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高考数学必考考点题型大盘点

命题热点一集合与常用逻辑用语

集合这一知识点是高考每年的必考内容,对集合的考查主要有三个方面:一是集合的运算,

二是集合间的关系,三是集合语言的运用.在试卷中一般以选择题的形式出现,属于容易题.集合知识经常与函数、方程、不等式等知识交汇在一起命题,因此应注意相关知识在解题中的应用．

常用逻辑用语也是每年高考的必考内容，重点考查:充分必要条件的推理判断、四种命

题及其相互关系、全称命题与特称命题等，在试卷中一般以选择题的形式出现,属于容易题和中档题,这个考点的试题除了考查常用逻辑用语本身的有关概念与方法，还与其他数学知识联系在一起,所以还要注意知识的灵活运用。

预测1.已知集合{}2|20A x x x =->,集合(,)B a b =，且B A ?，则a b -的取值范围

是

A.(2,)-+∞ Ｂ.[2,)-+∞ C.(,2)-∞- Ｄ.(,2]-∞-

解析:化简A 得{}{}2|20|02A x x x x x =->=<<，由于B A ?,所以02

a b ≥??≤?，于是

2a b -≥-，即a b -的取值范围是[2,)-+∞，故选Ｂ．

动向解读：本题考查集合间的关系，考查子集的概念与应用、不等式的性质等,解答时

注意对集合进行合理的化简．

预测2.若集合1|2,A x x R x ?

?=<∈????

,{}3|log (1)B x y x ==-，则A B 等于 A.φ B.1(,1)2 C.1(,0)

(,1)2-∞ D.1(,1]2 解析：依题意{}1|0,|12A x x x B x x ??=<>

-∞.故选Ｃ．动向解读：本题考查集合的基本运算、函数的定义域、不等式的解法等问题,是高考的

热点题型．在解决与函数定义域、值域、不等式解集相关的集合问题时,要注意充分利用数轴这一重要工具，通过数形结合的方法进行求解．

预测3.已知命题:[0,

],cos 2cos 02p x x x m π?∈+-=为真命题，则实数m 的取值范围

是

A.9[,1]8--

B.9[,2]8- Ｃ.[1,2]-

D ．9[,)8-+∞

解析:依题意,cos2cos 0x x m +-=在[0,]2x π

∈上恒成立，即cos2cos x x m +=.令

2219()cos 2cos 2cos cos 12(cos )48f x x x x x x =+=+-=+-,由于[0,]2

x π∈,所以cos [0,1]x ∈,于是()[1,2]f x ∈-,因此实数m 的取值范围是[1,2]-，故选C.

动向解读：本题考查全称命题与特称命题及其真假判断,对于一个全称命题,要说明它是

真命题,需要经过严格的逻辑推理与证明，要说明它是一个假命题，只要举出一个反例即可；而对于特称命题，要说明它是一个真命题,只要找到一个值使其成立即可,而要说明它是一个假命题，则应进行逻辑推理与证明.

预测4.“0a ≤”是“不等式20x ≥对任意实数x 恒成立”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件

解析：不等式2

0x -≥对任意实数x 恒成立,则有20a ?==≤，又因为

0a ≥，所以必有0a =，故“0a ≤”是“不等式20x ≥对任意实数ｘ恒成立”的必要不充分条件.故选B.

动向解读:本题考查充分必要条件的推理判断，这是高考的一个热点题型，因为这类问

题不仅能够考查逻辑用语中的有关概念与方法，还能较好地考查其他相关的数学知识,是一个知识交汇的重要载体.解答这类问题时要明确充分条件、必要条件、充要条件的概念,更重要的是要善于列举反例.

命题热点二函数与导数

函数是高中数学的主线，是高考考查的重点内容,主要考查：函数的定义域与值域、函

数的性质、函数与方程、基本初等函数、函数的应用等,在高考试卷中,一般以选择题和填空题的形式考查函数的性质、函数与方程、基本初等函数等，以解答题的形式与导数交汇在一起考查函数的定义域、单调性以及函数与不等式、函数与方程等知识.其中函数与方程思想、数形结合思想等都是考考查的热点.

高考对导数的考查主要有以下几个方面:一是考查导数的运算与导数的几何意义，二是

考查导数的简单应用，例如求函数的单调区间、极值与最值等,三是考查导数的综合应用.导数的几何意义以及简单应用通常以客观题的形式出现,属于容易题和中档题；而对于导数的

综合应用,则主要是和函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式进行考查，例如一些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题.

预测1.函数a ax x x f +-=2)(2在区间)1,(-∞上有最小值，则函数x x f x g )

()(=

在区间),1(+∞上一定

A.有最小值 B ．有最大值 C ．是减函数 D.是增函数

解析:函数()f x 图像的对称轴为x a =,依题意有1a <，所以()()2f x a g x x a x x

==+-,()g x 在(0,)a 上递减,在(,)a +∞上递增,故()g x 在(1,)+∞上也递增,无最值,选Ｄ.

动向解读：本题考查二次函数、不等式以及函数的最值问题.对于二次函数，高考有着较高的考查要求，应熟练掌握二次函数及其有关问题的解法.在研究函数的单调性以及最值

问题时,要善于运用基本不等式以及函数(0)p y x p x

>的单调性进行求解. 预测2.如图，当参数λ分别取12,λλ时，函数2()(0)1x f x x x λ=≥+的部分图像分别对应曲线12,C C ,则有

A.120λλ<<

B.210λλ<<

C.120λλ<< D ．210λλ<<

解析：由于函数2()1x f x x

λ=+的图像在[0,)+∞上连续不间断，所以必有120,0λλ>>．又因为当1x =时，由图像可知

122211λλ>++，故12λλ<,所以选A ．动向解读:本题考查函数的图像问题，这是高考考查的热点题型,其特点是给出函数图象，求函数解析式或确定其中的参数取值范围.解决这类问题时,要善于根据函数图象分析研究函数的性质,从定义域、值域、对称性、单调性、经过的特殊点等方面获取函数的性质，

从而确定函数的解析式或其中的参数取值范围.

预测3.已知函数()x f x e mx =-的图像为曲线Ｃ,若曲线C 不存在与直线12y x =

垂直的切线,则实数m 的取值范围是 A.12m ≤- B.12

m >- C ．2m ≤ D.2m > 解析:'()x f x e m =-，曲线C 不存在与直线12

y x =垂直的切线,即曲线Ｃ不存在斜率等于2-的切线,亦即方程2x e m -=-无解，2x e m =-，故20m -≤，因此2m ≤．

动向解读:本题考查导数的几何意义，这是高考对导数考查的一个重要内容和热点内容,涉及曲线的切线问题都可考虑利用导数的几何意义解决,求解这类问题时,要始终以“切点”为核心,并注意对问题进行转化.

预测４.（理科）已知函数为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是

A.[1,0)-B ．(0,)+∞C.[2,0)- D.(,2)-∞-

解析:若()f x 在R 上单调递增,则有02021a a a >??+>??+≤?

，a 无解;若()f x 在R 上单调递减，则

有02021a a a ??+≥?

,解得10a -≤<，综上实数a 的取值范围是[1,0)-．故选A ．

动向解读：本题考查分段函数、函数的单调性以及分类讨论思想，这些都是高考的重要考点.解决这类问题时,要特别注意:分段函数在Ｒ上单调递增（减）,不仅要求函数在每一段上都要单调递增(减）,还应满足函数在分段点左侧的函数值不大于（不小于）分段点右侧的函数值．

（文科)已知函数()()()

210(2)0x ax x f x a e x ?+≥?=?-

解析：若()f x 在R 上单调递增,则有02021a a a >??->??-≤?

,解得23a <≤;若()f x 在R 上单调递

减,则有02021a a a

，a 无解，综上实数a 的取值范围是(2,3].

动向解读:本题考查分段函数、函数的单调性以及分类讨论思想，这些都是高考的重要考点.解决这类问题时,要特别注意：分段函数在Ｒ上单调递增(减），不仅要求函数在每一段上都要单调递增(减)，还应满足函数在分段点左侧的函数值不大于（不小于)分段点右侧的函数值．

预测５.(理科)设函数)1ln()(2

++=x b x x f ，其中0≠b .（1)若12b =-,求)(x f 在[1,3]的最小值;（2)如果()f x 在定义域内既有极大值又有极小值,求实数b 的取值范围;(3）是否存在最小的正整数N ,使得当N n ≥时,不等式311ln n n n n

+->恒成立. 解析：（1）由题意知，)(x f 的定义域为),1(+∞-，

12b =-时，由2/122212()2011

x x f x x x x +-=-==++,得2x =（3x =-舍去），当[1,2)x ∈时，/()0f x <,当(2,3]x ∈时,/()0f x >，

所以当[1,2)x ∈时，()f x 单调递减；当(2,3]x ∈时,()f x 单调递增，

所以min ()(2)412ln 3f x f ==-;

(2）由题意2/

22()2011

b x x b f x x x x ++=+==++在),1(+∞-有两个不等实根,即2220x x b ++=在),1(+∞-有两个不等实根,

设()g x =222x x b ++，则480(1)0

b g ?=->??->?,解之得102b <<；（3)对于函数())1ln(2+-=x x x f ，令函数())1ln()(233++-=-=x x x x f x x h , 则()1

)1(311232

/+-+=++-=x x x x x x x h ,()0),0[/>+∞∈∴x h x 时，当，所以函数()x h 在),0[+∞上单调递增，又),0(,0)0(+∞∈∴=x h 时,恒有()0)0(=>h x h ，

即)1ln(32++

+>-恒成立. 显然,存在最小的正整数N=１,使得当N n ≥时,不等式23111ln n n n n +>-恒成立．动向解读:函数、导数、不等式的综合问题是近几年高考的一个热点题型,这类问题以“参

数处理”为主要特征,以“导数运用”为主要手段,以“函数的单调性、极值、最值”为结合点，往往涉及到函数、导数、不等式、方程等多方面的知识，需要综合运用等价转换、分类讨论、数形结合等重要数学思想方法.

(文科)已知函数()3ln a f x ax x x

=+-.(１)当2a =时，求函数()f x 的最小值;(2)若()f x 在[2,]e 上单调递增,求实数a 的取值范围.

解析：(１)当2a =时，2()23ln f x x x x =+

-，定义域为(0,)+∞. 2'2223232()2x x f x x x x --=--=，令'()0f x =，得2x =(12

x =-舍去），当x 变化时,()f x ，'

()f x 的变化情况如下表:

所以函数()f x 在2x =时取得极小值，同时也是函数在定义域上的最小值(2)53ln 2f =-．

（2）由于'23()a f x a x x =--，所以由题意知，'23()0a f x a x x

=--≥在[2,]e 上恒成立．即2230ax x a x --≥,所以230ax x a --≥在[2,]e 上恒成立,即231

x a x ≥-. 令23()1

x g x x =-,而2'2233()(1)x g x x --=-,当[2,]x e ∈时'()0g x <，所以()g x 在[2,]e 上递减，故()g x 在[2,]e 上得最大值为(2)2g =，因此要使231

x a x ≥-恒成立，应有2a ≥. 动向解读：函数、导数、不等式的综合问题是近几年高考的一个热点题型,这类问题以“参数处理”为主要特征，以“导数运用”为主要手段,以“函数的单调性、极值、最值”

为结合点，往往涉及到函数、导数、不等式、方程等多方面的知识，需要综合运用等价转换、分类讨论、数形结合等重要数学思想方法.

命题热点三立体几何与空间向量

(理科)高考对立体几何与空间向量的考查主要有三个方面：一是考查空间几何体的结构特征、直

观图与三视图;二是考查空间点、线、面之间的位置关系;三是考查利用空间向量解决立体几何问题：例如利用空间向量证明线面平行与垂直、利用空间向量求空间角等.在高考试卷中,一般有1~２个客观题和一个解答题．多为容易题和中档题.

（文科)高考对立体几何的考查主要有两个方面:一是考查空间几何体的结构特征、直观图与三视图;二是考查空间点、线、面之间的位置关系，线面平行、垂直关系的证明等;在高考试卷中,一般有1~2个客观题和一个解答题.多为容易题和中档题.

预测1．若一个底面是正三角形的直三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等于

?A.3 B ．2?

C ．23

D ．6

解析：由正视图可知该三棱柱的底面边长等于２,高是1，所以其侧面积等于3216S =??=，故选Ｄ.

动向解读：三视图是高考的热点内容,几乎每年必考,除了考查对简单几何体的三视图的判断外，更多地是以三视图为载体考查几何体的体积、表面积的计算,在由三视图中给出的数据得出原几何体的有关数据时,要充分利用三视图“主左一样高、主俯一样长、俯左一样宽”的性质.

预测２.平面α与平面β相交，直线m α⊥，则下列命题中正确的是

A. β内必存在直线与m 平行,且存在直线与m 垂直

B. β内不一定存在直线与m 平行,不一定存在直线与m 垂直

Ｃ． β内不一定存在直线与m 平行,但必存在直线与m 垂直

D. β内必存在直线与m 平行，却不一定存在直线与m 垂直

解析:假设l αβ=，由于m α⊥，所以必有m l ⊥，因此在β内必存在直线l 与m 垂直；当αβ⊥时,可存在直线与m 平行,当α与β不垂直时，在β内一定不存在直线与m 平行.故选B ．

动向解读：本题考查空间中线面、面面的平行与垂直关系的判断，其特点是以符号语

初中数学重要公式总结

乘法公式(反过来就是因式分解的公式)：①(a＋b)(a－b)＝a2－b2．②(a±b)2＝a2±2ab＋b2．③(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3．④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，(a－b)2＝(a＋b)2－4ab．一、公式：设有n个数x1，x2，…，x n，那么： ①平均数为： 12 ...... n x x x x n； ②极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差=最大值-最小值； ③方差：数据1x、2x……, n x的方差为2s，则 2 s= 222 12 1 ..... n x x x x x x n 标准差：方差的算术平方根. 数据1x、2x……, n x的标准差s，则 s= 222 ..... x x x x x x 一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。设∠A是Rt△ABC的任一锐角，则∠A的正弦：sinA＝，∠A的余弦：cosA ＝，∠A的正切：tanA＝．并且sin2A＋cos2A＝1． 0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0．∠A越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小余角公式：sin(90o－A)＝cosA，cos(90o－A)＝sinA．特殊角的三角函数值：sin30o＝cos60o＝，sin45o＝cos45o＝，

sin60o＝cos30o＝， tan30o＝，tan45o＝1，tan60o＝． ④斜坡的坡度：i ＝铅垂高度水平宽度＝．设坡角为α，则i ＝tan α＝二次函数的有关知识： 1.定义：一般地，如果 c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0