线性代数第3章(知识梳理)

本章结构

0 m n m n A x b A x ????→?=?

→???→?=?

→→??6444444444447444444444448矩阵表示消元法

非齐次向量表示向量与向量组的线性组合

线性方程组

矩阵表示消元法

齐次向量表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组、秩

　齐次线性方程组 非齐次线性方程组

解的性质、基础解系、全部解　解的性质、全部解

常用方法：1????→????????→??????→初等行变换

初等行变换

初等行变换

非零首元上面元素消成零非零首元消成“”相应矩阵阶梯形简化阶梯行最简阶梯 1、矩阵A 化等价标准形

A ????→初等行变换

阶梯形，求出矩阵A 的秩r ，则标准形 r I O D O O ??= ?

??

2、求矩阵A 的逆

()()1A I I A -→M

M 3、消元法求线性方程组Ax b =的解

增广矩阵()A b M →行最简阶梯

4、求矩阵A 的秩

A →阶梯形

5、判断向量β能否由向量组12,,,s αααL 线性表示

以12,,,,s αααβL 为列向量的矩阵→行最简阶梯

6、求向量组12,,,s αααL 的秩和一个极大无关组，并将其它向量用该极大无关组线性表示

以12,,,s αααL 为列向量的矩阵→行最简阶梯

7、用基础解系表示(非)齐次线性方程组的全部解

增广矩阵()A b M →行最简阶梯

一、用消元法求解非齐次线性方程组m n A x b ?=

1、() A b M u u u u u u u u u u u u u u u r

初等行变换阶梯形矩阵，进而求出()r A 和(,)r A b 2、观察()r A 和(,)r A b 的关系：(1) ()(,)r A r A b ≠，方程组无解；(2) ()=(,)r A r A b ，方程组有解： ①、()=(,)r A r A b n =，方程组有唯一解； ②、()=(,)r A r A b n <，方程组有无穷多个解.

3、在有解的情况下，将阶梯形矩阵继续进行初等行变换，从最后一个非零首元开始将非零首元上面的元素消成零；

4、写出相应的同解方程组，令自由未知量取任意常数，可得方程组的全部解。

线性方程组m n A x b ?=有解?()=(,)r A r A b ，且

当()=(,)r A r A b n =时方程组有唯一解；当()=(,)r A r A b n <，方程组有无穷多个解.

二、用消元法求解齐次线性方程组0m n A x ?=：

1、() A u u u u u u u u u u u u u u u r 初等行变换阶梯形矩阵，进而求出()r A ；

2、观察()r A ：(1) ()r A n =，方程组有唯一解，即只有零解；(2) ()r A n <，方程组有无穷多个解，即有非零解；

3、在有解的情况下，将阶梯形矩阵继续进行初等行变换，从最后一个非零首元开始将非零首元上面的元素消成零； 4

、写出相应的同解方程组，令自由未知量取任意常数，可得方程组的全部解。 齐次方程组0m n A x ?=有非零解?()r A n <

当m n <，即当方程个数小于未知元个数时，齐次线性方程组0m n A x ?=有非零解

三、n 维向量的概念及线性运算（看作特殊的矩阵） 书P121－123 四、向量与向量组的线性组合（向量由向量组线性表示）

对非齐次线性方程组1111221121122222

1122n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ++=??++=????++=?L L L L L ，设12(1,2,,)j j j mj a a j n a α?? ? ?== ? ? ???

L L ，12m b b b β??

? ?= ? ???L ， 则线性方程组可表示1122n n x x x αααβ+++=L ，从而

定义 （P124） 对于给定向量12,,,,s βαααL ，如果存在一组数12,,,s k k k L ，使1122s s k k k βααα=+++L 成立，则称向量β是向量组12,,,s αααL 的线性组合，或称向量β可由向量组12,,,s αααL 线性表示。

线性组合的判别定理 设向量12m b b b β??

?

?= ?

???L ，向量12(1,2,,)j j j mj a a j n a α?? ? ?== ? ? ???

L L ，则

五、向量组的线性相关性

对齐次线性方程组111122121122221122000n n n n

m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ++=??++=????++=?L L L L L ，设12(1,2,,)j j j mj a a j n a α?? ? ?== ? ? ???

L L ，0000??

? ?= ? ???

L ， 则齐次线性方程组可表示为11220n n x x x ααα+++=L .它一定有零解，考虑其是否有非零解：

定义（P128） 对于向量组12,,,s αααL ，如果存在一组不全为零的数12,,,s k k k L 使11220s s k k

k ααα+++=L 成立，则称向量组12,,,s αααL 线性相关；否则称向量组12,,,s αααL 线性无关. （1）12,,,s αααL 线性无关?120s k k k ====L . （2）一个零向量线性相关；一个非零向量线性无关. （3）包含零向量的任何向量组都是线性相关的.

（4）仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的分量对应成比例。

线性相关性的判定：设12(1,2,,)j j j mj a a j n a α??

? ?

== ? ? ???

L L ，则

总结：验证向量组12,,,n αααL 的线性相关性主要有以下两种方法： （1）、对于抽象向量组或比较特殊的向量组，可采用定义法：

设11220n n k k k ααα+++=L ，去验证要使得等式成立，12,,,n k k k L 是否必须全为零；

（2）、对于具体的向量组， 以12,,,n αααL 为列向量的矩阵????

→初等行变换

阶梯形， 将矩阵的秩r 与向量个数n 作对比r n r n =???

线性无关

线性相关

如果向量组中有一部分向量（部分组）线性相关，则整个向量组线性相关

线性无关的向量组的任何部分组都线性无关

向量组()12,,,2s s ααα≥L 线性相关?其中至少有一个向量可以由其余1s -个向量线性表示。

若有向量组12,,,,s αααβL 线性相关，而向量组12,,,s αααL 线性无关，则向量β可由向量组12,,,s αααL 线性表示且表示法唯一。

六、向量组间的线性组合与线性相关性(了解)

定义（P125） 设有两个向量组12:,,,s A αααL 与12:,,,t B βββL ，若向量组B 中的每一个向量都能由向量组A 线性表示，则称向量组B 能由向量组A 线性表示。

定义（P126） 若向量组与向量组能相互线性表示，则称这两个向量组等价。

向量组间线性关系的判定：定理（P126） 若向量组A 可由向量组线性表示，向量组B 可由向量组C 线性表示，则向量组A 可由向量组C 线性表示。

定理（P133） 设有两个向量组12:,,,s A αααL 与 12:,,,t B βββL ，向量组()B 能由向量组()A 线性表示，如果s t <，则向量组()B 线性相关.

另一种说法：向量组()B 能由向量组()A 线性表示，且向量组()B 线性无关，则t s ≤.

推论（P134） 设向量组()A 与向量组()B 可以相互线性表示，且()A 与()B 都是线性无关的，则s t =. 定理 设有两个向量组12:,,,s A αααL 与 12:,,,t B βββL ，如果向量组()A 与()B 等价，则 ()()1212,,,,,,s t r r αααβββ=L L

七、向量组的秩

1、极大无关组

定义 设有向量组12:,,,s A αααL ，若在A 能选出r 个向量12,,,j j jr αααL 满足： （1）部分组012:,,,j j jr A αααL 线性无关；

（2）向量组A 中任意1r +个向量（若有的话）都线性相关， 则称向量组0A 是向量组A 的一个极大线性无关组（简称极大无关组）

注：（1）一个向量组12:,,,s A αααL 的极大无关组12,,,j j jr αααL 要满足以下几个条件：

①、向量组12,,,j j jr αααL 是向量组12:,,,s A αααL 的一个线性无关的部分组；

②、向量组12:,,,s A αααL 的其余向量均可由向量组12,,,j j jr αααL 线性表示 或 向量组12:,,,s A αααL 与向量组12,,,j j jr αααL 等价（能够互相线性表示）

2、向量组的秩

定义 向量组12,,,s αααL 的极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩，记为()12,,,s r αααL 定理2 设A 为m n ?矩阵，则()r A r =的充分必要条件是：A 的列(行)秩为r . 推论1 矩阵A 的行秩等于列秩

求一个向量组的极大无关组或秩，并将其余向量用此极大无关组线性表示的方法

由该向量组构造矩阵A ，要求各向量作为A 的列向量，并将该矩阵化为行最简阶梯形矩阵，则非零行的行数即为向量组的秩，非零首元所在的列对应的列向量组成一个极大无关组，其余列向量的各分量即为由极大无关组线性表示的系数.

八、线性方程组解的结构

1、齐次线性方程组0m n A x ?=解的性质

（1）如果12,ξξ是方程组0m n A x ?=的两个解，则12ξξ+也是它的解； （2）如果ξ是方程组0m n A x ?=的解，c 为常数，则c ξ也是它的解；

（3）如果12,,,s ξξξL 是方程组0m n A x ?=的解，则其线性组合1122s s c c c ξξξ+++L 也是它的解。 基础解系：解向量组的一个极大无关组（解+线性无关+其它解可由它们线性表示）；

基础解系的向量个数＝n r -未知元个数系数矩阵的秩； 基础解系的线性组合表示齐次线性方程组的一个解（向量）.

2、用基础解系表示齐次线性方程组0m n A x ?=的全部解的步骤：

（1）、将其系数矩阵通过初等行变换化为简化的阶梯形矩阵（化为阶梯形+回代），并判断方程组是否有非零解； （2）、在有非零解的情况下，写出与原方程组同解的方程组，并注明自由未知量12,,,r r n x x x ++L ；

（3）、121212,,,,,,r r n r n r n x x x εεεξξξ++--??

? ? ? ???

L L L 对自由未知量向量取值,得到方程组的基础解系 （4）、1122n r n r c c c ξξξξ--=+++L 原方程组的全部解可表示为：，12n r c c c -L 其中,,

,为任意常数 3、非齐次线性方程组m n A x b ?=解的结构

（1）如果η是非齐次方程组m n A x b ?=的一个解， ξ是其导出组0m n A x ?=的一个解，则ηξ+是m n A x b ?=的解； （2）如果12,ηη是非齐次方程组m n A x b ?=的两个解，则12ηη-是其导出组0m n A x ?=的解.

定理 如果η是非齐次方程组m n A x b ?=的一个解， ξ是其导出组0m n A x ?=的全部解，则ηξ+是m n A x b ?=的全部解. 4、用基础解系表示非齐次线性方程组m n A x b ?=的全部解的步骤：

（1）、将其增广矩阵通过初等行变换化为行最简阶梯形矩阵，并判断方程组是否有解； （2）、在有解的情况下，写出与原方程组同解的方程组，并注明自由未知量；

（3）、让自由未知量向量12r r n x x x ++?? ? ? ? ???

L 取值

00??

?

? ? ???

L

，得方程组的一个特解η； （4）、写出与原方程组的导出组（对应的齐次线性方程组）同解的方程组，让自由未知量1212,,,r r n r n x x x εεε++-?? ? ? ? ???

L L 取值, 得到导出组的基础解系12,,,n r ξξξ-L ；

（5）、1122n r n r c c c ξηξξξ--=++++L 原方程组的全部解可表示为：，12n r c c c -L 其中,,

,为任意常数. 要点：

1、（非）齐次线性方程组的消元解法

例：书P116－119例2－例4；P120例5 2、（非）齐次线性方程组解的情况的充分必要条件

例：P164第1、2、3题

3、向量与向量组的线性组合的定义、与非齐次线性方程组是否有解的关系、判定 例：书P124－125例2－例5； P159第7题； P164第4题

4、向量组线性相关、线性无关的定义、与齐次线性方程组是否有非零解的关系、判定及相关定理 例：书P129－131，例1－例6； P160第10、13、14题； P164－166第4－9题

5、向量组的极大无关组、秩的概念，求向量组的一个极大无关组与秩，及将其它向量用该极大无关组线性表示 例：P138例1方法一； P161第17题； P165－166第10－14题

6、基础解系的定义、向量个数、线性组合 例：书P166－167第18、19题

7、(非)齐次线性方程组解的结构，用基础解系表示（非）齐次线性方程组的全部解 例：书P144例1、2； P148例4； P161第20、23－25题； P166第16题

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结 第一章 行列式 1. n 阶行列式()() 12 1212 11121212221212 1= = -∑ n n n n t p p p n p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式 () () 1112 11222211221122010 n t n n nn nn nn a a a a a D a a a a a a a = =-= 1 2 12 n n λλλλλλ=， () ()1 12 2 121n n n n λλλλλλ-=- 3.行列式的性质 定义 记 11121212221 2 n n n n nn a a a a a a D a a a =，11211 1222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = ，行列式T D 称为行列式D 的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行() ?i j r r 或列() ?i j c c ，行列式变号。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。 性质3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()?j k r k ，等于用数k 乘此行列式； 推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 1112111212222212 () ()()i i n i i n n n ni ni nn a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222221222212 12 i n i n i n i n n n ni nn n n ni nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+ ' 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，

线性代数知识点归纳同济第五版

线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1. 行列式的计算： ① (定义法)12 1212 11 12121222() 121 2 ()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积.

④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==**=-1 例 计算 2-100-1 300001100-25 解 2-100 -1 30000110 -2 5 =2-1115735-13-25?=?= ⑤ 关于副对角线： (1) 2 1121 21 1211 1()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* = =-1 ⑥ 范德蒙德行列式：()1 2 2 22 12 11 1112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏111 例 计算行列式

⑦ a b - 型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+-- ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明 0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=-

线性代数总结归纳

行列式 1.为何要学习《线性代数》？学习《线性代数》的重要性和意义。 答：《线性代数》是理、工、医各专业的基础课程，它是初等代数理论的继续和发展， 它的理论和方法在各个学科中得到了广泛的应用。 2.《线性代数》的前导课程。 答：初等代数。 3.《线性代数》的后继课程。 答：高等代数，线性规划，运筹学，经济学等。 4.如何学习《线性代数》？ 答：掌握各章节的基本概念和解决问题的基本方法，多多体会例子的方法和技巧，多做 练习，在练习中要紧扣问题涉及的概念，不要随意扩大概念的范围，练习要自己做才能理解所学的知识。在学完一章后自己要做一个小结，理清该章内容及前后概念之间的联 系。在学完本课程后，将各章的内容做一个总结，想想各章内容之间的联系，易混淆的 概念要着重加深理解及区分它们之间的差异。 第一章行列式 5.什么是一个n阶全排列？【知识点】：n阶全排列。 答：由n个数1,2,…，n组成的一个有序数组。 6.什么是标准排列？【知识点】：n阶全排列。 答：按数字由小到大的自然顺序排列的n阶排列123, n。 7.什么是n阶全排列的逆序？【知识点】：n阶全排列的逆序。 答：在一个n阶排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。例如：排列45312中，数4与3 ,数4与1,数4与2 ,数5与3,数5与1 ,数5与2, 数3与1,数3与2都构成逆序。数4与5,数1与2不构成逆序。 & 什么是n阶排列的逆序数？【知识点】：n阶排列的逆序数。 答：在一个n阶排列中，所有逆序的总数就是排列的逆序数。例如：上问中的排列45312 的逆序数为8。 9.什么是奇排列和偶排列？【知识点】：排列的奇偶性。

线性代数知识点总结

线性代数知识点总结 第一章行列式 （一）要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理） ，n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、 克莱姆法则 （二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 （一）要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D '

3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价 意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积； 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩

线性代数知识点归纳,超详细

线性代数复习要点 第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1.行列式的计算： ①(定义法) ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.

③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④若都是方阵（不必同阶）,则 ⑤关于副对角线： ⑥范德蒙德行列式： 证明用从第n行开始，自下而上依次的由下一行减去它上一行的倍，按第一列展开，重复上述操作即可。 ⑦型公式： ⑧(升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨(递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的一种关系——称为递推公式，其中 ,,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算. ⑩(数学归纳法) 2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；

3. 证明的方法： ①、； ②、反证法； ③、构造齐次方程组，证明其有非零解； ④、利用秩，证明； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系： 第二部分矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1.矩阵的定义由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作：或 ①同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. ②矩阵相等: 两个矩阵同型，且对应元素相等. ③矩阵运算 a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）. b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作或，规定为. c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则， 其中 注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律, 即公式不成立.

线性代数知识点总结汇总

线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式

数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解

（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条） （1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A

线性代数知识点全归纳

线性代数知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值；

《线性代数》知识点归纳整理-大学线代基础知识.docx

《线性代数》知识点归纳整理诚毅 学生编 01、余子式与代数余子式................................................................... - 2 - 02、主对角线............................................................................. - 2 - 03、转置行列式........................................................................... - 2 - 04、行列式的性质......................................................................... - 3 - 05、计算行列式........................................................................... - 3 - 06、矩阵中未写出的元素................................................................... - 4 - 07、几类特殊的方阵....................................................................... - 4 - 08、矩阵的运算规则....................................................................... - 4 - 09、矩阵多项式........................................................................... - 6 - 10、对称矩阵............................................................................. - 6 - 11、矩阵的分块........................................................................... - 6 - 12、矩阵的初等变换....................................................................... - 6 - 13、矩阵等价............................................................................. - 6 - 14、初等矩阵............................................................................. - 7 - 15、行阶梯形矩阵与行最简形矩阵......................................................... - 7 - 16、逆矩阵............................................................................... - 7 - 17、充分性与必要性的证明题............................................................... - 8 - 18、伴随矩阵............................................................................. - 8 - 19、矩阵的标准形：....................................................................... - 9 - 20、矩阵的秩：........................................................................... - 9 - 21、矩阵的秩的一些定理、推论............................................................. - 9 - 22、线性方程组概念....................................................................... - 10 - 23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）......................................... - 10 - 24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念................................................. - 11 - 25、线性方程组的向量形式................................................................. - 11 - 26、线性相关与线性无关的概念.......................................................... - 12 - 27、向量个数大于向量维数的向量组必然线性相关............................................ - 12 - 28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系及其例题................. - 12 - 29、线性表示与线性组合的概念.......................................................... - 12 - 30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩这三者的关系其例题.......................... - 12 - 31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理................................................. - 12 - 32、最大线性无关组与向量组的秩........................................................... - 12 - 33、线性方程组解的结构................................................................... - 12 -

线性代数知识点总结第二章doc资料

线性代数知识点总结 第二章 矩阵及其运算 第一节 矩阵 定义 由m n ?个数() 1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==L L 排成的m 行n 列的数表 11 12 1212221 2n n m m mn a a a a a a a a a L L M M M L 称为m 行n 列矩阵。简称m n ?矩阵，记作111212122 211 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? L L L L L L L ，简记为() ()m n ij ij m n A A a a ??===，,m n A ?这个数称为的元素简称为元。 说明 元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。 扩展 几种特殊的矩阵： 方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵A 。 记作：A n 。 行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。也称行(列)向量。 同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。 相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵：不在主对角线上的元素都是零。 单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可 表示为E )（课本P29—P31） 注意 矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。 第二节 矩阵的运算 矩阵的加法 设有两个m n ?矩阵() () ij ij A a B b ==和，那么矩阵A 与B 的和记作A B +， 规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++?? ? +++ ? += ? ? +++?? L L L L L L L 说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（课本P33） 矩阵加法的运算规律 ()1A B B A +=+； ()()()2A B C A B C ++=++

线性代数知识点总结材料72879

大学线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。 推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=) 1( 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零

特殊行列式： ①转置行列式：33 23133222123121 11333231232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式: 行列式运算常用方法（主要） 行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例） 化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、 第二章 矩阵 矩阵的概念：n m A *（零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) 矩阵的运算：加法（同型矩阵）---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律 乘法 n m l kj ik n l kj l m ik b a b a B A *1 **)()(*)(*∑==注意什么时候有意义 一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( T T T B A B A +=+)( T T kA kA =)( T T T A B AB =)((反序定理)

线性代数知识点整理

? ∑??-= ???????= pn p p n n nn n n n n p a p a p a a a a a a a a a a D 21221121 2222111211 ) 1(逆序数 （1）行列中两个数一次对换改变奇偶性 （2）全部n （n ≥2）级排列中奇偶各占一半， 2 ! n 个；n!项相加，每项n 个数相乘 ? 行列式性质： （1）D=D T （2）某行（列）提公因数k 出来 （3）任意互换两行（列），值变号，r 行j 列 （4）两行（列）元素成比例，D=0 （5）某一行（列）全为0，D=0 （6）可拆 （7）某一行（列）×k ＋另一行（列），值不变 ? 反对称行列式：0 0?---???????--??-?=y x n c b c a n b a D =0 ? 余子式：划去a ij ，所剩M ij ；代数余子式：A ij =(-1)i+j M ij ? D=a i1A i1+a i2A i2+……+a in A in （按行展开） D=a 1j A 1j +a 2j A 2j +……+a nj A nj （按列展开） （1）各元素与其代数余子式乘积的和 （2）某一行（列）元素×另一行（列）对应代数余子式之和=0 ? 上（下）三角：n ab n b a D ?=? = ? 副对角：n ab a b n D n n ?-=? = -2 )1() 1( ? 范德蒙： 的乘积所有满足)(1)(11111 12 112 222121i j n j i i j n n n n n n x x n j i x x x x x x x x x x x -≤≤≤=-=?? ? ??????????∏≤≤≤--- ? 拉普拉斯展开式： b a b c a c b a =O = O

线性代数知识点总结

《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ奇数阶的反对称行列式。 二．矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在； ③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|； ④|kA|=k^n|A| 3．矩阵的秩 （1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； （2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论： 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。 求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 4．逆矩阵 （1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）； （2）性质：(AB)^-1=(B^-1)*(A^-1)，(A')^-1=(A^-1)'；(A B的逆矩阵，你懂的)（注意顺序）

线性代数知识点全归纳

1 线性代数知识点 1、行列式 2n1.n行列式共有n个元素，展开后有n!项，可分解为2行列式； 2.代数余子式的性质： ①、A和a的大小无关； ijij②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； i+ji+j代数余子式和余子式的关系：M=(-1)AA=(-1)M3. ijijijij 4.设n行列式D：n(n-1)将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D，则D=(-1)2D； 11n(n-1) 将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D，则D=(-1)2D； 22将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D，则D=D； 33将D主副角线翻转后，所得行列式为D，则D=D； 44 5.行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积；n(n-1)②、副对角行列式：副对角元素的乘积? (-1)2； ③、上、下三角行列式（ ◥ = ◣ ）：主对角元素的乘积； n(n-1)④、 ◤ 和 ◢ ：副对角元素的乘积? (-1)； 2 AOACCAOA ⑤、拉普拉斯展开式：==m n AB、==(-1)AB CBOBBOBC

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；n ∑(-1)Sλ，其中S为k阶主子式；nkn-k6.对于n阶行列式A，恒有：λE-A=λ+ k k k=17.证明A=0的方法： ①、A=-A； ②、反证法； ③、构造齐次方程组Ax=0，证明其有非零解； ④、利用秩，证明r(A)

线性代数知识点总结

一、行列式 1.排列：由个不同数码1,2，……，组成的有序数组 12…… n。 2.逆序：在一个级排列 12…… n 中，如果有较大的数 t 排在较小的数 s 前面， 则称与构成一个逆序。一个级排列中逆序的总数称为它的逆序数，逆序数是奇数称为奇排列，是偶数或0称为偶排列。 3.定理1：任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。定理2：个数码（>1） 共有！个级排列，其中奇偶排列各占一半。 4.用2个元素(=1,2, ……)组成的记号 称为阶行列式，其中横排称为行，纵排称为列。称为第行第列的元素，阶行列式表示所有可能取自不同的行，不同的列的个元素乘积的代数和，一般项可以写为 其中 12…n 构成一个级排列，当 12…n 取遍所有的级排列时，则得到阶 行列式表示的代数和中所有的项。 5.主对角线：行列式中从左上角到右下角的对角线。 6.主对角线右上方元素全为0的行列式为下三角行列式，左下方元素全为0 为上三角行列式，主对角线左上方和右上方元素全为0，主对角线上元素不全为0的行列式为对角行列式，它们的值均等于主对角线上元素的乘积。 7.行列式性质1 行列式转置，值不变，即D T=D

8.性质2 交换行列式的两行（列），行列式的值变号，即D 1 =D。 9.性质3 用数乘行列式的某一行（列），等于数乘此行列式 ,即D 1 =D。10.性质4 若将行列式中某一行（列）的每一个元素写成两个数的和，则此行 列式可以写成两个行列式的和，这两个行列式分别以这两个数为所在行（列） 对应位置的元素，其他位置的元素与原行列式相同，即D=D 1+D 2 11.推论：①若行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式值为0。 ②若行列式中有两行（列）的对应元素成比例，则此行列式值为0。 ③若行列式某行（列）的所有元素有公因子，则公因子可提到行列式外面。 ④将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数后加到另一行（列）对应位 置的元素上，行列式值不变。 12.余子式M:在阶行列式D=||中去掉元素所在的第行第列后，余 下的-1阶行列式。 13.代数余子式A：在余子式M前添加符号（-1）i+j。 14.阶行列式D=||等于它的任意一行（列）的各元素与其对应代数余子式 乘积的和。 15.克莱姆法则：线性方程组当其系数行列式D≠0时，有且仅有唯一解，特殊： 齐次线性方程组当其系数行列式D≠0时，有且仅有零解，D=0时，有非零 解。 二、矩阵 1.矩阵：由m×n个数（=1，2，…,m;=1, 2, …, n）按一定次序排列成 的一个m行n列的矩形表。

线性代数同济六版知识点总结

1。 二阶行列式——-----—对角线法则 : 2. 三阶行列式 ①对角线法则 ②按行（列）展开法则 3. 全排列：n 个不同的元素排成一列. 所有排列的种数用 表示， = n! 逆序数:对于排列 … ，如果排在元素前面,且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。 整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。 奇排列:逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n 个元素的所有排列中，奇偶各占一半，即 对换：一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性。 4. 其中： 是1，2,3的一个排列， t( )是排列 的逆序数 5。 下三角行列式： 副三角跟副对角相识 对角行列式： 副对角行列式： 6。 行列式的性质： ①行列式与它的转置行列式相等。 （转置：行变列，列变行）。D = ②互换行列式的两行（列），行列式变号。 推论 :两行（列）相同的行列式值为零。 互换两行: ③行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k ，等于用数 k 乘此行列式。第i 行乘k ： x k 推论 ：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面 ④行列式中如果有两行（列）元素成比例 ，则此行列式等于0 ⑤若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。如: 33323123222113 12 11 a a a a a a a a a 3221312312332211a a a a a a a a a 13++=312213332112322311a a a a a a a a a ---321321233123222113 12113j 2j 1j ) j j t (j 33 a a a a a a a a a a a a 1)(∑-=n n 2211n n n 2n 1222111 ...a a a a ...a a 0a a a = n ...λλλλλλ21n 21= n 21λλλ n 2121)n(n λλλ1)( --=1n 1j 1j 1211a )c (b a a a )c (b a a +1n 1j 12111n 1j 1211a c a a a c a a a b a a a b a a

线性代数(同济第5版)复习要点

线性代数(同济第5版)复习要点 以矩阵为工具，以线性方程组问题为主线 第一章 行列式 基本结论 1．行列式的性质 （1） 互换行列式的两行，行列式变号. （2） 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. （3） 把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变. 2．行列式按行（按列）展开 定理3 行列式等于它的任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 in in i i i i A a A a A a D +++=Λ2211 ),,2,1(n i Λ= 3．克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式不等于零，即 021 2222111211 ≠= nn n n n n a a a a a a a a a D Λ Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ 那末，线性方程组有唯一的解 ,,,,2211D D x D D x D D x n n === Λ 主要计算 计算行列式： 1．数字行列式化为上三角形； 2．计算有规律的．．．．n 阶行列式. 例 1．（例7）计算行列式 3 3 5 1 110243152113 ------=D 2．（例8）计算行列式 3 111131111311 113= D 第二章 矩阵及其运算 基本概念 注意：1．矩阵可乘条件、乘法规则 2. 矩阵乘法不满足交换律BA AB ≠ 3．矩阵乘法有零因子出现：O B O A ≠≠,，但却有O AB = 4．消去律不成立：AC AB =，推不出C B =

基本结论 1．转置 (i) A A T T =)( (ii) T T T B A B A +=+)( (iii) T T kA kA =)( (iv) T T T A B AB =)( 2．方阵的行列式 (i) ||||A A T =（行列式性质1）； (ii) ||||A A n λλ=; (iii) ||||||B A AB = 3．A 的伴随矩阵 E A A A AA ||==** 4．逆矩阵 是初等矩阵 可逆i s E E E E A E A n A R A A Λ21~)(0||=??=?≠? 推论 若E AB =（或E BA =），则1-=A B 方阵的逆阵满足下述运算规律： （i ）若A 可逆，则1-A 亦可逆，且A A =--11)(. （ii ）若A 可逆，数0≠λ，则A λ可逆，且111 )(--= A A λ λ （iii ）若B A ,为同阶方阵且均可逆，则AB 亦可逆，且 111)(---=A B AB （iv ）若A 可逆，则T A 亦可逆，且T T A A )()(11--= 基本计算 用上面基本结论进行简单计算 主要计算 求1-A ：公式法* -= A A A | |11 基本证明 用上面基本结论进行简单证明 例

线性代数第一章行列式试题及答案

如何复习线形代数 线性代数这门课的特点主要有两个：一是试题的计算量偏大，无论是行列式、矩阵、线性方程组的求解，还是特征值、特征向量和二次型的讨论都涉及到大量的数值运算，稍有不慎，即会出错；二是前后内容紧密相连，纵横交织，既相对独立又密不可分，形成了一个完整、独特的知识体系. 在掌握好基本概念、基本原理和基本方法的前提下，下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题. 一、加强计算能力训练，切实提高计算的准确性 二、扩展公式结论蕴涵，努力探索灵活解题途径 三、注重前后知识联系，努力培养综合思维能力 线性代数不仅概念多，公式结论多，而且前后知识联系紧密，环环相扣，几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查 四、加强综合题型训练，全面系统地掌握好知识 计算能力的提高不是一朝一夕的事，除了要不断归纳总结一些重要公式和结论并加以巧妙、适当的应用外，还要靠平时的积累，要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯，只要持之以恒、坚持练习，计算准确性的提高并不是一件困难的事. 而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习， 第一章行列式 一.概念复习 1. 形式和意义 形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式: a11 a12 (1) a21 a22 (2) ………. a n1 a n2…a nn 如果行列式的列向量组为1,2, …,n,则此行列式可表示为|1,2, …,n|. 意义:是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值. 请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别. 当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.) 每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|. 行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0. 2. 定义(完全展开式) 一般地,一个n阶行列式 a11 a12 (1) a21 a22 (2) ……… a n1 a n2…a nn 的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为: n nj j j a a a 2 1 2 1 ,这里把相乘的n个元素的行标按自然顺序排列,它们的列标j1j2…j n构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列), 一个n元排列的总项数共有n!个,因此n阶行列式的值是n!项的代数和。 所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j1j2…j n)为全排列j1j2…j n的逆序数,全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数. 逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数: 2 3 2 3 215 6 3 4,(436512)=3+2+3+2+0+0=10. 则项 n nj j j a a a 2 1 2 1 所乘的是. )1 () (2 1n j j j 即逆序数是偶数时，该项为正；逆序数是奇数时，该项为负；在一个n元排列的n!项中，奇排列和偶排列各有n!/2个。至此我们可以写出n阶行列式的值: a11 a12 (1) a21 a22…a2n =. )1 ( 2 1 2 1 2 1 2 1 ) ( n n n nj j j j j j j j j a a a ……… a n1 a n2…a nn 这里 n j j j 2 1 表示对所有n元排列求和.称此式为n阶行列式的完全展开式. 用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算. 3、对角行列式计算