2017全国高考文科数学试卷及答案解析_全国卷

2016年全国高考新课标1卷文科数学试题

第Ⅰ卷

一、选择题，本大题共 ?小题，每小题 分，共 ?分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

．设集合?? ????????， ? ? ??????，则?? ?? ?

?． ???? ?． ???? ?． ???? ?． ????

．设???????????的实部与虚部相等，其中?为实数，则??? ?

?． ? ?． ? ?． ?． ?

．为美化环境，从红、黄、白、紫 种颜色的花中任选 种花种在一个花坛中，余下的 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是? ?

?．

13 ?．12 ?．23 ?．56

4．ΔABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .

已知22,cos 3a c A ===， 则b=( )

A

B

C ．2

D ．3

5．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的

14

，则该椭圆的离心率为( ) A ．13 B ．12 C ．23 D ．34

6．若将函数y =2sin (2x +6

π)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为 ( )

A ．y =2sin(2x +4π)

B ．y =2sin(2x +3π)

C ．y =2sin(2x –4π)

D ．y =2sin(2x –3

π) 7．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个 圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是

283π， 则它的表面积是( )

A ．17π

B ．18π

C ．20π

D ．28π

8．若a >b >0，0

A ．log a c

B ．log c a

C ．a c

D ．c a >c b

9．函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为( )

10．执行右面的程序框图，如果输入的x =0，y =1，n =1， 则输出x ，y 的值满足( )

A ．y =2x

B ．y =3x

C ．y =4x

D ．y =5x

11．平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，

α//平面CB 1D 1，α∩平面ABCD=m ，

α∩平面ABB 1A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为( )

A B ．2 C D ．13

12．若函数1()sin 2sin 3

f x x -x a x =+在(-∞,+∞)单调递增，则a 的取值范围是( ) A ．[-1,1] B ．[-1,13] C ．[-13,13] D ．[-1,-13]

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．

13．设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x =.

14．已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ-π4

)=.

15．设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若|AB |=C 的面积为.

16．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，

用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分.

17.（本题满分12分）

已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1=1，b 2=

3

1，a n b n +1+b n +1=nb n . (Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)求{b n }的前n 项和.

B E G

P D C A 18.（本题满分12分）

如图，已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，PA =6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，

连接PE 并延长交AB 于点G .

(Ⅰ)证明G 是AB 的中点； (Ⅱ)在答题卡第（18）题图中作出点E 在平面PAC

内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积．

19.（本小题满分12分）

某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n 表示购机的同时购买的易损零件数.

(Ⅰ)若n =19，求y 与x 的函数解析式；

(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5，求n 的最小值；

(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？

20.（本小题满分12分）

在直角坐标系xoy中，直线l：y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.

(Ⅰ)求OH

ON

；(Ⅱ)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.

21.（本小题满分12分）

已知函数f(x)=(x -2)e x+a(x -1)2.

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若有两个零点，求a的取值范围.

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，ΔOAB是等腰三角形，∠AOB=120°.以O为圆心，1

2

OA为半径作圆.

(Ⅰ)证明：直线AB与⊙O相切；

(Ⅱ)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD.

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为

cos

1sin

x a t

y a t

=

?

?

=+

?

（t为参数，a>0）.在以坐标原点为极点，x轴

正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ.

(Ⅰ)说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.

24.（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x)=| x+1| -|2x-3|.

(Ⅰ)在答题卡第24题图中画出y=f(x)的图像；

(Ⅱ)求不等式| f(x)|>1的解集.

2016年全国高考新课标1卷文科数学试题参考答案一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1B 2A 3C 4D 5B 6D 7A 8B 9D 10C 11A 12C

【12题解析】

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．

2

3

- 14．

4

3

- 15．4π 16．216000

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分.

17．解：(Ⅰ)依题a 1b 2+b 2=b 1，b 1=1，b 2=3

1，解得a 1=2 …2分 通项公式为a n =2+3(n -1)=3n -1 …6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知3nb n +1=nb n ，b n +1=31b n ，所以{b n }是公比为3

1的等比数列.…9分 所以{b n }的前n 项和S n =111()313122313

n n --=-?-…12分 18．(Ⅰ)证明：PD ⊥平面ABC ，∴PD ⊥AB ． 又DE ⊥平面PAB ，∴DE ⊥AB ．∴AB ⊥平面PDE ．…3分 又PG ?平面PDE ，∴AB ⊥PG ．依题PA=PB ，∴G 是AB (Ⅱ)解：在平面PAB 内作EF ⊥PA （或EF // PB ）垂足为F ，

则F 是点E 在平面PAC 内的正投影.…7分

理由如下：∵PC ⊥PA ，PC ⊥PB ，∴ PC ⊥平面PAB ．∴EF ⊥PC

作EF ⊥PA ，∴EF ⊥平面PAC ．即F 是点E 在平面PAC 内的正投影.…9分

连接CG ，依题D 是正ΔABC

的重心，∴D 在中线CG 上，且

CD =2DG ．

易知DE // PC ，PC=PB=PA = 6，∴DE =2，PE =2233

PG =?= 则在等腰直角ΔPEF 中，PF=EF=2，∴ΔPEF 的面积S=2．

所以四面体PDEF 的体积1433

V S DE =?=.…12分 19．解：(Ⅰ)当x ≤19时，y =3800；当x >19时，y =3800+500(x -19)=500x -5700.

所以y 与x 的函数解析式为3800,19(*)5005700,19

x y x N x x ≤?=∈?->?…3分

(Ⅱ)由柱状图知，需更换的易损零件数不大于18为0.46，不大于19为0.7，所以n 的最小值为19.…6分 (Ⅲ)若每台机器都购买19个易损零件，则有70台的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，所以100台机器购买易损零件费用的

平均数为1100

(3800×70+4300×20+4800×10)=4000. …9分 若每台机器都购买20个易损零件，则有90台的费用为4000，10台的费用为4500，所以100台机器购买易损零件费用的 平均数为

1100(4000×90+4500×10)=4050. …11分 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.…12分

20．解：(Ⅰ)依题M (0, t )，P (22t p , t ). 所以N (2t p , t )，ON 的方程为p y x t

=. 联立y 2=2px ，消去x 整理得y 2

=2ty . 解得y 1=0，y 2=2t . …4分 所以H (2

2t p ,2t ). 所以N 是OH 的中点，所以OH ON

=2.…6分 (Ⅱ)直线MH 的方程为2p y t x t

-=，联立y 2=2px ，消去x 整理得y 2-4ty +4t 2=0. 解得y 1=y 2=2t . 即直线MH 与C 只有一个交点H .

所以除H 以外，直线MH 与C 没有其它公共点.…12分

21．解：(Ⅰ) f'(x )=(x -1)e x +a (2x -2)=(x -1)(e x +2a ).x ∈R …2分

(1)当a ≥0时，在(-∞,1)上，f'(x )<0，f (x )单调递减；

在(1,+∞)上，f'(x )>0，f (x )单调递增.…3分

(2)当a <0时，令f'(x )=0，解得x =1或x =ln(-2a ).