中考二次函数复习题
1、向上发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 公尺，且时间与高度关系为y =ax 2+bx 。若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？ (A) 第8秒 (B) 第10秒 (C) 第12秒 (D) 第15秒 。 【关键词】二次函数极值 【答案】B
2、在平面直角坐标系中，将二次函数2
2x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为
A ．222-=x y
B ．222
+=x y C ．2)2(2-=x y D ．2
)2(2+=x y 【关键词】二次函数图像的平移。 【答案】B
3、 (2009年四川省内江市)抛物线3)2(2
+-=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，3） B ．（－2，3） C ．（2，－3） D ．（－2，－3）
【关键词】二次函数的顶点坐标. 【答案】A 4、（2009年长春）如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回，点P 在运动过程中速度大小不变，则以点A 为圆心，线段AP 长为半径的圆的面积S 与点P 的运动时间t 之间的函数图象大致为（ ）
5、（2009年桂林市、百色市）二次函数2
(1)2y x =++的最小值是（ ）． A ．2 B ．1 C ．－3 D ． 2
3
【关键词】二次函数的极值问题
【答案】A
6、(2009年上海市)抛物线2
2()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（ ）
A ．()m n ，
B ．()m n -，
C ．()m n -，
D ．()m n --， 【关键词】抛物线的顶点 【答案】B 7、(2009年陕西省)根据下表中的二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与函数y 的对应值，可判断二次函数的图像与x 轴
A ．只有一个交点
B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧
C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧
D ．无交点
【关键词】二次函数的图象 【答案】B
8、（2009威海）二次函数2
365y x x =--+的图象的顶点坐标是（ ）
A ．(18)-，
B ．(18)，
C ．(12)-，
D ．(14)-，
【关键词】抛物线顶点
（第8题）
9、（2009湖北省荆门市）函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）
解析：本题考查函数图象与性质，当0a >时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上，D 是错的，函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象必过（0，1），所以C 是正确的，故选C ． 【关键词】函数图象与性质 【答案】C 10、（2009年贵州黔东南州）抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（ ）A 、y=x 2
-x-2 B 、y=1
2
1
212++-
x C 、y=12
1
212+--x x D 、y=22++-x x
【关键词】二次函数2
y ax bx c =++（a ≠0）与a ，b ，c 的关系
【答案】D
11、（2009年齐齐哈尔市）已知二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；
②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
【关键词】二次函数2
y ax bx c =++（a ≠0）与a ，b ，c 的关系、二次函数的图象 【答案】C
12、（2009年深圳市）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（ ） A ．21y y < B ．21y y = C ．21y y > D ．不能确定 【关键词】二次函数2
y ax bx c =++（a ≠0）与a ，b ，c 的关系 【答案】C
12、（2009桂林百色）二次函数2
(1)2y x =++的最小值是（ ）．
x
y
O 1 D ．
1
1
1
1
x
o y
y
o x y
o x
x
o
y
A ．2
B ．1
C ．－3
D ．
2
3
【关键词】二次函数、最值 【答案】A 13、（2009丽水市）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论： ①a ＞0.
②该函数的图象关于直线1x =对称. ③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【关键词】二次函数的图像 【答案】B
14、（2009烟台市）二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数2
4y bx b ac =+-与反比例函数a b c
y x
++=
在同一坐标系内的图象大致为（ ）
【关键词】二次函数的图像与系数之间的关系 【答案】D 15、（2009年甘肃庆阳）图6（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图6（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ） A ．2
2y x =- B ．2
2y x = C ．2
1
2
y x
=-
D ．212y x =
【关键词】二次函数的应用 【答案】C
16、（2009年甘肃庆阳）将抛物线2
2y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A ．2
2(1)y x =+ B ．2
2(1)y x =- C ．2
21y x =+
D ．2
21y x =-
【关键词】二次函数和抛物线有关概念 【答案】D
17、（2009年广西南宁）已知二次函数2
y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图4所示，有下列四个结论：
20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
图6（1） 图6（2）
1-
1
O x
y
y x
O y x
O B ．
y
x
O A ．
y x
O
O
【关键词】二次函数2
y ax bx c =++（a ≠0）与a ，b ，c 的关系 【答案】C
18、(2009年鄂州)已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，4a －2b+c ， 2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（ ） A ．2 B 3 C 、4 D 、
5
【关键词】二次函数2
y ax bx c =++（a ≠0）与a ，b ，c 的关系 【答案】A
19、（2009年孝感）将函数2
y x x =+的图象向右平移a (0)a >个单位，得到函数2
32y x x =-+的图象，则a 的值为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【关键词】二次函数图象的平移 【答案】B
20、（2009泰安）抛物线1822-+-=x x y 的顶点坐标为 （A ）（-2，7） （B ）（-2，-25） （C ）（2，7） （D ）（2，-9） 【关键词】抛物线的顶点 【答案】C 。
21、（2009年烟台市）二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数2
4y bx b ac =+-与反比例
函数a b c
y x
++=
在同一坐标系内的图象大致为（ ）
【关键词】一次函数、反比例函数与二次函数之间的有关系 【答案】D.
22、（2009年嘉兴市）已知0≠a ，在同一直角坐标系中，函数ax y =与2ax y =的图象有可能是（ ▲ ）
1
图4
O y
3
1- 1 O x y
y x O
y x
O B ．
y x O A ． y x
O O
y x
1
-1A ． x
y
O
1
-1
B ． x
y O
1
-1
x
y
O
1
-1
【关键词】一次函数、二次函数之间的关系 【答案】C 23、（2009年新疆）如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确．．．的是（ ） A ．h m =
B ．k n =
C ．k n >
D ．00h k >>，
【关键词】二次函数的对称轴 【答案】B
24、（2009年天津市）在平面直角坐标系中，先将抛物线2
2y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ） A ．2
2y x x =--+ B ．2
2y x x =-+- C ．22y x x =-++ D ．2
2y x x =++
【关键词】二次函数的解析式 【答案】C
25、（2009年南宁市）已知二次函数2
y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列四个结论：
20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【关键词】二次函数2
y ax bx c =++（a ≠0）与a ，b ，c 的关系 【答案】C 26、（2009年衢州）二次函数2(1)2y x =--的图象上最低点的坐标是
A ．(-1，-2)
B ．(1，-2)
C ．(-1，2)
D ．(1，2) 【关键词】抛物线顶点和对称轴 【答案】B 27、（2009年舟山）二次函数2(1)2y x =--的图象上最低点的坐标是
A ．(-1，-2)
B ．(1，-2)
C ．(-1，2)
D ．(1，2) 【关键词】抛物线顶点和对称轴 【答案】B
28、（2009年广州市）二次函数2)1(2
+-=x y 的最小值是（ ）
A.2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2 【关键词】二次函数
【答案】A
29、（2009年济宁市）小强从如图所示的二次函数2
y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）0a <；（2） 1c >；（3）0b >；（4） 0a b c ++>； （5）0a b c -+>. 你认为其中正确信息的个数有
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
【关键词】二次函数 【答案】C 30、（2009年广西钦州）将抛物线y ＝2x 2向上平移3个单位得到的抛物线的解析式是（ ）
A ．y ＝2x 2＋3
B ．y ＝2x 2－3
C ．y ＝2（x ＋3）2
D ．y ＝2（x －3）2 【关键词】二次函数的图像 【答案】A
31、(2009宁夏)二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =，则下列四个结论错误．．
的是（ ）D A ．0c > B ．20a b += C ．2
40b ac -> D ．0a b c -+> 【关键词】二次函数的图象 【答案】D
32、(2009年南充)抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线（ ）
A ．1x =
B ．1x =-
C ．3x =-
D ．3x = 【关键词】抛物线的对称轴 【答案】A
33、(2009年湖州)已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个？（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【关键词】抛物线 【答案】C
34、（2009年兰州）在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数2
22y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．
是
1
1
1-
O x y
（8题图）
1
211O
1
x
y （第12题）
【关键词】一次函数与二次函数的图像和性质 【答案】D
35、（2009年兰州）把抛物线2
y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析
式为
A ．2
(1)3y x =---
B ．2
(1)3y x =-+-
C ．2(1)3y x =--+
D ．2
(1)3y x =-++ 【关键词】二次函数的图像和性质、平移 【答案】D 36、（2009年兰州）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图6所示，则下列关
系式不正确的是
A ．a ＜0 B.abc ＞0
C.c b a ++＞0
D.ac b 42-＞0
【关键词】二次函数的图像和性质与系数a,b,c 之间的关系 【答案】C 37、（2009年遂宁）把二次函数3412+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式
A.()22412+--=x y
B. ()42412+-=x y
C.()42412++-=x y
D. 3212
12
+??? ??-=x y 【关键词】二次函数的图像的解析式
【答案】D
39、（2009年广州市）二次函数2)1(2
+-=x y 的最小值是（ ）
A.2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2 【关键词】二次函数
【答案】A
40、（2009年济宁市）小强从如图所示的二次函数2
y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）0a <；（2） 1c >；（3）0b >；（4） 0a b c ++>； （5）0a b c -+>. 你认为其中正确信息的个数有
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
【关键词】二次函数 【答案】C 41、（2009年台湾）向上发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 公尺，且时间与高度关系为y =ax 2+bx 。若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？ (A) 第8秒 (B) 第10秒 (C) 第12秒 (D) 第15秒 。 【关键词】二次函数极值
1
211O
1
x
y （第12题）
【答案】B
42、(2009年河北)某车的刹车距离y （m ）与开始刹车时的速度x （m/s ）之间满足二次函数2
120
y x =（x ＞0），若该车某次的刹车距离为5 m ，则开始刹车时的速度为（ ） A ．40 m/s
B ．20 m/s
C ．10 m/s
D ．5 m/s
【关键词】二次函数的运算 【答案】C
43、（2009年湖北荆州）抛物线2
3(1)2y x =-+的对称轴是（ ）
A ．1x =
B ．1x =-
C ． 2x =
D ．2x =- 【关键词】二次函数对称轴 【答案】
44、（2009年新疆乌鲁木齐市）要得到二次函数222y x x =-+-的图象，需将2
y x =-的图象（ ）． A ．向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B ．向右平移2个单位，再向上平移2个单位 C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 【关键词】二次函数和抛物线有关概念 【答案】D
45、（2009年黄石市）已知二次函数2
y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②
1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ）
A ．①②
B ． ①③④
C ．①②③⑤
D ．①②③④⑤
【关键词】二次函数2
y ax bx c =++（a ≠0）与a ，b ，c 的关系 【答案】C
46、（2009 黑龙江大兴安岭）二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y 的图象如图，下列判断错误的是 （ ）
A ．0 B ．0 C ．0 D ．042 <-ac b 【关键词】二次函数2 y ax bx c =++（a ≠0）与a ，b ，c 的关系 【答案】B 47、（2009年枣庄市）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式中错误．．的是（ ） A ．a ＜0 B ．c ＞0 1 1 1- O x y y x O 1 －1 C ．ac b 42-＞0 D ．c b a ++＞0 【关键词】二次函数2 y ax bx c =++（a ≠0）与a ，b ，c 的关系 【答案】D 二、填空题 1、（2009年北京市）若把代数式2 23x x --化为()2 x m k -+的形式，其中,m k 为常数，则m k += . 【关键词】配方法 【答案】-3 2、（2009年安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（12-，14 -），且图象与x 轴的另一交点到原 点的距离为1，则该二次函数的解析式为 【关键词】二次函数和抛物线有关概念，待定系数法 【答案】2y x x =+，211 33 y x =-+ 3、已知二次函数的图象经过原点及点（12-，1 4 -），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二 次函数的解析式为 ． 【关键词】待定系数法 【答案】2y x x =+，211 33 y x =-+ 4、（2009年郴州市）抛物线23(1)5y x 的顶点坐标为__________． 【关键词】二次函数的顶点坐标 【答案】(15)， 5、(2009年上海市)12．将抛物线2 2y x =-向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 ． 【关键词】抛物线的平移 【答案】12 -=x y 6、（2009年内蒙古包头）已知二次函数2 y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ， ，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)， 的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是 个． 【答案】4 【解析】本题考查二次函数图象的画法、识别理解，方程根与系数的关系筀等知识和数形结合能力。根据题意画大致图象如图所示，由2 y ax bx c =++与X 轴的交点坐标为(-2,0)得()()2 220a b c ?-+?-+=， 即 420a b c -+=所以①正确； 由图象开口向下知0a <，由2 y ax bx c =++与X 轴的另一个交点坐标为()1,0x 且112x <<，则该抛物 线的对称轴为()121222 x b x a -+=- =>- 由a<0得b>a,所以结论②正确， 由一元二次方程根与系数的关系知12.2c x x a =<-，结合a<0得20a c +>，所以③结论正确， 由420a b c -+=得22c a b -=-，而0 c -<-< ∴-1<2a-b<0 ∴2a-b+1>0,所以结论 ④正确。 点拨： 420a b c -+=是否成立，也就是判断当2x =-时，2 y ax bx c =++的函数值是否为0； 判断2 y ax bx c =++中a 符号利用抛物线的开口方向来判断，开口向上a>0,开口向下a<0;判断a 、b 的小关系时，可利用对称轴2b x a =-的值的情况来判断；判断a 、c 的关系时，可利用由一元二次方程根与系数的关系12.c x x a =的值的范围来判断；2a-b+1的值情况可用420a b c -+=来判断。 7、（2009襄樊市）抛物线2 y x bx c =-++的图象如图6所示，则此抛物线的解析式为 ． 解析：本题考查二次函数的有关知识，由图象知该抛物线的对称轴是1x =，且过点（3，0），所以12 930b b c ?-=?-??-++=? ，解得23b c =??=?，所以抛物线的解析式为2 23y x x =-++， 故填2 23y x x =-++。 【关键词】函数解析式 【答案】2 23y x x =-++ 8、（2009湖北省荆门市）函数(2)(3)y x x =--取得最大值时，x =______． 解析：本题考查二次函数的最值问题，可以用配方法或二次函数顶点坐标公式求出当x 为何值时二次函数取得最大值，下面用配方法， 2 2 549(2)(3)5624y x x x x x ? ?=--=-+-=--+ ?? ?，所以当52x =时，函数(2)(3)y x x =--取得最大值，故 填52 【关键词】二次函数最值 【答案】5 2 9、（2009年淄博市） 请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 ． ①过点(31)，； ②当0x >时，y 随x 的增大而减小； ③当自变量的值为2时，函数值小于2． 答案：如21315 2362 y x y y x x =-+==-+，， 10、（2009年贵州省黔东南州）二次函数322 --=x x y 的图象关于原点O （0, 0）对称的图象的解析式是_________________。 【关键词】待定系数法 【答案】322 +--=x x y y x O 3 x =1 图6 11、（2009年齐齐哈尔市）当x =_____________时，二次函数2 22y x x =+-有最小值． 【关键词】二次函数的极值问题 【答案】1- 12、（2009年娄底）如图7，⊙O 的半径为2，C 1是函数y =12x 2的图象，C 2是函数y =-1 2 x 2的图象，则阴 影部分的面积是 . 【关键词】对称性、圆的面积 【答案】2π 13、（2009年甘肃庆阳）图12为二次函数2 y ax bx c =++的图象，给出下列说法： ①0ab <；②方程2 0ax bx c ++=的根为1213x x =-=，；③0a b c ++>；④当1x >时，y 随x 值的 增大而增大；⑤当0y >时，13x -<<． 其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号） 【关键词】二次函数2 y ax bx c =++（a ≠0）与a ，b ，c 的关系 【答案】①②④ 14、(2009年鄂州)把抛物线y ＝ax 2 +bx+c 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是y ＝x 2 －3x+5，则a+b+c=__________ 【关键词】二次函数图象的平移 【答案】11 15、（2009白银市）抛物线2 y x bx c =-++的部分图象如图8所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结论： ， ．（对称轴方程，图象与x 正半轴、y 轴交点坐标例外） 【关键词】二次函数2 y ax bx c =++（a ≠0）与a ，b ，c 的关系、二次函数与一元二次方程根之间的内在联系、二次函数与一元二次不等式的关系 【答案】答案不唯一．如：①c =3；②b +c =1；③c -3b =9；④b =-2；⑤抛物线的顶点为（-1，4），或二次函数的最大值为4；⑥方程-x 2+bx +c =0的两个根为-3，1；⑦y >0时，-3 16、(2009年甘肃定西)抛物线2 y x bx c =-++的部分图象如图8所示，请写出与其关系式、图象相关的2 个正确结论： ， ．（对称轴方程，图象与x 正半轴、y 轴交点坐标例外） 【关键词】二次函数的图像 【答案】答案不唯一. 17、（2009年包头）将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值 是 cm 2． 【关键词】面积、最小值 答案： 25 2 或12.5 18、（2009年包头）已知二次函数2 y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-，、1(0)x ， ，且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(02)， 的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．其中正确结论的个数是 个． 【关键词】二次函数 答案：4 19、（2009年莆田）出售某种文具盒，若每个获利x 元，一天可售出()6x -个，则当x = 元时，一天出售该种文具盒的总利润y 最大． 【关键词】二次函数、最大值 答案：3 20、(2009年本溪)如图所示，抛物线2 y ax bx c =++（0a ≠）与x 轴的两个交点分别为(1 0)A -，和(20)B ，，当0y <时，x 的取值范围是 ． 【关键词】二次函数 【答案】1x <-或2x > 21．(2009年湖州)已知抛物线2 y ax bx c =++（a ＞0）的对称轴为直线1x =，且经过点()()212y y -1，，，试比较1y 和2y 的大小： 1y _2y （填“>”，“<”或“=”） 【关键词】二次函数的性质 【答案】＞ 22、（2009年兰州）二次函数2 23 y x = 的图象如图12所示，点0A 位于坐标原 点， 点1A ，2A ，3A ，…， 2008A 在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ， 3B ，…， 2008B 在二次函数2 23 y x = 位于第一象限的图象上， 若△011A B A ,△122A B A ，△233A B A ，…，△200720082008A B A 都为等边三角形，则△200720082008A B A 的边长＝ . 【关键词】二次函数的图像和性质与三角形面积 【答案】2008 23、（2009年北京市）若把代数式2 23x x --化为()2 x m k -+的形式，其中,m k 为常数，则m k += . 【关键词】配方法 【答案】-3 24．(2009年咸宁市)已知A 、B 是抛物线2 43y x x =-+上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，则点A 、B 的坐标可能是_____________．（写出一对即可） 【关键词】二次函数的对称轴 【答案】(1,0),(3,0) 25、（2009年安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（12-，14 -），且图象与x 轴的另一交点到原 点的距离为1，则该二次函数的解析式为 ． 【关键词】二次函数解析式 【答案】2y x x =+，211 33 y x =-+ 26、（2009年黄石市）若抛物线23y ax bx =++与2 32y x x =-++的两交点关于原点对称，则a b 、分别为 ． 【关键词】待定系数法；二元一次方程组的解法 【答案】3 ,2 3- 27、（2009 黑龙江大兴安岭）当=x 时，二次函数222 -+=x x y 有最小值． 【关键词】抛物线顶点和对称轴 【答案】-1 三、解答题 1、（2009年株洲市）如图1，Rt ABC ?中，90A ∠=?，3 tan 4 B = ，点P 在线段AB 上运动，点Q 、R 分别在线段BC 、AC 上，且使得四边形APQR 是矩形．设AP 的长为x ，矩形APQR 的面积为y ，已知y 是x 的函数，其图象是过点（12，36）的抛物线的一部分（如图2所示）． （1）求AB 的长； （2）当AP 为何值时，矩形APQR 的面积最大，并求出最大值． 为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论： 张明：图2中的抛物线过点（12，36）在图1中表示什么呢？ 李明：因为抛物线上的点(,)x y 是表示图1中AP 的长与矩形APQR 面积的对应关系，那么，（12，36）表示当12AP =时，AP 的长与矩形 R Q P C B A APQR 面积的对应关系. 赵明：对，我知道纵坐标36是什么意思了！ 孔明：哦，这样就可以算出AB ，这个问题就可以解决了. 请根据上述对话，帮他们解答这个问题. 图1 图2 【关键词】二次函数最值 【答案】（1）当12AP =时，36AP PQ ?= ∴3PQ =， 又在Rt BPQ ?中，3tan 4B = ，∴3 4 PQ PB = ∴4PB = ∴16AB =， （2）解法一：若 AP x =，则16PB x =-，3(16)4PQ x = -，∴3 (16)4 y x x =-，整理得23 (8)484 y x =--+ ，∴ 当8x =时，48y 最大值＝. 解法二：由16AB =，结合图象可知抛物线经过点（0，0）、（16，0）、（12，36），可设抛物线解析式为 (16)y ax x =-，将（12，36）代入求得34a =-，∴3(16)4y x x =--，整理得23 (8)484 y x =--+， ∴ 当8x =时，48y 最大值＝. 解法三：由16AB =，结合图象可知抛物线经过点（0，0）、（16，0），知抛物线对称轴为8x =，∴抛物线顶点的横坐标为8.∴当8AP =时，矩形APQR 的面积最大，此时，8PB =，∴3 864 PQ =?=，∴最大面积为48. 2、（2009年株洲市）已知ABC ?为直角三角形，90ACB ∠=?，AC BC =,点A 、C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（0m >），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （ （1）求点A 的坐标（用m 表示）； （2）求抛物线的解析式； （3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连结PQ 并 延长交BC 于点E ，连结 BQ 并延长交AC 于点F ，试证 明：()FC AC EC +为定值． 【关键词】二次函数的综合题 【答案】（1）由(3,)B m 可知3OC =，BC m =，又△ABC 为等腰直角三角形，∴AC BC m ==， 3OA m =-，所以点A 的坐标是（3,0m -）. （2）∵45ODA OAD ∠=∠=? ∴3OD OA m ==-，则点D 的坐标是（0,3m -）. 又抛物线顶点为(1,0)P ，且过点B 、D ，所以可设抛物线的解析式为：2 (1)y a x =-，得： 22 (31)(01)3a m a m ?-=??-=-?? 解得14a m =??=? ∴抛物线的解析式为2 21y x x =-+ ， （3）过点Q 作QM AC ⊥于点M ，过点Q 作QN BC ⊥于点N ，设点Q 的坐标是2 (,21)x x x -+，则 2(1)QM CN x ==-，3MC QN x ==-. ∵//QM CE ∴PQM ?∽PEC ? ∴QM PM EC PC = 即2(1)12x x EC --=，得2(1)EC x =- ∵//QN FC ∴BQN ?∽BFC ? ∴QN BN FC BC = 即234(1)4x x FC ---=，得41 FC x =+ 又∵4AC = ∴444 ()[42(1)](22)2(1)8111 FC AC EC x x x x x x += +-=+=?+=+++ 即()FC AC EC +为定值8. 3、（2009年重庆市江津区）某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童 装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。 （1）请建立销售价格y （元）与周次x 之间的函数关系； （2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z （元）与周次x 之间的关系为 12)8(8 1 2+--=x z ， 1≤ x ≤11，且x 为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？并求最大利润为多少？ 【关键词】二次函数极值 【答案】【答案】（1）202(1)21830x x y +-=+?=?? (16)(11)()x x x x ≤<≤≤为整数) (6为整数 （2）设利润为w 2 22211202(1)(8)1214(16)881130(8)12(8)18(611) 88(y z x x x x x w y z x x x x ?-=+-+--=+≤ ?=??-=+--=-+≤≤??? 为整数为整数) 21148w x = + 当5x =时，1 17(8 w =最大元) 21(8)188w x =-+ 当11x =时，1191811888w =?+=+最大1 19()8 =元 综上知：在第11周进货并售出后，所获利润最大且为每件1 198 元. 4、（2009年重庆市江津区）如图，抛物线c bx x y ++-=2 与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由. 【关键词】与二次函数有关的面积问题 【答案】解：（1）将A （1，0）B （-3，0）代入2 y x bx c =-++中得10930b c b c -++=??--+=?，∴23b c =-??=? ∴抛物线解析式为：2 23y x x =--+ （2）存在 理由如下：由题意知A 、B 两点关于抛物线的对称轴1x =-对称，∴直线BC 与1x =-的交点即为Q 点，此时△AQC 周长最小，∵2 23y x x =--+，∴C 的坐标为：（0，3），直线BC 解析式为3y x =+ Q 点坐标即为13x y x =-?? =+?的解，∴1 2x y =-??=? ，∴Q （-1，2） 5、（2009年滨州）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处 理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题： （1）若设每件降价x 元、每星期售出商品的利润为y 元，请写出y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围； （2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ （3）请画出上述函数的大致图象． 【关键词】二次函数的实际应用. 【答案】（1）y=(60-x-40)(300+20x)=(20-x) (300+20x)=-6000100202 ++x x ,0≤x ≤20； （2）y=-206135)5.2(2 +-x ,∴当x==2.5元,每星期的利润最大，最大利润是6135元；（3）图像略. 6、（2009年滨州） 如图①，某产品标志的截面图形由一个等腰梯形和抛物线的一部分组成，在等腰梯形ABCD 中，AB DC ∥，20cm 30cm 45AB DC ADC ==∠=，，°．对于抛物线部分，其顶点为CD 的中点O ，且过A B 、两点，开口终端的连线MN 平行且等于DC ． （1）如图①所示，在以点O 为原点，直线OC 为x 轴的坐标系内，点C 的坐标为(150)， ， 试求A B 、两点的坐标； （2）求标志的高度（即标志的最高点到梯形下底所在直线的距离）； （3）现根据实际情况，需在标志截面图形的梯形部分的外围均匀镀上一层厚度为3cm 的保护膜，如图②，请在图中补充完整镀膜部分的示意图，并求出镀膜的外围周长． A B C N B C D A M y x （第4题图①） ） O A B C （第4题图②） ）） 20cm 30cm 45° 【关键词】二次函数与等腰梯形. 【答案】（1）A （-10，5），B （10，5）；(2) 7、 (2009年四川省内江市)如图所示，已知点A （－1，0），B （3，0），C （0，t ），且t ＞0，tan ∠BAC=3，抛物线经过A 、B 、C 三点，点P （2，m ）是抛物线与直线)1(:+=x k y l 的一个交点。 （1）求抛物线的解析式； （2）对于动点Q （1，n ），求PQ+QB 的最小值； （3）若动点M 在直线l 上方的抛物线上运动， 求△AMP 的边AP 上的高h 的最大值。 【关键词】二次函数，三角函数. 【答案】解：（1）由A （-1，0）知AO=1，由tan ∠BAC=3， 得CO=3AO=3， ∴t=3 设抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x-3),将点C （0，3）坐标代入得 a=-1 ∴所求解析式为 y=-x 2+2x+3 （2）m=-22+2×2+3=3, P(2,3) 动点Q （1，n)在直线x=1上运动，点B （3，0）关于直线x=1的对称点为A （-1，0） ∴PQ+QB=PQ+QA ∴PQ+QB 的最小值为PA=223)]1(2[+--=23 （3）将点P （2，3）的坐标代入y=k(x+1)得k=1 ∴直线l 的解析式为y=x+1 ∴AP 在l 上. 设M （x,-x 2+2x+3)，过M 作y 轴的平行线交AP 于D ，则D （x,x+1), MD=(-x 2+2x+3)-(x+1)=-x 2+x+2 S △AMP =S △AMD +S △PMD =12(-x 2+x+2)(x+1)+ 21(-x 2+x+2)(2-x)= 2 3 (-x 2+x+2) ∴h=AP S AMP ?2=2 33 (-x 2+x+2) =22 (-x 2+x+2) = 22 [-(x-21)2+4 9 ] ∴当x=2 1 时，h 的最大值为829 8、（2009仙桃）如图，已知抛物线y ＝x 2 ＋bx ＋c 经过矩形ABCD 的两个顶点A 、B ，AB 平行于x 轴，对角 线BD 与抛物线交于点P ，点A 的坐标为(0，2)，AB ＝4． (1)求抛物线的解析式； (2)若S △APO ＝2 3 ，求矩形ABCD 的面积． 【关键词】二次函数，矩形. 【答案】解：（1）∵A （0，2），AB=4，∴B （4，2） ∵抛物线2 y x bx c =++过A 、B 两点 ∴2,1642c b c =?? ++=?，解得4, 2 b c =-??=? ∴抛物线的解析式为2 4 2.y x x =-+ （2）过P 点作PE ⊥y 轴于点E ，∵32APO S = ，13 22 OA PE = ∵OA=2，∴32PE = .∵点P 在抛物线2 42y x x =-+上，∴当32x =时，74y =-.∴P 点坐标为.37(,)24 - 设直线BD 的解析式为y kx b =+ ∵直线BD 过P 、B 两点， ∴42,37 24k b k b +=???+=-?? 解得3,24 k b ?=? ??=-? ∴直线BD 的解析式为3 42 y x =-. 当0x =时，4y =-，∴D （0，－4），∴AD=2+4=6.∴4624.ABCD S =?=矩形 （3）答：存在 理由如下：设P 点2 (,23)x x x --+(30)x -<<，∵BPC BOC BPCO S S S ??=-四边形=92 BPCO S - 四边形 若BPCO S 四边形有最大值，则BPC S ?就最大，过P 点作PE ⊥x 轴于E ，∴Rt BPE BPCO PEOC S S S ?=+四边形直角梯形 11()22BE PE OE PE OC = ?++2211 (3)(23)()(233)22x x x x x x =+--++---++ 233927()2228x =-+++ ，当32x =-时，BPCO S 四边形最大=927 28 + ∴BPC S ?最大=9279272828+-= ，当32x =-时，2 15234x x --+=，∴点P 坐标为315(,)24-. 9、（2009年长春）如图，直线3 64 y x =- +分别与x 轴、y 轴交于A B 、两点，直线5 4 y x =与AB 交于点C ，与过点A 且平行于y 轴的直线交于点D ． 点E 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿x 轴向左运动．过点E 作x 轴的垂线，分别交直线AB OD 、于P Q 、两点，以PQ 为边向右作正方形PQMN ，设正方形PQMN 与ACD △重叠部分（阴影部分）的面积为S （平 方单位）．点E 的运动时间为t （秒）． （1）求点C 的坐标．（1分） （2）当05t <<时，求S 与t 之间的函数关系式．（4分） （3）求（2）中S 的最大值．（2分） （4）当0t >时，直接写出点942?? ??? ，在正方形PQMN 内部时t 的取值范围．（3分） 【参考公式：二次函数2 y ax bx c =++图象的顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，．】 【关键词】平面内点的坐标的意义，二元一次方程组的应用，不等式（组）的简单应用二次函数与一元二 次方程根之间的内在联系 【答案】解：（1）由题意，得??? ????=+-=.45,64 3x y x y 解得?????==.415,3y x ∴C （3,4 15 ）. （2）根据题意，得AE=t ，OE=8-t. ∴点Q 的纵坐标为45(8-t)，点P 的纵坐标为4 3t ， ∴PQ= 45 (8-t)-4 3 t=10-2t. 当MN 在AD 上时，10-2t=t ，∴t=3 10. 当0 10时，S=t(10-2t)，即S=-2t 2+10t. 当 3 10≤t<5时，S=(10-2t)2，即S=4t 2-40t+100. （3）当0 3 10时，S=-2（t- 2 5）2+ 2 25，∴t= 2 5时，S 最大值= 2 25. 当 310 ≤t<5时，S=4(t-5)2，∵t<5时，S 随t 的增大而减小， ∴t=310 时，S 最大值= 9 100. ∵ 2 25> 9 100，∴S 的最大值为 2 25. （4）4 5 22 或t>6. 10、（2009年郴州市） 如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M （－2，1），且P （1，－2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，P A 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B ． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得△OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图12，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ， 【关键词】二次函数的极值问题 【答案】（1）设正比例函数解析式为y kx =，将点M （2-，1-）坐标代入得1 2 k ，所以正比例函数解析式为1 2 y x 2分 同样可得，反比例函数解析式为2y x （2）当点Q 在直线DO 上运动时， 设点Q 的坐标为1()2 Q m m ，， 于是2 1 11 12224 OBQ S OB BQ m m m △， 而1 (1)(2)12 OAP S △， 所以有， 2114 m ，解得2m =± 所以点Q 的坐标为1(21)Q ， 和2(21)Q ， （3）因为四边形OPCQ 是平行四边形，所以OP ＝CQ ，OQ ＝PC ， 而点P （1-，2-）是定点，所以OP 的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ 周长的最小值就只需求OQ 的最小值 因为点Q 在第一象限中双曲线上，所以可设点Q 的坐标为2()Q n n ，， 由勾股定理可得2 2 22 42()4OQ n n n n ， 所以当22()0n n 即20n n 时，2OQ 有最小值4， 又因为OQ 为正值，所以OQ 与2 OQ 同时取得最小值， 所以OQ 有最小值2． 由勾股定理得OP ＝5，所以平行四边形OPCQ 周长的最小值是 2()2(52)254OP OQ ． 10、（2009年常德市）已知二次函数过点A （0，2-），B （1-，0），C （59 48 ，）． （1）求此二次函数的解析式； （2）判断点M （1，1 2 ）是否在直线AC 上？ （3）过点M （1， 1 2 ）作一条直线l 与二次函数的图象交于E 、F 两点（不同于A ，B ，C 三点），请自已给出E 点的坐标，并证明△BEF 是直角三角形． 图8 中考数学真题汇编:二次函数 一、选择题 1.给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（） A. ①③ B. ③④ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 2.如图,函数和( 是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是 （） A. B. C. D. 【答案】B 3.关于二次函数，下列说法正确的是（） A. 图像与轴的交点坐标为 B. 图像的对称轴在轴的右侧 C. 当时，的值随值的增大而减小 D. 的最小值为-3 【答案】D 4.二次函数的图像如图所示，下列结论正确是( ) A. B. C. D. 有两个不相等的实数根 【答案】C 5.若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( ) A. B. C. D. 【答案】B 6.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（） A. （-3，-6） B. （-3，0） C. （-3，-5） D. （-3，-1） 【答案】B 7.已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（） A. 点火后9s和点火后13s的升空高度相同 B. 点火后24s火箭落于地面 C. 点火后10s的升空高度为139m D. 火箭升空的最大高度为145m 【答案】D 8.如图，若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 9.如图是二次函数（，，是常数，）图象的一部分，与轴的交点在点 和之间，对称轴是.对于下列说法：①；②；③；④ （为实数）；⑤当时，，其中正确的是（） A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤ 【答案】A 二次函数中考真题汇编[解析版] 一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．如图，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C，抛物线上一点D的坐标为（4，3） （1）求该二次函数所对应的函数解析式； （2）如图1，点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE//x轴，PF//y轴，求线段EF的最大值； （3）如图2，点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N，当△CBN是直角三角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标． 【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）EF的最大值为 2 4 ；（3）M点坐标为可以为（2， 3），（55 2 + ，3），（ 55 2 - ，3）． 【解析】 【分析】 （1）根据题意由A、B两点坐标在二次函数图象上，设二次函数解析式的交点式，将D点坐标代入求出a的值，最后将二次函数的交点式转化成一般式形式． （2）由题意可知点P在二次函数图象上，坐标为（p，p2﹣4p+3）．又因为PF//y轴，点F 在直线BC上，P的坐标为（p，﹣p+3），在Rt△FPE中，可得FE2PF，用纵坐标差的绝对值可求线段EF的最大值． （3）根据题意求△CBN是直角三角形，分为∠CBN＝90°和∠CNB＝90°两类情况计算，利用三角形相似知识进行分析求解． 【详解】 解：（1）设二次函数的解析式为y＝a（x﹣b）（x﹣c）， ∵y＝ax2+bx+与x轴r的两个交点A、B的坐标分别为（1，0）和（3，0）， ∴二次函数解析式：y＝a（x﹣1）（x﹣3）． 又∵点D（4，3）在二次函数上， ∴（4﹣3）×（4﹣1）a＝3， ∴解得：a＝1． ∴二次函数的解析式：y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3．2018年中考数学真题汇编：二次函数(含答案)
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