2xy2+y3 （2）（x+2y）2﹣y2 8．对下列代数式分解因式： （1）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（x﹣1）（x﹣3）+1

9．分解因式：a2﹣4a+4﹣b2 10．分解因式：a2﹣b2﹣2a+1 11．把下列各式分解因式： （1）x4﹣7x2+1 （2）x4+x2+2ax+1﹣a2 （3）（1+y）2﹣2x2（1﹣y2）+x4（1﹣y）2（4）x4+2x3+3x2+2x+1 12．把下列各式分解因式： （1）4x3﹣31x+15；（2）2a2b2+2a2c2+2b2c2﹣a4﹣b4﹣c4；（3）x5+x+1；（4）x3+5x2+3x﹣9；（5）2a4﹣a3﹣6a2﹣a+2． 因式分解专题过关

1．将下列各式分解因式 （1）3p2﹣6pq；（2）2x2+8x+8 分析：（1）提取公因式3p整理即可； （2）先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 解答：解：（1）3p2﹣6pq=3p（p﹣2q）， （2）2x2+8x+8，=2（x2+4x+4），=2（x+2）2． 2．将下列各式分解因式 （1）x3y﹣xy （2）3a3﹣6a2b+3ab2． 分析：（1）首先提取公因式xy，再利用平方差公式进行二次分解即可； （2）首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可． 解答：解：（1）原式=xy（x2﹣1）=xy（x+1）（x﹣1）； （2）原式=3a（a2﹣2ab+b2）=3a（a﹣b）2． 3．分解因式 （1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2． 分析：（1）先提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式继续分解； （2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解． 解答：解：（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x），=（x﹣y）（a2﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4）； （2）（x2+y2）2﹣4x2y2，=（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2），=（x+y）2（x﹣y）2． 4．分解因式： （1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2． 分析：（1）直接提取公因式x即可； （2）利用平方差公式进行因式分解； （3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解； （4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可． 解答：解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；

用因式分解法解一元二次方程练习题

用因式分解法解一元二次方程 一.公因式： （一）1.解方程 x2-5x=0 x(x-1)=0 3x2=6x x2-5x=7x t(t＋3)＝28 x2＝7x x2＋12x＝0(1＋2)x2－(1－2)x＝0 (3－y)2＋y2＝9 （二）1.解方程 4x(x+3)+3(x+3)=0 3x(x+1)+4(x+1)=0 (2x＋1)2＋3(2x＋1)＝0 x(x－5)＝5－x (2t＋3)2＝3(2t＋3) 二、平方差,解方程： (x+5)(x-5)=0 x2-25=0 4x2－1＝0 (x－2)2＝256 0 1 92x 三、十字交叉,解方程： 4x2-4x+1=0 (x+3)(x+2)=0 x2-5x+6=0 x2-2x-3=0 x2－4x－21＝0 (x－1)(x＋3)＝12 3x2＋2x－1＝0 (x－1)2－4(x－1)－21＝0 5x2－(52＋1)x＋10＝0 四、完全平方,解方程： x2-6x+9=04X2-4X+1=0 (Y-1)2+2(Y-1)+1=0 五、三角形的一边长为10，另两边长为方程x2-14x+48=0的两个根，求三角形的周长？ 六、解关于x的方程(1)x2－2mx－8m2＝0；(2)x2＋(2m＋1)x＋m2＋m＝0 七、6．已知x2＋3xy－4y2＝0(y≠0)，试求 y x y x 的值 八、已知(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0．求x2＋y2的值． 九、已知x2＋3x＋5的值为9，试求3x2＋9x－2的值 十、一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h(单位：米)与所用的时间t(单位：秒)的关系式h＝－5(t－2)(t＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．

部编人教版七年级下册数学《多项式的因式分解》教案

3．1 多项式的因式分解 1．理解因式分解的概念；(重点) 2．会判断一个变形是否是因式分解．(难点) 一、情境导入 学校有一个长方形植物园，面积为a2－b2，如果长为a＋b，那么宽是多少？ 二、合作探究 探究点一：因式分解定义的理解 下列从左到右的变形中是因式分解的有() ①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)． A．1个B．2个C．3个D．4个 解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；②④是因式分解；故选B. 方法总结：因式分解与整式的乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式． 探究点二：因式分解与整式乘法的关系 【类型一】检验因式分解是否正确 检验下列因式分解是否正确． (1)x3＋x2＝x2(x＋1)； (2)a2－2a－3＝(a－1)(a－3)； (3)9a2－12ab＋4b2＝(3a－2b)2. 解析：分别计算等式右边的几个多项式的乘积，再与左边的多项式相比较看是否相等． 解：(1)因为x2(x＋1)＝x3＋x2，所以因式分解x3＋x2＝x2(x＋1)正确； (2)因为(a－1)(a－3)＝a2－4a＋3≠a2－2a－3，所以因式分解不正确； (3)因为(3a－2b)2＝9a2－12ab＋4b2，所以因式分解9a2－12ab＋4b2＝(3a－2b)2正确．

方法总结：检验因式分解是否正确，只要看等式右边的几个多项式的乘积与等式左边的多项式是否相等． 变式【类型二】 求字母的值 已知三次四项式2x 3－5x 2－6x ＋k 分解因式后有一个因式是x －3，试求k 的值及另一个因式． 解析：此题可设此三次四项式的另一个因式为(2x 2－mx －k 3 )，将两因式的乘积展开与原三次四项式比较就可求出k 的值． 解：设另一个因式为2x 2－mx －k 3，∴(x －3)(2x 2－mx －k 3)＝2x 3－5x 2－6x ＋k ，2x 3－mx 2－k 3 x －6x 2＋3mx ＋k ＝2x 3－5x 2－6x ＋k ，2x 3－(m ＋6)x 2－(k 3－3m )x ＋k ＝2x 3－5x 2－6x ＋k ，∴m ＋6＝5，k 3 －3m ＝6，解得m ＝－1，k ＝9，∴另一个因式为2x 2＋x －3. 方法总结：因为整式的乘法和分解因式互为逆运算，所以分解因式后的两个因式的乘积一定等于原来的多项式． 三、板书设计 多项式的因式分解?????因式的概念因式分解的概念因式分解与整式乘法的关系 本节课从生活中的实例出发，引导出因式分解这一课题，让学生认识到因式分解与整式乘法是互逆的变形，因此可以利用整式乘法来检验因式分解是否正确．本节课重在通过因式分解概念的学习，激发学生的学习兴趣，为本章后继学习奠定坚实的基础

用因式分解法解一元二次方程

典型例题一 例 用因式分解法解下列方程 6223362+=+x x x 解：把方程左边因式分解为： 0)23)(32(=-+x x ∴032=+x 或023=-x ∴ 3 2,2321=-=x x 说明: 对于无理数系数的一元二次方程，若左边可分解为一次因式积的形式，均可用因式分解法求出方程的解。 典型例题二 例 用因式分解法解下列方程。 1522+=y y 解: 移项得：01522 =--y y 把方程左边因式分解 得：0)3)(52(=-+y y ∴052=+y 或03=-y ∴.3,2 521=-=y y 说明: 在用因式分解法解一元二次方程时，一定要注意，把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式都为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了。

典型例题三 例 用因式分解法解下列方程 （1）021362=+-x x ； （2）0)23(9)12(322=--+x x ； 分析：一元二次方程化为一般形式后，在一般情况下，左边是一个二次三项式，右边是零.二次三项式，通常用因式分解的方法，可以分解成两个一次因式的积，从而可求出方程的根.但有些问题，可直接用因式分解法求解，例如（2）符合平方差公式的结构特征. 解：（1）原方程可变形为 ,0)2)(16(=--x x 016=-x 或02=-x ， ∴2,6 121==x x . （2）原方程可化为 0)633()332(22=--+x x ， 即 0)633332)(633332(=+-+-++x x x x ， ∴0)363)(6335(=-+-+x x ， ∴06335=-+x 或0363=-+x ， ∴321,5 13221+=-=x x . 说明：因式分解将二次方程化为一次方程求解，起到了降次的作用.这种化未知为已知的解题思想，是数学中的“化归思想”.事实上，将多元方程组化为一元方程，也是此法. 典型例题四

初一数学下册因式分解.doc

实用标准文档 因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多 数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需 的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍 了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解 的方法、技巧和应用作进一步的介绍： 一、提公因式法. ： ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法： 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： （ 1）平方差公式： a 2 b2 (a b)(a b) （ 2）完全平方公式： a 2 2ab b 2 (a b)2 ,a 2 2ab b 2 (a b)2 （ 3）立方和公式： （ 4）立方差公式： 例 . 已知a，b，c是ABC 的三边，且a2 b2 c2 ab bc ca ，则ABC 的形状是（） A. 直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解： a2 b2 c2 ab bc ca 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca (a b) 2 (b c) 2 (c a) 2 0 a b c 三、分组分解法： （一）分组后能直接提公因式 例 1、分解因式：am an bm bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多 项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式 = (am an) (bm bn) =a(m n) b(m n)每组之间还有公因式！ =(m n)(a b) 例 2、分解因式：2ax 10ay 5by bx 解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组； 第三、四项为一组。第二、三项为一组。 解：原式 = (2ax10ay ) (5by bx)原式=(2ax bx) ( 10ay 5by) =2a(x 5 y) b(x 5 y)=x(2a b) 5 y(2a b) =( x 5y)(2a b)=(2a b)( x 5y) 练习：分解因式1、a2ab ac bc2、xy x y 1

初三数学-因式分解经典习题

初三数学 因式分解经典习题 一、填空：（30分） 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。 2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____ 3、232y x 与y x 612的公因式是＿ 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。 5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的 有 ________________________ ， 其 结 果 是 _____________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x 8、已知,01200520042=+++++x x x x Λ 则.________2006=x 9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。 12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。

13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。 14、若6,42 2=+=+y x y x 则=xy ___。 15、方程042=+x x ，的解是________。 二、选择题：（10分） 1、多项式))(())((x b x a ab b x x a a --+---的公因式是（ ） A 、－a 、 B 、))((b x x a a --- C 、)(x a a - D 、)(a x a -- 2、若22)32(9-=++x kx mx ，则m ，k 的值分别是（ ） A 、m=—2，k=6，B 、m=2，k=12，C 、m=4，k=—12、D m=4，k=12、 3、下列各式：4422222222,)()(,,,y x y x y x y x y x --+---+--中能用平方差公式分解因式的有（ ） A 、1个， B 、2个， C 、3个， D 、4个 4、计算)10 11)(911()311)(211(2232---- Λ的值是（ ） A 、2 1 B 、 20 11 .,101.,201D C 三、分解因式：（30分） 234352x x x -- 2633x x -

初中七年级数学因式分解

单乘单 1、计算 (－3x 2y)3·(－2xy 3z)2 [2(a －b)3][－3(a －b)2][－32(a －b)] 3 4233 32435?? ? ??-???? ??-?c ab b a ab ·c b a c ab 532243—= 2、计算(－4x n ＋1y n )3[(－xy)n ]2的结果是( ) A .64x 5n+3y 5n B. －64x 5n+3y 5n C .12x 5n+1y 5n D.－12x 5n+1y 5n 3、若9 92 21 3 y x y x y x n n m m =?++-,则 n m 43-的值为（ ） （A ）3（B ）4 （C ）5 （D ）6 多乘多 1、(x+5)(x-7)= 2、计算 ()()514+-y y (3x 2－2x －5)(－2x ＋3) (x －1)(2x －3)(3x ＋1) ()()()()4321----x x x x 3、若()()1532-+=++kx x m x x ，则 m k +的值为（ ） （A ）3- （B ）5 （C ）2- （D ）2

完全平方公式 1、(2x-4y)2 = 2、(-3a-5b)2= 3、(m －n －3)2 4、(2x ＋3y －z)2 5、下列式子中一定相等的是（ ） A 、（a- b ）2 = a 2 － b 2 B 、(a+ b)2 =a 2 + b 2 C 、(a - b)2 = b 2 －2ab + a 2 D 、(-a - b)2 = b 2 －2ab + a 2 6、已知2 2 49x mxy y -+是关于,x y 的完全平方式，则m = ； 7、若二项式4m 2 +1加上一个单项式后是一含m 的完全平方式，则单项式为 8、有个多项式，它的中间项是12xy ，它的前后两项被墨水污染了看不清，请你把前后两项补充完整，使它成为完全平方式，你有几种方法？（要求至少写出两种不同的方法）. 多项式： +12xy+ = （ ）2 多项式：+12xy+ = （ ）2 完全平方公式的关系 1、x 2＋y 2=（x+y ）2－ ＝（x －y ）2＋ . 2、已知若3,2a b ab +=-=，则22a b += ，()2 a b -= ； 已知（a+b ）2 =144 (a-b)2 =36, 求ab 与a 2 + b 2 的值 3、已知x+y=0，xy=－6，则x 3y+xy 3的值是（ ） A ．72 B ．－72 C ．0 D ．6 4、若a ＋ 35 1=a ，则221a a +＝______若,41=+ x x 求 44 1x x + = *5、已知a 2 －3a ＋1＝0．求a a 1 + 、22 1a a +和2 1??? ? ? -a a 的值；

因式分解法解一元二次方程

因式分解法解一元二次方程 因式分解法解一元二次方程的一般步骤 因式分解法解一元二次方程的一般步骤是: （1）移项 把方程的右边化为0; （2）化积 将方程的左边分解为两个一次因式的乘积; （3）转化 令每个因式等于0,得到两个一元一次方程; （4）求解 解这两个一元一次方程,得到一元二次方程的两个解. 例1. 用因式分解法解方程:x x 32=. 解:032=-x x ()03=-x x ∴0=x 或03=-x ∴3,021==x x . 例2. 用因式分解法解方程:()()01212 =---x x x . 解:()()0211=---x x x ()()()()0 11011=+-=---x x x x ∴01=-x 或01=+x ∴1,121-==x x . 例3. 解方程:121232-=-x x . 解:0121232=+-x x ()()0230 44322=-=+-x x x ∴221==x x . 例4. 解方程:332+=+x x x . 解:()0332=+-+x x x ()()()()0310 131=-+=+-+x x x x x

∴01=+x 或03=-x ∴3,121=-=x x . 因式分解法解高次方程 例5. 解方程:()()013122 2=---x x . 解:()()031122=---x x ()()()()()()022*******=-+-+=--x x x x x x ∴01=+x 或01=-x 或02=+x 或02=-x ∴2,2,1,14321=-==-=x x x x . 例6. 解方程:()()034322 2=+-+x x . 解:()()043322=-++x x ()()()()()0113013222=-++=-+x x x x x ∵032>+x ∴()()011=-+x x ∴01=+x 或01=-x ∴1,121=-=x x . 用十字相乘法分解因式解方程 对于一元二次方程()002≠=++a c bx ax ,当ac b 42-=?≥0且?的值为完全平方数时,可以用十字相乘法分解因式解方程. 例7. 解方程:0652=+-x x . 分析:()124256452 =-=?--=?,其结果为完全平方数,可以使用十字相乘法分解因式. 解:()()032=--x x ∴02=-x 或03=-x ∴3,221==x x .

七年级数学因式分解练习题及答案

七年级数学因式分解练习题及答案 一、选择 1.下列各式由左到右变形中，是因式分解的是 A.a=ax+ay B. x-4x+4=x+4 C. 10x-5x=5x D. x-16+3x=+3x 2.下列各式中，能用提公因式分解因式的是 A. x-y B. x+2x C. x+y D. x-xy+1 3.多项式6xy-3xy-18xy分解因式时，应提取的公因式是 A.xy B.3xy C.xy D.3xy 4.多项式x+x提取公因式后剩下的因式是 A. x+1 B.x C. x D. x+1 5.下列变形错误的是 A.-x-y=- B.= - C. –x-y+z=- D.= 6.下列各式中能用平方差公式因式分解的是 A. –xy B.x+y C.-x+y D.x-y 7.下列分解因式错误的是 A. 1-16a= B. x-x=x C.a-bc= D.m-0.01= 8.下列多项式中，能用公式法分解因式的是 A.x－xy

二、填空 9.ab+ab-ab=ab. 10.-7ab+14a-49ab=-7a. 11.3+2=___________ 12.x-y=____________. 13.-a+b= 14.1-a=___________ 15.99-101=________ 12422222222222223222222222223222223332222322222222B. x＋xyC. x－y D. x＋y2222 16.x+x+____= 17.若a+b=1,x-y=2,则a+2ab+b-x+y=____。222 三、解答 18.因式分解： ①?4x3?16x2?24x ②8a2?123 ③2am?1?4am?2am?1 ④2a2b2-4ab+2 ⑤2-4x2y2 ⑥2-4 19.已知a+b-c=3,求2a+2b-2c的值。

用因式分解法解方程

课题：2.3 用因式分解法求解一元二次方程 学情分析 学生已经学习了解方程的方法，也学习了因式分解的方法，掌握了配方法和公式法解方程。具备一定的合作与交流的能力。 教学目标1.掌握用因式分解法解一元二次方程． 2.通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法──因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题． 重难点关键 1．重点：用因式分解法解一元二次方程． 2．?难点与关键：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）解下列方程． （1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法） 老师点评：（1）配方法将方程两边同除以2后，x前面的系数应为，的一半应为，因此，应加上（）2，同时减去（）2．（2）直接用公式求解． 二、探索新知 （学生活动）请同学们口答下面各题． （1）上面两个方程中有没有常数项？ （2）等式左边的各项有没有共同因式？ 上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解:2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0 因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=- ． （2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2． 因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法． 例1．解方程 （1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4 分析：（1）移项提取公因式x；（2）等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积，?另一边为0的形式解：（1）移项，得：4x2-11x=0 因式分解，得：x（4x-11）=0 于是，得：x=0或4x-11=0 x1=0，x2= （2）移项，得（x-2）2-2x+4=0 （x-2）2-2（x-2）=0 因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0 整理，得：（x-2）（x-4）=0 于是，得x-2=0或x-4=0 x1=2，x2=4 例2．已知9a2-4b2=0，求代数式的值．

七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版

七年级数学下册《因式分解》知识点归纳 湘教版 七年级数学下册《因式分解》知识点归纳湘教版 第三章因式分解 1.因式分解 定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变 形叫因式分解。即：多项式几个整式的积例：axbx 13131 x(ab) 3 因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法 的逆过程。 2.因式分解的方法： （1）提公因式法： ①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因 式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个 变形就是提公因式法分解因式。 公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可 以是一个数字或字母，也可以是一个单项式 或多项式。 系数——取各项系数的最大公约数 字母——取各项都含有的字母

指数——取相同字母的最低次幂 例：12a3b3c8a3b2c36a4b2c2的公因 式是 解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分 分别是12、-8、6，它们的最大公约数为2；字母部 3232 分a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式abc，故多项式的公因式是2abc. ②提公因式的步骤第一步：找出公因式； 第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可 用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩 下的另一个因式。 注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要 先提取符号。 2233 例1：把12ab18ab24ab分解因式. 解析：本题的各项系数的最大公约数是6，相同字母的 最低次幂是ab，故公因式为6ab。 2233 解：12ab18ab24ab

七年级数学因式分解复习题

因式分解 一、知识梳理 1、因式分解的概念 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把多项式因式分解. 注：因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解. 2、提取公因式法 把ma mb mc ++，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式()a b c ++是ma mb mc ++除以m 所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.用式子表求如下： ()ma mb mc m a b c ++=++ 注：i 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. ii 公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数； ②字母：各项都含有的相同字母； ③指数：相同字母的最低次幂. 3、运用公式法 把乘法公式反过用，可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法. ⅰ）平方差公式 22()()a b a b a b -=+- 注意：①条件：两个二次幂的差的形式； ②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式； ③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么. ⅱ）完全平方公式 2222222(),2()a ab b a b a ab b a b ++=+-+=- 注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式； ②其首尾两项是两个符号相同的平方形式； ③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）； ④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成222)(2b a b ab a ±=+±公式原型，弄清a 、b 分别表示的量. 补充：常见的两个二项式幂的变号规律： ①22()()n n a b b a -=-； ②2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数） 4、十字相乘法 借助十字叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次项系数为l 的二次三项式,2q px x ++ 寻找满足,ab q a b p =+=的

七年级下册数学因式分解

七年级下册数学因式分解 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

因式分解 常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法…… 一、提公因式法：式子中有公因式时，先提公因式。 例1. 232y x +6512x y －62xy 2105ax ay by bx -+- 用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．第（2）题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组。 例2.把2222()()ab c d a b cd ---因式分解． 二、公式法：根据平方差和完全平方公式 例3、 22925x y - 2633x x - 811824+-x x 三、配方法： 例4、 2616x x +- 241227x x --

这种配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验． 四、十字相乘法： （1）．2()x p q x pq +++型的因式分解 例5、把下列各式因式分解： (1) 276x x -+ (2) 21336x x ++ 例6、把下列各式因式分解： (1) 2524x x +- (2) 2215x x -- 例7、把下列各式因式分解：

(1) 226x xy y +- (2) 222()8()12x x x x +-++ (2) 由换元思想，只要把2x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式2812a a -+． （2）．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解 例8、把下列各式因式分解： (1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +- 综合练习： 1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_______。 2、22)(n x m x x -=++则m =______n =______。 3、232y x 与y x 612的公因式是__________。 4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。