1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是( D )。
A. A,B 互不相容
B. A,B 相互独立
C.A ?B
D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次,用X 表示两次点数之和,则X =3的概率为( C )
A. 1/2
B. 1/12
C. 1/18
D. 1/9
3、某人进行射击,设射击的命中率为0.2,独立射击100次,则至少击中9次的概率为( B )
A.91
9
9
100
98.02.0C
B.i i i i
C -=∑1001009
10098.02.0 C.
i
i i i C
-=∑100100
10
100
98
.02.0 D.i i i i C
-=∑-
1009
100
98.02.01
4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ,则)()3
1
253(321=++X X X E B
A. 0
B. 25.5
C. 26.5
D. 9
5、设样本521,,,X X X 来自N (0,1),常数c 为以下何值时,统计量25
24
2
3
21X
X X X X c +++?
服从t 分布。( C )
A. 0
B. 1
C.
26
D. -1
6、设X ~)3,14(N ,则其概率密度为( A )
A.
6
)14(2
61--
x e
π
B.
3
2)14(2
61--
x e
π
C.
6
)14(2321--
x e
π
D.
2
3)14(2
61--
x e
π
7、321,,X X X 为总体),(2
σμN 的样本, 下列哪一项是μ的无偏估计( A )
A.
32121
10351X X X ++ B. 32141
6131X X X ++ C. 32112
5
2131X X X +
+ D. 3216
13131X X X ++ 8 、设离散型随机变量X 的分布列为
则常数C 为( C )
(A )0 (B )3/8 (C )5/8 (D )-3/8
9 、设随机变量X ~N(4,25), X1、X2、X3…Xn 是来自总体X 的一个样本,则样本均值X 近似的服从( B )
(A ) N (4,25) (B )N (4,25/n ) (C ) N (0,1) (D )N (0,25/n ) 10、对正态总体的数学期望进行假设检验,如果在显著水平a=0.05下,拒绝假设
00μμ=:H ,则在显著水平a=0.01下,( B )
A. 必接受0H
B. 可能接受,也可能拒绝0H
C. 必拒绝0H
D. 不接受,也不拒绝0H
二、填空题(每空1.5分,共15分)
1、A, B, C 为任意三个事件,则A ,B ,C 至少有一个事件发生表示为:__AUBUC_______;
2、甲乙两人各自去破译密码,设它们各自能破译的概率为0.8,0.6,则密码能被破译的概率为_____0.92____;
3、已知分布函数F(x)= A + Barctgx )(+∞<<-∞x ,则A =_1/2__,B =_1/3.14___;
4、随机变量X 的分布律为k
C x X P )3
1()(==,k =1,2,3, 则C=__27/13_____; 5、设X ~b (n,p )。若EX=4,DX=2.4,则n=____10_____,p= ____0.4_____。 6、X 为连续型随机变量,
1 , 0 f (x )= ,则P(X ≤1) = ____1___。 0 , 其他 7、在总体均值的所有线性无偏估计中,___样本均值____是总体均值的无偏估计量。 8、当原假设H0为假而接受H0时,假设检验所犯的错误称为___第II 类错误____。 99.0)33.2(,9032.0)30.1(,9474.0)62.1(,926.0)45.1(=Φ=Φ=Φ=Φ 0150 .2)5(,1318.2)4(,5706.2)5(,7764.2)4(05.005.0025.0025.0====t t t t 711.0)4(,488.9)4(,484.0)4(,143.11)4(295.0205.02975.02025.0====χχχχ 一.选择题(15分,每题3分) 1. 如果 1)()(>+B P A P ,则 事件A 与B 必定 (C ) )(A 独立; )(B 不独立; )(C 相容; )(D 不相容. 2. 已知人的血型为 O 、A 、B 、AB 的概率分别是0.4; 0.3;0.2;0.1。现任选4人,则4 人血型全不相同的概率为: ( A ) )(A 0.0024; )(B 40024.0; )(C 0. 24; )(D 224.0. 3. 设~),(Y X ???<+=., 0, 1,/1),(22他其y x y x f π 则X 与Y 为 ( C ) )(A 独立同分布的随机变量; )(B 独立不同分布的随机变量; )(C 不独立同分布的随机变量; )(D 不独立也不同分布的随机变量. 4. 某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为0.7 5. 则射击次数的数学期望与 方差分别为 (A ) ) (A 4934与; )(B 16934与; )(C 4941与; (D) 9 434与. 5. 设321,,X X X 是取自N (,)μ1的样本,以下μ的四个估计量中最有效的是(D ) )(A 32112110351?X X X ++=μ ; )(B 32129 4 9231?X X X ++=μ ; )(C 321321 6131?X X X ++=μ ; )(D 32141254131?X X X ++=μ. 二. 填空题(18分,每题3分) 1. 已知事件A ,B 有概率4.0)(=A P ,5.0)(=B P ,条件概率3.0)|(=A B P ,则 =?)(B A P 62.0 . 2. 设随机变量X 的分布律为? ?? ? ??-+c b a 4.01.02.04321,则常数c b a ,,应满足的条件 为 0,4.0,1.0,3.0≥≤-≥=+-c b a c b a 且 . 3. 已知二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ,试用),(y x F 表示概率 =>>),(b Y a X P ),(),(),(1b F a F b a F +∞-∞+-+; . 4. 设随机变量)2,2(~-U X ,Y 表示作独立重复m 次试验中事件)0(>X 发生的次数, 则=)(Y E m/2 ,=)(Y D m/4 . 5.设),,,(21n X X X 是从正态总体),(~2 σμN X 中抽取的样本,则 概率 =≤-≤ ∑=)76.1)(37.0(2220 1 20 1 2 σσ X X P i i 985.0 . 6.设n X X X ,,,21 为正态总体),(2 σμN (2 σ未知)的一个样本,则μ的置信 度为1α-的单侧置信区间的下限为 ) 1(-- n t n S X α. . 2、设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为 1,02,max{0,1}min{1,} (,)0,x x y x f x y otherwise ≤≤-≤≤?=? ? 求:边缘密度函数(),()X Y f x f y . 3、已知随机变量X 与Z 相互独立,且)1,0(~U X ,)2.0,0(~U Z ,Z X Y += 试求:(),(),XY E Y D Y ρ. 4、 学校食堂出售盒饭,共有三种价格4元,4.5元,5元。出售哪一种盒饭是随机的,售出三种价格盒饭的概率分别为0.3,0.2,0.5。已知某天共售出200盒,试用中心极限定理求这天收入在910元至930元之间的概率。 概率论与数理统计B 一.单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设事件A 和B 的概率为12 (),()23 P A P B = = 则()P AB 可能为() (A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/6 2. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为() (A) 12; (B) 225; (C) 425; (D)以上都不对 3.投掷两个均匀的骰子,已知点数之和是偶数,则点数之和为6的概率为( ) (A) 518; (B) 13; (C) 1 2 ; (D)以上都不对 4.某一随机变量的分布函数为()3x x a be F x e +=+,(a=0,b=1)则F (0)的值为( ) (A) 0.1; (B) 0.5; (C) 0.25; (D)以上都不对 5.一口袋中有3个红球和2个白球,某人从该口袋中随机摸出一球,摸得红球得5分,摸得白球得2分,则他所得分数的数学期望为( ) (A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)以上都不对 二.填空题(每小题3分,共15分) 1.设A 、B 是相互独立的随机事件,P (A )=0.5, P (B )=0.7, 则()P A B = . 2.设随机变量~(,), ()3, () 1.2B n p E D ξξξ==,则n =______. 3.随机变量ξ的期望为()5E ξ=,标准差为()2σξ=,则2 ()E ξ=_______. 4.甲、乙两射手射击一个目标,他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击,若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的,则目标被射中的概率为_________. 5.设连续型随机变量ξ的概率分布密度为2()22 a f x x x = ++,a 为常数,则P (ξ≥ 0)=_______. 三.(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里,求下列事件的概率 (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球. 四.(本题10分) 设随机变量ξ的分布密度为 , 03()10, x<0x>3 A x f x x ?? =+???当≤≤当或 (1) 求常数A ; (2) 求P (ξ<1); (3) 求ξ的数学期望. 五.(本题10分) (1) ξ与η是否相互独立? (2) 求ξη?的分布及()E ξη?; 六.(本题10分)有10盒种子,其中1盒发芽率为90%,其他9盒为20%.随机选取其中1盒,从中取出1粒种子,该种子能发芽的概率为多少?若该种子能发芽,则它来自发芽率高的1盒的概率是多少? 七.(本题12分) 某射手参加一种游戏,他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元. 若他射中目标,则得奖金100元,且游戏停止. 若4次都未射中目标,则游戏停止且他 要付罚款100元. 若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望. 八.(本题12分)某工厂生产的零件废品率为5%,某人要采购一批零件,他希望以95%的概率保证其中有2000个合格品.问他至少应购买多少零件? (注:(1.28)0.90Φ=,(1.65)0.95Φ=) 九.(本题6分)设事件A 、B 、C 相互独立,试证明A B 与 C 相互独立. 十.测量某冶炼炉的温度,重复测量5次,数据如下(单位:℃): 1820,1834,1831,1816,1824 假定重复测量所得温度2 ~(,)N ξμσ.估计10σ=,求总体温度真值μ的0.95的置信区间. (注:(1.96)0.975Φ=,(1.65)0.95Φ=) 一.一箱产品,A ,B 两厂生产分别个占60%,40%,其次品率分别为1%,2%。现在从中任取一件为次品,问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大? 二.设随机变量X 的密度函数为()x f x Ae -= ()x -∞<<+∞, 求 (1)系数A, (2) {01}P x ≤≤ (3) 分布函数)(x F 。 三.已知随机变量X 的密度函数为 ? ??<<+-=其它,01 0),144()(2x x x c x f 求(1)常数c ;(2)X 的分布函数)(x F ;(3)}5.01.0|2.0{≤<≤X X P 四、(本题满分10分)设2)(=X E ,4)(=Y E ,4)(=X D ,9)(=Y D ,5.0=ρXY ,求 (1)3232 2 -+-=Y XY X U 的数学期望; (2)53+-=Y X V 的方差。 五、(本题满分18分)设二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为: ? ? ?-<<<<=其它,0) 1(20,10,1),(x y x y x f 求: (1)关于X 和Y 的边缘密度函数)(x f X 和)(y f Y ; (2))(X E 和)(X D ; (3)条件概率密度函数)|(|y x f Y X ; (4)Z =X +Y 的概率密度函数)(z f Z 。 六、(本题满分16分)设总体X 的概率密度函数为 ???<<+θ=θ其它, 01 0,)1()(x x x f 其中1->θ为未知参数,n X X X ,,,21 为来自该总体的一个简单随机样本。 (1)求θ的矩估计量M θ ?; (2)求θ的极大似然估计量MLE θ?; 七、(本题满分14分)水泥厂用自动包装机包装水泥,每袋额定重量为50公斤,某日开工后随机抽查了9袋,称得重量如下(单位:公斤): 49.6 49.3 50.1 50.0 49.2 49.9 49.8 51.0 50.2 设每袋重量服从正态分布),(2 σμN 。 (1)试问该包装机工作是否正常?)05.0(=α (2)若已知该天包装机包装的水泥重量的方差为3.02 =σ,求水泥平均重量μ的置信度为95%的置信区间。 (已知:; 5362.0,9.49==s x 283.11.0=z ,645.105.0=z ,960.1025.0=z ; 3968.1)8(1.0=t ,3830.1)9(1.0=t ,3722.1)10(1.0=t ,8695.1)8(05.0=t ,8331.1)9(05.0=t ,8125.1)10(05.0=t ,3060.2)8(025.0=t ,2622.2)9(025.0=t ,2280.2)10(05.0=t ) 答案 2解: , 01()2,120,X x x f x x x otherwise ≤? =-≤≤??? [1,[0,1]()0,[0,1]X x f x x ∈?=??? 1,[0,1]()0,[0,1]Y y f y y ∈?=? ?? [, 01()2,120,Y y y f y y y otherwise ≤? =-≤≤??? 3解: 11111 (),()()()222020 E X E Y E X E Z = =+=+= cov(,)(())()() 1 ()12 X Y E X X Z E X E X Z D X =+-+== 11101()()()()1212001200 D Y D X Z D X D Z =+=+= += [15013 ] 1 XY ρ==2625] 4解:设i X 为第i 盒的价格(1,2,,200.)i =,则总价200 1i i X X ==∑ () 4.6, ()0.19i i E X D X == 2001 ()()200 4.6920i i E X E X == =?=∑. 200 1 ()()2000.1938i i D X D X == =?=∑. (910930)212(1.622)120.947410.8948P X P ≤≤=≤≤≈Φ-=Φ-=?-= [ 8064.01)298.1(2)928912(=-Φ≈≤≤X P ]