空间曲线的切线与空间曲面的切平面
第六节 空间曲线的切线与空间曲面的切平面
一、空间曲线的切线与法平面
设空间的曲线C 由参数方程的形式给出：??
?
??===)()()(t z z t y y t x x ，),(βα∈t ．
设),(,10βα∈t t ，)(),(),((000t z t y t x A 、))(),(),((111t z t y t x B 为曲线上两点，B A ，的连线AB 称为曲线C 的割线，当A B →时，若AB 趋于一条直线，则此直线称为曲线C 在点A 的切线．
如果)()()(t z z t y y t x x ===，，对于t 的导数都连续且不全为零（即空间的曲线C 为光滑曲线），则曲线在点A 切线是存在的．因为割线的方程为
)
()()
()()()()()()(010010010t z t z t z z t y t y t y y t x t x t x x --=--=--
也可以写为
010********)()()
()()()()()()(t t t z t z t z z t t t y t y t y y t t t x t x t x x ---=---=---
当A B →时，0t t →，割线的方向向量的极限为{})(),(),(000t z t y t x '''，此即为切线的方向向量，所以切线方程为
)
()
()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='-．
过点)(),(),((000t z t y t x A 且与切线垂直的平面称为空间的曲线C 在点
)(),(),((000t z t y t x A 的法平面，法平面方程为
0))(())(())((00'00'00'=-+-+-z z t z y y t y x x t x
如果空间的曲线C 由方程为
)(),(x z z x y y ==
且)(),(0'0'x z x y 存在，则曲线在点)(),(,(000x z x y x A 的切线是
)()
()()(100000x z x z z x y x y y x x '-='-=-
法平面方程为
0))()(())()(()(00'00'0=-+-+-x z z x z x y y x y x x
如果空间的曲线C 表示为空间两曲面的交，由方程组
?
?
?==0),,(0),,(:z y x G z y x F c ，
确定时，假设在),,(000z y x A 有0)
,(),(≠??=
A
z y G F J ，在),,(000z y x A 某邻域内满足隐函数
组存在定理条件，则由方程组?
?
?==0),,(0),,(z y x G z y x F ，
在点),,(000z y x A 附近能确定隐函数
)
(),(x z z x y y ==
有)
(),(0000x z z x y y ==，)
,()
,(1,),(),(1x y G F J dx dz z x G F J dx dy ??-=??-=。于是空间的曲线C 在 点),,(000z y x A 的切线是
A
A dx dz z z dx dy y y x x 0
001
-=-=- 即
A
A
A
y x G F z z x z G F y y z y G F x x )
,(),()
,(),()
,()
,(000??-=
??-=
??-
法平面方程为
0)(),()
,()(),(),()(),(),(000=-??+-??+-??z z y x G F y y x z G F x x z y G F A
A A
类似地，如果在点),,(000z y x A 有0)
,(),(≠??A
y x G F 或
0)
,(),(≠??A
x z G F 时，我们得到的切线方
程和法平面方程有相同形式。
所以，当向量
0}),(),(,),(),(,),(),({≠??????=A
A A y x G F x z G F z y G F r
时，空间的曲线C 在),,(000z y x A 的切线的方向向量为r
例6.32 求曲线θθθb z a y a x ===,sin ,cos 在点()πb a ,0,-处的切线方程．
解 当πθ=时，曲线过点()πb a ,0,-，曲线在此点的切线方向向量为
{}{}b a b a a ,,0|,cos ,sin -=-=πθθθ，
所以曲线的切线方程为
b
t z z a t y y t x x )
()(0)(000-=--=-． 即 b b z a y a x π-=-=+0
．
二、空间曲面的切平面与法线 设曲面S 的一般方程为
0),,(=z y x F
取),,(0000z y x P 为曲面S 上一点，设),,(z y x F 在),,(0000z y x P 的某邻域内具有连续
偏导数，且0),,(),,(),,(0002
00020002≠++z y x F z y x F z y x F z y x 。设c 为曲面S 上过
),,(0000z y x P 的任意一条光滑曲线：
??
?
??===)()()(:t z z t y y t x x c 设)(),(),(000000t z z t y y t x x ===，我们有
0))(),(),((=t z t y t x F
上式对t 在0t t =求导得到
0)(),,()(),,()(),,(0'0000'0000'000=++t z z y x F t y z y x F t x z y x F z y x
因此，曲面S 上过),,(0000z y x P 的任意一条光滑曲线c 在),,(0000z y x P 点的切线都和向量
)},,(),,,(),,,({000000000z y x F z y x F z y x F n z y x =
垂直，于是这些切线都在一个平面上，记为α，平面α就称为曲面S 在),,(0000z y x P 的切平面，向量n
称为法向量。S 在),,(0000z y x P 的切平面方程是
0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x
过点),,(0000z y x P 且与切平面α垂直的直线称为曲面S 在),,(0000z y x P 点法线，它的方程为
)
,,()
(),,()(),,()(000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=
-=- 设曲面S 的方程为
0),,(=z y x F
若
)
,,(z y x F 在
S
有连续偏导数且
0),,(),,(),,(000200020002≠++z y x F z y x F z y x F z y x ，则称S 是光滑曲面。由上面讨论可
以知道光滑曲面有切平面和法线。
若曲面S 的方程的表示形式为 ),(y x f z =，这时，容易得到S 在),,(0000z y x P 的切平面方程为
0)())(,())(,(0000000=---+-z z y y y x f x x y x f y x
法线方程为
1)
()
,()(),()(0000000--=
-=-z z y x f y y y x f x x y x 我们知道，函数),(y x f z =在点),(00y x 可微，则由Taylor 公式知
)
)()((0))(,())(,(),(),(202000000000y y x x y y y x f x x y x f y x f y x f y x -+-+-+-=-也就是说，函数),(y x f z =在点),(00y x 附近可以用S 在),,(0000z y x P 的切平面近似代
替，误差为2
020)()(y y x x -+-的高阶无穷小。
若曲面S 的方程表示为参数形式
??
?
??===),(),(),(:v u z z v u y y v u x x S 设),(),,(),,(000000000v u z z v u y y v u x x ===，),,(0000z y x P 为曲面上一点。假设在
),,(0000z y x P 有0)
,(),(0
≠??=
P v u y x J ，在),,(0000z y x P 某邻域内满足隐函数组存在定理条
件，则由方程组???==)
,(),(v u y y v u x x ，
在点),,(0000z y x P 附近能确定隐函数（即x 和y 的逆映射）
)
,(),,(y x v v y x u u ==
满足)
,(),,(000000y x v v y x u u ==。
于是，曲面S 可以表示为
)),(),,((),(y x v y x u z y x f z ==
由方程组?
?
?==),(),(v u y y v u x x ，
两边分别同时对y x ,求偏导得到
)
,()
,()
,(),()
,(),(,),()
,(v u y x u x
y v
v u y x v
x
y
u
v u y x u
y
x
v
v u y x v y
x u
????=??????-=??????-=??????=?? 故
,)
,(),()
,()
,(),(),(),()
,(v u y x v u x z v z u z f v u y x v u z y v z u z f y v y u y x v x u x ????-=+=????-=+=
所以，S 在),,(0000z y x P 的切平面方程为
)(),()
,()(),(),()(),(),(0)
,(0),(0),(000000=-??+-??+-??z z v u y x y y v u x z x x v u z y v u v u v u 法线方程为
)
,(0)
,(0)
,(0000000),()
,(),()
,(),()
,(v u v u v u v u y x z z v u x z y y v u z y x x ??-=
??-=
??-
例6.33 求曲面z
x
y z ln
+=在点)1,1,1(的切平面和法线方程。
解 曲面方程为0ln ),,(=-+=z z
x
y z y x F ，易得}2,1,1{-=→n
切面方程为
0)1(2)1()1(=---+-z y x
即02=-+z y x . 法线方程为
2
1
1111--=-=-z y x
习题6.6
1．求曲线t a z t a a y t a a x sin ,cos sin ,cos cos ===在点0t t =处的切线和法平面方程．
2．求曲线???=++=++0
6
222z y x z y x 在点)1,2,1(-处的切线和法平面方程．
3．求曲面x
y
z arctan
=在点)4/,1,1(π的切平面和法线方程。 4。证明曲面)0(3>=a a xyz 上任意一点的切平面与坐标面形成的四面体体积为定值。 5．证明曲面)(x
y xf z =上任意一点的切平面过一定点。
第七节 极值和最值问题
一、无条件极值
与一元函数极值类似，我们可以引入多元函数的极值概念。
定义 6.3 n 元函数),,,(21n x x x f 在点),,,(0
02010n x x x P 的一个邻域?)(0P U n
R 内
有定义。若对任何点)(),,,(021P U x x x P n ∈ ，有
)()(0P f P f ≥或（)()(0P f P f ≤）
则称n 元函数),,,(21n x x x f 在),,,(002010n x x x P 取得极大（或极小）值， ),,,(002010n x x x P 称为函数),,,(21n x x x f 的极大（或极小）值点。极大值和极小值统称
为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。
类似一元函数，我们称使得n 元函数),,,(21n x x x f 的各个一阶偏导数同时为零的点为驻点。我们有如下定理。
定理 6.28 若),,,(0
02010n x x x P 为n 元函数),,,(21n x x x f 的极值点，且
),,,(21n x x x f 在),,,(00201
0n x x x P 的一阶偏导数存在，则),,,(002010n x x x P 为n 元函数),,,(21n x x x f 的驻点。
证 考虑一元函数)2,1)(,,,,()(0
01n i x x x f x n i i ==φ，则i x 是)(i x φ的极值点，
Fermat 马定理告诉我们，可导函数在极值点的导数是零，于是
0),,,,()(001'==n i x i x x x f x i
φ
和一元函数类似，反过来，驻点不一定是极值点。而偏导数不存在的点也有可能是极值点。
判断多元函数的极值点要比一元函数复杂的多，下面我们仅对二元函数不加证明给出一个判别定理。
定理 6.29 若),(000y x P 为二元函数),(y x f 的驻点，且),(y x f 在),(000y x P 的一个邻域?)(0P U 2
R 中有二阶连续偏导数。令
),,(),,(),,(000000y x f C y x f B y x f A yy xy xx ===
2B AC C
B B
A Q -==
，
则
（1）