大学高数复习资料大全
高等数学
第一章 函数与极限
第一节 函数
○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★）
(){}
,|U a x x a δδ=-<
(){},|0U a x x a δδ=<-<
第二节 数列的极限
○数列极限的证明（★）
【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞
= 【证明示例】N -ε语言
1．由n x a ε-<化简得()εg n >， ∴()N g ε=????
2．即对0>?ε，()N g ε?=????，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞
→lim
第三节 函数的极限
○0x x →时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0
lim
【证明示例】δε-语言
1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg =
2．即对0>?ε，()εδg =?，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0
lim
○∞→x 时函数极限的证明（★）
【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞
→lim
【证明示例】X -ε语言
1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>， ∴()εg X =
2．即对0>?ε，()εg X =?，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞
→lim
第四节 无穷小与无穷大
○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim
○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）
（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ?=????
（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且()0f x ≠，则()x f
1
-为无穷大
【题型示例】计算：()()0
lim x x f x g x →????
?（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U
内是有界的；
（∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2．()0lim 0
=→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小； （()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；）
3．由定理可知()()0
lim 0x x f x g x →?=????
（()()lim 0x f x g x →∞
?=????）
第五节 极限运算法则
○极限的四则运算法则（★★） （定理一）加减法则 （定理二）乘除法则
关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算
设：()()?????+?++=+?++=--n
n n m
m m b x b x b x q a x a x a x p 1
101
10
则有()()???????∞=∞→0
lim 0
b a x q x p x m n m n m n >=<
()()()
()000lim 0
0x x f x g x f x g x →??
??=∞?????
()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠== （特别地，当()()00
lim 0
x x f x g x →=（不定型）时，通常分
子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解）
【题型示例】求值2
3
3
lim
9
x x x →--
【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()()
23
333311
lim
lim lim 93336x x x x x x x x x →→→--====-+-+ 其中3x =为函数()23
9
x f x x -=-的可去间断点
倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：
解：()()0
2
33323311
lim lim lim 926
9x L x x x x x x x '→→→'--===-'
- ○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★） （定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那么，()()00lim lim x x x x f x f x ??→→??=???????? 【题型示例】求值：9
3
lim 23
--→x x x
【求解示例】3
6
x →===
第六节 极限存在准则及两个重要极限
○夹迫准则（P53）（★★★） 第一个重要极限：1sin lim 0=→x
x
x
∵??
?
??∈?2,
0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim
0=→x x x 0
000lim11lim lim 1sin sin sin lim x x x x x x x x x x →→→→===??
???
（特别地，000
sin()
lim
1x x x x x x →-=-）
○单调有界收敛准则（P57）（★★★）
第二个重要极限：e x x
x =??
?
??+∞
→11lim
（一般地，()()
()()
lim lim lim g x g x f x f x =????????
，其中
()0lim >x f ）
【题型示例】求值：1
1232lim +∞→??
? ??++x x x x
【求解示例】
()()
21
1
1
212
1212
2121
1221
22121lim
212
21232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞
+→∞
?++++??+++→∞
+→∞++→∞+++??
??
?
?==+ ? ? ?+++??
??
??
???
???
??=+=+ ? ???
++??
?????
??
???=+
???+????
解：()()12lim 121
21212
121
22lim 121x x x x x x x x x e
e e e
+→∞???+??
+??+→∞+→∞??
?+??
+??
+??
?
+?
?
====
第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较） ○等价无穷小（★★）
1．()~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1U
U U U U U U e +- 2．U U cos 1~2
1
2
-
（乘除可替，加减不行）
【题型示例】求值：()()x
x x x x x 31ln 1ln lim 20++++→ 【求解示例】
()()()()()()()3
131lim 31lim 31ln 1lim 31ln 1ln lim
,0,000020=++=+?+=++?+=++++=≠→→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 所以原式即解：因为
第八节 函数的连续性
○函数连续的定义（★）
()()()00
0lim lim x x x x f x f x f x -
+→→==
○间断点的分类（P67）（★）
??
?∞?
???
?）无穷间断点（极限为
第二类间断点可去间断点（相等）
跳越间断点（不等）
限存在）第一类间断点（左右极（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）
【题型示例】设函数()?
??+=x a e x f x 2 ，00
≥ 择数a ，使得()x f 成为在R 上的连续函数？ 【求解示例】 1．∵()()()2010000f e e e f a a f a - -?++?===? ?=+=?? =?? 2．由连续函数定义()()()e f x f x f x x ===+-→→0lim lim 0 ∴e a = 第九节 闭区间上连续函数的性质 ○零点定理（★） 【题型示例】证明：方程()()f x g x C =+至少有一个根介于a 与b 之间 【证明示例】 1．（建立辅助函数）函数()()()x f x g x C ?=--在闭区间[],a b 上连续； 2．∵()()0a b ???<（端点异号） 3．∴由零点定理，在开区间()b a ,内至少有一点ξ，使得()0=ξ?，即()()0f g C ξξ--=（10<<ξ） 4．这等式说明方程()()f x g x C =+在开区间()b a ,内至少有一个根ξ 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 ○高等数学中导数的定义及几何意义（P83）（★★） 【题型示例】已知函数()? ??++=b ax e x f x 1 ，00 >≤x x 在0 =x 处可导，求a ，b 【求解示例】 1．∵()()0 010f e f a -+'?==??'=??，()()()00001120012f e e f b f e - -+?=+=+=??=? ? =+=?? 2．由函数可导定义()()()() ()001 0002 f f a f f f b -+-+ ''===???====?? ∴1,2a b == 【题型示例】求()x f y =在a x =处的切线与法线方程 （或：过()x f y =图像上点(),a f a ????处的切线与法线方程） 【求解示例】 1．()x f y '='，()a f y a x '='=| 2．切线方程：()()()y f a f a x a '-=- 法线方程：()() ()1 y f a x a f a -=- -' 第二节 函数的和（差）、积与商的求导法则 ○函数和（差）、积与商的求导法则（★★★） 1．线性组合（定理一）：()u v u v αβαβ'''±=+ 特别地，当1==βα时，有()u v u v '''±=± 2．函数积的求导法则（定理二）：()uv u v uv '''=+ 3．函数商的求导法则（定理三）：2 u u v uv v v ' '' -??= ??? 第三节 反函数和复合函数的求导法则 ○反函数的求导法则（★） 【题型示例】求函数()x f 1 -的导数 【求解示例】由题可得()x f 为直接函数，其在定于域D 上单调、可导，且()0≠'x f ；∴()() 1 1 f x f x -' ??= ??' ○复合函数的求导法则（★★★） 【题型示例】设( ln y e =，求y ' 【求解示例】 ( 22 arcsi y e x a e e e ' '= ' ? ? ' ?+= ??? ? = ?? = 解：? ? 第四节 高阶导数 ○() ()() ()1n n f x f x -'??=??（或()()11n n n n d y d y dx dx --'??=???? ）（★） 【题型示例】求函数()x y +=1ln 的n 阶导数 【求解示例】()1 111y x x -'= =++， ()()()12 111y x x --'??''=+=-?+?? ， ()()()()()23 11121y x x --'??'''=-?+=-?-?+?? …… ()1(1)(1)(1)n n n y n x --=-?-?+！ 第五节 隐函数及参数方程型函数的导数 ○隐函数的求导（等式两边对x 求导）（★★★） 【题型示例】试求：方程y e x y +=所给定的曲线C ： ()x y y =在点()1,1e -的切线方程与法线方程 【求解示例】由y e x y +=两边对x 求导 即()y y x e '''=+化简得1y y e y ''=+? ∴e e y -=-= '11 111 ∴切线方程：()e x e y +--= -111 1 法线方程：()()e x e y +---=-111 ○参数方程型函数的求导 【题型示例】设参数方程()() ???==t y t x γ?，求22dx y d 【求解示例】1.()()t t dx dy ?γ''= 2.()22dy d y dx dx t ?'?? ???=' 第六节 变化率问题举例及相关变化率（不作要求） 第七节 函数的微分 ○基本初等函数微分公式与微分运算法则（★★★） ()dx x f dy ?'= 第三章 中值定理与导数的应用 第一节 中值定理 ○引理（费马引理）（★） ○罗尔定理（★★★） 【题型示例】现假设函数()f x 在[]0,π上连续，在()0,π 上可导，试证明：()0,ξπ?∈， 使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立 【证明示例】 1．（建立辅助函数）令()()sin x f x x ?= 显然函数()x ?在闭区间[]0,π上连续，在开区间 ()0,π上可导； 2．又∵()()00sin00f ?== ()()sin 0f ?πππ== 即()()00??π== 3．∴由罗尔定理知 ()0,ξπ?∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'+=成立 ○拉格朗日中值定理（★） 【题型示例】证明不等式：当1x >时，x e e x >? 【证明示例】 1．（建立辅助函数）令函数()x f x e =，则对1x ?>， 显然函数()f x 在闭区间[]1,x 上连续，在开区间 ()1,x 上可导，并且()x f x e '=； 2．由拉格朗日中值定理可得，[]1,x ξ?∈使得等式 ()11x e e x e ξ-=-成立， 又∵1 e e ξ>，∴()11 1x e e x e e x e ->-=?-， 化简得x e e x >?，即证得：当1x >时，x e e x >? 【题型示例】证明不等式：当0x >时，()ln 1x x +< 【证明示例】 1．（建立辅助函数）令函数()()ln 1f x x =+，则对 0x ?>，函数()f x 在闭区间[]0,x 上连续，在开区 间()0,π上可导，并且()1 1f x x '=+； 2．由拉格朗日中值定理可得，[]0,x ξ?∈使得等式 ()()()1 ln 1ln 1001x x ξ+-+=-+成立， 化简得()1 ln 11x x ξ+=+，又∵[]0,x ξ∈， ∴()1 11f ξξ '=<+，∴()ln 11x x x +时，x e e x >? 第二节 罗比达法则 ○运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤（★★） 1．☆ 等价无穷小的替换（以简化运算） 2．判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的三个前提条件 A ．属于两大基本不定型（ 0,0∞ ∞ ）且满足条件， 则进行运算：()()() () lim lim x a x a f x f x g x g x →→'=' （再进行1、2步骤，反复直到结果得出） B ．☆ 不属于两大基本不定型（转化为基本不定型） ⑴0?∞型（转乘为除，构造分式） 【题型示例】求值：0 lim ln x x x α →? 【求解示例】 ()1000020 1 ln ln lim ln lim lim lim 111 lim 0 x x L x x x x x x x x x x x x x a ααα αααα∞∞ -'→→→→→' ?===?'??- ??? =-=解： （一般地，()0 lim ln 0x x x β α →?=，其中,R αβ∈） ⑵∞-∞型（通分构造分式，观察分母） 【题型示例】求值：01 1lim sin x x x →??- ?? ? 【求解示例】 200011sin sin lim lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x →→→--??????-== ? ? ??? ?????解： ()()()()00 0002 sin 1cos 1cos sin lim lim lim lim 022 2L x x L x x x x x x x x x x ''→→→→' '---=====' ' ⑶0 0型（对数求极限法） 【题型示例】求值：0 lim x x x → 【求解示例】 ()()0000 lim ln ln 000002ln ,ln ln ln 1ln ln 0lim ln lim lim 111 lim lim 0lim lim 11x x x x x L x y y x x x x x y x y x x x x x x x y x x x x y e e e x →∞ ∞ '→→→→→→→==== '→=='?? ??? ==-=====-解：设两边取对数得：对对数取时的极限：，从而有 ⑷1∞型（对数求极限法） 【题型示例】求值：()10 lim cos sin x x x x →+ 【求解示例】 ()() () ()() 1 000 000lim ln ln 10 ln cos sin cos sin ,ln , ln cos sin ln 0limln lim ln cos sin cos sin 10lim lim 1,cos sin 10lim =lim x x x x L x x y y x x x x y x x y x x x y x y x x x x x x x x y e e e e →→→'→→→→+=+= +→='+??--??====++'===解：令两边取对数得对求时的极限，从而可得 ⑸0 ∞型（对数求极限法） 【题型示例】求值：tan 01lim x x x →?? ??? 【求解示例】 ()()tan 00 200 020*******,ln tan ln , 1ln 0lim ln lim tan ln 1 ln ln lim lim lim 1sec 1tan tan tan sin sin lim lim li x x x x L x x x L x y y x x x y x y x x x x x x x x x x x x x →→∞ ∞ '→→→'→→?? ?? ==? ? ??? ?? ?? ??→=? ??? ????' =-=-=-??'??- ? ????? '==='解：令两边取对数得对求时的极限，0 0lim ln ln 00 2sin cos m 0, 1 lim =lim 1 x x y y x x x x y e e e →→→→?====从而可得 ○运用罗比达法则进行极限运算的基本思路（★★） 00001∞??∞-∞??→←???∞←???∞?∞?∞ (1)(2)(3) ⑴通分获得分式（通常伴有等价无穷小的替换） ⑵取倒数获得分式（将乘积形式转化为分式形式） ⑶取对数获得乘积式（通过对数运算将指数提前） 第三节 泰勒中值定理（不作要求） 第四节 函数的单调性和曲线的凹凸性 ○连续函数单调性（单调区间）（★★★） 【题型示例】试确定函数()3229123f x x x x =-+-的单调区间 【求解示例】 1．∵函数()f x 在其定义域R 上连续，且可导 ∴()2 61812f x x x '=-+ 2．令()()()6120f x x x '=--=，解得： 121,2x x == 4．∴函数f x 的单调递增区间为,1,2,-∞+∞； 单调递减区间为()1,2 【题型示例】证明：当0x >时，1x e x >+ 【证明示例】 1．（构建辅助函数）设()1x x e x ?=--，（0x >） 2．()10x x e ?'=->，（0x >） ∴()()00x ??>= 3．既证：当0x >时，1x e x >+ 【题型示例】证明：当0x >时，()ln 1x x +< 【证明示例】 1．（构建辅助函数）设()()ln 1x x x ?=+-，（0x >） 2．()1 101x x ?'= -<+，（0x >） ∴()()00x ??<= 3．既证：当0x >时，()ln 1x x +< ○连续函数凹凸性（★★★） 【题型示例】试讨论函数2 3 13y x x =+-的单调性、极值、 凹凸性及拐点 【证明示例】 1．()()2 36326661y x x x x y x x '?=-+=--??''=-+=--?? 2．令()()320 610 y x x y x '=--=???''=--=??解得：120,21x x x ==??=? x (,0)-∞ 0 (0,1) 1 (1,2) 2 (2,)+∞ y ' - + + - y '' + + - - y 1 (1,3) 5 4．⑴函数13y x x =+-单调递增区间为(0,1),(1,2) 单调递增区间为(,0)-∞,(2,)+∞； ⑵函数2 3 13y x x =+-的极小值在0x =时取到， 为()01f =， 极大值在2x =时取到，为()25f =； ⑶函数2 3 13y x x =+-在区间(,0)-∞,(0,1)上凹， 在区间(1,2),(2,)+∞上凸； ⑷函数2 3 13y x x =+-的拐点坐标为()1,3 第五节 函数的极值和最大、最小值 ○函数的极值与最值的关系（★★★） ⑴设函数()f x 的定义域为D ，如果M x ?的某个邻域()M U x D ?，使得对()M x U x ?∈，都适合不等式()()M f x f x <， 我们则称函数()f x 在点(),M M x f x ????处有极大值()M f x ； 令{}123,,,...,M M M M Mn x x x x x ∈ 则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最大值M 满足： ()(){}123max ,,,,...,,M M M Mn M f a x x x x f b =； ⑵设函数()f x 的定义域为D ，如果m x ?的某个邻域 ()m U x D ?，使得对()m x U x ?∈，都适合不等 式 ()()m f x f x >， 我们则称函数()f x 在点(),m m x f x ????处有极小值 ()m f x ； 令{}123,,,...,m m m m mn x x x x x ∈ 则函数()f x 在闭区间[],a b 上的最小值m 满足： ()(){}123min ,,,,...,,m m m mn m f a x x x x f b =； 【题型示例】求函数()33f x x x =-在[]1,3-上的最值 【求解示例】 1．∵函数()f x 在其定义域[]1,3-上连续，且可导 ∴()233f x x '=-+ 2．令()()()3110f x x x '=--+=， 解得：121,1x x =-= ．（三行表） x 1- ()1,1- 1 (]1,3 ()f x ' 0 + - ()f x 极小值 极大值 4．又∵12,12,318f f f -=-==- ∴()()()()max min 12,318f x f f x f ====- 第六节 函数图形的描绘（不作要求） 第七节 曲率（不作要求） 第八节 方程的近似解（不作要求） 第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质 ○原函数与不定积分的概念（★★） ⑴原函数的概念： 假设在定义区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()F x '，即当自变量x I ∈时，有()()F x f x '=或 ()()dF x f x dx =?成立，则称()F x 为()f x 的一 个原函数 ⑵原函数存在定理：（★★） 如果函数()f x 在定义区间I 上连续，则在I 上必存在可导函数()F x 使得()()F x f x '=，也就是说：连续函数一定存在原函数（可导必连续） ⑶不定积分的概念（★★） 在定义区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项 C 的原函数称为()f x 在定义区间I 上的不定积分， 即表示为：()()f x dx F x C =+? （ ? 称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称 为积分表达式，x 则称为积分变量） ○基本积分表（★★★） ○不定积分的线性性质（分项积分公式）（★★★） ()()()()1 2 1 2 k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+? ?????? 第二节 换元积分法 ○第一类换元法（凑微分）（★★★） （()dx x f dy ?'=的逆向应用） ()()()()f x x dx f x d x ????'?=?? ????????????? 【题型示例】求221 dx a x +? 【求解示例】 2 2 221 111 1 arctan 11x x dx dx d C a x a a a a x x a a ??== =+ ?+??????++ ? ??? ?? ?? ? 解： 【题型示例】求 【求解示例】 ( )( )121212x x C =+=+= ○第二类换元法（去根式）（★★） （()dx x f dy ?'=的正向应用） ⑴对于一次根式（0,a b R ≠∈）： t =，于是2t b x a -=， 则原式可化为t ⑵对于根号下平方和的形式（0a >）： tan x a t =（2 2 t π π - << ）， 于是arctan x t a =，则原式可化为sec a t ； ⑶对于根号下平方差的形式（0a >）： a sin x a t =（2 2 t π π - << ）， 于是arcsin x t a =，则原式可化为cos a t ； b sec x a t =（02 t π << ）， 于是arccos a t x =，则原式可化为tan a t ； 【题型示例】求（一次根式） 【求解示例】 2221t x t dx tdt tdt dt t C C t =-=?==+=?? 【题型示例】求（三角换元） 【求解示例】 ()()2 sin () 2 2 22arcsin cos 22cos 1cos 22 1sin 2sin cos 222x a t t x t a dx a t a a tdt t dt a a t t C t t t C π π =-<<==??????→=+?? =++=++ ????? 第三节 分部积分法 ○分部积分法（★★） ⑴设函数()u f x =，()v g x =具有连续导数，则其 分部积分公式可表示为：udv uv vdu =-?? ⑵分部积分法函数排序次序：“反、对、幂、三、指” ○运用分部积分法计算不定积分的基本步骤： ⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序； ⑵就近凑微分：（v dx dv '?=） ⑶使用分部积分公式：udv uv vdu =-?? ⑷展开尾项vdu v u dx '=??? ，判断 a ．若v u dx '?? 是容易求解的不定积分，则直接计 算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法 与有理函数积分可以轻易求解出结果）； b ．若v u dx '?? 依旧是相当复杂，无法通过a 中方 法求解的不定积分，则重复⑵、⑶，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环，则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C 【题型示例】求2x e x dx ?? 【求解示例】 () ()22222 2222222222x x x x x x x x x x x x x x x e x dx x e dx x de x e e d x x e x e dx x e x d e x e xe e dx x e xe e C ?===-=-?=-?=-+=-++???????解： 【题型示例】求sin x e xdx ?? 【求解示例】 ()() ()() sin cos cos cos cos cos cos sin cos sin sin cos sin sin x x x x x x x x x x x x x x e xdx e d x e x xd e e x e xdx e x e d x e x e x xd e e x e x e xdx ?=-=-+=-+=-+=-+-=-+-???????解： ()sin cos sin sin x x x x e xdx e x e x xd e ?=-+-??即： ∴()1sin sin cos 2 x x e xdx e x x C ?= -+? 第四节 有理函数的不定积分 ○有理函数（★） 设：()()()()1011 01m m m n n n P x p x a x a x a Q x q x b x b x b --=++?+==++?+ 对于有理函数 () () P x Q x ，当()P x 的次数小于()Q x 的次数时，有理函数 () () P x Q x 是真分式；当()P x 的次数 大于()Q x 的次数时，有理函数() () P x Q x 是假分式 ○有理函数（真分式）不定积分的求解思路（★） ⑴将有理函数() () P x Q x 的分母()Q x 分拆成两个没有 公因式的多项式的乘积：其中一个多项式可以表示为一次因式()k x a -；而另一个多项式可以表示为 二次质因式() 2 l x px q ++，（2 40p q -<）； 即：()()()12Q x Q x Q x =? 一般地：n mx n m x m ? ?+=+ ?? ?，则参数n a m =- 2 2b c ax bx c a x x a a ??++=++ ?? ? 则参数,b c p q a a == ⑵则设有理函数 () () P x Q x 的分拆和式为： ()()()()()()122k l P x P x P x Q x x a x px q =+-++ 其中 () ()()() 112 2...k k k P x A A A x a x a x a x a = +++---- () () ()() 21122 2 22 22...l l l l P x M x N M x N x px q x px q x px q M x N x px q ++=+ +++++++++ ++ 参数12 1212,,...,,,,...,l k l M M M A A A N N N ?????????由待定系数法（比较法）求出 ⑶得到分拆式后分项积分即可求解 【题型示例】求2 1 x dx x +?（构造法） 【求解示例】 ()()()2 21111111111 ln 112 x x x x dx dx x dx x x x xdx dx dx x x x C x +-++??==-+ ?+++? ?=-+=-++++?????? 第五节 积分表的使用（不作要求） 第五章 定积分极其应用 第一节 定积分的概念与性质 ○定积分的定义（★） ()()0 1 lim n b i i a i f x dx f x I λ ξ→==?=∑? （()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 则称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限， [],a b 称为积分区间） ○定积分的性质（★★★） ⑴ ()()b b a a f x dx f u du =?? ⑵()0a a f x dx =? ⑶()()b b a a kf x dx k f x dx =?????? ⑷（线性性质） ()()()()1212b b b a a a k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+? ?????? ⑸（积分区间的可加性） ()()()b c b a a c f x dx f x dx f x dx =+? ?? ⑹若函数()f x 在积分区间[],a b 上满足()0f x >，则 ()0b a f x dx >?； （推论一） 若函数()f x 、函数()g x 在积分区间[],a b 上满足()()f x g x ≤，则()()b b a a f x dx g x dx ≤??； （推论二） ()()b b a a f x dx f x dx ≤?? ○积分中值定理（不作要求） 第二节 微积分基本公式 ○牛顿-莱布尼兹公式（★★★） （定理三）若果函数()F x 是连续函数()f x 在区间 [],a b 上的一个原函数，则 ()()()b a f x dx F b F a =-? ○变限积分的导数公式（★★★）（上上导―下下导） ()()() ()()()()x x d f t dt f x x f x x dx ?ψ??ψψ''=-????????? 【题型示例】求2 1 cos 2 lim t x x e dt x -→? 【求解示例】 () 2 2 11 cos cos 2002lim lim 解：t t x x x L x d e dt e dt dx x x --'→→='?? () () ()()22 22221 cos cos 000cos 0 cos cos 0 cos 010sin sin lim lim 22sin lim 2cos sin 2sin cos lim 2 1 lim sin cos 2sin cos 21122x x x x x L x x x x x x e e x x e x x d x e dx x x e x e x x e x x x x e e ---→→-'→--→-→-?-?-?==?=' ?+??=?? =+?? ?=?= 第三节 定积分的换元法及分部积分法 ○定积分的换元法（★★★） ⑴（第一换元法） ()()()()b b a a f x x dx f x d x ????'?=?? ????????????? 【题型示例】求201 21 dx x +? 【求解示例】 ()[]2 220001111 21ln 212122121ln 5ln 5ln122 解：dx d x x x x =+=?+?? ?++=-=? ? ⑵（第二换元法） 设函数()[],f x C a b ∈，函数()x t ?=满足： a ．,αβ?，使得()(),a b ?α?β==； b ．在区间[],αβ或[],βα上，()(),f t t ??'????连续 则：()()()b a f x dx f t t dt β α ??'=????? ? 高数公式大全 1.基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+=-+±=++=+-==+= -=----11ln 21)1ln(1ln(:2 :2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x 高数常用公式 平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= ' 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x ++=+-==+= -= ----1ln(:2 :2:22） 双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： ·和差角公式：·和差化积公式： 2 sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin β αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ αβα-+=--+=+-+=--+=+α ββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?= ±?±= ±=±±=±1 )(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( ·倍角公式： ·半角公式： ·正弦定理：·余弦定理： ·反三角函数性质： 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：中值定理与导数应用： 曲率： 定积分的近似计算： 定积分应用相关公式： 空间解析几何和向量代数： 多元函数微分法及应用 微分法在几何上的应用： 方向导数与梯度： 多元函数的极值及其求法： 重积分及其应用： 柱面坐标和球面坐标： 曲线积分： 曲面积分： 高斯公式： 斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：常数项级数： 级数审敛法： 绝对收敛与条件收敛： 幂级数： 函数展开成幂级数： 一些函数展开成幂级数： 欧拉公式： 三角级数： 傅立叶级数： 周期为的周期函数的傅立叶级数： 微分方程的相关概念： 阳光怡茗工作室https://www.wendangku.net/doc/db9100080.html, 一阶线性微分方程： 全微分方程： 二阶微分方程： 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 大学高等数学公式 考前必备 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα 倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三倍角公式 sin(3α)=3sinα-4sin^3(α) cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα 半角公式： sin(α/2)=±√((1-cosα)/2) cos(α/2)=±√((1+cosα)/2) tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 高等数学公式 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα 倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 三角函数 1. 与（0°≤ ＜ 360°）终边相同的角的集合（角与角的终边重合）： 终边在 x 轴上的角的集合： 终边在 y 轴上的角的集合： 终边在坐标轴上的角的集合： 终边在 y = x 轴上的角的集合： 终边在轴上的角的集合： 若角与角的终边关于 x 轴对称，则角与角的关系： 若角与角的终边关于 y 轴对称，则角与角的关系： 若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系： 角与角的终边互相垂直，则角与角的关系： 2. 角度与弧度的互换关系： 360°=2 180°= 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零 . 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝°≈ 57.30 ° =57 ° 18 ˊ． 1 °＝≈ 0.01745 （ rad ） 3 、弧长公式：. 扇形面积公式： 4 、三角函数： 设 是一个任意角，在 的终边上任取（异 于原点的）一点 P （ x,y ） P 与原点的距离为 r ，则 ； ； ； ； ； . . 5 、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 6 、三角函数线 正弦线： MP; 余弦线： OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： 三角函数 定义域 sin x cos x tan x cot x sec x csc x r o x y a 的终边 P （x,y )正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 8 、同角三角函数的基本关系式： 9 、诱导公式： “奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：（一）基本关系 公式组二 公式组三 公式组四 (3) 若 o 大学数学公式 常用导数公式： 常用积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 常 用 积 分 公 式 （一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +?＝1ln ax b C a ++ 2．()d ax b x μ+?＝ 11()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠-） 3．d x x ax b +?＝21(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +?＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ??+-++++???? 5．d ()x x ax b +?＝1ln ax b C b x +-+ 6．2d () x x ax b +?＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +?＝21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8．22d ()x x ax b +?＝2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2d () x x ax b +?＝211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10 ．x C 11 ．x ? ＝22(3215ax b C a -+ 12 ．x x ? ＝ 22232(15128105a x abx b C a -++ 13 ．x ＝22(23ax b C a -+ 14 ．2x ＝22232(34815a x abx b C a -++ 15 ． ＝(0)(0)C b C b ?+>+< 16 ． 2a b 17 ．x ＝b +18 ．x ＝2a x -+ （三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +?=1arctan x C a a + 20．22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21．22d x x a -?=1ln 2x a C a x a -++ （四）含有2(0)ax b a +>的积分 22．2d x ax b +? ＝(0)(0)x C b C b ?+>???+< 23．2d x x ax b +?＝21ln 2ax b C a ++ 24．22d x x ax b +?＝2d x b x a a ax b -+? 25．2d ()x x ax b +?＝2 21ln 2x C b ax b ++ 26．22d ()x x ax b +?＝21d a x bx b ax b --+? 27．32d ()x x ax b +?＝2222 1ln 22ax b a C b x bx +-+ 小学到大学所有数学公式.txt真正的好朋友并不是在一起有说不完的话题，而是在一起就算不说话也不会觉得尴尬。你在看别人的同时，你也是别人眼中的风景。要走好明天的路，必须记住昨天走过的路，思索今天正在走着的路。1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2、 1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数 小学数学图形计算公式 1 、正方形 C周长 S面积 a边长周长＝边长×4 C=4a 面积=边长×边长 S=a×a 2 、正方体 V:体积 a:棱长表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3 、长方形 C周长 S面积 a边长 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4 、长方体 V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh 5 三角形 s面积 a底 h高 面积=底×高÷2 s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底 三角形底=面积×2÷高 6 平行四边形 s面积 a底 h高 面积=底×高 s=ah 7 梯形 s面积 a上底 b下底 h高 面积=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2 8 圆形 高数常用公式 平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++ ++≥ 倒数关系：sinx ·csc x=1 tanx ·cot x=1 cosx ·sec x=1 商的关系：tanx=sinx/cosx cotx=cosx/sinx 平方关系：sin^2(x)+cos^2(x)=1 tan^2(x)+1=sec^2(x) cot^2(x)+1=csc^2(x) 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-si n^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 降幂公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 两角和差： sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ 精心整理 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 一些初等函数：两个重要极限： 三角函数公式： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='=' 22 1 11 )(arccos 11 )(arcsin x x x x -- ='-= '? ?+±+=±+=C a x x a x dx C shx chxdx )ln(222 2C a x arctg a x a dx ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=++-=++=+=+-=?????1csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(221 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 ππ βαβααβαctg tg ±±±±((cos(sin( ·半角公式： ·正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===·余弦定理： C ab b a c cos 2222-+= ·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -= -= 2 arccos 2 arcsin π π 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： 中值定理与导数应用： 曲率： 定积分的近似计算： 定积分应用相关公式： 30 21),,(z y x F M z y x =?? ? ??=曲面在点空间曲线方向 曲线积分： 曲面积分： 高斯公式： 12. （一）含有ax b 的积分（a 1 . dx 1 ax b a =-In ax b 2. 3. 4. 5. 6. 7. 9. 10. 11. 13. 常用积分公式 0) 1 (ax b) dx = a( 1) x 1 dx = -^(ax b ax b a 丄dx =丄 ax b a 3 (ax bln b)2 b) ax b) C 2b(ax b) b 2ln ax b dx x( ax b) dx x 2(ax b) x 2dx (ax b) 2 (^dx 1ln b 1 bx ax ax b 1 = -r(ln a ax b ax b ) 2bln ax b b 2 ax b ) C dx 2 x(ax b) b(ax b) 含有.ax b 的积分 1 2 In b 2 ax b Tax~ dx = — T(ax~b)3 3a x 、、ax bdx = -^(3ax 2b 15a x 2 . ax bdx = ^^(15a 2x 2 12abx 8b 2) ., (ax b)3 C 105a ).(ax b)3 C x 2 - d x = -- 2 (ax 2b)、ax b C ，ax b 3a 2 2 15a 3 dx x ￥ ax b dx x 21 ax b ax b. dx = (3a 2x 2 4abx 8b 2)、、ax b ■, ax b 、. ； b .ax b .b A C (b (b 0) 0) bx 2b x 丫 ax b 2 ax b dx x, ax b ax b , 2 dx = x a dx 2 x 、ax b 14. 15. 16. 17. 18. (三) 19. 20. 21 . (四) 22. 23. 高数公式大全 1.基本积分表： 三角函数的有理式积分： 一些初等函数：两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππ ·和差角公式：·和差化积公式： 2 sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos 2sin 2sin sin β αβαβαβ αβαβαβ αβαβαβ αβ αβα-+=--+=+-+=--+=+α ββαβαβαβ αβαβ αβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?= ±?±= ±=±±=±1 )(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμ 高等数学公式导数公式: (tgx)’ =sec x (ctgx)' = -CSC x (secx) '=secx tgx (cscx) ‘ = -cscx ctgx (a v vi vii viii ix x r = a x l na (log a xr — xl na (arcsin x)，= . 1 2 J1-X2 1 (arccos x)'= —一’ V1—x2 1 (arctgx)'= __2 1 +x (arcctgx)，= -— 1 + x 基本积分表: Jtanxdx = -In cos^C Jcotxdx=ln sinx +C Jsecxdx= In secx+tgx +C Jcscxdx = In |cscx -ctg* +C dx J _2 a +x 「dx J 巴 =fsec xdx =tgx +C ' cos x 、 dx 2 J ——=fcsc xdx = -ctgx + C 'sin X ‘ fsecx tgxdx = secx + C J cscx ctgxdx =-cscx+C x fa x d^-^ +C In a f shxdx = chx + C 2 2 x -a dx —2 2 a -x dx I n 2 =Jsin n xdx = Jcos n xdx = jJ x2 +a2dx f J x2 -a2dx jV a2-x2dx 1 x =— arctg — a 丄In 2a 丄In 2a a g +( X +a 匕 +C a -x x = arcsi n- +C a Jchxdx = shx + C 三角函数的有理式积分: □1 I nd n __________ 2 , _________ =—V x^a^ — In(x + V x2+ a2) +C 2 2 __________ 2 L X I 2 2 a.『 =—v x -a ........... 2 2 ________ 2 2 -x2+ "^arcsin- + C 2 -一In X + V x2 -a2+C 2u sin X = ---------- 7c os x=Wy, dx 2du = 2 1 +u 高 等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππ 大学高数公式大全 对的性对及推对数 用^表示乘方～用log(a)(b)表示以a对底～b的对数 *表示乘～号/表示除号 定对式, 若a^n=b(a>0且a?1) 对n=log(a)(b) 基本性对, 1.a^(log(a)(b))=b 2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); 4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 推对 1.对就不用推了～直接由定对式可得个吧(把定对式中的[n=log(a)(b)]对入 a^n=b) 2. MN=M*N 由基本性对1(对掉M和N) a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)] * a^[log(a)(N)] 由指的性对数 a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]} 又因对指函是对对函～所以数数数 log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N) 3.与2对似对理 MN=M/N 由基本性对1(对掉M和N) a^[log(a)(M/N)] = a^[log(a)(M)] / a^[log(a)(N)] 由指的性对数 a^[log(a)(M/N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} 又因对指函是对对函～所以数数数 log(a)(M/N) = log(a)(M) - log(a)(N) 4.与2对似对理 M^n=M^n 由基本性对1(对掉M) a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n 由指的性对数 a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n} 又因对指函是对对函～所以数数数log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 其他性对, 性对一,对底公式 log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a) 推对如下 N = a^[log(a)(N)] a = b^[log(b)(a)] 对合式可得两 N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]} 又因对N=b^[log(b)(N)] 所以 b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]} 所以 log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {对步不明白或有疑对看上面的} 所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a) 性对二,;不知道什对名字, log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)] 推对如下 同济高等数学公式大全文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08] 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(221 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 ππa x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= ' 高数公式大全 1、基本积分表: 三角函数得有理式积分: 一些初等函数: 两个重要极限: 三角函数公式: ·诱导公式: ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x -+=-+±=++=+-==+= -= ----11ln 21)1ln(1ln(:2 :2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦高数公式大全(全)
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