数学竞赛模拟题

2015年全国高中数学联赛决赛模拟题
一试（8:00---9:20）
一、填空题。（共8小题，每题8分）
1.当0<??<时，关于x的函数y= 1+2
1
39 1+值域为 2.设a1=a2=，且当n=3,4,5，…时，an=
3.设x∈ 0，且4π（1?2an?2）an?122an?12?4an?2an?12+an?2，则 an 通项公式为 1sinx=sin2x+sin4x+sin8x则x的值为 111
4.已知抛物线 y2=2px（p>0，p为常数）及定点A a，b ，B ?a，0 ab≠0，b2≠2pa ，M为抛物线上的点，设直线AM，BM与抛物线的另一交点分别为M1，M2，当M在抛物线上运动时，直线恒过定点P，则P点的坐标为 5.在直角四面体V-ABC（∠AVB=∠BVC=∠CVA=?VAB，?VBC，?VCA，?ABC的面积分别为1，5，7，S，则S= 2π
6.已知n为正整数，对于n，存在正整数k，使<n+k<13n的最小值为 158n7
7.在直角坐标平面上，以 199,0 为圆心，以199为半径的圆周上整点的个数为
8. ?ABC是锐角三角形，在?ABC的外侧作等腰?DAC、?EAB、?FBC，且DA=DC，EA=EB，FB=FC，∠ADC= 2∠BAC，∠BEA=2∠ABC，∠CFB=2∠ACB，设P是DB与EF的交点，Q是EC与DF的交点，M是FA与DE的交点，则DB
DP+EC
EQ+FA
FM
二、解答题。
1029.（本题16分）已知实数xi∈ ?6,10 ， 10i=1xi=50，i=1,2，…，10,当 i=1xi取最大值时，有多少个-6？

10.（本题20分）已知点A（1， x2
2+y2
n=1上的定点，过点A引两条直线与椭圆分别交于B、
C两点，若直线AB、AC与x轴围成以A为顶点的三角形为等腰三角形。
（1）求证：直线 BC的斜率为定值。（2）求使?ABC之面积为最大时BC的方程。

11.（本题20分）如图，O、I分别为?ABC的外心和内心，AD是BC边上的高，I在线段OD上，AB≠AC，求证：?ABC的外接圆半径等于BC边上的旁切圆的半径。