《关于函数的最大值的求法》

关于函数y x p q x p q =-+-≤<()0的最大值的求法

在平时考试及竞赛中，此类问题属于比较困难的，学生不易于理解，有时无法入手，现介绍下列几种求法，以供参考。

一、向量法

设向量m n x p q x ==--()()11，，，。

∵m n m n ··≤||||

∴··y m n x p q x =≤+-+-112222()()

=-2q p

二、不等式法

利用均值不等式200ab a b a b ≤+>>()，

∵y x p q x x p q x 22=-+-+--·

≤-+-+-=-q p x p q x q p ()()2

∴y q p =-2

三、导数法

利用连续函数的可导性

∵y x p q x q x x p x p q x

'=-+--=-----12122 再令y '=0，解得x p q =+2

可以证明函数y x p q x =-+-（0≤

+2）上是增函数，在()p q q +2

，上是减函数。 ∴y x p q x p q =-+-≤<()0在x p q =+2

处取得最大值。

∴y x p q x =-+-（0≤

四、映射法

将根式转化为能用三角换元法进行换元求值域。

∵函数y x p q x p q =-+-≤<()0的定义域为[]p q ，。

我们为了将根式转化为能用三角换元法进行换元，使定义域[p ，q]与区间[0，1]对应。

∵，，设，x p q t ∈∈[][]01

∴x p q t =++=++λλλλ

101，（定比分点坐标公式） ∴消去参数λ得到x p t q p =+-()，将x 用t 的代数式代入，

∴y t q p t q p =-+--()()()1

再令t t =-=cos sin αα，1

∴y q p q p q p =-+=-+≤-(cos sin )sin(

)ααπα242

试一试：

使关于x 的不等式x x k -+-≥36有解的实数k 的最大值是D 。

A.

63- B. 3 C. 63+ D. 6