根号
√4=2 √8=2√2 √9=3 √12=2√3 √16=4 √18=3√2 √20=2√5 √24=2√6 √25=5 √27=3√3 √28=2√7 √32=4√2 √36=6 √40=2√10 √44=2√11 √45=3√5 √48=4√3 √49=7 √50=5√2 √52=2√13 √54=3√6 √56=2√14 √60=2√15 √63=3√7 √64=8 √68=2√17 √72=6√2 √75=5√3 √76=2√19 √80=4√5 √81=9 √84=2√21 √88=2√22 √90=3√10 √92=2√23 √96=4√6 √98=7√2 √99=3√11 √100=10 √104=2√26 √108=6√3 √112=4√7 √116=2√29 √117=3√13 √120=2√30 √121=11 √124=2√31 √125=5√5 √126=3√14 √128=8√2 √132=2√33 √135=3√15 √136=2√34 √140=2√35 √144=12 √147=7√3 √148=2√37 √150=5√6 √152=2√38 √153=3√17 √156=2√39 √160=4√10 √162=9√2 √164=2√41 √168=2√42 √169=13 √171=3√19 √172=2√43 √175=5√7 √176=4√11 √180=6√5 √184=2√46 √188=2√47 √189=3√21 √192=8√3 √196=14 √198=3√22 √200=10√2 √204=2√51 √207=3√23 √208=4√13 √212=2√53 √216=6√6 √220=2√55 √224=4√14 √225=15 √228=2√57 √232=2√58 √234=3√26 √236=2√59 √240=4√15 √242=11√2 √243=9√3 √244=2√61 √245=7√5 √248=2√62 √250=5√10 √252=6√7 √256=16 √260=2√65 √261=3√29 √264=2√66 √268=2√67 √270=3√30 √272=4√17 √275=5√11 √276=2√69 √279=3√31 √280=2√70 √284=2√71 √288=12√2 √289=17 √292=2√73 √294=7√6 √296=2√74 √297=3√33 √300=10√3 √304=4√19 √306=3√34 √308=2√77 √312=2√78 √315=3√35 √316=2√79 √320=8√5 √324=18 √325=5√13 √328=2√82 √332=2√83 √333=3√37 √336=4√21 √338=13√2 √340=2√85 √342=3√38 √343=7√7 √344=2√86 √348=2√87 √350=5√14 √351=3√39 √352=4√22 √356=2√89 √360=6√10 √361=19 √363=11√3 √364=2√91 √368=4√23 √369=3√41 √372=2√93 √375=5√15 √376=2√94 √378=3√42 √380=2√95 √384=8√6 √387=3√43 √388=2√97 √392=14√2 √396=6√11 √400=20 √404=2√101 √405=9√5 √408=2√102 √412=2√103 √414=3√46 √416=4√26 √420=2√105 √423=3√47 √424=2√106 √425=5√17 √428=2√107 √432=12√3 √436=2√109 √440=2√110 √441=21 √444=2√111 √448=8√7 √450=15√2 √452=2√113 √456=2√114 √459=3√51 √460=2√115 √464=4√29 √468=6√13 √472=2√118 √475=5√19 √476=2√119 √477=3√53 √480=4√30 √484=22 √486=9√6 √488=2√122 √490=7√10 √492=2√123 √495=3√55 √496=4√31 √500=10√5 √504=6√14 √507=13√3 √508=2√127 √512=16√2 √513=3√57 √516=2√129 √520=2√130 √522=3√58 √524=2√131 √525=5√21 √528=4√33 √529=23 √531=3√59 √532=2√133 √536=2√134 √539=7√11 √540=6√15 √544=4√34 √548=2√137 √549=3√61 √550=5√22 √552=2√138 √556=2√139 √558=3√62 √560=4√35 √564=2√141 √567=9√7 √568=2√142 √572=2√143 √575=5√23 √576=24 √578=17√2 √580=2√145 √584=2√146 √585=3√65 √588=14√3 √592=4√37 √594=3√66 √596=2√149 √600=10√6 √603=3√67 √604=2√151 √605=11√5 √608=4√38 √612=6√17 √616=2√154 √620=2√155 √621=3√69 √624=4√39 √625=25 √628=2√157 √630=3√70 √632=2√158 √636=2√159 √637=7√13 √639=3√71 √640=8√10 √644=2√161 √648=18√2 √650=5√26 √652=2√163 √656=4√41 √657=3√73 √660=2√165 √664=2√166 √666=3√74 √668=2√167 √672=4√42 √675=15√3 √676=26 √680=2√170 √684=6√19 √686=7√14 √688=4√43 √692=2√173 √693=3√77 √696=2√174 √700=10√7 √702=3√78 √704=8√11 √708=2√177 √711=3√79 √712=2√178 √716=2√179 √720=12√5 √722=19√2 √724=2√181 √725=5√29 √726=11√6 √728=2√182 √729=27 √732=2√183 √735=7√15 √736=4√46 √738=3√82 √740=2√185 √744=2√186 √747=3√83 √748=2√187 √750=5√30 √752=4√47 √756=6√21 √760=2√190 √764=2√191 √765=3√85 √768=16√3 √772=2√193 √774=3√86 √775=5√31 √776=2√194 √780=2√195 √783=3√87 √784=28 √788=2√197 √792=6√22 √796=2√199 √800=20√2 √801=3√89 √804=2√201 √808=2√202 √810=9√10 √812=2√203 √816=4√51 √819=3√91 √820=2√205 √824=2√206 √825=5√33 √828=6√23 √832=8√13 √833=7√17 √836=2√209 √837=3√93 √840=2√210 √841=29 √844=2√211 √845=13√5 √846=3√94 √847=11√7 √848=4√53 √850=5√34 √852=2√213 √855=3√95 √856=2√214 √860=2√215 √864=12√6 √867=17√3 √868=2√217 √872=2√218 √873=3√97
√875=5√35 √876=2√219 √880=4√55 √882=21√2 √884=2√221 √888=2√222 √891=9√11 √892=2√223 √896=8√14 √900=30 √904=2√226 √908=2√227 √909=3√101 √912=4√57 √916=2√229 √918=3√102 √920=2√230 √924=2√231 √925=5√37 √927=3√103 √928=4√58 √931=7√19 √932=2√233 √936=6√26 √940=2√235 √944=4√59 √945=3√105 √948=2√237 √950=5√38 √952=2√238 √954=3√106 √956=2√239 √960=8√15 √961=31 √963=3√107 √964=2√241 √968=22√2 √972=18√3 √975=5√39 √976=4√61 √980=14√5 √981=3√109 √984=2√246 √988=2√247 √990=3√110 √992=4√62 √996=2√249 √999=3√111 √1000=10√10
根式函数值域定稿版
根式函数值域 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
探究含有根式的函数值域问题 含根式的函数的值域或者最值问题在高中数学的学习过程中时常遇到，因其解法灵活，又缺乏统一的规律，给我们造成了很大的困难，导致有些学生遇到根式就害怕。为此，本文系统总结此类函数值域的求解方法，供学生参考学习。 1.平方法 例1：求31++-=x x y 的值域 解：由题意知函数定义域为[]1,3-，两边同时平方得：322422+--+=x x y =4+()4212+- +x 利用图像可得[]8,42∈y ，又知?y 0[]22,2∈∴y 所以函数值域为[]22,2 析：平方法求值域适用于平方之后可以消去根式外面未知量的题型。把解析式转化为()x b a y ?+=2 的形式，先求y 2 的范围，再得出y 的范围即值域。 2.换元法 例2： 求值域1)12--=x x y 2)x x y 2 4-+= 解：（1）首先定义域为[)+∞,1，令()01≥-=t x t ，将原函数转化为 [)+∞∈,0t ，?? ????+∞∈∴,815y 析：当函数解析式由未知量的整数幂与根式构成，并且根式内外的未知量的次幂保持一致。可以考虑用代数换元的方法把原函数转化成二次函数，再进行值域求解。 （2）首先，函数定义域为[]2,2-∈x ，不妨设αsin 2=x ，令?? ????-∈2,2ππα
则原函数转化为：??? ? ?+=+=4sin 22cos 2sin 2παααy ?? ????-∈2,2ππα，∴??????-∈+43,44πππα 析：形如题目中的解析式，考虑用三角换元的方法，在定义域的前提下，巧妙地规定角的取值范围，避免绝对值的出现。 不管是代数换元还是三角换元，它的目的都是为了去根式，故需要根据题目灵活选择新元，并注意新元的范围。 3.数形结合法 例3：1）求()()8222+-+= x x y 的值域。 2）求1362222+-++-= x x y x x 的最小值。 解：（1）()()8222+-+=x x y 82++-=x x 其解析式的几何意义为数轴上的一动点x ，到两定点2与-8的距离之和，结合数轴不难得到[]+∞∈,10y （2）解析式可转化为()()41312 2+++=--x x y ， 定义域为R ，进行适当的变形 ()()=+++--413122x x ()()()()2031012 222----+++x x ， 由它的形式联想两点间的距离公式，分别表示点到点的距离与点的距离之和。 点()0,x P 到()1,1A 和()2,3B 的距离之和。即PB PA y +=，结合图形可知 13min =+'=PB A P y ，其中()1,1-'A 析：根据解析式特点，值域问题转化成距离问题，结合图形得出最值，进而求出了值域。 例4：1) 求x x y x 2312 +--+=的值域
探究二次根式函数值域的求法
探究二次根式函数值域的求法 有些含有二次根式的函数值域问题是高中数学中常见的题型，它的形式多种多样，方法也灵法多变，几乎涵盖了所有的函数值域的求法。正因为它含有二次根式，因而求有关此类值域时也就有了它独特的一面。下面通过不同的角度进行探究。 探究一：求x x x 3245)(f ---= 的值域 设想一：观察此函数不难发现f ()x 在其定义域内是增函数，利用函数的单调性求其值域。 解：()x x x f 3245---= 05≥-∴x 2403≥-x 5≥∴x 8≤x 即函数的定义域为[]8,5 又()x f 在其定义域内是增函数。 ()()35m i n -==∴x f ，x f x 即有最小值时当 当()()38max ==x f x f x 的最大值，即时， 综上所述，函数()x f 的值域为[] 3,3，- 设想二：在解析几何中，一个代数式往往有一些特定的几何意义，这就为我们实施数与形的转换提供了理论依据，而此题目正类似于我们学过的直线与圆。 解： ()x x x f 3245---= ()x x x f ---=∴835 设a=x b x -=-8,5 (a ≥0,b ≥0) y=()x f 易得 3 32 2 =++=b a y b a 故y 可视为斜率为3的直线a 在圆3a 2 2 =+b 上移动，何时截距最大，何时截距最 小。由于0≥a ，0≥b 所以32 2=+b a 表示的仅为第一象限内 41 由图易知，直线经过A 点时，截距 y 最小，直线过B 点时，截距 y 最大。 将A （3，0），B （0，3）分别代入b y a 3+=中， y +﹛
用计算器求平方根教学设计
用计算器求平方根 教学目标： (一）知识目标： 1．使学生了解计算器的使用方法 2.使学生会用计算器求数的平方根 (二）能力目标： 通过用计算器求值及近似值计算，提高学生类比思想及运算能力 (三）情感目标： 1．通过利用计算器求值体验现代科技产品迅速、精确的功能，激发学生探索知识的兴趣 2．通过利用计算器求一个数的平方根，使学生进一步领会数学中的转化与化归的思想 二．教学重点与难点 教学重点：用计算器求一个正数的平方根的程序 教学难点：准确用计算器求解一个正数的平方根 三．教学方法 讲练结合 四．教学媒体 实物投影仪，计算器 五．教学过程 在前面我们已学过平方根的概念，现在已掌握了一些数的平方根，如4，25， 0.01，等数的平方根，但对于如：2，3，，0.3的平方根就不能像前面的数那样容易求解了，只能用根号表示。具体的值或近似值如何求解的？在乘方时曾讲过毅力计算器求解，今天我们来研究如何用计算器求解一个数的平方根。
复习提问学生有关乘方如何用计算器运算的步骤。熟悉计算器基本键的功能。 现在讲计算器打开，按键，屏幕上显示“0”此时可以进行运算。 例1．用计算器求的值。 分析：首先要学生熟悉计算器基本键的功能，对于平方根运算尤其要掌握“2F”的功能。 解：用计算器求的步骤如下： 小结：在求解的过程中，由于要用到这个键上方的功能，这就需要用上方标有“2F”的键来转换。 例2．用计算器求的值。（保留4个有效数字） 解：用计算器求的步骤如下：
小结：由于计算器的结果较精确小数的位数较多，在遇到开方开不尽的情况下，如无特殊说明，计算结果一律保留四个有效数字。 例3．用计算器求的值。 解：用计算器求的步骤如下： 因为计算结果要求保留4个有效数字， 例4．用计算器求1360.57的平方根。 解：用计算器求1360.57平方根的步骤如下：
含根式函数值域的求法
含根式函数值域的几何求法 函数值域和最大值、最小值问题是高中数学中重要的问题，其求解的方法很多，常见的解法有：观察法、配方法、均值不等式法、反函数法、换元法、判别式法、单调函数法、图解法等。其中，利用数形结合来求函数的值域，尤其是含根式函数的值域，具有其独特的效果，它能够把满足题意的几何图形画出来，生动形象的直观图，提示和启发我们的解题思路，有时，图形式直接提供了我们寻求的答案，因此，几何法既可以使题意更加明确，又可以使运算得到简化。 例1 求函数312+-+=x x y 的最小值. 解：由03≥+x 得：3-≥x . 令???≥+=-≥+=) 0(3)5(1 2v x v u x u ，消去x 得：)0,5()5(212≥-≥+=v u u v 则点()v u ,在)5(21 2+=u v 的抛物线段上，又在直线y u v -=上，如图1，易知，当直线 与抛物线相切时，－y 取最大值，取y 最小值。 联立方程组?????-=+=y u v u v )5(212， 消去u 整理得： 0522=---y v v ，由△=0， 即：0)5(24)1(2=--??--y 解得：=y 841 -. ∴ 原函数的最小值为841 -. 评注：本题可以利用代数换元法，将含根式函数的值域问题转化为二次型函数在某区间上的值域问题，其解题过程中运算量并不大，而且不难接受理解。因此，本题利用构造直线与抛物线进行求解，并没有真正体现出几何解法的优越性。 例2 求函数131-++-=x x y 的值域. 分析：本题不能用换元法进行求解，因此，我们也来尝试利用几何解法。 解：由???≥+≥-0301x x 解得：13≤≤-x . 令???≤≤+=≤≤-= )20(3)20(1v x v u x u ，消去x 得：)20,20(422≤≤≤≤=+v u v u 则点()v u ,在422=+v u 的园弧上，又在直线1++-=y u v 上， 图 2 图1
用计算器求立方根-教学教案
一．教学目标 1.会用计算器求数的立方根. 2.通过用计算器求立方根,培养学生的类比思想，提高运算能力； 3.利用计算器求立方根，使学生进一步领会数学的转化思想； 4.通过利用计算器求值体验现代科技产品迅速、精确的功能，激发学习、探索知识的兴趣。二．教学重点与难点教学重点：用计算器求一个数的立方根的程序教学难点：准确的用计算器求一个数的立方根三．教学方法启发式四．教学手段计算器，实物投影仪五．教学过程前面我们学习了用计算器求一个数的平方根，现在我们回忆一下计算器的使用方法.如何利用计算器求一个数的平方根?操作步骤? 练习：求下列各数的平方根：（1）13；（2）23.45 在初一学习了用计算器求一个数的平方或立方的方法？（由学生回答操作过程，并对比两者的差别与联系）对于用计算器求一个数的平方根的方法我们已经熟悉了，那么如何用计算器器其一个数的立方根？与求平方根有何区别和练习？对于求立方根和平方根的操作过程基本相同，主要差别是在开方的次数上，因此要注意其立方根时开方数是3。例1.用计算器求分析：求解时要用到上方的键，因此要用到“2f”功能键转换。解：用计算器求的步骤如下： =5 小结：从这道题刻一个观察出用计算器求立方根和平方根十分类似，区别是在倒数第二步的按键将改为改为，只是次数不同。例2．用计算器求解：用计算器求的步骤如下：≈12.26 小结：由于计算器的结果较精确小数的位数较多，在遇到开方开不尽的情况下，如无特殊说明，计算结果一律保留四个有效数字。练习：求下列各式的值（1） ; (2) ; (3) ; (4) (5) (6) (7) (8) （9）（10）例3．求下列各式中x的值（精确到0.01）（1）解：用计算器求的值：（2）解：用计算器求的值：六．总结今天学习了用计算器求一个数的立方根，求立方根的方法与平方根的方法类似，但要注意开方次数。做题要细心仔细，严格按照步骤操作。
函数最值问题的处理方法
函数最值问题的处理方法 摘要 函数的最值问题遍及代数，三角，立体几何及解析几何各科之中，在生产实践中也有 广泛的应用。中学数学的最值知识又是进一步学习高等数学中最值问题的基础。求函数最 值的方法有：配方法，不等式法，换元法，函数单调性法，判别式法，数形结合法，导数 法，线性规划问题，利用三角函数的有界性 关键词：函数，最值问题，处理方法 一、 配方法 形如或者可化成y=2ax +bx+c(a ≠0)的函数，可以先利用配方法找出其对称轴，依据 二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值，解题过程要特别关注自变量的取值范 围。 例1：已知f(x)=2x +2x+2,分别求出f(x)在闭区间：(1) [-4,-2], (2)[2,3], (3)[-2,3] 上的最大值M 和最小值m 解：f(x)的图像开口向上，对称轴x=-1 （1）对称轴x= -1在区间[-4,-2]的右侧，f （x ）在[-4，-2]上是减函数， 所以M=f （-4）=10，m=f （-2）=2 （2）对称轴x= -1在区间[2,3]的左侧，f （x ）在[2,3]上是增函数， 所以M=f （3）=17，m=f （2）=10 （3）对称轴x= -1在区间[-2,3]内，对称轴在区间中点的左侧， 所以M=f （3）=17，m=f （-1）=1 用配方法求最值的方法步骤： （1）求二次函数在开区间上的最值，看开口方向，确定为最大值或最小值 。 （2）求二次函数在闭区间上的最值，一看开口方向，二看对称轴在闭区间的相对位置， 分四种情况： （1）对称轴在闭区间的左侧； （2）对称轴在闭区间的右侧； （3）对称轴在闭区间中点的左侧； （4）对称轴在闭区间中点的右侧。 二、不等式法 通过式的变形，将函数解析式化为具有“基本不等式”或“均值不等式”的结构特征， 从而利用基本不等式或均值不等式求最值，利用基本不等式求最值时，一定要关注等号成 立的条件，而利用均值不等式求最值，则必须关注三个条件，即“一正，二定，三相等”。 例2：设x ，y ，a ，b ∈（0，+∞），且a ，b 为常数，若 1=+y b x a ，试求x+y 的最小
带根号的函数最值问题
带根号的函数最值问题 数学中，求函数最值本身是一块很难很重要的内容。当函数解析式中出现根号的时候，难度会加大。这里，就高中范围内出现的带根号的函数最值问题小小地总结一下。 1. 单调性一致情况 y x = （x ∈[1,2]） 分析：这个函数，分成两部分。 x 也是增的。这个函数y x =+ 于是，最大值最小值就在端点时取到。 min max y 12y == 2.单调性不一致的根号中一次项情况 y x =+ (x ∈[0,1]) 分析：单调性不一致，首先考虑换元法 2[0,1]),x=1-t ∈ max min 3,14 y y == 3．根号中出现二次项情况 y x =（x ∈[-1,1]） 分析：单调性很难判断。这时候首先考虑换元法 方法一：三角换元
我们知道，三角函数cos θ、sin θ的范围本身就是[-1,1]，代入以后可以一可以用三角公式进行运算，开阔思路，二则去掉根号，简化运算。 设x=cos θ,这里为了确定范围，不失一般性，设[0,]θπ∈, 利用1-2cos θ=sin 2θ,去掉根号很方便。 cos sin )4 y x θθπ θ=+=+=+ 值域就是[- 方法二：移项平方 这是我们自初中以来所谓的去根号的最“喜欢”的方法。但有时候，它是那么的吃力不讨好。 y x y x =+-=两边平方 222y 21xy x x -+=-+注意到这里平方的条件是y ≥x 222x 210yx y -+-= 由于x 存在，判别式大于等于0 22248(1) 840 [y y y y =--=-≥∈V 但要注意到，y ≥x ，于是有y ≥-1 [y ∈- 方法三：求导 求导属于暴力流，但是往往是在你绝望的时候唯一能抓的稻草。本文大部分题目可以用求导解决。
初中数学最值问题专题
中考数学最值问题 【例题1】（经典题）二次函数y=2（x ﹣3）2 ﹣4的最小值为 ． 【例题2】（2018江西）如图，AB 是⊙O 的弦，AB=5，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M 、N 分别是AB 、AC 的中点，则MN 长的最大值是 ． 【例题3】（2019湖南张家界）已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）过点A (1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C ，OC ＝3． （1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （2）过点A 作AM ⊥BC ，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形； （3）点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当△PBC 面积最大时，求P 点坐标及最大面积的值； （4）若点Q 为线段OC 上的一动点，问AQ ＋2 1 QC 是否存在最小值若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由． 练 习 1.（2018河南）要使代数式x 32-有意义，则x 的（ ） A.最大值为 32 B.最小值为32 C.最大值为23 D.最大值为2 3 2.（2018四川绵阳）不等边三角形?ABC 的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。 -2 -1 -1321 3 21 y x O M D C B A
3.（2018齐齐哈尔）设a 、b 为实数，那么a ab b a b 22 2++--的最小值为_______。 4.（2018云南）如图，MN 是⊙O 的直径，MN=4，∠AMN=40°，点B 为弧AN 的中点，点P 是直径MN 上的一个动点，则PA+PB 的最小值为 ． 5.（2018海南）某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为元/斤，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种水果每次降价的百分率； （2）从第一次降价的第1天算起，第x 天(x 为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.已知该种水果的进价为元/斤，设销售该水果第x (天)的利润为y (元)，求y 与x (1≤x ＜15)之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大 时间(天) 1≤x ＜9 9≤x ＜15 x ≥15 售价(元/斤) 第1次降价后的 价格 第2次降价后的 价格 销量(斤) 80－3x 120－x 储存和损耗费用 (元) 40＋3x 3x 2 －64x ＋400 （3）在（2）的条件下，若要使第15天的利润比（2）中最大利润最多少元，则第 15天在第14天的价格基础上最多可降多少元 6.（2018湖北荆州）某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出，已知生产x 只玩具熊猫的成本为R （元），售价每只为P （元），且R 、P 与x 的关系式分别为 R x =+50030，P x =-1702。 （1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润最大利润是多少 7.（2018吉林）某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙两种工种各招聘多少人时可使得每月所付的工资最少
6 用计算器开方
课题：§2.5用计算器开方 【学习目标】 1、会用计算器求平方根和立方根； 2、经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力。 【学习重点】 用计算器求平方根和立方根；运用计算器探求数学规律。 【学前准备】 带计算器 复习回顾： 1、填空： （1）121的平方根是＿＿＿＿，算术平方根＿＿＿＿＿． （2）（－2）2的平方根是＿＿＿＿＿，算术平方根是＿＿＿＿． （3）0的算术平方根是＿＿＿，立方根是＿＿＿＿． （4）64的平方根的立方根是＿＿＿＿＿． （5）一个正数的平方根是2a-1与-a+2，则a= ，这个正数是 (6)4的值等于，4的平方根是＿＿＿＿ （7）若a2＝1，则3a= 2、求下列各数的算术平方根： 49；（4）11。 （1）64；（2）0.25；（3） 81 思考： 11的算术平方根能直接获得吗？ 说明非平方数的平方根的求得需要借助。 【自学探究】 1、开方运算要用到键和键。 2、用科学计算器求一个数的平方根的按键顺序为：。 3、用科学计算器求一个数的立方根的按键顺序为：。 4、阅读教材51——52页，探索一下如何求平方根、立方根的步骤，并总结在下面的空白处。 5、按照书上52页表格中的按键顺序实际操作一下，看看你掌握的如何？
预习后你还有什么问题？最想和大家讨论交流的问题是什么？ 家长签字： 【合作交流】 一、做一做 利用计算器，求下列各式的值（结果保留4个有效数字） （1）800； （2）35 22； （3）58.0； （4）3432.0-。 解：（1）按键顺序为： 保留后结果：800≈ （2）按键顺序为： 保留后结果：3 5 22≈ （3）按键顺序为： 保留后结果：58.0≈ （4）按键顺序为： 保留后结果：3432.0-≈ 练习： 利用计算器，求下列各式的值 （1）49， （2）81.0 ，（3）1369， （4）5376.1 解：（1） （2） （3） （4） 例1利用计算器比较33和2的大小。 二、课本52页的议一议
二次根式最值
与二次根式有关的最值如何求 施时刚 本文以近几年的竞赛题为例，介绍与二次根式有关的最值问题的常用解法，供读者参考。 1.借用取值范围求最值 例1.代数式x x x + -+-12的最小值为（） A.0 B.12+ C.1 D.不存在的 分析：由二次根式有意义的取值范围知，被开方数必须非负 所以x x x ≥-≥-≥01020，， 解得x ≥2 而被开方数越小，算术平方根的值就越小 所以当x =2时 x x x +-+-12取得最小值，其值为21+ 故选B 2.因式分解与枚举法结合求最值 例2.设x 、y 都是正整数，且使x x y -++=116100，则y 的最大值是________。 分析：因为x 、y 是正整数，又x 在被开方数中，不易直接讨论，我们先用换元法把它有理化处理，再相机处理之。 令x a x b -=+=116100， a ， b 为正整数 则x a x b =+=-22 116100， ∴+=-a b 22116100 即b a 2233 21623-==? 因式分解得：()()b a b a +-=?2333 而b a b a +-、奇偶性相同，右边是偶数 所以b a b a +-、同为偶数 且b a b a +>-
∴+=???-=??????b a b a 2323232223 233222；；；； 解得b a ==??? 552921532515；；；； 所以y =1085436，， 故y max =108 3.借用基本不等式求最值 例3.若x y 2220+=，则112322-+-x y 的最大值是___________ 分析：本题是条件最值问题，变量x 、y 需满足一定的条件。先采取变量换元。 令112322-=-=x a y b ，（a b ≥≥00，） 则11232222-=-=x a y b ， 两式相加得342222--=+x y a b 因为x y 22 20+= 所以a b 2214+= ()a b ab +=+2142（*） 由基本不等式知21422ab a b ≤+= 且a b =时ab 积达到最大 此时112322-=-x y 即y x 2212-= 又y x 2220+= 解得y 216=且x 24= 故112322-+-x y 达到最大值为7727+= 4.倒数法求最值 例4.若x ≠0，求11244 ++-+x x x x 的最大值是_____________。 分析：易知原式取最大值须满足x >0
用科学计算器开方 教学设计
用科学计算器开方 【教学目标】 1．会用计算器求平方根和立方根； 2．经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理的能力。 【教学重难点】 重点：用计算器求平方根和立方根；运用计算器探求数学规律。 难点：探求规律，发展合情推理的能力。 【教学过程】 一、创设情境 1．求下列各数的算术平方根：（1）64；（2）0.25；（3）；（4）11．2．从“11”的算术平方根不能直接获得，说明非平方数的平方根的求得需要借助——计算器。 3．展示计算器（必要时放在投影仪上），提出课题：利用科学计算器怎样进行开方运算。 4．说明利用计算器进行开平方、开立方的运算方法。 老师讲解使用方法时，重点教会学生如何进入开平方和开立方状态和按键顺序（由于各地使用的计算器型号不同，在此叙述价值不大）。指导学生查阅《说明书》或带领学生按键即可。二、师生共同参与活动 1．学习按键：让学生跟随教师利用计算器计算下列各数，板书出要学生计算的数，借助投影仪带领学生计算。 2．实际操作：——做一做 利用计算器，求下列各式的值（结果保留4个有次数字）。 （1）； （2）； （3）； （4）。本题除按键外，可能部分学生在有效数字的问题上会出现困难，教师应注意个别辅导。 3．例1利用计算器比较和的大小。 （1）让学生相互讨论，得出比较大小的方法——分别计算出它们的大小； 81 4980035 2258.03432.0 332
（2）学生操作得出结论——＞； （3）教师进行规范表述的示范。 三、随堂练习利用计算器比较下列各组数的大小 1．与2．与四、小结 1．让学生口述利用计算器求平方根和立方根的方法——通过实例说明即可； 2．如何利用计算器比较两个数的大小。3323115 8 5215
二次根式经典测试题及答案解析
二次根式经典测试题及答案解析 一、选择题 1．一次函数y mx n =-+结果是( ) A ．m B ．m - C ．2m n - D ．2m n - 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意可得﹣m ＜0，n ＜0，再进行化简即可． 【详解】 ∵一次函数y ＝﹣mx +n 的图象经过第二、三、四象限， ∴﹣m ＜0，n ＜0， 即m ＞0，n ＜0， ＝|m ﹣n |+|n | ＝m ﹣n ﹣n ＝m ﹣2n ， 故选D ． 【点睛】 本题考查了二次根式的性质与化简以及一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键. 2．把(a b -根号外的因式移到根号内的结果为（ ）. A B C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】 先判断出a -b 的符号，然后解答即可． 【详解】 ∵被开方数10b a ≥-，分母0b a -≠，∴0b a ->，∴0a b -<，∴原式 ( b a =--== 故选C ． 【点睛】 =|a |．也考查了二次根式的成立的条件以及二
次根式的乘法． 3．a 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】D 【解析】 【分析】 根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可． 【详解】 根据题意得，3a-8=17-2a ， 移项合并，得5a=25， 系数化为1，得a=5． 故选：D ． 【点睛】 本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键． 4．下列各式计算正确的是（ ） A 1082 ==-= B ． ()() 236= =-?-= C 115236==+= D ．54 ==- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质对A 、C 、D 进行判断；根据二次根式的乘法法则对B 进行判断． 【详解】 解：A 、原式，所以A 选项错误； B 、原式，所以B 选项错误； C 、原式C 选项错误； D 、原式54 ==-，所以D 选项正确． 故选：D ． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根
高中三角函数最值问题难题
高中三角函数最值问题难题 一、直接应用三角函数的定义及三角函数值的符号规律解题 例1：求函数y ＝ x x x x x x x x cot | cot ||tan |tan cos |cos ||sin |sin +++的最值 分析：解决本题时要注意三角函数值的符号规律，分四个象限讨论。 解： （1）当x 在第一象限时，有sin cos tan cot 4sin cos tan cot x x x x y x x x x =+++= （2）当x 在第二象限时，有sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x x y x x x x =+++=---- （3）当x 在第三象限时，有sin cos tan cot 0sin cos tan cot x x x x y x x x x =+++=-- （4）当x 在第四象限时，sin cos tan cot 2sin cos tan cot x x x x y x x x x =+++=---- 综上可得此函数的最大值为4，最小值为-2. 二、直接应用三角函数的有界性（sin 1,cos 1x x ≤≤）解题 例1：（2003北京春季高考试题）设M 和m 分别表示函数cos 13 x -1 y=的最 大值和最小值，则M m +等于（ ） （A ）32 （B ）32-（C ） 3 4-（D ）-2 解析：由于cos y x =的最大值与最小值分别为1,-1,所以,函数cos 1 3 x -1 y=的最大值与最小值分别为32-,34-,即M m +＝32-+（3 4 -）=-2,选D. 例2：求3sin 1 sin 2 x y x +=+的最值（值域） 分析：此式是关于sin x 的函数式，通过对式子变形使出现12sin 3 y x y -=-的形式，再根据sin 1x ≤来求解。 解：3sin 1 sin 2 x y x += +，即有sin 23sin 1sin 3sin 12y x y x y x x y +=+?-=- 12(3)sin 12sin 3 y y x y x y --=-?= -。因为sin 1x ≤， 所以()()2 2 2 121212111333y y y y y y -??--≤?≤?≤ ?---?? 即()()()()22 212332802340y y y y y y -≤-?+-≤?+-≤
用计算器求算术平方根及其大小比较1-人教版七年级数学下册优秀教案设计
第2课时用计算器求算术平方根及其大小比较 1．会比较两个数的算术平方根的大小；(重点) 2．会估算一个数的算术平方根的大致范围，掌握估算的方法，形成估算的意识；(难点) 3．会用计算器求一个数的算术平方根． 一、情境导入 请大家四个人为一组，拿出自己准备好的两个边长为1的正方形纸片和剪刀，按虚线剪开拼成一个大的正方形． 因为两个小正方形面积之和等于大正方形的面积，所以根据正方形面积公式可知a2＝2，那么a是多少？这个数是多大呢？ 二、合作探究 探究点一：算术平方根的估算 【类型一】估算算术平方根的大致范围 估算19－2的值() A．在1和2之间B．在2和3之间 C．在3和4之间D．在4和5之间 解析：因为42<19<52，所以4<19<5，所以2<19－2<3.故选B. 方法总结：本题利用被开方数两边比较接近的完全平方数的算术平方根估计这个数的算术平方根的大小． 【类型二】确定算术平方根的整数部分与小数部分 已知a是8的整数部分，b是8的小数部分，求(－a)3＋(b＋2)2的值． 解析：本题综合考查有理数与无理数的关系．因为2<8<3，所以8的整数部分是2，即a＝2.8是无限不循环小数，它的小数部分应是8－2，即b＝8－2，再将a，b代入代数式求值． 解：因为2<8<3，a是8的整数部分，所以a＝2.因为b是8的小数部分，所以b＝8－2.所以(－a)3＋(b＋2)2＝(－2)3＋(8－2＋2)2＝－8＋8＝0. 方法总结：解此题的关键是确定8的整数部分和小数部分(用这个无理数减去它的整数部分即为小数部分)． 【类型三】用估算法比较数的大小 通过估算比较下列各组数的大小：
函数单调性最值问题
1、已知函数y=f(x),x属于A,若对任意a,b属于A,当 a小于b时,都有fa小于fb,则方程fx等 于0有几个根 inh077 2014-12-01 优质解答下载作业帮App，拍照秒答 若对任意a,b属于A,当a小于b时,都有fa小于fb 即函数是单调递增函数 所以 方程f(x)=0最多有1个根. 整理帖子379 2014-12-01 2、已知函数y=f（x）,x∈A,若对任意a,b∈A,当a＜ b时,都有f（a）＜f（b）,则方程f（x）=0的根有几个? 窝窝小鱼95 2014-11-29 优质解答下载作业帮App，拍照秒答因为当a＜b时,都有f（a）＜f（b）,所以y=f（x）是单调递增函数,所以它的根有1个或0个2跨跨933 2014-11-29
3、已知函数y=f(x)的定义域是数集A，若对于任意a， b∈A，当a＜b时都有f(a)＜f(b)，则方程f(x)=0的实 数根？ [ C ] A．有且只有一个 B．一个都没有 C．至多有一个 D．可能会有两个或两个以上 -------.条件告诉我们F（X）是单调增函数。那么有可能与X 轴有一个交点，或无交点。 ------因为对于任意a、b∈A,当a＜b时,都有f（a）＜f（b），所以可以是0＜f（a）＜f（b）或f（a）＜0＜f（b）所以C 对。 4、已知函数y=fx的定义域是数集A，若对于任意ab∈A，当a 用计算器求方根 在前面我们已学过平方根的概念，现在已掌握了一些数的平方根，如 4，25，0.01，9 36 等数的平方根，但对于如：2，3， 11 5 ，0.3的平方根 就不能像前面的数那样容易求解了，只能用根号表示。具体的值或近似值如何求解的？在乘方时曾学过利用计算器求解，同样可以用计算器求解一个数的方根。 如何用计算器求一个正数的方根？首先我们来熟悉计算器基本键的 功能。 打开计算器，按键，屏幕上显示“0”此时可以进行运算。 例1用计算器求16的值。 分析：首先要熟悉计算器基本键的功能，对于平方根运算尤其要掌握“2F”的功能。 解：用计算器求16的步骤如下： 16=4 ∴ 评注：在求解16的过程中，由于要用到x y这个键上方的功能，这就需要用上方标有“2F”的键来转换。 例2用计算器求134个有效数字） 解：用计算器求13 = ∴ 13 3.6.6 评注：由于计算器的结果较精确小数的位数较多，在遇到开方开不尽的情况下，如无特殊说明，计算结果一律保留四个有效数字。 例3．用计算器求 1.354的值。 解：用计算器求 1.354的步骤如下： 因为计算结果要求保留4个有效数字， ∴ 1.354 1.164 = 例4用计算器求1360.57的平方根。 解：用计算器求1360.57平方根的步骤如下： 因为计算结果要求保留4个有效数字， 评注：这里要注意一个正数的平方根有两个，且互为相反数，用计算器求的式这个数的算术平方根。 例5用计算器求值：()()4252332--?-+ 分析：本题是由加、减、乘方、开方运算的混合运算题，由于计算器能自动识别运算顺序，故按键顺序与书写顺序完全一致。 解：按键的顺序是： 显示612.65685 ()()4252332612.7--?-+∴≈ 例6用计算器求3125的按键顺序是___________． 分析：本题是考查利用计算器求立方根的能力，可与求一个数的平方的按键顺序对照． 解： 评注：注意第二功能键的运用. 例7用计算器计算3381774 3.14 ?? 的值. 分析：按照求方根的步骤，应先输入被开方数，此算式中的被开方数是一个分数，且分子、分母都含有乘法运算，输入时，要把分数线看作“÷”号，并且还要注意原分数线比“÷”号还多一层含义，就是它有括号的作用，即输入时，应把被开方数转化成（3×8177）÷（4×3.14）. 解：按键步骤是： 最后显示 12.5， 原式≈12.5. 二次根式易错题汇编含答案解析 一、选择题 1．一次函数y mx n =-+结果是( ) A ．m B ．m - C ．2m n - D ．2m n - 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意可得﹣m ＜0，n ＜0，再进行化简即可． 【详解】 ∵一次函数y ＝﹣mx +n 的图象经过第二、三、四象限， ∴﹣m ＜0，n ＜0， 即m ＞0，n ＜0， ＝|m ﹣n |+|n | ＝m ﹣n ﹣n ＝m ﹣2n ， 故选D ． 【点睛】 本题考查了二次根式的性质与化简以及一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键. 2．已知352x x -+-=的结果是（ ） A ．4 B ．62x - C ．4- D ．26x - 【答案】A 【解析】 由352x x -+-=可得30{50 x x -≥-≤ ，∴3≤x ≤5=x-1+5-x=4，故选 A. 3．当3x =-时，二次根m 等于（ ） A B C D 【答案】B 【解析】 解：把x =﹣3代入二次根式得，原式=，依题意得： =．故选B ． 4．下列计算中，正确的是( ) A ．= B 1b =(a ＞0，b ＞0) C = D ． =【答案】B 【解析】 【分析】 a≥0，b≥0 a≥0，b ＞0）进行计算即可． 【详解】 A 、 B 1b （a ＞0，b ＞0），故原题计算正确； C ，故原题计算错误； D 32 故选：B ． 【点睛】 此题主要考查了二次根式的乘除法，关键是掌握计算法则． 5．在下列算式中：= ②=； 4==；=，其中正确的是（ ） A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．①④ 【答案】B 【解析】用计算器求方根
二次根式易错题汇编含答案解析
《5 用计算器开方》练习