线性代数 复习资料

线性代数 复习资料

一、判断题

1．设A 、B 是随机事件，0)(=A P ，则A 与B 相互独立。（ √ ） 2．)(x F 是正态随机变量的分布函数，则)(1)(x F x F -≠-。（ √ ）

3．二维均匀分布的边缘分布仍是均匀分布。（ × ） 4. X 与Y 相互独立且都服从指数分布)(λE ，则)2(~λE Y X +。（ × ） 5. )()()(Y E X E XY E =是X 与Y 相互独立的必要而非充分的条件。 （ √ ） 6. 样本均值的平方2X 是总体期望平方2μ的无偏估计。（ × ）

7．在假设检验中，拒绝域的形式是根据备择假设1H 而确定的。（ √ ） 8．设0)(=A P ，则随机事件A 与任何随机事件B 一定相互独立。（ √ ） 9．连续随机变量X 的密度函数)(x f 与其分布函数)(x F 未必相互惟一确定。（ √ ） 10．若X 与Y 都是标准正态随机变量，则)2,0(~N Y X +。（ × ）

11. 设有分布律：,2/1}/2)1({1n n n n X P =-=+),2,1( =n ，则X 的期望存在。（ × ）

12. 设随机变量序列 ,,,,21n X X X 相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，则∑==n

i i X n X 1

1依概率收

敛于λ。（ × ）

13. 区间估计的置信度α-1的提高会降低区间估计的精确度。（ √ ） 14．在假设检验中，显著性水平α是指α-=1)(00为假拒绝H H P 。（ × ） 二、选择题

1. 设随机变量)1,0(~N X ，对给定的)10(<<αα，数αz 满足αα=>)(z X P . 若α=<)(c X P ，则=c C 。

)(A 2

αz ； )

(B 2

1α-z ； )(C 2

1α

-z

； )

(D α-1z 。

2. 设随机变量,X Y 相互独立，)1,0(~N X ,)1,1(~N Y ，则 B 。

)(A 2/1)0(=≤+Y X P )(B 2/1)1(=≤+Y X P

)(C 2/1)0(=≤-Y X P ；)(D 2/1)1(=≤-Y X P 。

3. 设随机变量n X X X ,,,21 独立同分布，且方差为02

>σ。令∑==n

i i X n Y 1

1，则 A 。

)(A n Y X Cov /),(21σ=)(B 2

1),(σ=Y X Cov

)(C n n Y X D /)2()(21σ+=+； )(D n n Y X D /)1()(2

1σ+=-。

4. 设12,,,n X X X 是来自正态总体(,1)N μ的一个简单随机样本，2,X S 分别为样本均值与样本方差，则

B 。

（A ）)1,0(~N X )

(B )1(~)(221

--∑=n X X

i

n

i χ

)

(C )1(~)(221

--∑=n X i n

i χμ)

(D )1(~1

/--n t n S X 。

5. 在0H 为原假设，1H 为备择假设的假设检验中，若显著性水平为α，则 C 。

00111001()(|);()(|);()(|);

()(|).

A P H H

B P H H

C P H H

D P H H αααα====接受成立接受成立接受成立接受成立

6. 设连续随机变量X 的密度函数满足)()(x f x f -=，)(x F 是X 的分布函数，则=>)2004(X P D 。

)(A )2004(2F -)(B 1)2004(2-F ；)(C )2004(21F - )(D )]2004(1[2F -

7. 设二维随机变量(,)X Y 服从G 上的均匀分布，G 的区域由曲线2x y =与

x y =所围，则(,)X Y 的联合概率密度函数为 A 。

0.5)(A ??

?∈=他其,0),(,6),(G y x y x f ； )(B ???∈=他其,0),(,6/1),(G

y x y x f ； )(C ??

?∈=他其,0),(,2),(G y x y x f ； )(D ?

??∈=他其,0),(,2/1),(G

y x y x f 8. 设)0;5.0,0;5.0,0(~),(N Y X ，Y X Z -=，则方差=)(Z D 为 D 。 (A)0 (B)1)(C π/21+)(D π/21- 9. 设总体),1(~p B X ，12,,

,n X X X 是来自总体的样本，X 为样本均值，则==)/(n k X P C 。

)(A p ； )(B k n k p p --)1( )(C k n k k n

p p C --)1()(D k n k k

n p p C --)1( 10. 设总体),(~2σμN X ，μ为未知参数，样本12,,,n X X X 的方差为2S ，对假设检验

2:,2:10<≥σσH H ，水平为α的拒绝域是 B 。

)(A )1(22/12-≤-n αχχ)(B )1(212-≤-n αχχ)(C )(22/12n αχχ-≤)(D )

(212n αχχ-≤

三、填空题

1.设,A B 为两随机事件，已知8.0)(,)(3.07.0)(=?+==B A P B P A P ，则(|)P A A B =。

答案：0.5

2. 设随机变量)1.0,3(~B X ，则12-=X Y 的数学期望为 。 答案：0.331

3. 随机变量,X Y 相互独立且服从同一分布，3/)1()()(+====k k Y P k X P ，1,0=k ，则

()P X Y ==

。

答案： 5 / 9

4. 随机变量);4,0;1,0(~),(ρN Y X ，已知(2)1D X Y -=，则ρ=。

答案： 7 / 8 (或0.875)

5. 设总体),(~2σμN X ，2,σμ为未知参数，则μ的置信度为1α－的置信区间为 。 答案：

22

((1),(1))X n X n αα-+- 6. 设1234,,,X X X X 是来自正态总体(0,9)N 的一个简单随机样本，2

2342

1()3X X X X ξ++=服从

分

布。

答案：(1,1)F .

7. 已知7.0)(=A P ,4.0)(=B P ,8.0)(=AB P , 则=?)(B A A P 。 答案：8/7

8. 设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从]1,0[上的均匀分布，则Y X Z -=的分布函数

???

??=_________________________)(z F Z 。

答案：??

???≥<≤-<=1,110,20,

0)(2

z z z z z y F Y

9. 设6.0,4)(,1)(,2)(,1)(=====XY Y D X D Y E X E ρ，设2)12(+-=Y X Z ，则其数学期望

=)(Z E 。

答案： 4.2

10. 设随机变量),(~2σμN X ，由切比雪夫不等式知，概率)2(σμ≥-X P 的取值区间为 与 之间。 答案：0

与0.25 之间

11. 设12,,

,n X X X 是来自总体)(2n χ分布的样本，X 是样本均值，则=)(X E ，=)(X D 。

线性代数B复习资料

一 一、选择题 1.下列4个矩阵中是行最简形的矩阵有【 】 101100101101(1)000(2)001(3)011(4)012010000000001--???????? ???????????????? ???????????????? （A ）(1)、(2)；（B ）（2）、（3）； （C ）（3）、（4）；（D ）（2）、（3）、（4）. 2.设A 是m n ?矩阵，0Ax =是非齐次线性方程组Ax b =的导出方程组，则下列4个命题不正确的有【 】 （1）若有唯一解，则仅有零解。 （2）若有非零解，则有无穷多解。 （3）若无解，则仅有零解。 （4）若有无穷多解，则有非零解； （A ）（1）、（3）； （B ）（1）、（4） ；（C ）（2）、（3） ；（D ）（2）、（4）. 3.设1212101 0,,,24000021B C P A ?? ?? ?? ?? ===???????? -???????? =，则变A 为C 的初等变换过程2121121210(2)(2)240000r r c c ??????+-+-???????????? 可用矩阵乘法表示为【 】 （A ）PAP BP C == ; （B ）T T T P AP BP C == ; （C ）T T PAP BP C == ; （D ）T P AP BP C ==. 4.设,,A B C 矩阵均为3阶可逆矩阵，则下列6个等式中成立的有【 】 111(1)()(); (2)()(3)()T T T AB C A BC AB A B AB B A ---=== (4)(5)(6)(2)2T A A AB A B A A =-=?-=- （A ）(1)、(3)、(5) ；（B ）（2）、（3）、（6）；（C ）（4）（5）（6）；（D ）（2）、（4）、（6）. 5.设[]1,0,2T ξ=是线性方程组0Ax =的解，则下列4个矩阵中，A 有可能是【 】 [] 011102201(1) 2,1,1;(2) ;(3); (4)422.011010011?? --???? ??---?????? -???? ???? （A ）（1）、（2） ； （B ）（1）、（3）； （C ）（2）、（3）； （D ）（2）、（4）.

数学模型在《线性代数》教学中的应用实例(一)

数学模型在《线性代数》教学中的应用实例（一） 课 程： 线性代数 教 学 内 容： 矩阵 数 学 模 型： 生态学：海龟种群统计数据 该模型在高等数学教学应用的目的： 1． 通过生动有趣的实例激发学生的学习积极性，在分析问题和解决问题的过程中培养学生的创新意识。 2． 使学生掌握建立矩阵代数模型的基本过程，能熟练地将矩阵的知识应用于实际问题。培养学生将实际问题抽象成数学模型，又用数学模型的结果解释实际现象的能力。 3． 巩固矩阵的概念和计算。 生态学：海龟种群统计数据 管理和保护许多野生物种，依赖于我们建立种群的动态模型的能力。一个常规的建模技术是，把一个物种的生命周期划分为几个阶段。该模型假设：每阶段的种群规模只依赖于母海龟的种群数；每只母海龟能够存活到下一年的概率依赖于其处在生命周期的那个阶段，而与个体的具体年龄无直接关系。举例来说，可以用一个四阶段的模型来分析海龟种群的动态。 如果d i 表示第i 个阶段的持续时间，s i 表示该阶段的每年存活率，那么可以证明，在第i 阶段可以存活到下一年的比例是 111i i d i i i d i s p s s -??-= ?-?? 种群可以存活且在次年进入下一阶段的比例是 ()11i i d i i i d i s s q s -= - 如果用e i 表示第i 阶段的成员1年内产卵的平均数，构造矩阵

12341 2233 400000 p e e e q p L q p q p ?? ? ?= ? ??? 那么L 可以用来预测未来几年每阶段的种群数。上述形式的矩阵称为Leslie （莱斯利）矩阵，相应的种群模型有时也称为莱斯利种群模型。根据前面表格数据，我们模型的莱斯利矩阵是 0127790.670.73940000.000600000.810.8077L ?? ? ?= ? ??? 假设每阶段的初始种群数分别是200000、300000、500和1500，用向量x 0来表示，1年后 每阶段的种群数可以如下计算 100 0127792000001820000.670.73940030000035582000.000600500180000.810.807715001617x Lx ?????? ??? ? ??? ?=== ??? ? ??? ??????? （这里的计算进行了四舍五入）。为了得到2年后的种群数，再用矩阵L 乘一次。 2210x Lx L x == 一般来说，k 年后的种群数由公式0k k x L x =给出。为了了解更长时期的趋势，计算出x 10、 x 25和x 50，如下表所示。 这个模型预测50年后繁殖期的海龟总数下降了80%。 下面的文献[1]介绍了一个七阶段的种群动态模型，文献[2]是莱斯利原来那篇文章。 思考：海龟最终是否会灭绝？如果不灭绝，海龟种群数有无稳定值？该模型用到了那些数学知识？该模型可以进行怎样的推广？ 参考文献 1. Crouse, Deborah T., Larry B. Crowder, and Hal Caswell, “A Stage-Based Population Model for Loggerhead Sea Turtles and Implications for Conservation,” Ecology , 68(5), 1987 2. Leslie, P. H., “On the Use of Matrices in Certain Population Mathematics,” Biometrika , 33, 1945.

线性代数讲义

线性代数讲义 线性代数攻略 线性代数由两部分组成: 第一部分:用矩阵解方程组(判断解的存在性,用有限个解表示所有的解)第二部分:用方程组解矩阵(求特征值,特征向量,对角化,化简实二次型)主观题对策 1. 计算题精解 计算题较之选择题与填空题难度几乎没有增加,但计算量大大增加,故出错的机会大幅增长,因此应力求用简便方法解决问题. 一.行列式的计算: 单纯计算行列式的题目大概永远不会出现.所以需要结合其它的知识点. l 核心内容 范德蒙行列式/余子式/代数余子式/Cramer法则: l 典型方法 降阶法(利用Gauss消元法化为三角矩阵:常常是将所有的行或列加到一起)/特征值法(矩阵的行列式等于其特征值之积)/行列式的其它性质(转置矩阵/逆矩阵/伴随矩阵/矩阵之积) 例1 计算下述三个n阶矩阵的行列式： . 解先算|B|=xn;再算|A|： 故|C|= |A|(-1)(1+?+n)+[(n+1)+…+(2n)] |B-1| =(-1)(1+2n)n(n+x)/x. 例2(2004-4) 设矩阵 ,矩阵B满足ABA*=2BA*+E,则|B|=[ ]. 分析化简可得(A-2E)BA*=E；于是|A-2E||B||A*|=1. 又|A*|=9,|A-2E|=1,所以|B|=1/9. (切忌算B=(A-2E)-1(A*)-1.) 例3 设4×4矩阵A=(x,a,b,g), B=(h,b,g,a). 若|A|=1, |B|=2,则行列式|A+B|=[ ].

正解：|A+B|=|x+h, a+b, b+g, g+a|=|x+h, 2(a+b+g), b+g, g+a|=2|x+h, a+b+g, b+g, g+a| =2|x+h, a, b+g, g+a|=2|x+h, a, b+g, g|=2|x+h, a, b, g|=2(|x, a, b, g|+|h, a, b, g|)=2(|A|+|B|)=6. 巧解:正解令人羡慕,但可能想不起来.于是令A=E,则.但|B|=2,所以取最简单的 .于是 ,故|A+B|=6. 例4 若四阶方阵A的特征值分别为-1,1,2,3,则行列式|A-1+2A*|=[ ]. 解此题考查对特征值的理解.特征值的性质中最重要(也是最简单的)的有两条，即所有特征值的和等于矩阵的迹(=对角线元素之和),而所有特征值的积等于矩阵的行列式.因此|A|= -6!剩余的就是简单的变形了: A-1+2A* = A-1 (E+2A A*) = A-1 (E+2|A|E)=-11A-1. 故|A-1+2A*|=|-11A-1|=(-11)4|A-1|=-114/6. 本题有巧解,你想到了吗?对!就让A是那个满足条件的最简单的矩阵! 例2(上海交大2002) 计算行列式 其中,. 本题只要对特征多项式有一定认识,则易如反掌.所求行列式对应的矩阵A=xE+B, 其中B=(aibj)的任意两行均成比例,故其秩为1(最重要的矩阵类型之一)或0,但由题中所给条件,B10,于是,B至少有n-1个特征值为0,另有一特征值等于trB= a1b1+ a2b2+…+ anbn10. 从而,A有n-1个特征值x,另有一个特征值x+trB.OK 例3(2001) 设A为三阶矩阵,X为三维向量,X,AX, A2X线性无关,A3X=4AX-3A2X.试计算行列式|2A2+3E|. 很多人觉得此题无从下手,实在冤枉了出题人.由A3X=2AX-3A2X可知, A(A2+3A-4E)X=0.由此知, |A|=0:否则,A可逆,X,AX, A2X将线性相关,矛盾!从而(A2+3A-4E)X=0:故X是齐次线性方程组(A2+3A-4E)Y=0的非零解.于是|A2+3A-4E|=0.故A的三个特征值为0,1,-4.于是2A2+3E的三个特征值为3,5,35.所以, |2A2+3E|=3′5′35=525. 例4(1995) 设n阶矩阵A满足AA￠=I,|A|<0,求|A+I|. 解首先, 1=|AA￠|=|A|2,所以|A|=-1. 其次, |A+I|=|A+AA￠|=|A||I+A￠|=|A||I+A|=-|I+A|, 故|A+I|=0. (涉及的知识点: |A|=|A￠|, (A+B)￠=A￠+B￠.) 例5(1999)设A是m′n矩阵,B是n′m矩阵,则

经济数学基础线性代数讲义

经济数学线性代数学习讲义 合川电大兰冬生 1, 矩阵: A =?? ?? ? ?????-012411210, 称为矩阵。认识矩阵第一步: 行与列, 横为行, 竖为列, 第一行依次0,1,2, 第二行1,1,4 第一列0,1,2 这是一个三行三列矩阵, 再给出一个三行四列矩阵 ?? ?? ? ?????-----=12614231213252A 教材概念的m 行n 列矩阵。 ? ???? ???????mn m m n n a a a a a a a a a 2 1 2222111211, 这个矩阵记作n m A ?, 表明这个矩阵有m 行, n 列, 注意行m 写在前面,列n 写在后面, 括号里面的称为元素, 记为ij a , i 是行, j 是列, 例如: ???? ??????-----12614231213252是三行四列矩阵, 也说成43?矩阵, 注意行3在

前面, 列4在后面, 这里211=a ( 就是指的第一行第一列那个数) 123-=a ( 就是指的第二行第三列那个数) 2, 矩阵加法 矩阵加法, 满足行列相同的矩阵才能相加, 对应位置的数相加。 例如: ??????????--011101010 +??????????-012411210=?????? ? ???-021512220 减法是对应位置的数相减。, 3, 矩阵的乘法 矩阵乘法参看以下法则: 注意字母对应 ???? ? ?????3332 31 232221131211 a a a a a a a a a ????? ? ?????3332 312322211312 11b b b b b b b b b ???? ? ??????+?+??+?+??+?+??+?+??+?+??+?+??+?+??+?+??+?+?=33332332133132 332232123131 332132113133232322132132232222122131232122112133132312131132132212121131 1321121111b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a 说明: ???? ? ?????3332 31 232221131211a a a a a a a a a ???????????3332 312322211312 11b b b b b b b b b =?? ? ?????3332 31 232221 1211 c c c c c c c 乘积的结果矩阵11c 等于第一个矩阵的第一行元素11a 12a 13a 乘以第二个矩阵的第一列元素11b 21b 31b , 注意是对应元素相乘, 再求和。 乘积的结果矩阵21c 等于第一个矩阵的第二行元素21a 22a 23a 乘以第二个矩阵的第一列元素11b 21b 31b 。

数学建模案例线性代数教学研究

数学建模案例线性代数教学研究 摘要：本文通过分析线性代数课程的特点和目前教学中出现的问题，从数学建模思想入手，结合几个案例探讨了线性代数中矩阵的概念与运算、特征值和特征向量的应用等知识点。具体阐述了将数学建模思想融入线性代数教学过程中的重要性，增强了学生利用数学建模思想解决实际问题的能力。 关键词：线性代数；数学建模；教学方法 线性代数是高校理工科专业大一新生的一门重要的公共基础课程，它不仅是很多高年级的课程的延伸和推广，而且它在数学、物理、控制科学、工程技术等领域也具有广泛的应用，特别是当前计算机科学技术人工智能的快速发展，使得线性代数的作用和地位得到更大的提升。因此，线性代数这门课程学习效果的好坏对学生知识能力的培养和后继课程的开展至关重要。但是，目前线性代数的教学仍然存在一些问题，具体表现为：第一，线性代数的教学模式偏重于理论教学，无法激起学生的学习兴趣。线性代数的概念多，理论性强，抽象晦涩，难以理解，更加加深了学生学习线性代数的难度，降低了学生的学习兴趣。第二，学生的基础较差，课程数较少，导致学生的学习困难。学生来源于不同的地区，生源素质差异较大，使得课堂出现两极分化现象，致使线性代数的教学质量无法全面提升。第三，教学中缺乏实际的应用背景，学生无法理解线性代数作为一门重要基础课程的意义。众所周知，数学建模就是根据实际问题建立数学模型，然后运用数学知识对模型求解，最后根据计算结果来解决实际问题的过程[1]。基于此，本文将数学建模的思想融入线性代数的教学过程中，通过适当引入典型的建模案例[2，3]，达到吸引学生的注意力和学习兴趣的目的，从而活跃课堂教学氛围，提高教学效果。与此同时，在上课过程中讲授数学建模案例还可以增加老师和学生之间的互动性，丰富课堂教学的内容，开阔学生的眼界，使得原本抽象、枯燥乏味的概念和定理变得生动有趣，进而激发学生学习线性代数的兴趣，提升学生学习数学的素养。 1 数学建模案例在线性代数中的应用 线性代数教学中有许多定义和定理抽象晦涩、难以理解，学生上课中往往不知所云，更不知道学习了相关知识有什么作用。如果在教学过程中我们融入

学习典型案例警示教育心得体会

学习典型案例警示教育心得体会 胡斌 本人通过多次阅读地税典型案例警示教育读本，认为此读本是一本自我警醒的好教材，读起来确实发人深省：全书典型案例，有贪污、有挪用、有受贿、有失职的等，可谓“五花八门”。每次阅毕，合书沉思，思绪万千：毁在贪上的，栽在赌上的，倒在情上的……代价惨重，教训深刻，痛心疾首！这从读本《披着“廉政”外衣的贪婪之徒》典型案例可略见一斑。 通过案例及读本的其他案例，警示颇多。我认为，上级局要求干部职工认真阅读，撰写心得体会的目的，就如关礼局长在此书作序时所说：目的在于以案说法明纪，用身边事教育身边人，使反腐倡廉教育更具针对性和实效性。我们要始终坚持“聚财为国，执法为民”税收工作宗旨，在大力推进依法治税，大力组织收入的同时，也要求实推进反腐倡廉建设。作为一名纪检干部，通过此书典型案例的警示教育，结合陆川地税实际，我认为要从以下两个方面加强对干部队伍的廉政建设： 一、注重学习教育深刻剖析典型案例做到警钟常鸣 撰写心得体会，便是开展主题教育活动的十项活动之一。要把阅读、撰写心得体会与主题教育活动结合起来，要与反腐倡廉结合起来，切勿走过场，以应付敷衍了事。 （一）形成学习氛围。我们不仅要在此次阅读活动中认真阅读好、撰写好心得体会，不仅是读一次，写一次，而是以此次阅读活动

为契机，要加强政治理论和业务知识的学习，并做到勤奋学习，学以致用，做到既集中学习，专家解读，专人领学，又要平时个人坚持学。形成你学、我学、大家学；你读、我读、大家读；你讲、我讲、大家讲；你写、我写、大家写的良好学习氛围。（二）认真剖析。要在警示教育上下功夫，写好这篇文章就要理解主题教育活动，一是弘扬良好作风；二是防范岗位风险；三是牢固树立“勤政廉政”意识。通过对典型案例的剖析，要对每个岗位的税收工作进行“盘点”。我们每一位税务人员在不同的岗位上是否依法依规办事了，是否存在违法违纪违规现象；在生活作风上是否时刻保持良好的品德、高尚的情操，如在生活情趣上是否健康是否保持高尚的精神追求；再如是否慎交朋友发生靖西地税局的典型案例中的黄某某，只要是公务接待，他一般都安排到大排挡吃便餐，不怕别人说他“抠”。然而，黄某某暗地里做的却是另一套：在人们的视线之外，热衷于和老板、大款们交朋友、称兄弟，成为他们的座上宾。他频频与老板、大款们出入高档消费场所，混迹于灯红酒绿之间，在觥筹交错、轻歌曼舞中讲义气、论名分、议钱财、比享乐，扮演着与一个党员领导干部极不相称的角色，最终成为人民的罪人。这活生生的一幕告诉我们：党员领导干部一定要注意到台上台下一个样，工作时间和业余时间一个样，有监督和无监督一个样，始终自觉遵守党纪国法，严格要求自己，保持共产党员的政治本色。我们就是要以这些典型案例举一反三，时刻提醒自己，工作是否做好了，为税是否清廉

考研数学线性代数讲义

1.题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按 行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E. 2.若涉及到A.B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩阵的定 义去分析。 3.若题设n阶方阵A满足f（A）=0，要证aA+bE可逆，则先分解出 因子aA+bE再说。 4.若要证明一组向量a1，a2，…，as线性无关，先考虑用定义再说。 5.若已知AB=0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理再说。 6.若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 7.若已知A的特征向量ζ0，则先用定义Aζ0=λ0ζ0处理一下再说。 8.若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 2010考研基础班线性代数 主讲：尤承业 第一讲基本概念 线性代数的主要的基本内容：线性方程组矩阵向量行列式等一．线性方程组的基本概念 线性方程组的一般形式为: 其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等. 线性方程组的解是一个n个数 C,2C, …, n C构成,它满足:当每个方程中 1 的未知数1x都用1C替代时都成为等式. 对线性方程组讨论的主要问题两个:

(1)判断解的情况. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解. 如果两条直线是相交的则有一个解；如果两条直线是重合的则有无穷多个解；如果两条直线平行且不重合则无解。 (2)求解,特别是在有无穷多解时求通解. 齐次线性方程组: 021====n b b b 的线性方程组.0,0,…,0 总是齐次线性方程组的解,称为零解. 因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解). 二.矩阵和向量 1.基本概念 矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展. 矩阵由数排列成的矩形表格, 两边界以圆括号或方括号, m 行n 列的表格称为m ?n 矩阵. 这些数称为他的元素,位于第i 行j 列的元素称为(i,j)位元素. 5401 23-是一个2?3矩阵. 对于上面的线性方程组,称矩阵 mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211=和m mn m m n n b b b a a a a a a a a a A 21212222111211)(=β

[线性代数电子讲义] [1] 行列式的定义

[线性代数]第一章 行列式 1 二阶与三阶行列式的引入 2n阶行列式的定义 3行列式的性质 4余子式与代数余子式 5行列式的展开定理 6线性方程组的Gramer 法则 7典型例题回顾

用消元法解二元线性方程组: ?? ?=+=+, ,22221211212111b x a x a b x a x a :2x 消去◇二阶行列式 2 122211211b b a a a a ,)(212221*********b a a b x a a a a -=-:1x 消去, )(211211*********a b b a x a a a a -=-时， 当021122211≠-a a a a ，211222112122211a a a a b a a b x --=. 21 12221121 12112a a a a a b b a x --=1.二阶与三阶行列式的引入

22 211211a a a a [定义1]22 2112 11a a a a 21 122211a a a a -=: 记号主对角线副对角线 [二阶行列式计算:对角线法则] 2211a a =21 12a a -22 2112 11a a a a : 224列的数表行个数排成设有，211222112122211a a a a b a a b x --=. 21 12221121 12112a a a a a b b a x --=21122211a a a a -代数式称为该数表所确定的二阶行列式.

,22 21 12 11a a a a D = ?? ?=+=+. ,22221211212111b x a x a b x a x a 二元方程组: [系数行列式] [二元方程组的Gramer 法则] ?? ?=+=+. , 22221211212111b x a x a b x a x a 22211211a a a a D =,222 12 1 1a b a b D = ?211222112 122211a a a a b a a b x --=D D x 1 1=

自考04184线性代数(经管类)讲义

自考高数线性代数课堂笔记 第一章行列式 线性代数学的核心容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。 1.1行列式的定义 （一）一阶、二阶、三阶行列式的定义 （1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。 注意：在线性代数中，符号不是绝对值。 例如，且； （2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两 个对角线上的数的积之差。（主对角线减次对角线的乘积） 例如 （3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为 例如=0 三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆 方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。 例如： （1） =1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0 （2） （3） （2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如

例1a为何值时， [答疑编号10010101：针对该题提问] 解因为 所以8-3a=0，时 例2当x取何值时， [答疑编号10010102：针对该题提问] 解： 解得0

线性代数课程教学总结

线性代数课程教学总结 《线性代数课程教学总结》的范文，这里给大家。篇一：线性代数课程总结 线性代数精讲 曾经我学过线性代数，但是没有深入的学习，所有一直希望有一个机会能够深入学习线性代数的机会。没有想到的是，今年的选修课给了我这样一个机会。线性代数精讲，当我看到它的时候，毅然的选了这门选修课。 现在这学期快要结束了，当然这门选修课也即将结束，在这里我想总结一下这门选修课给我带来的帮助。首先从专业来说，对于学习计算机的人来说，数学的重要性不言而喻。打一个比方，数学就好比计算机的左膀右臂。对于想深入学习计算机的人来说，数学必须学得很好。所以线性代数这门课对我来说很重要，它与我们所讲的数据结构中的图有很大的联系。通过这门课程的学习，我已经深入了解了线性代数，它使我对原来学过的某些知识有种恍然大悟的感觉。以后我还会继续学习线性代数这门课程，我相信它给我带来的还远不止这些。 其次，从考研方面来说，对于考研考试中的数学试卷，线性代数占有很大的比重，这也显现出来线性代数对考研的学生来说有多么重要。我是一个将在后年要参加考研的学生，能听到线性代数精讲这样一门课，我很高兴。在这门课程的学习过程中，老

师深入地讲解了线性代数，让我的考研之路轻松了不少。而且，老师在将课的同时还插入例如考研真题，这是最让我感激的地方。有这样的辅导，我的线性代数还愁不过吗？ 最后，我想从对实际生活的影响方面来说，生活中的思维模式是 数学思维模式的一种映射。从某一个方面来说吧，比如做数学中的证明题，每一步都不是凭空而来的，精品而是根据题中的实际要求一步一步推出来的，这就好比做生活中的某件事，如果没有一步一步踏踏实实的走过，是不可能有好的结果的。这门课的讲解，让我对数学的思维模式有了更深入地了解，对生活也有了更深入的认识。 通过这半学期的学习，让我学到了很多，我想说对老师说声谢谢。希望这门课能够一直的讲下去，让更多学弟学妹们受到帮助。 篇二：线性代数课程总结 线性代数课程总结 第一章行列式 1.1二阶、三阶行列式 （一）二阶行列式 （二）三阶行列式 1.2 （二）

63“案例教学”家长心得

碧桂花城学校家长学校 “案例教学”家长学习心得 六（3）班何浩杨家长9月18晚，在碧桂花城六（3）班教室举行了家长学校“案例教学”活动，主讲人是班主任王老师，讲座内容是：教育的成功有赖于良好的沟通。 我觉得这样的活动应该多办，可以能让家长与老师多沟通，家校沟通是非常重要，这让老师和家长能清楚了解孩子各方面的发展和优缺点，能共同教育出优秀的学生。 良好沟通交流可以融洽亲子关系，可以按以下几点方法：1、态度和蔼真诚，让孩子感觉你确实有很多的话要和他说，要和他交流一下，你的态度和蔼，表现得比较真诚，孩子才愿意和你谈心，。2、要了解孩子，许多家长都认为我自己的孩子我还不了解吗？其实很多家长是不了解孩子的，不了解孩子的真正想法，心理发展趋势，叛逆和青春期，总认为孩子不听话，却不知道是自己不了解孩子造成的，所以一定要多关注孩子，关心孩子，才能逐步了解孩子，为以后的沟通交流打下机础。3、要信任孩子，孩子一般是不会说谎的，只有在家长不信任的情况下，为了保护自己免受责备或皮肉之苦，才会说谎，家长只有信任孩子所说的话，不是想当然的认为，孩子就是在说谎，家长不仅要信任孩子的话，还要学会信任孩子的能力，这样才会建立信任，有了信任，孩子才会放下保护层，才会信任你和你敞开心扉。

4、要尊重孩子，没有尊重一切都是空话，家长只有放下自己的家长架子，放下家长只认为的家长权威，尊重孩子的想法，尊重孩子的话语权，让孩子有机会说，才有可能进行沟通，更要尊重孩子的隐私，名誉权等，不要侮辱嘲笑孩子。 5、要理解体谅孩子，不要把自己的意愿强加在孩子身上，整天就知道逼着孩子学习学习，把孩子作为实现自己理想的一个工具，家长要知道爱玩的孩子的天性，不要扼杀了孩子的童年乐趣和天性，如果一味的高压管你只会适得其反，孩子变得沉默不语，不想和你交流说话。 6、做孩子的听众粉丝，在孩子的心里是渴望自己的父母理解自己，体谅自己，能够读懂自己，不要冤枉自己，要多听听他们的想法，孩子有这份渴望，只是家长有些忙呀，累呀，烦呀，不想听孩子叨叨，孩子慢慢的就藏起了这份渴望，所以家长一定要学会做孩子的听众，更要做孩子的粉丝，多鼓励孩子，抓住一齐可以和孩子交谈的机会，关心他们，呵护他们，这样孩子就会和你成为朋友，什么话都愿意向你倾诉了。希望家校一起培育出更好的花朵。

线性代数 英文讲义

Chapter 4 Linear Transformations In this chapter, we introduce the general concept of linear transformation from a vector space into a vector space. But, we mainly focus on linear transformations from n R to m R. §1 Definition and Examples New words and phrases Mapping 映射 Linear transformation 线性变换 Linear operator 线性算子 Dilation 扩张 Contraction 收缩 Projection 投影 Reflection 反射 Counterclockwise direction 反时针方向 Clockwise direction 顺时针方向 Image 像 Kernel 核 1.1 Definition ★Definition A mapping(映射) L: V W is a rule that produces a correspondence between two sets of elements such that to each element in the first set there corresponds one and only one element in the second set. ★Definition A mapping L from a vector space V into a vector space W is said to be a linear transformation（线性变换）if

案例教学法学习心得体会

案例教学法学习心得体会 通过对案例教学法的学习,让我受益匪浅。思想政治课的教学现状却令人担忧.目前，在思想政治课堂教学中使用最多的方法是讲授法。教师在教学中，往往以“知识”为中心，忽视智力、能力、情感、态度等因素；往往重说理、轻情感；重结论、轻过程；这种方法的缺陷是明显的，教学效果低下；在解决实际问题时显得束手无策。所以,依据课程改革目标的规定：教学要使学生“形成积极主动的学习态度，使获得基础知识与基本技能的过程同时成为学会学习和形成正确价值观的过程……倡导 学生主动参与，乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力，获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与创作的能力。”随着社会的发展,我越来越清醒地认识到要切实提高素质教育的成效，在转变教学观念，改革教学评价体系的同时，还必须紧紧抓住课堂这一主阵地，通过优化课堂教学方法，一方面必须给传统教学方法以新的内涵，另一方面必须引进一些发现、探索、归纳、推理的现代教学方法，从而建立科学、合理的教学模式，真正将素质教育落到实处。而从思想政治课理论性强的特点出发，科学地应用案例教学法，则不失为一个有效途径。在当前形势下，科学地选用案例教学法，以改变传统的、单一的教学模式是有利于学生综合素质的提高的，但我们也必须看到案例教学法只是现代教学方法中的一种，要优化课堂教学，并不是简单地以一种教法替代另一种教法，而应是多种教法的综合运用，它必须随着教学目标、教学内容和学生情况的不同而有所侧重，只有这样，才能真正提高课堂教学质量。因此，进一步认识了解案例教学法，充分发挥其优势，运用

案例教学法，优化课堂教学模式在全面实施素质教育的今天，更有其现实意义。

线性代数讲义-01行列式

第一章 行列式 第一节 行列式的定义. 一 排列的逆序数 将数n ,,2,1 按照某个顺序排成一行, 称为一个n 阶排列. 记作n p p p 21. 共有!n 种不同的n 阶排列. 按照从小到大的顺序称为标准顺序. 而排列n 12称为标准排列. 定义1.1 如果在一个排列中, 某两个数的先后顺序与标准顺序相反, 则称有一个逆序. 这个排列的逆序的总数称为该排列的逆序数. 在n 阶排列中, 标准排列的逆序数最小, 等于0. 而排列1)1( -n n 的逆序数最大, 等于2/)1(-n n . 定义1.2 如果一个排列的逆序数是奇数(偶数), 则称其为奇排列(偶排列). 例如, 共有6个三阶排列, 其中123, 231, 312是偶排列, 而132, 213, 321是奇排列. 定义 1.3 在排列中, 将任意两个数对调, 其余数不动, 这种产生新排列的过程称为对换. 将两个相邻的数对换, 称为相邻对换. 定理1.1 一个排列中的任意两个数对换, 排列改变其奇偶性. 证 如果这两个数相邻, 进行对换时, 只改变这两个数的先后顺序. 因此, 逆序数或者增加1, 或者减少1. 即进行相邻对换时, 奇偶性改变. 考虑排列n k i i i p p p p p ++11, 其中1>k . 为完成i p 与k i p +的对换, 其余数不动,可按照下面方式进行. 先将i p 与1+i p 对换, 再将i p 与2+i p 对换, 继续进行, 直至i p 与k i p +相邻. 在这个过程中, i p 逐渐向后移动, 而其他数的先后顺序不变. 如此共进行1-k 次对换, 得到排列n k i i i p p p p p ++11. 然后将k i p +与i p 对换, 再将k i p +与1-+k i p 对换, 继续进行, 直至k i p +向前移动到1+i p 的左边为止. 此时恰好得到排列n i i k i p p p p p 11++.如此又进行k 次相邻对换. 总计进行12-k 次相邻对换, 因此, 必然改变奇偶性. 如果用定义计算一个排列的逆序数, 需要观察任意一对数的先后顺序, 比较繁琐. 考虑n ,,2,1 的一个排列n p p p 21, 任取一个数i p , 如果有i t 个比i p 大的数排在i p 的前面, 则称i t 是i p 的逆序数. 所有数的逆序数的和就是排列的逆序数. 例1.1 求排列32514的逆序数. 解 按照上面的方法, 得逆序数为513010=++++. 例1.2 设1>n , 求证: 在n 阶排列中, 奇排列与偶排列各占一半. 证 将一个奇排列中的数1与2对换, 产生一个偶排列. 反之, 将一个偶排列中的数1与2对换, 产生一个奇排列. 如此建立奇排列与偶排列之间的一一对应. 因此, 在n 阶排列中, 奇排列与偶排列的个数相等. 二 行列式定义 以前学过二阶与三阶行列式: 2112221122 21 1211a a a a a a a a -=;

学习典型案例警示教育心得体会—学习心得

学习典型案例警示教育心得体会—学习心得 我于２００６年１０月２４日至１０月２９日，在我市联社组织学习扎实开展典型案例 警示教育活动以来，我参加学习了一次联社中心学习组《关于典型案例警示教育》学习和禄市信用社组织专项学习《关于典型案例警示教育》学习。主要学习了川 信联委发［２００６］９１号《关于在全省农村信用社范围扎实开展典型案例警示教育活动的通知》、华信联发［２００６］１１８《关于在全市信用社范围扎实开展典型案例警示教育活动的通知》、四个典型案例、相关文件以及四川省农村信用社各种制 度和规章等内容。通过案例学习，让我熟知了《南充市原城郊信用社会计支某侵 占资金案件》、《遂宁市射洪县紫云信用社何家桥分社董某等三人侵占资金案件》、《宜宾市高县庆符信用社罗某侵占资金案件》、《成都市郫县高新信用社高某挪用、侵占资金案件》其四个案例案发过程，暴露出的问题，对农村信用社造成的巨大 损失，对直接责任人和相关责任人的责任严肃处理，警示我们信合员工不能踏“红线”，不能侵占、挪用集体资金，震慑了国家的法律威严———违法必究。通过本次集体学习省联社出台的各项新规章制度，让我重温了《农村信用社会计出纳基本制度》、《四川省农村信用社内控约束制度》、《四川省农村信用社信贷工作尽职管理办法》等操作性识务知识和安全保卫工作的重要性、必要性、紧迫性，让我熟练掌握了操作流程，使我们信合员工必须按操作规程操作每笔业务，按合法合规方法处理每件事宜，懂得了省联社对违者必重罚，违者严处理的鲜明态度。 一、案例启示教育。 ———南充市原城郊信用社支某侵占资金案：支某为信用社会计，利用职务之便，以高息揽储或承诺不扣利息所得税为诱饵，侵占储户资金１２笔、125.45万元。所暴露的问题是：一、会计、出纳基本制度执行不力。未坚持四双制度的“双人临柜”、未坚持会计制度中的印、押、证分管、未坚持帐表凭证换人复核、会计要素不齐全，这些原因都是导致该案的主要原因，也是最根本的原因。二、事后监督履职 不到位。这告诉我们在各自职责上，必须要有事业心和责任感，不能停于口中和 手上。认真对待事后监督工作，要仔细地做好。从这方面说明一个问题，没有认 真做好事后监督工作，客观上给犯罪人提供可乘之机。只有坚持制度，贯彻执行 制度，才能真正消除安全隐患。 ———遂宁市射洪县紫云信用社何家桥分社董某等三人侵占资金案件：董某、龚某、章某三人身为信用社负责人，出纳员，会计员利用职务之便，在２０００年２月 １７日至２００３年４月２５日期间，采取自制凭证盗取客户存款１５笔、803,848.15元，集体参与作案。所暴露的问题是：一、基本制度未贯彻执行，至使三人合伙作案未被发现。未坚持交叉复核制度、印章保管未按要求保管、经办员私章未妥善管理。这些问题所暴露出了，致使该得逞３年之久的直接案发原因。二、轮换班人员安 排不当，固定一组人员长期一班，因而该案潜伏期较长。三、储蓄事后监督员、主办会计监督不力。没有坚持内外核对，大户和对公账户没有按月对账。四、信用 社正、副主任执行基本制度检查监督不力。对存在的问题在检查中未发现和纠正，同时说明该社领导思想较差和业务不熟，放之任之。五、稽核工作不力。充分说 明该市稽核工作落实责任不到位，没有认真做事。总而言之，该案说明管理者业

线性代数教学方案(正式打印版)

第（1）次课授课时间（）

基本内容备注第一节二、三阶行列式的定义 一、二阶行列式的定义 从二元方程组的解的公式,引出二阶行列式的概念。 设二元线性方程组 ? ? ? = + = + 2 2 22 2 21 1 2 12 1 11 b x a x a b x a x a 用消元法,当0 21 12 22 11 ≠ -a a a a时,解得 21 12 22 11 1 21 2 11 2 21 12 22 11 2 12 1 22 1 , a a a a b a b a x a a a a b a b a x - - = - - = 令 21 12 22 11 22 21 12 11a a a a a a a a - =,称为二阶行列式,则 如果将D中第一列的元素 11 a,21a换成常数项1b,2b,则可得到 另一个行列式,用字母 1 D表示,于是有 22 2 12 1 1a b a b D= 按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和： 21 2 22 1 a b a b-,这就是公 式（2）中 1 x的表达式的分子。同理将D中第二列的元素a 12,a 22换 成常数项b1,b2 ,可得到另一个行列式,用字母 2 D表示,于是有 2 12 1 11 2b a b a D= 按二阶行列式的定义,它等于两项的代数和： 1 21 2 11 b a b a-,这就是公式 （2）中 2 x的表达式的分子。

于是二元方程组的解的公式又可写为 ? ? ? ?? ? ? = = D D x D D x 2 2 1 1 其中0 ≠ D 例1.解线性方程组. 1 2 12 2 3 2 1 2 1 ? ? ? ? ? = + = - x x x x 同样,在解三元一次方程组 ? ? ? ? ? = + + = + + = + + 3 3 33 2 32 1 31 2 3 23 2 22 1 21 1 3 13 2 12 1 11 b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 时,要用到“三阶行列式”,这里可采用如下的定义. 二、三阶行列式的定义 设三元线性方程组 ? ? ? ? ? = + + = + + = + + 3 3 33 2 32 1 31 2 3 23 2 22 1 21 1 3 13 2 12 1 11 b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 用消元法解得 定义设有9个数排成3行3列的数表 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a 记 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a D=32 21 13 31 23 12 33 22 11 a a a a a a a a a+ + = 33 21 12 32 23 11 31 22 13 a a a a a a a a a- - -,称为三阶行列式,则

观看典型案例警示教育心得体会XX

观看典型案例警示教育心得体会XX 观看典型案例警示教育心得体会XX 人生观、价值观、权力观。切实将总局关于党风廉政建设“三个贯穿于”方针落实到位。大力倡导“聚财为国，执法为民”，坚持以廉促税，以党风带政风、促行风，提升服务质量，营造征纳和谐，全面树立干部良好形象。 人生无常，有时候我们以为不可能改变的事情也会突然改变。每个人都有贪念，我们必须承认这一点，然后再用教育改变这一点。我们应该勇敢地承认自己的缺点，小编前天编辑整理了一篇参加典型案例警示教育活动心得体会,这篇参加典型案例警示教育活动心得体会写得很好,大家可以收藏起来。 今天参加了典型案例警示教育活动,使自己真正在思想上受到了震憾和教育,这些曾为国家做出过贡献的同志沦为阶下囚,是因为他们没有时刻进行理想信念的修养,加强作风建设,导致理想信念动摇,丧失党性原则,宗旨观念淡薄,把权力当成谋取私利的资本,拜金主义、享乐主义占据头脑,人生观、价值观发生偏离,堕落为犯罪分子。活动结束后,我的内心久久难以平静,自身感触颇深,结合自身工作实际,下面谈谈自己的一点看法和观点。 一、加强政治学习,提高自身素质。通报中的党员领导干部在分析自己如何走上犯罪道路的时候,莫不是提到自己

放松了学习,思想上信念动摇,世界观、人生观、价值观发生偏离,才导致走上了犯罪的道路。可见在市场经济的大潮中,面对金钱和名利的诱惑,加强自身的学习,保持思想上的警醒是多么的重要。如今,在和平的幸福年代,时刻为教学服务应是我们牢记的宗旨,邓小平同志的“三个代表”重要思想,“八荣八耻”都应是我们学习和遵照执行的行为准则。俗话说“活到老,学到老”,我将做到了认认真真的学,扎扎实实地学,使自己有强烈地责任感和紧迫感,首先确保思想上过关,并在工作中切实找到切入点,做到学以致用。 二、坚持防微杜渐,防范上过关。通过案例我们可以感受到贪污腐败付出的代价是很大的,自由乃至性命,后果是极其严重的。“一失足成千古恨”,我想这些一定也是追悔莫及者的内心感受,然而真正品尝了其中的滋味,那后悔可就晚亦。所以,强化自律意识,构筑廉洁自律的警示防线,是对每个人的考验。 我作为一名普通党员,平时要加强廉洁自律的学习,增加廉政的意识,做到“常在河边走,就是不湿鞋”。关键时刻一定要明白自己该做什么,不该做什么。一定要提高认识,以与时俱进的精神,做好本职工作。顺应形式的发展,强化保廉意识,做到廉洁自律,从而在错综复杂的社会中找准自己的人生航标,始终保持奋发进取的精神状态,真正筑牢拒腐防变的思想道德防线。