第5－8课时课题：数列问题的题型与方法 一．复习目标：
能灵活地运用等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n 项和公式解题； 2．能熟练地求一些特殊数列的通项和前n 项的和；
3．使学生系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；
4．通过解决探索性问题，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．
5．在解综合题的实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力．
6．培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．
二．考试要求：
1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。
2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解答简单的问题。
3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能运用公式解决简单的问题。
4．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决。 三．教学过程： （Ⅰ）基础知识详析
1．可以列表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质. 2．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)
n n n n a a a a ---为同一常数。
(2)通项公式法： ①若=
+（n-1）d=
+（n-k ）d ，则{}n a 为等差数列；
②若
，则
{}n a 为等比数列。
(3)中项公式法：验证都成立。
3.在等差数列
{}n a 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当
10
a >,d<0时，满足的项数m 使得
m
S 取最大值.
(2)当
10
a <,d>0时，满足的项数m 使得
m
S 取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
4.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。 5．注意事项： ⑴证明数列
{}n a 是等差或等比数列常用定义，即通过证明1
1-+-=-n n n
n a a a a 或
1
1-+=n n n n a a
a a 而得。
⑵在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。
⑶对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。 ⑷注意一些特殊数列的求和方法。 ⑸注意
n
s 与
n
a 之间关系的转化。如：
n a =,,
11--n n s s s 21
≥=n n ，n a =∑=--+n
k k k a a a 211)
(．
⑹数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．
⑺解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．
⑻通过解题后的反思，找准自己的问题，总结成功的经验，吸取失败的教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力． （Ⅱ）范例分析
例1．已知数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，其前n 项和为S n ．
(2)过点Q 1(1，a 1)，Q 2(2，a 2)作直线12，设l 1与l 2的夹角为θ，
证明：(1)因为等差数列{a n }的公差d ≠0，所以
Kp1p k是常数(k=2，3，…，n)．
(2)直线l2的方程为y-a1=d(x-1)，直线l2的斜率为d．
例2．已知数列{}
n
a
中，n
S
是其前n项和，并且11
42(1,2,),1
n n
S a n a
+
=+==
，
⑴设数列
)
,2,1
(
2
1
=
-
=
+
n
a
a
b
n
n
n，求证：数列
{}
n
b
是等比数列；
⑵设数列
)
,2,1
(,
2
=
=n
a
c
n
n
n
，求证：数列
{}
n
c
是等差数列；
⑶求数列{}
n
a
的通项公式及前n项和。
分析：由于{b n}和{c n}中的项都和{a n}中的项有关，{a n}中又有S1n+=4a n+2，可由S2
n+-S1n+作切入点探索解题的途径．
解：(1)由S1
n+=4a
2
n
+
，S2
n+=4a1n++2，两式相减，得S2
n+-S1n+=4(a1n+-a n)，即
a2
n+=4a1n+-4a n．(根据b n的构造，如何把该式表示成b1n+与b n的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)
a2
n+-2a1n+=2(a1n+-2a n)，又b n=a1n+-2a n，所以b1n+=2b n①
已知S2=4a1+2，a1=1，a1+a2=4a1+2，解得a2=5，b1=a2-2a1=3 ②
由①和②得，数列{b n}是首项为3，公比为2的等比数列，故b n=3·21n-．
当n≥2时，S n=4a1n-+2=21n-(3n-4)+2；当n=1时，S1=a1=1也适合上式．
综上可知，所求的求和公式为S n=21n-(3n-4)+2．
说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列
通项与前n项和。解决本题的关键在于由条件
2
4
1
+
=
+n
n
a
S
得出递推公式。
2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用．
例3．已知数列{a n}是首项a1＞0，q＞-1且q≠0的等比数列，设数列{b n}的通项b n=a1n+-ka2
n+(n∈N)，数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n，T n．如果T n＞kS n对一切自然数n都成立，求实数k的取值范围．
分析：由探寻T n和S n的关系入手谋求解题思路。
解：因为{a n}是首项a1＞0，公比q＞-1且q≠0的等比数列，故
a1n+=a n·q，a2
n+=a n·q2．
所以b n=a1n+-ka2
n+=a n(q-k·q2)．
T n=b1+b2+…+b n=(a1+a2+…+a n)(q-k·q2)=S n(q-kq2)．
依题意，由T n＞kS n，得S n(q-kq2)＞kS n，①对一切自然数n都成立．
当q＞0时，由a1＞0，知a n＞0，所以S n＞0；
当-1＜q＜0时，因为a1＞0，1-q＞0，1-q n＞0，所以S n=
综合上面两种情况，当q＞-1且q≠0时，S n＞0总成立．
由①式可得q-kq2＞k ②，
例4．( 全国理)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展
旅游产业.根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少1
5.本年度当地旅游
业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会
比上年增加1
4。(Ⅰ)设n 年内(本年度为第一年)总投入为an 万元，旅游业总收入为bn 万元.
写出an ，bn 的表达式(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入? 解析：第1年投入800万元，第2年投入800×（1-）万元……， 第n 年投入800×（1－）n －1万元
所以总投入an ＝800＋800（1－）＋……＋800×（1－）n －1＝4000［1－（）n ］
同理：第1年收入400万元，第2年收入400×（1＋）万元，……，
第n 年收入400×（1＋）n －1万元 bn ＝400＋400×（1＋
）＋……＋400×（1＋
）n －1＝1600×［（
）n －1］
(2)∴bn －an ＞0，1600［（）n －1］－4000×［1－（）n ］＞0
化简得，5×（
）n ＋2×（
）n －7＞0
设x ＝（）n ，5x2－7x ＋2＞0∴x ＜，x ＞1（舍)即（）n ＜，n≥5.
说明：本题主要考查建立函数关系式，数列求和，不等式等基础知识，考查综合运用数学知识解决实际问题的能力。解数学问题应用题重点在过好三关：（1）事理关：阅读理解，知道命题所表达的内容；（2）文理关：将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言，用数学关系式表述事件；（3）数理关：由题意建立相关的数学模型，将实际问题数学化，并解答这一数学模型，得出符合实际意义的解答。
例5．设实数0≠a ，数列{}n a 是首项为a ，公比为a -的等比数列，记
),(||1*N n a g a b n n n ∈=n
n b b b S +++= 21，
求证：当1-≠a 时，对任意自然数n 都有n S
=2
)
1(lg a a
a +[]
n n a na n )1()
1(11
++-++
解：
n
n n n n a a a q a a 1111)1()(----=-==。
|
|lg
)1(|)1(|lg )1(||lg
111a na a a a
a b n n n n n n n n n ----=--==∴
|
|lg )1(||lg )1()1(||lg 3||lg 2||lg 11232a na a a n a a a a a a S n n n n n ----+--+++-=∴
||lg ])1()1()1(32[11232a na a n a a a n n n n ----+--+++-=
记n
n n n na a n a a a S 11232)1()1()1(32----+--+++-= ①
1121332)1()1()1()2()1(2+-----+--+--++-=n n n n n n na a n a n a a as ②
①+②得1
121232)1()1()1()1(+-----+-+-+++-=+n n n n n n na a a a a a s a ③
11
11
(1)1,(1)(1)1(1)n n n n a a a a S n a a -+-++-≠-∴+=+-?--
])1()1(1[)1(||lg )1(])1)(1(1[)1()1()1()1()1()1()1(12
2
12
112
1
111n
n n n n n n n n n n a na n a a a S a a na n a a a na n a S a a n a a a S ++-++=∴+-+++=+-?+++=∴+??-?++-+=
∴+++-+-+-
说明：本例主要复习利用错位相减解决差比数列的求和问题。关键是先研究通项，确定
}
{,n n n n a b a C ?=是等差数列，
}
{n b 等比数列。
解法一：设等差数列{a n }的首项a 1=a ，公差为d ，则其通项为
根据等比数列的定义知S 5≠0，由此可得
一步加工，有下面的解法) 解法二：
依题意，得
例7．设二次方程n
a x 2
-
n
a +1x+1=0(n ∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．
(1)试用
n
a 表示a 1n ；
例8．在直角坐标平面上有一点列
),(,),(),,(222111n n n y x P y x P y x P ，对一切正整数n ，
点
n
P 位于函数
4133+
=x y 的图象上，且n P 的横坐标构成以25
-
为首项，1-为公差的等差
数列
{}n x 。
⑴求点
n
P 的坐标；
⑵设抛物线列
,,,,,321n c c c c 中的每一条的对称轴都垂直于x 轴，第n 条抛物线
n
c 的顶
点为
n
P ，且过点)
1,0(2+n D n ，记与抛物线
n
c 相切于
n
D 的直线的斜率为
n
k ，求：
n n k k k k k k 13221111-+++ 。
⑶设
{}{}
1,4|,1,,2|≥==≥∈==n y y y T n N n x x x S n n ，等差数列
{}n a 的任一项
T S a n ?∈，其中1a 是T S ?中的最大数，
125
26510-<<-a ，求
{}n a 的通项公式。
解：（1）
23)1()1(25-
-=-?-+-=n n x n 1353533,(,3)4424n n n y x n P n n ∴=?+
=--∴----
（2）
n
c 的对称轴垂直于x 轴，且顶点为n P .∴设n c
的方程为：
,45
12)232(2+-++
=n n x a y
把
)
1,0(2+n D n 代入上式，得1=a ，n c ∴的方程为：
1)32(2
2++++=n x n x y 。 3
2|0'+===n y k x n ，
)
321
121(21)32)(12(111+-+=++=
∴
-n n n n k k n
n
n n k k k k k k 13221111-+++∴
)]321121()9171()7151[(21+-+++-+-=n n
=641101)3
2151(21+-
=+-n n （3）}1,),32(|{≥∈+-==n N n n x x S ，
}1,),512(|{≥∈+-==n N n n y y T }1,,3)16(2|{≥∈-+-==n N n n y y
,S
T T ∴=T 中最大数171-=a .
设
}{n a 公差为d ，则
)
125,265(91710--∈+-=d a ，由此得
).(247,24),(12,129
248
**N n n a d N m m d T a d n n ∈-=∴-=∴∈-=∴∈-<<-
又 说明：本例为数列与解析几何的综合题，难度较大（1）、（2）两问运用几何知识算出n
k ，
解决（3）的关键在于算出S T 及求数列{}n a 的公差。
例9．数列{}n a 中，2,84
1==a a 且满足n n n a a a -=++122*N n ∈
⑴求数列{}n a 的通项公式；
⑵设
||||||21n n a a a S +++= ，求
n
S ；
⑶设n b =)12(1
n a n -)(),(*21*N n b b b T N n n n ∈+++=∈ ，是否存在最大的整数m ，
使得对任意*N n ∈，均有>n T 32
m
成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由。
解：（1）由题意，
n
n n n a a a a -=-+++112，
}
{n a ∴为等差数列，设公差为d ，
由题意得2382-=?+=d d ，n n a n 210)1(28-=--=∴.
（2）若50210≤≥-n n 则，
|
|||||,521n n a a a S n +++=≤ 时
21281029,2n n
a a a n n n +-=+++=
?=-
6n ≥时，n n a a a a a a S ---+++= 76521
40
92)(2555+-=-=--=n n S S S S S n n
故=n S 40992
2
+--n n n n 65
≥≤n n
（3）
)
11
1(21)1(21)12(1+-=+=-=
n n n n a n b n n
∴n T )]111()111()4131()3121()211[(21+-+--++-+-+-=n n n n .)1(2+=n n
若
32m T n >
对任意*N n ∈成立，即161m
n n >
+对任意*N n ∈成立，
)(1*N n n n ∈+
的最小值是21，,2116<∴m m ∴的最大整数值是7。
即存在最大整数,7=m 使对任意*N n ∈，均有
.32m
T n >
说明：本例复习数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的综合问题。
例10．如图，在y 轴的正半轴上依次有点
,,,,21n A A A 其中点
)10,0(),1,0(21A A ，且||3||11+-=n n n n A A A A ),4,3,2( =n ，在射线
)0(≥=x x y 上依次有点 ,,,,21n B B B 点1B 的坐标为（3，3），且
22||||1+=-n n OB OB ),4,3,2( =n
⑴用含n 的式子表示||1+n n A A ；
⑵用含n 的式子表示n
n B A ,的坐标；
⑶求四边形
n
n n n B B A A 11++面积的最大值。
解
：
（
1
）
9
110||,3
1
||||2111=-==-+A A A A A A n n n n 且
，
3
11211)31
()31(9)31(||||---+===∴n n n n n A A A A
（2）由（1）得4
413221)
31(21227)31(139||||||----=++++=+++n n n n A A A A A A n
A 点∴的坐标
)
)31(21227,
0(4
--n ，
23||22||||11==--OB OB OB n n 且 |}
{|n OB 是以23为首项，22为公差的等差数列
)
12,12(2)12(22)1(23||++∴+=-+=∴n n B n n OB n n 的坐标为
（3）连接
1
+n n B A ，设四边形
11++n n n B A A n
B 的面积为
n
S ，则
22
]
)31(227229[2221)32(])31[(2113111--??-??++?=+=+++n n A B B B A A n n S S S n n n n n n
,392291-+=
n n ,03
6311<-=-∴-+n n n n
S S ,1n n S S <+即}
{n S ∴单调递减. n
S ∴的最大值为
247
92291=+=
S .
说明：本例为数列与几何的综合题。由题意知|}
{|1+n n A A 为等比，
|}
{|n OB 为等差，（3）
利用函数单调性求最值。
例11．设正数数列{a n }为一等比数列，且a 2=4，a 4=16．
说明：这是2000年全国高考上海试题，涉及对数、数列、极限的综合题，主要考查等比数列的定义及通项公式，等差数列前n 项和公式，对数计算，求数列极限等基础知识，以及综合运用数学知识的能力．
例12．已知抛物线
24x y =，过原点作斜率1的直线交抛物线于第一象限内一点1P ，又过点1P 作斜率为12的直线交抛物线于点2P ，再过2P 作斜率为1
4的直线交抛物线于点3P
，，如此继续，一般地，过点n P
作斜率为1
2n 的直线交抛物线于点1n P +，设点(,)n n n P x y ．
（Ⅰ）令
2121
n n n b x x +-=-，求证：数列
{}
n b 是等比数列．
（Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n S
，试比较314n S +与1310n +的大小．
解：（1）因为
(,)
n n n P x y 、
111(,)
n n n P x y +++在抛物线上，故24,n
n x y =①2
114n n x y ++=②，
又因为直线
1
n n P P +的斜率为12n ，即1112
n n n n y y x x ++-=
-，①②代入可得
22112
1111
422n n n n n n n n x x x x x x ++-+-=?+=-2121212221()()n n n n n n n b x x x x x x +-+-∴=-=+-+
22
23
22111222n n n ---=-=-
，故
11
{}4
n n n b b b +=?是以1
4为公比的等比数列；
（2）
4131
(1)1
34
44
n n
n n
S S
=--?+=
，故只要比较4n与310
n
+的大小．
方法（一）
1222
(1)
4(13)133133139310(3)
2
n n
n n
n n
C C n n n n
-
=+=+?+?+>++>++
=+≥
，当1
n=时，
31
1
4310
n
S
n
+>
+；当2
n=时
31
1
4310
n
S
n
+=
+；
当
*
3,
n n N
≥∈时，
31
1
4310
n
S
n
+<
+．
方法（二）用数学归纳法证明，其中假设
(3,)
n k k k N
=≥∈时有4310
k k
>+,
则当1
n k
=+时,1
4444(310)[3(1)10]9273(1)10
k k k k k k
+=?>+=++++>++
.
a n)，…
是公差为-1的等差数列，又2a2-a1，2a3-a2，…，2a1n+-a n，…
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)计算(a1+a2+…+a n)．
分析：由于题设中的等差数列和等比数列均由数列{an}的相关项构成，分别求出它们的通项公式构造关于a n的方程组．
解：(1)设b n=log2(3a1n+-a n)，因为{bn}是等差数列，d=-1．b1=log2
3a1n+-a n＝2n-①
设c n=2a1n+-a n，{c n}是等比数列，公比为q，|q|＜1，
c1=2a2-a1=
例14．等比数列{a n}中，已知a1≠0，公比q＞0，前n项和为S n，自然数b，c，d，e满
足b＜c≤d＜e，且b+e=c+d．求证：S b·S e＜S c·S d．
分析：凡是有关等比数列前n项Sn的问题，首先考虑q=1的情况，证明条件不等式时，正确适时地应用所给的条件是成败的关键．
(证明不等式首选方法是差比较法，即作差—变形—判定符号，变形要有利于判定符号．) be-cd=(c+d-e)e-cd=ce+de-e2-cd=(c-e)(e-d)．
因为c＜e，d＜e，所以c-e＜0，e-d＞0，于是(c-e)(e-d)＜0．又
同理
(要比较S b·S e与S c·S d的大小，只要比较(1-qb)(1-qe)与(1-qc)(1-qd)的大小，仍然运用差比较法．)
(1-qb)(1-qe)-(1-qc)(1-qd)=qc+qd-qb-qe=(qc-qb)-(qe-qd)．
(能否将qc-qb用qe-qd表示是上式化成积的关键，利用给定的c+d=b+e，寻求变形的途径，c=b+e-d，d、e出现了，于是qc-qb=qb+e-d-qb=qb(qe-d-1)=qbq-d(qe-qd)．恒等变形只有目标明确，变形才能有方向．)
上式=qbq-d(qe-qd)-(qe-qd)=(qe-qd)(qbq-d-1)=q-d(qe-qd)(qb-qd)．因为q＞0．所以q-d＞0．(运用函数的思想将问题转化为根据指数函数的单调性判别乘积的符号)事实上，由b＜d＜e，q＞0，
①当0＜q＜1时，y=qx是减函数，qe＜qd，qb＞qd，即qe-qd＜0，qb-qd＞0；
②当q＞1时，y=qx是增函数，qe＞qd，qb＜qd，即qe-qd＞0，qb-qd＜0．
所以无论0＜q＜1还是q＞1，都有qe-qd与qb-qd异号，即(qe-qd)(qb-qd)＜0．
综上所述，无论q=1还是q≠1，都有S b·S e＜S c·S d．
说明：复习课的任务在于对知识的深化，对能力的提高、关键在落实．根据上面所研究的问题，进一步提高运用函数的思想、方程的思想解决数列问题的能力．
例15．（北京春季高考）如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB，BC相切，
如此无限继续下去.记圆On的面积为.
（Ⅰ）证明是等比数列；
（Ⅱ）求的值.
（Ⅰ）证明：记rn为圆On的半径，
则
所以
故成等比数列.
（Ⅱ）解：因为所以
说明：本小题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，考查逻辑思维能力.
例16．（北京春季高考20）下表给出一个“等差数阵”：
4 7 （）（）（）…………
7 12 （）（）（）…………
（）（）（）（）（）…………
（）（）（）（）（）……………………………………………………
……………………………………………………
（I）写出的值；（II）写出的计算公式；
（III）证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。
分析：本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
解：（I）
（II）该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：
第二行是首项为7，公差为5的等差数列：
……
第i行是首项为，公差为的等差数列，因此
（III）必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得
从而
即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。
充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得
，从而
可见N在该等差数阵中。
综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。
（Ⅲ）、强化训练
1．设S n和T n分别为两个等差数列的前n项和，若对任意n∈N，
（）
A．4∶3B．3∶2C．7∶4D．78∶71
2．一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n项和最大时，n等于．（）
A．5 B．6C．7 D．8
3．若数列{}
n
a
中，1
3
a=，且2
1
n n
a a
+
=*
()
n N
∈，则数列的通项
n
a=．
4．设在等比数列{}
n
a
中，
,
126
,
128
,
66
1
2
1
=
=
?
=
+
-n
n
n
S
a
a
a
a
求n及q
5．根据下面各个数列{}
n
a
的首项和递推关系，求其通项公式
⑴
=
=
+1
1
,1
n
a
a)
(
2*
N
n
n
a
n
∈
+
⑵
=
=
+1
1
,1
n
a
a1
+
n
n
)
(*
N
n
a
n
∈
⑶
=
=
+1
1
,1
n
a
a1
2
1
+
n
a
)
(*
N
n∈
6．数列{}
n
a
的前n项和
r
ra
S
n
n
(
1+
=
为不等于0，1的常数)，求其通项公式n
a
7．某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到底全县的绿化率已达30%。从开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化。
（1）设全县面积为1，底绿化面积为
,
10
3
1
=
a
经过n年绿化总面积为
.
1+
n
a
求证
.
5
4
25
4
1n n
a a+
=
+
（2）至少需要多少年（年取整数，
3010
.0
2
lg=）的努力，才能使全县的绿化率达到60%？8．（春招试题）已知点的序列（，0），，其中=0，，A3是线钱A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段的中点，…。
（I）写出与、之间的关系式（≥3）
（II）设，计算，，，由此推测数列{}的通项公式，并加以证明。
9．(94年全国理)设｛an｝是正数组成的数列，其前n项和为Sn，并且对所有自然数n，an 与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.
(1)写出数列｛an｝的前三项；(2)求数列｛an｝的通项公式(写出推证过程)；
(3)令bn=(n∈N)，求：b1+b2+…+bn-n.
（Ⅳ）、参考答案
1．解：设这两个等差数列分别为{an}和{bn}．
故选择A．
说明：注意巧妙运用等差中项的性质来反映等差数列的通项an 与前2n-1项和S2n-1的内在联系．
2．解：依题意知．数列单调递减，公差d ＜0．因为 S3=S11=S3+a4+a5+…+a10+a11
所以 a4+a5+…+a7+a8+…+a10+a11=0 即 a4+a11=…=a7+a8=0， 故当n=7时，a7＞0，a8＜0．选择C ．
解选择题注意发挥合理推理和估值的作用．
3．解：多次运用迭代，可得2
11
2222
221221()[()]()()3n n n
n n n a a a a a -----======
4．解：
128
,128112=∴=?-n n a a a a ，又
66
1=+n a a ，由以上二式得
12,64n a a ==或164,2
n a a ==；由此得2,6==g n 或21
.
说明：本例主要复习数列的基本运算和方程思想的应用。 5．解：（1）
n
a a n n 21+=+ ，
n
a a n n 21=-∴+，
)()()(123121--++-+-+=∴n n n a a a a a a a a 1
)1(1)
1(2221212+-=-?+=-?++?+?+=n n n n n
（2）
11+=+n n a a n n
123121-????=∴n n n a a a a a a a a =n n n 113
2211=-???? 又解：由题意，
n
n na a n =++1)1(对一切自然数n 成立，
1
1)1(11=?==-=∴-a a n na n n
.
1
n a n =∴
（3）
}2{)2(21
212111-∴-=-∴+=
++n n n n n a a a a a 是首项为121-=-a
公比为21的等比数列，.
)21
(2,)21(1211---=∴?-=-∴n n n n a a
说明：本例复习求通项公式的几种方法：迭加法、迭乘法、构造法。
6．解：由
n
n ra S +=1可得当2≥n 时
1
11--+=n n ra S ，
)
(11---=-∴n n n n a a r S S ，
1--=∴n n n ra ra a ，,)1(1-=-∴n n ra r a ,1≠r ∴11-=
-r r
a a n n ，0≠r ，}
{n a ∴是公
比为1-r r 的等比数列. 又当1=n 时，111ra S +=，∴r a -=111，1
)
1(11---=∴n n r r r a 。
说明：本例复习由有关
n
S 与
n
a 递推式求
n
a ，关键是利用
n
S 与
n
a 的关系进行转化。
7．（1）证明：由已知可得
n
a 确定后，
1
+n a 表示如下：
1+n a =
n a %
16)1(%)41(?-+-?n a
即1+n a =80%n a +16%=54n a
+254
（2）解：由1+n a =54n a +254可得：-+1n a 54=54（-n a 54）=（54）2（-
-1n a 54）=…=)
54()5
4(1-a n 故有1+n a =54)54(21+-n ，若1+n a .53≥则有54)54(21+-n .53≥即1)54(21-≥n
两边同时取对数可得)12lg 3)(1()5lg 2lg 2)(1(2lg --=--≥-n n
故
4
12lg 312
lg >+-≥
n ，故使得上式成立的最小*N n ∈为5，
故最少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%.
8．（I ）解：当n≥3时，
（II ）解：
.
由此推测。
证法一：因为，且
（n≥2）所以
。
证法二：（用数学归纳法证明：）
（i）当时，，公式成立，
（ii）假设当时，公式成立，即成立。
那么当时，
=式仍成立。
根据（i）与（ii）可知，对任意，公式成立
评注：本小题主要考查中点坐标公式、等比数列等基本知识，考查运算能力和逻辑思维能力。9．解：(1)由题意=an＞0
令n=1时，=S1=a1解得a1=2
令n=2时有==a1+a2解得a2=6
令n=3时有=S3=a1+a2+a3解得a3=10
故该数列的前三项为2、6、10.
(2)解法一：由(1)猜想数列｛an｝有通项公式an=4n-2，下面用数学归纳法证明数列｛an｝的通项公式是an=4n-2(n∈N)
1°当n=1时，因为4×1-2＝2，又在(1)中已求得a1=2，所以上述结论正确.
2°假设n=k时，结论正确，即有ak=4k-2
由题意有得ak=4k-2,代入上式得2k=,解得Sk=2k2
由题意有=Sk+1=Sk+ak+1得Sk=2k2代入得=2(ak+1+2k2)
整理a2k+1-4ak+1+4-16k2=0由于ak+1＞0，解得：ak+1=2+4k
所以ak+1=2+4k=4(k+1)-2
这就是说n=k+1时，上述结论成立.
根据1°，2°上述结论对所有自然数n成立.
解法二：由题意有，=(n∈N)整理得Sn=(an+2)2
由此得Sn+1=(an+1+2)2所以an+1=Sn+1-Sn=［（an+1+2)2-(an+2)2］
整理得(an+1+an)(an+1-an-4)=0由题意知an+1+an≠0,所以an+1-an=4
即数列｛an｝为等差数列，其中a1=2,公差d=4，
全国统一高考数学试卷(理科)(全国一卷)
绝密★启用前 全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的。 1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，, 则M N I = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2．设复数z 满足=1i z -, z 在复平面内对应的点为(x , y ), 则 A ．22 +11()x y += B ．221(1)x y +=- C ．22(1)1y x +-= D ．2 2(+1)1y x += 3．已知0.20.32 log 0.220.2a b c ===，，, 则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期, 人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512-（ 51 2 -≈0.618, 称为黄金分割比例), 著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外, 最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例, 且腿长为105 cm, 头顶至脖子下端的长度为26 cm, 则其身高可能是
A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个 爻组成, 爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”, 如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦, 则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A ． 516 B ． 1132 C ． 2132 D ． 1116 7．已知非零向量a , b 满足||2||=a b , 且()-a b ⊥b , 则a 与b 的夹角为 A ． π6 B ． π3 C ． 2π3 D ． 5π6 8．如图是求 112122 + +的程序框图, 图中空白框中应填入
最新高考数学压轴题专题训练(共20题)[1]
1．已知点)1,0(F ，一动圆过点F 且与圆8)1(2 2 =++y x 内切． （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程； （2）设点)0,(a A ，点P 为曲线C 上任一点，求点A 到点P 距离的最大值)(a d ； （3）在10<3．已知点A （－1，0)，B （1,0)，C （－ 5712,0)，D （5712 ,0)，动点P （x , y )满足AP →·BP → ＝0，动点Q （x , y )满足|QC →|+|QD →|＝10 3 ⑴求动点P 的轨迹方程C 0和动点Q 的轨迹方程C 1； ⑵是否存在与曲线C 0外切且与曲线C 1内接的平行四边形，若存在，请求出一个这样的平行四边形，若不存在，请说明理由； ⑶固定曲线C 0，在⑵的基础上提出一个一般性问题，使⑵成为⑶的特例，探究能得出相应结论（或加强结论）需满足的条件，并说明理由。 4．已知函数f (x )＝m x 2＋(m －3）x ＋1的图像与x 轴的交点至少有一个在原点右侧， ⑴求实数m 的取值范围； ⑵令t ＝－m ＋2，求[1 t ]；(其中[t ]表示不超过t 的最大整数，例如：[1]＝1， [2．5]＝2， [－2．5]＝－3) ⑶对⑵中的t ，求函数g (t )＝t ＋1t [t ][1t ]+[t ]+[1t ]+1的值域。
高中数学解题思想之分类讨论思想
分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。 ②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。 ③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。 另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。 进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。 解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。 Ⅰ、再现性题组： 1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A?B，那么a的范围是_____。 A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a<1 D. 00且a≠1，p＝log a (a3＋a＋1)，q＝log a (a2＋a＋1)，则p、q的大小关系是 _____。 A. p＝q B. pq D.当a>1时，p>q；当0【典型题】高考数学试卷(含答案)
【典型题】高考数学试卷(含答案) 一、选择题 1．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ） A ． 110 B ． 310 C ． 35 D ． 25 2．给出下列说法： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确说法的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．如果 4 2 π π α<< ，那么下列不等式成立的是（ ） A ．sin cos tan ααα<< B ．tan sin cos ααα<< C ．cos sin tan ααα<< D ．cos tan sin ααα<< 4．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ； ③p ∧(?q )；④(?p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 5．如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成 绩依次记为1214,, A A A ，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流 程图，那么算法流程图输出的结果是（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10
6．在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04?? - ??? B ．10,4?? ??? C ．11,42?? ??? D ．13,24?? ??? 7．设i 为虚数单位，复数z 满足21i i z =-，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．1-i B ．-1-i C ．1+i D ．-1+i 8．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 A ． 2 2 B ． 3 C ． 5 D ． 72 9．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)i z i +=，则z =（ ） A ． 14 B ． 12 C ． 22 D ．2 10．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．108cm 3 B ．100cm 3 C ．92cm 3 D ．84cm 3 11．在ABC ?中，A 为锐角，1lg lg()lgsin 2b A c +==-，则ABC ?为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 12．已知a R ∈，则“0a =”是“2 ()f x x ax =+是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 二、填空题 13．若三点1 (2,3),(3,2),( ,)2 A B C m --共线，则m 的值为 ． 14．函数()22,0 26,0x x f x x lnx x ?-≤=?-+>? 的零点个数是________． 15．若过点()2,0M 3()2 :0C y ax a =>的准线l 相交于点
高考数学数列大题专题
高考数学数列大题专题 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，11353n n n n S a a S --=-+(2)n ≥ （1）求数列n a 的通项公式； （2）若(21)n n b n a =-，求数列n a 的前n 项的和n T 。 4.已知数列{n a }满足11=a ，且),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且． （Ⅰ）求2a ，3a ；（Ⅱ）证明数列{n n a 2}是等差数列； （Ⅲ）求数列{n a }的前n 项之和n S
5.已知数列{}n a 满足31=a ，1211-=--n n n a a a . （1）求2a ，3a ，4a ； （2）求证：数列11n a ??? ?-?? 是等差数列，并写出{}n a 的一个通项。 622,,4,21121+=-===++n n n n n b b a a b a a . 求证： ⑴数列{b n +2}是公比为2的等比数列； ⑵n a n n 221-=+； ⑶4)1(2221-+-=++++n n a a a n n Λ. 7. .已知各项都不相等的等差数列}{n a 的前六项和为60，且2116a a a 和为 的等比中项. （1）求数列}{n a 的通项公式n n S n a 项和及前； （2）若数列}1{,3),(}{11n n n n n b b N n a b b b 求数列且满足=∈=-*+的前n 项和T n .
2018上海高考数学大题解题技巧
上海高考数学大题解题技巧 一、立体几何题 1.证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单； 2.求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，最好要建系； 3.注意向量所成的角的余弦值（范围）与所求角的余弦值（范围）的关系（符号问题、钝角、锐角问题）。 二、三角函数题 注意归一公式、二倍角公式、诱导公式的正确性（转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式（奇变、偶不变；符号看象限）时，很容易因为粗心，导致错误！），正弦定理，余弦定理的应用。 三、函数（极值、最值、不等式恒成立（或逆用求参）问题） 1.先求函数的定义域，单调区间一般不能并，用“和”或“，”隔开（知函数求单调区间，不带等号；知单调性，求参数范围，带等号）； 2.注意最后一问有应用前面结论的意识； 3.注意分论讨论的思想； 4.不等式问题有构造函数的意识； 5.恒成立问题（分离常数法、利用函数图像与根的分布法、求函数最值法）； 四、圆锥曲线问题 1.注意求轨迹方程时，从三种曲线（椭圆、双曲线、抛物线）着想，椭圆考得最多，方法上有直接法、定义法、交轨法、参数法、待定系数法； 2.注意直线的设法（法1分有斜率，没斜率；法2设x＝my+b（斜率不为零时），知道弦中点时，往往用点差法）；注意判别式；注意韦达定理；注意弦长公式；注意自变量的取值范围等等； 3.战术上整体思路要保10分，争12分，想16分。 五、数列题 1.证明一个数列是等差（等比）数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差（公比）的等差（等比）数列； 2.最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用数列的单调性（或者放缩法）；如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法（用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由①②得证； 3.如果是新定义型，一定要严格的套定义做题（仔细理解新定义）。 4.战术上整体思路要保10分，争12分，想16分。
2011 英国高考数学试卷之一
Centre Number Candidate Number Surname Other Names Candidate Signature General Certificate of Education Advanced Level Examination January2011 Mathematics MPC4 Unit Pure Core4 Monday24January20119.00am to10.30am For this paper you must have: *the blue AQA booklet of formulae and statistical tables. You may use a graphics calculator. Time allowed *1hour30minutes Instructions *Use black ink or black ball-point pen.Pencil should only be used for drawing. *Fill in the boxes at the top of this page. *Answer all questions. *Write the question part reference(eg(a),(b)(i)etc)in the left-hand margin. *You must answer the questions in the spaces provided.Do not write outside the box around each page. *Show all necessary working;otherwise marks for method may be lost. *Do all rough work in this book.Cross through any work that you do not want to be marked. Information *The marks for questions are shown in brackets. *The maximum mark for this paper is75. Advice *Unless stated otherwise,you may quote formulae,without proof, from the booklet. For Examiner’s Use Examiner’s Initials Question Mark 1 2 3 4 5 6 7 8 TOTAL P38267/Jan11/MPC46/6/6/MPC4 (JAN11MPC401)
高考数学19个专题分章节大汇编
高考理科数学试题分类汇编：1集合 一、选择题 1 . （普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集{}1,2,3,4U =, 集合{}=12A ， ,{}=23B ，,则()=U A B e( ) A. {}134， ， B. {}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 . （普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤= ，则 A. ()01， B. (]02， C. ()1,2 D. (]12， 【答案】D 3 . （普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 . （普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意 12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”. 以下集合 对不是“保序同构”的是( ) A. *,A N B N == B. {|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C. {|01},A x x B R =<<= D. ,A Z B Q == 【答案】D 5 . （高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 . （普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合A ={0,1,2},则集合B ={} ,x y x A y A -∈∈中元素的个数是
高考数学大题题型解答技巧
高考数学大题题型解答技巧 六月，有一份期待，年轻绘就畅想的星海，思想的热血随考卷涌动，灵魂的脉搏应分 数澎湃，扶犁黑土地上耕耘，总希冀有一眼金黄黄的未来。下面就是小编给大家带来 的高考数学大题题型解答技巧，希望大家喜欢! 高考数学大题必考题型(一) 排列组合篇 1.掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。 2.理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。 3.理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单 的应用问题。 4.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。 5.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。 6.了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件 的概率。 7.了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事 件的概率乘法公式计算一些事件的概率。 8.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率. 立体几何篇 高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。随着新的 课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着“多一点思考，少一点计算”的发展。从 历年的考题变化看，以简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是 常考常新的热门话题。 知识整合 1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺 少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握
高三数学复习专题讲座
2010届高三数学复习专题讲座 数列复习建议 江苏省睢宁高级中学北校袁保金 数列是高中数学的重点内容之一，是初等数学与高等数学的重要衔接点，由于它既具有函数特征，又能构成独特的递推关系，使得它既与高中数学其他部分的知识有着密切的联系，又有自己鲜明的特点．而且具有内容的丰富性、应用的广泛性和思想方法的多样性，所以数列一直是高考考查的重点和热点．纵观江苏省近几年高考数学试卷，数列都占有相当重要的地位，一般情况下都是以一道填空题和一道解答题形式出现，填空题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式等内容，对基本的计算技能要求比较高，具有“小、巧、活、新”的特点，解答题属于中高档难度的题目，甚至是压轴题．具有综合性强、变化多、难度较大特点，重点以等差数列和等比数列内容为主，考查数列内在的本质的知识和推理能力，运算能力以及分析问题和解决问题的能力． 一、考纲解读 2、考纲解读（1）考纲中对数列的有关概念要求为A级，也就是说只要了解数列概念的基本含义，并能解决相关的简单问题．（2）等差数列和等比数列要求都为C级，2010年数学科考试说明中共列出八个C级要求的知识点，等差数列、等比数列占了其中两个，说明这两个基本数列在高考中的地位相当重要．具体要求我们对这两个数列的定义、性质、通项公式以及前n项和公式需要有深刻的认识，能够
系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题．这也说明涉及等差数列和等比数列的综合题在高考中一定出现．（3）由于数列这一章含有两个C级要求的知识点，可以命制等差数列、等比数列以及它们之间相互联系的综合题，也可以命制数列与函数、方程、不等式等知识点相融合的综合题，以及数列应用问题，着重考查思维能力、推理论证能力以及分析问题，解决实际问题的能力． 二、考题启示1、考题分布 自2004年江苏省单独命题以来，对数列知识的考查一直是命题的重 2、考题启示（1）数列在高考试卷中占的比重较大，分值约为13%左右，呈一大一小趋势，对等差数列和等比数列都有考查，纵观近几年江苏省高考试题，我们会发现江苏考题与全国卷、其他省市卷数列题有很大区别，具有十分明显的特色，对数列的考查不与其他知识综合，同时也回避了递推数列和不等式，主要揭示等差数列和等比数列内在的本质性的知识，形成江苏卷的一大特色．因此复习中在递推数列方面，特别是利用递推数列求通项，要大胆取舍，不要深挖．（2）客观题主要考查了等差、等比数列的基本概念和性质，突出了“小、巧、活、新”的特点，属容易题或中档题．主观题年年都考，且以中等和难度较大的综合题出现，常放在压轴题的位置．回顾江苏省单独命题以来，对数列的考查可以称得上到了极致．如2007年、2008年在倒数第二题，2005年、2006年在最后一题，2009年数列题前移到第17题，以中等题形式出现，这一显著地变化似乎一种信号，具有一定的导向作用．
(完整)2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线(一).doc
2019-2020 年高考数学大题专题练习——圆锥曲线（一） x 2 y2 2 的直线与 12 1.设 F ， F为椭圆的左、右焦点，动点P 的坐标为 ( －1,m)，过点 F 4 3 椭圆交于 A， B 两点 . （1）求 F1，F 2的坐标； （2）若直线 PA， PF 2， PB 的斜率之和为 0，求 m 的所有 整数值 . x2 2 2.已知椭圆y 1，P是椭圆的上顶点.过P作斜率为 4 k（k≠0）的直线l 交椭圆于另一点A，设点 A 关于原点的 对称点为 B. （1）求△PAB 面积的最大值； （2）设线段 PB 的中垂线与 y 轴交于点 N，若点 N 在椭圆内 部，求斜率 k 的取值范围 . 2 2 5 x y = 1 a > b > 0 ) 的离心率为，定点 M ( 2,0 ) ，椭圆短轴的端点是 3.已知椭圆 C : 2 + 2 a b ( 3 B1， B2，且MB1 MB 2. （1）求椭圆C的方程； （2）设过点M且斜率不为0 的直线交椭圆C于 A, B 两点，试问 x 轴上是否存在定点P ，使 PM 平分∠APB ？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，说明理由.
x2 y2 4.已知椭圆C 的标准方程为 1 ，点 E(0,1) ． 16 12 （1 ）经过点 E 且倾斜角为3π 的直线 l 与椭圆 C 交于A、B两点，求 | AB | ．4 （2 ）问是否存在直线p 与椭圆交于两点M 、 N 且 | ME | | NE | ，若存在，求出直线p 斜率 的取值范围；若不存在说明理由． 5.椭圆 C1与 C2的中心在原点，焦点分别在x 轴与y轴上，它们有相同的离心率e= 2 ，并 2 且 C2的短轴为 C1的长轴， C1与 C2的四个焦点构成的四边形面积是2 2 . (1)求椭圆 C1与 C2的方程； (2) 设P是椭圆 C2上非顶点的动点，P 与椭圆C1长轴两个顶点 A ， B 的连线 PA ， PB 分别与椭圆 C1交于E，F点 . (i)求证：直线 PA ， PB 斜率之积为常数； (ii) 直线AF与直线BE的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由.
高中数学知识点以及解题方法大全
前言 (2) 第一章高中数学解题基本方法 (3) 一、配方法 (3) 二、换元法 (7) 三、待定系数法 (14) 四、定义法 (19) 五、数学归纳法 (23) 六、参数法 (28) 七、反证法 (32) 八、消去法……………………………………… 九、分析与综合法……………………………… 十、特殊与一般法……………………………… 十一、类比与归纳法………………………… 十二、观察与实验法………………………… 第二章高中数学常用的数学思想 (35) 一、数形结合思想 (35) 二、分类讨论思想 (41) 三、函数与方程思想 (47) 四、转化（化归）思想 (54) 第三章高考热点问题和解题策略 (59) 一、应用问题 (59) 二、探索性问题 (65) 三、选择题解答策略 (71) 四、填空题解答策略 (77) 附录……………………………………………………… 一、高考数学试卷分析………………………… 二、两套高考模拟试卷………………………… 三、参考答案…………………………………… 前言 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ①常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去 法等； ②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、 归纳和演绎等； ④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化 归）思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（ 第一章高中数学解题基本方法 一、配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b) 2 ＝a 2 ＋2ab＋b 2 ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a 2 ＋b 2 ＝(a＋b) 2 －2ab＝(a－b) 2 ＋2ab； a 2 ＋ab＋b 2 ＝(a＋b) 2 －ab＝(a－b) 2 ＋3ab＝(a＋ b 2) 2 ＋（ 3 2b） 2 ； a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＋ab＋bc＋ca＝ 1 2[(a＋b) 2 ＋(b＋c) 2 ＋(c＋a) 2 ] a 2 ＋b 2 ＋c 2 ＝(a＋b＋c) 2 －2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c) 2 －2(ab－bc－ca)＝… 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα） 2 ； x 2 ＋ 1 2 x＝(x＋ 1 x) 2 －2＝(x－ 1 x) 2 ＋2 ；……等等。 Ⅰ、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a n}中，a1?a5+2a3?a5+a3?a7=25，则 a3＋a5＝_______。 2. 方程x 2 ＋y 2 －4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。 A. 1 41 C. k∈R D. k＝ 1 4或k＝1 3. 已知sin 4 α＋cos 4 α＝1，则sinα＋cosα的值为______。 A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0 4. 函数y＝log1 2 (－2x 2 ＋5x＋3)的单调递增区间是_____。 A. （－∞, 5 4] B. [ 5 4,+∞) C. (－ 1 2, 5 4] D. [ 5 4,3) 5. 已知方程x 2 +(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x 2 +y 2 =4上，则实数a＝_____。 【简解】 1小题：利用等比数列性质a m p -a m p +＝a m 2 ，将已知等式左边后配方（a3＋a5） 2 易求。答案是：5。 2小题：配方成圆的标准方程形式(x－a) 2 ＋(y－b) 2 ＝r 2 ，解r 2 >0即可，选B。 3小题：已知等式经配方成(sin 2 α＋cos 2 α) 2 －2sin 2 αcos 2 α＝1，求出sinαcosα，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。 4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。 5小题：答案3－11。 Ⅱ、示范性题组： 例1.已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。 A. 23 B. 14 C. 5 D. 6 【分析】先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则211 424 () () xy yz xz x y z ++= ++= ? ? ? ,而欲求对角线长x y z 222 ++，将其配凑成两已知式的组合形式可得。
高考数学二轮总复习专题训练一 综合测试题 理
专题一综合测试题 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合M ＝{1,3}，N ＝{2,3,4}，则(?U M )∩(?U N )＝( ) A ．{3} B ．{4,6} C ．{5,6} D ．{3,6} 解析：?U M ＝{2,4,5,6}，?U N ＝{1,5,6}，∴(?U M )∩(?U N )＝{5,6}，故选C. 答案：C 2．已知全集I ＝R ，若函数f (x )＝x 2－3x ＋2，集合M ＝{x |f (x )≤0}，N ＝{x |f ′(x )<0}，则M ∩?I N ＝( ) A ．[3 2，2] B ．[3 22) C ．(3 2 ，2] D ．(3 2 2) 解析：由f (x )≤0解得1≤x ≤2，故M ＝[1,2]；f ′(x )<0，即2x －3<0，即x <3 2，故N ＝(－∞，32)，?I N ＝[32M ∩?I N ＝[3 2 ，2]． 答案：A 3．设某种蜡烛所剩长度P 与点燃时间t 的函数关系式是P ＝kt ＋b .若点燃6分钟后，蜡烛的长为17.4 cm ；点燃21分钟后，蜡烛的长为8.4 cm ，则这支蜡烛燃尽的时间为( ) A ．21分钟 B ．25分钟 C ．30分钟 D ．35分钟 解析：由? ?? ?? 17.4＝6k ＋b 8.4＝21k ＋b ，解得k ＝－0.6，b ＝21，由0＝－0.6t ＋21，解得t ＝35. 答案：D 4．已知命题p ：“?x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“?x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0”．若命题“綈p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ≤－2或a ＝1 B ．a ≤－2或1≤a ≤2 C ．a ≥1 D ．a >1 解析：命题p ：“?x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，∴a ≤x 2在[1,2]上恒成立，∴a ≤1，∴綈 p 为a >1.
高中数学解题的思想方法
高中数学解题的思想方法（经典） 美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ① 常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ② 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③ 数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等； ④ 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助大家掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，咱们就先介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题。 在每一个方法，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。 一、配方法 从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。
最新1992年全国统一高考数学试卷(理科)
1992年全国统一高考数学试卷（理科） 一、选择题（共18小题，每小题3分，满分54分） 1．（3分） 的值是（ ） A ． B ． 1 C ． D ． 2 2．（3分）如果函数y=sin （ωx ）cos （ωx ）的最小正周期是4π，那么常数ω为（ ） A ． 4 B ． 2 C ． D ． 3．（3分）极坐标方程分别是ρ=cosθ和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是（ ） A ． 2 B ． C ． 1 D ． 4．（3分）方程sin4xcos5x=﹣cos4xsin5x 的一个解是（ ） A ． 10° B ． 20° C ． 50° D ． 70° 5．（3分）已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是（ ） A ． 6：5 B ． 5：4 C ． 4：3 D ． 3：2 6．（3分）图中曲线是幂函数y=x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±四个值，则相应于曲线c 1、c 2、c 3、c 4的n 依次为（ ） A ． ﹣2，﹣，，2 B ． 2，，﹣，﹣2 C ． ﹣，﹣2，2， D ． 2，，﹣2， ﹣ 7．（3分）若log a 2＜log b 2＜0，则（ ） A ． 0＜a ＜b ＜1 B ． 0＜b ＜a ＜1 C ． a ＞b ＞1 D ． b ＞a ＞1 8．（3分）直线 （t 为参数）的倾斜角是（ ）
A ． 20° B ． 70° C ． 45° D ． 135° 9．（3分）在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 10．（3分）圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ） A ． x 2+y 2﹣x ﹣2y ﹣=0 B ． x 2+y 2+x ﹣2y+1=0 C ． x 2+y 2﹣x ﹣2y+1=0 D ． x 2+y 2﹣x ﹣ 2y+=0 11．（3分）在（x 2+3x+2）5的展开式中x 的系数为（ ） A ． 160 B ． 240 C ． 360 D ． 800 12．（3分）若0＜a ＜1，在[0，2π]上满足sinx≥a 的x 的范围是（ ） A ． [0，arcsina ] B ． [arcsina ，π﹣arcsina ] C ． [π﹣arcsina ，π] D ． [arcsina ，+arcsina ] 13．（3分）已知直线l 1和l 2的夹角平分线为y=x ，如果l 1的方程是ax+by+c=0，那么直线l 2的方程为（ ） A ． b x+ay+c=0 B ． a x ﹣by+c=0 C ． b x+ay ﹣c=0 D ． b x ﹣ay+c=0 14．（3分）在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ） A ． B ． C ． D ． 15．（3分）已知复数z 的模为2，则|z ﹣i|的最大值为（ ） A ． 1 B ． 2 C ． D ． 3 16．（3分）函数y=的反函数（ ） A ． 是奇函数，它在（0，+∞） 上是减函数 B ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是减函数 C ． 是奇函数，它在（0，+∞） 上是增函数 D ． 是偶函数，它在（0，+∞）上是增函数 17．（3分）如果函数f （x ）=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f （2+t ）=f （2﹣t ），那么（ ）
高中数学复习专题讲座(第42讲)应用性问题
题目高中数学复习专题讲座应用性问题 高考要求 数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题 高考对应用题的考查已逐步成熟，大体是三道左右的小题和一道大题，注重问题及方法的新颖性，提高了适应陌生情境的能力要求 重难点归纳 1 解应用题的一般思路可表示如下： 数学解答 数学问题结论 问题解决数学问题实际问题 2 解应用题的一般程序 （1）读 阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础 （2）建 将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型 熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关 （3）解 求解数学模型，得到数学结论 一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程 （4）答 将数学结论还原给实际问题的结果 3 中学数学中常见应用问题与数学模型 （1）优化问题 实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决 （2）预测问题 经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决 （3）最（极）值问题 工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值 （4）等量关系问题 建立“方程模型”解决 （5）测量问题 可设计成“图形模型”利用几何知识解决 典型题例示范讲解 例1为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A 孔流入，经 沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米， 已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反 比，现有制箱材料60平方米，问当a 、b 各为多少米时， 经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A 、B 孔的 面积忽略不计）？ B A
