2011年广东高考理科数学试题及答案
试卷类型：A
2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项：
1、答卷前，考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号，填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。
4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5、考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：柱体的体积公式 V=Sh 其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高
线性回归方程 y
b
x a =+ 中系数计算公式
其中,x y 表示样本均值。 N 是正整数，则()n
n
a b
a b -=-1
2
(n n a
a
b --++
…2
1
n n a b b
--+）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设复数z 满足()12
i z
+=，其中i 为虚数单位，则z =
A ．1i + B. 1i - C. 22i + Ｄ．22i - 2．已知集合(){,A x y =
∣,x y 为实数，且}
2
2
1x
y
+=，()
{,B
x y =
,x y
为实数，且}
y
x =，
则A B
?
的元素个数为
Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3
3. 若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则(2)
c a b
?+=
Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．0
4. 设函数()
f x和()
g x分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是
Ａ．()()
f x
g x
+是偶函数
Ｂ．()(
)
f x
g x
-是奇函数
Ｃ．()()
f x
g x
+是偶函数Ｄ．(
)()
f x
g x
-是奇函数
5. 在平面直角坐标系x O y上的区域D
由不等式组
2
x
y
x
?≤≤
?
≤
?
?
≤
?
给定。若(,)
M x y为D上的动点，点A的坐标为，则z O M O N
=
的最大值为
A． B．C．4
D．3
6. 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为
A．1
2
B．3
5
C．2
3
D．3
4
7. 如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为
A. B. C. 11
8.设S是整数集Z的非空子集，如果,,
a b S
?∈有a
b
S
∈，则称S关于数的乘法是封闭的. 若T,V是Z的两个不相交的非空子集，,
T U Z
?=且,,,
a b c T
?∈有;,,,
a b c T x y z V
∈?∈有x y z V
∈，则下列结论恒成立的是
A. ,T V中至少有一个关于乘法是封闭的
B. ,T V中至多有一个关于乘法是封闭的
C. ,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的
D. ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的
16. 填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。 (一）必做题（9-13题） 9. 不等式
130
x x +--≥的解集是 .
10. 7
2x x x ?
?- ?
?
?的展开式中，4x 的系数是 （用数字作答）
11.
等差数列n
a 前9项的和等于前4项的和. 若
141,0
k a a a =+=，则k=____________.
12. 函数
2
()31
f x x x =-+在x=____________处取得极小值。
13. 某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm.
（二）选做题（14 - 15题，考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程选做题）已知两面线参数方程分别为o s (0)
s in x y θ
θπθ
?=
?≤
=?? 和
25()4x t t R y t ?
=
?∈??=?
，它们的交点坐标为___________.
15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O 外一点p 分别作圆的切线 和割线交圆于A ,B ，且P B =7，C 是圆上一点使得B C =5， ∠B A C =∠A P B , 则A B = 。
三．解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。 （1） （本小题满分12分）
已知函数1()2sin (),.3
6
f x x x R π
=-
∈
(1)求
5(
)
4
f π的值；
(2)设106,0,,(3),(32),22135f a f ππαββπ??
∈+=+=????
求c o s()αβ+的值.
17. 为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：
（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素x,y 满足x ≥175，且y ≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列极其均值（即数学期望）。
18.(本小题满分13分)
如图5.在椎体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形，
且∠DAB=60?，P A
P D ==
E,F 分别是BC,PC 的中点. (1) 证明：AD ⊥平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B 的余弦值.
19.(本小题满分14分)
设圆C 与两圆2
2
22
(4,(4
x y
x y
+
+=-+=中的一个内切，另一个外切。
（1）求圆C 的圆心轨迹L 的方程;
（2）已知点M (0)
55F ，且P 为L 上动点，求
M P F P
-的最大值及此时点P
的坐标.
20.（本小题共14分） 设b>0,数列{}n a 满足a 1=b ，11(2)
22
n n
n n b a a n a n --=
≥+-.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）证明：对于一切正整数n ，11
1.2
n n n b a ++≤
+
21.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线L:2
14
y x
=
.
实数p ，q 满足2
40
p q -≥，x 1，
x 2是方程2
x p x q -+=的两根，记{}12(,)
m ax ,p q x x ?=。
（1）过点2
0001(,)(0)
4
A p p p ≠作L 的切线教y 轴于点B. 证明：对线段A
B 上任一点
Q(p ，q)有0(,)
;
2
p p q ?=
（2）设M(a ，b)是定点，其中a ，b 满足a 2-4b>0,a ≠0. 过M(a ，b)作L 的两条切线12,l l ，切点分别为2
2
112211(,
),(,
)
4
4
E p p E p p '，12,l l 与y 轴分别交与F,F'。线段E
F 上异于两端点的
点集记为X.证明：M(a,b) ∈X ?12P P >?(,)a b ?12
p =
;
（3）设D={ (x,y)|y ≤x-1,y ≥
14
(x+1)2-54
}.当点(p,q)取遍D 时，求(,)p q ?的最小值 （记
为m in ?）和最大值（记为m a x ?）.
2011年广东高考理科数学参考答案
一、选择题
二、填空题 ９. [1,)+∞； 10. 84
； 11. 10；
12. 2； 13. 185；
14. (1,
5；
15.
三、解答题 16．解：(1)55(
)2sin (
)2sin
4
12
6
4
f πππ
π
=-
==;
(2)10(3)2sin 2
13
f π
αα+
==
，5s in 13
α∴=，又[0,
]2
π
α∈，12c o s 13
α∴=
，
6(32)2s in ()2c o s 2
5
f π
βπββ+=+
==
，3c o s 5
β∴=，
又[0,
]2
π
β∈，4s in 5
β∴=
，
16c o s ()c o s c o s s in s in 65
αβαβαβ+=-=
.
17．解：（1）乙厂生产的产品总数为1453598
÷=；
（2）样品中优等品的频率为
25
，乙厂生产的优等品的数量为235145
?
=；
（3）0,1,2ξ=， 223
25
()i
i
C C P i C ξ-==(0,1,2)i =，
ξ的分布列为
均值314()125
10
5
E ξ=?
+?
=
.
18.解：(1) 取AD 的中点G ，又PA =PD ，P G A D ∴⊥，
由题意知ΔABC 是等边三角形，B G A D ∴⊥， 又PG , BG 是平面PGB 的两条相交直线，
A D P G
B ∴⊥平面，
//,//
E F P B D E G B ， D E F P G B ∴平面//平面，
A D D E F ∴⊥平面
(2) 由（1）知P G B ∠为二面角P A D B --的平面角，
在R t P G A ?中，2
2
17(
)
2
4
P G
=-=
；在R t B G A ?中，2
2
2
131(
)
2
4
B G
=-=
；
G
P
A
Ｓ
B
Ｓ
C
Ｓ
D
Ｓ
F
E
在P G B ?
中，2
2
2
c o s 27
P G
B G
P B
P G B P G B G
+-∠=
=-
?.
19．解：（1）两圆半径都为2，设圆C 的半径为R ，两圆心为1
(0)F 、20)F ，
由题意得12||2||2R C F C F =-=+或21||2||2R C F C F =-
=+，
1212||||||4||C F C F F F ∴-=<=，
可知圆心C 的轨迹是以12,F F 为焦点的双曲线，设方程为
222
2
1x y a
b
-
=，则 2
22
24,2,1,1
a a c b
c a
b ===
=-
==，所以轨迹L 的方程为
2
2
14
x
y
-=．
（２）∵||||||||2M P F P M
F -≤=，仅当(0)P M P F λλ=>
时，取＂＝＂，
由2M F k =-
知直线:2(M F l y x =--
，联立2
2
14x
y -=并整理得2
15390x -+=解得
5
x =
15
x =
舍去），此时-55
P
所以||||||M P F P -最大值等于2，此时55
P ．
20．解（１）法一：
1
12(1)
n n n a b a n
a n --=
+-，得
11
1
2(1)
121n n
n n a n n n a b a b
b
a ---+--=
=
+
?
，
设
n n
n b a =，则121n n b b b
b -=
?+
(2)n ≥，
（ⅰ）当2b =时，{}n b 是以12
为首项，
12
为公差的等差数列，
即111(1)2
22
n b n n =
+-?
=，∴2n a =
（ⅱ）当2b ≠时，设12()n n b b b
λλ-+=?+，则122(
1)n n b b b
b
λ-=
?+-，
令21(
1)b b
λ-=，得12b
λ=
-，1121()22n n b b b b b
-∴+
=
?+
--(2)n ≥，
知12n b b +
-是等比数列，1
111
2()()
22n n b b b b
b
-∴+
=+?--，又11b b
=
，
12112
()222n
n
n
n n
b b b
b b
b
b
-∴=
?-
=
?---，(2)2
n
n n
n
n b b a b
-∴=
-．
法二：（ⅰ）当2b =时，{}n b 是以12
为首项，12
为公差的等差数列，
即111(1)2
22
n b n n =
+-?
=，∴2n a =
（ⅱ）当2b ≠时，1a b =，2
2
22
2
22(2)2
2
b
b b a b b
-=
=
+-，3
3
22
3
3
33(2)24
2
b b b a b
b b -=
=
++-，
猜想(2)2
n
n n n
n b b a b
-=
-，下面用数学归纳法证明：
①当1n =时，猜想显然成立； ②假设当n k =时，(2)2
k
k k k
k b b a b
-=
-，则
1
11
1
(1)(1)(2)(1)(2)
2(1)
(2)2(2)
2
k
k k k k
k
k
k k k k b a k b kb b k b
b a a n kb b k b
b
+++++?+?-+-=
=
=
+--+?--，
所以当1n k =+时，猜想成立， 由①②知，
*n N ?∈，(2)2n
n n n
n b b a b
-=
-．
（２）（ⅰ）当2b =
时， 11
2212
n n n a ++==
+，故2b =时，命题成立；
（ⅱ）当2b ≠时，22
122n n n n b b ++≥=，
21
21
1
22
2n n n n
b
b b --+?+?≥=，
1
1
1
1
1
,2
2
2
n n n n n n
b b b +--++?+?≥= ，以上n 个式子相加得
221
2n
n b
b
-+?+1
1
11
22
n n n n b b
+--++?+?+ 21
21
22
2
n n
n n
b n b -++?+≥?，
1
221
2121
1
2(2)
[(22
2
)2](2)
2
(2)
2
(2)
n n
n
n n n
n
n
n n n
n
n n
n
n b b b
b
b b b a b b
+--++?-+?++?+-?-=≤
--
221
21
21
(22
2
)(2)2(2)
2
(2)
n
n n n n
n
n n
n
b
b
b b b b b
--++?++?+--?-=
-
21
21
1
1
1
(2
)2
2
2
(2)
n n n n
n
n n n
n
b
b b b
+++++--?+?=
-
21
1
1
21
1
(2)(2
2)
2(2)
n n n
n
n n n n
n
b
b
b b
+++++-?+?-=
-11
12
n n b ++=
+．故当2b ≠时，命题成立；
综上（ⅰ）（ⅱ）知命题成立．
21．解：（１）0
011'|(
)|2
2
A B x p x p k y x p =====
，
直线AB 的方程为2
0011()4
2
y p p x p -
=
-，即2
00112
4
y p x p =
-
，
2
001124
q p p p ∴=
-
，方程2
0x
p x q -+=的判别式2
2
04()p
q p p ?=-=-，
两根001,2||
2
2
p p p p x ±-=
=
或02
p p -
，
00p p ?≥ ，00||||||||22
p p p p ∴-
=-，又00||||p p ≤≤， 000|
||||
||
|2
2
2
p p p p ∴-≤-≤，得000|||||||||
|2
2
2
p p p p p ∴-
=-≤，
0(,)|
|2
p p q ?∴=．
（２）由2
40a b ->知点(,)M a b 在抛物线L 的下方，
①当0,0a b >≥时，作图可知，若(,)M a b X ∈，则120p p >≥，得12||||p p >； 若12||||p p >，显然有点(,)M a b X ∈； (,)M a b X ∴∈12||||p p ?>． ②当0,0a b ><时，点(,)M a b 在第二象限，
作图可知，若(,)M a b X ∈，则120p p >>，且12||||p p >； 若12||||p p >，显然有点(,)M a b X ∈；
(,)M a b X ∴∈12||||p p ?>．
根据曲线的对称性可知，当0a <时，(,)M a b X ∈12||||p p ?>， 综上所述，(,)M a b X ∈12||||p p ?>（*）；
由（１）知点M 在直线EF 上，方程2
0x a x b -+=的两根11,22
p x =或12
p a -
，
同理点M 在直线''E F 上，方程2
0x a x b -+=的两根21,22
p x =或22
p a -，
若1(,)|
|2p a b ?=，则1|
|2
p 不比1||2p a -
、2|
|2
p 、2||2
p a -
小，
12||||p p ∴>，又12||||p p >(,)M a b X ?∈，
1(,)|
|2p a b ?∴=?(,)M a b X ∈；又由（１）知，(,)M a b X ∈1(,)|
|2
p a b ??=；
1(,)||2
p a b ?∴=?(,)M a b X ∈，综合（*）式，得证．
（３）联立1y x =-，2
15(1)4
4
y x =
+-
得交点(0,1),(2,1)-，可知02p ≤
≤，
过点(,)p q 作抛物线L 的切线，设切点为2
001(,
)4
x x ，则
2
000114
2
x q x x p
-=
-，
得2
00240x p x q -+=
，解得0x p =+
又2
15(1)4
4
q p ≥
+-
，即2
442p q p -≤-，
0x p ∴≤+
t =，2
0122x t
t ∴≤-
++2
15(1)2
2
t =-
-+
，
0m a x m a x |
|2
x ?= ，又052
x ≤
，m a x 54
?∴=
；
1q p ≤- ，0|2|2x p p p ∴≥+
=+-=，
0m in m in |
|12
x ?∴==．