第二节无阻尼自由振动

第二章 单自由度系统的自由振动

第一节 导引

单自由度系统（Single-Degree-Freedom systems ）是最简单的振动系统，又是最基本的振动系统。这种系统在振动分析中的重要性，一方面在于很多实际问题都可以简化为单自由度系统来处理，从而可直接利用对这种系统的研究成果来解决问题；另一方面在于单自由度系统具有一般振动系统的一些基本特性，实际上，它是对多自由度系统、连续系统进行振动分析的基础。

所研究的振动都是微幅振动问题（微振动）。所谓微振动是指系统受到外界干扰后，系统各个质点偏离静平衡位置，仅作微小的往复振动。系统在振动过程中所受到的各种力将认为只与位移、速度等成线性关系，可以忽略可能出现的高阶微小量。例如单摆，其运动微分方程为

2

sin 0ml mgl θθ+=

sin 0g

l

θθ+=

把单摆作为线性系统研究，则令

sin θ

θ≈

故有

0g

l

θθ+=

mg

第二节 无阻尼自由振动的运动微分方程及其解

自由振动（free vibration ）是指在外界干扰下依靠系统本身的弹性恢复力所维持的振动。

一、运动方程及其解

m

()

k x ?+k

最简单的单自由度振动系统-----有一个质量m 和一根弹簧（弹簧的刚度系数为k ，它是弹簧每伸长或缩短一个单位

长度所需施加的力，单位为N

m

）组成的弹簧质量系统。

弹簧原长为0l 。当系统在没有振动时，系统处于平衡状态，称为静平衡。此时，系统在重力的作用下产生拉伸变形

?，称为系统的静变形。由静力平衡条件有

mg k =?

当系统受到外界某种初始扰动（例如用力将质量块偏离静平衡位置后突然释放，或给质量块以突然一击使之得到一个初始速度），使系统的静平衡状态遭到破坏，则弹簧力不再与重力平衡，从而产生不平衡的弹性恢复力，系统就依靠这种弹性恢复力在其静平衡位置做往复运动，称为自由振

动。

建立坐标系：取静平衡位置为坐标原点，用x 表示质量块由静平衡位置算起的垂直位移，且规定x 方向向下为正。质量块在振动过程中任一瞬时位置的受力： 不变的重力：W

mg =

弹簧力 ：()k x ?+

根据牛顿运动定律，有

()mx mg k x =-?+

则有

0mx kx += （2-1）

单自由度无阻尼系统自由振动的运动方程。 两点讨论：

（1）质量块的重力只对弹簧的静变形?有影响，即

W mg =的大小只改变质量块的静平衡位置，而不影

响质量块在静平衡位置附近作振动的规律。因此，当

取静平衡位置为坐标原点建立运动微分方程时，在方程式（2-1）中就没有重力项，同时也没有由静变形引起的弹簧力这一项。

（2）方程式（2-1）中

kx -称为弹性恢复力。它的大小

和位移的大小成正比，方向始终与位移方向相反。因此，弹性恢复力的方向始终指向静平衡位置，这是弹性恢复力的一个特点。

令 2n

k

m

ω=

则方程（2-1）可写为

20n

x x ω+= （2-2）

其通解为

cos sin n n x A t B t ωω=+ （2-3）

式中,

A B 为任意常数它由初始条件0t =时0(0)x x =和

0(0)x x =来确定。

将初始条件代入方程中，得

0cos sin n n n

x x x t t ωωω=+

（2-4）

它是由两个相同频率的简谐运动组成，称为系统对于初始条件为0x 和0x 的响应。经变换方程（2-4）该写为

00

cos(),

n n x A t x A tg x ω??ω=-==

（2-5）

A ----- 自由振动的振幅（amplitude ），它表示质量块离开静平衡位置的最大位移。 ?----- 初相位（initial phase ）

。 由上式可见，振幅和相位都取决于初始条件。这是自由振动的共同特点。

系统的固有圆频率（natural circular frequency ）

()n rad s ω=

系统的固有频率（natural frequency ）

()122n n f Hz ωππ

==

系统的固有周期（period ）

()122n n T s f ππ

ω===

固有频率和周期决定与系统本身的物理性质：质量和弹簧刚度，而与自由振动的初始条件无关。因此，一旦确定了系统的质量和弹簧刚度，则系统的固有频率就有一个确定的值。

固有频率是振动系统的一个重要参数，是进行振动分析或动态结构设计必不可少的参数。

注：方程（2-5）也可写成如下形式

00

sin(),n n x A t x A tg x ω?ω?=+==

例题1：一卷扬机，通过钢索和滑轮吊挂重物（如图a所示）。重物重量W=147000N，以v=0.025m/s等速下降。如突然制动，钢索上端突然停止。这时钢索中的最大张力为多少？钢索弹簧常数为k=5782×103 N/m 。

(a) (b) (c)

注意：解题时各物理量的单位要统一。

解：在正常工作时，重物以等速下降，系统处于静平衡状态，钢索的张力为

T1=kΔ=W=147000 N

由于钢索是一弹性体，系统可表示为图（b）的形式。

突然停止，把这一时刻作为事件的起点t=0，并以这一时刻重物静平衡的位置作为坐标原点，则系统可简化为图（c）的模型。系统的振动微分方程为

0W

x kx g

+= 系统的固有频率为

()

19.6n rad s ω==≈

施加于系统的初始条件为

(0)0,(0)0.025m x x v s

===

代入A =

，得 A=0.00128 (m)

则由振动引起钢索中的动张力为 T 2=kA=7400.96 (N) 钢索中的最大张力为

T=T 1+T 2=154400.96 (N)

例题2： 有一弹簧-质量系统，如图所示。有一质量m 从

高度h 处自由落下，落在质量m 1上。假设为弹性碰撞，且没有反弹。试确定系统由此而发生的自由振动。

（

a ） （

b ） （

c ） （

d ） 注： 图（c ）是振动起始时刻；图（d ）是振动系统的静平衡位置，也即系统坐标原点位置。

解：以m 与m 1碰撞这一时刻，作为时间的起点。 取质量m 和m 1与弹簧k 形成的新系统的静平衡位置为坐标原点，如图（d ）所示。

质量m 自由落下距离h ，其速度为

v ='

质量m 与m 1 发生无反弹的弹性碰撞（动量守恒）后，质量

m 和m 1的速度为

011

m m v v m m m m =='++则初始速度为

00x v m ==初始位移为

02111()

()x m m g m g mg k k k ?????

?=-?-?+=--=- 系统的固有频率为

n ω=

由初始条件所确定的系统的自由振动为

01cos sin cos sin n n n

n n n

x x x t t

mg

t t

k ωωωωω=+

=-+

二、静变形法---- 计算固有频率的一种方法

∵ mg

k =?

（?是弹簧在质量块处的静变形）

∴

n ω==

（2-6） 故只要知道弹簧在质量块处的静变形?，就可以直接计

算系统的固有频率。这在一些实际问题中，不能直接给出系统的弹簧刚度时，利用它计算固有频率是比较方便的。

例

由材料力学挠曲线方程，得

3

3

334(0)482

Pl x x l

y x EI l

l ??

=-≤≤ ???

静变形为3

48mgl EI

?=

∴ n ω=

三、等效弹簧刚度

对于实际的机械系统，尽管其外形各不相同，但都可把它们简化成弹簧质量系统，其运动微分方程为

0e e m x k x +=

e m --- 等效质量 e k --- 等效刚度

1. 等效刚度的定义

刚度k 的定义：使系统的某点沿指定的方向产生单位位移（或角位移）时，在该点沿同一方向所要施加的力（或力矩），就称之为系统在该点沿指定方向的刚度。

设某点沿指定方向的位移为x ，在该点同一方向所施加

的力为F ，则刚度为F k x

=。

（1）杆的拉伸刚度（压缩刚度）

为求杆的拉伸刚度，可设在A 点处作用一拉力P 。此时杆作拉伸变形。由材力知A 点的拉伸变形为

A Pl x EA

=

则A

点沿x 方向 的拉伸刚度为

A P EA

k x l

==

（2）梁的弯曲刚度

由材力知，A 点的

静挠度为

3

3A Pl y EI

=

则A 点沿x 方向的弯曲刚度为

33A P EI k y l

==

（3）轴的扭转刚度

M

确定等直轴绕x 轴的转动方向的刚度，在A 点处绕x 轴的转动方向施加一扭矩M ，这时轴作扭转变形，产生扭转角θ。根据材力扭转角公式

A n

Ml

GI θ= 式中 4

32

n

d I π=

则A 点绕x 方向的扭转刚度为

n

t A GI M

k l

θ==

由上可见，即使是机械中的同一个元件，根据所要研究的不同方向的振动，是会有不同刚度的。

2. 弹簧的串并联的等效刚度（教材1.5）

振动系统中常常会遇到把若干个弹簧串联或并联在一起使用。这种用组合弹簧组成的系统可用单一的具有等效刚度e k 的弹簧表示。

（1）串联弹簧的等效刚度e k

A

1

k 2

k

F

x

eq

k

两根刚度分别为1k 和2k 的弹簧串联在一起的系统，它可用等效刚度为e k 的一根弹簧来代替。在串联弹簧的A 点加一垂直力F ，显然两根弹簧所受到的力均相同，但伸长不

同，分别为1F k 和 2

F

k ，则A 点的位移为两根弹簧的总伸长：

121211A F F

x F k k k k ??=+=+ ???

则弹簧的串联的等效刚度为

12

111eq k k k =+ 或写成

12

12

eq k k k k k =

+ 可见，串联弹簧的作用可使系统中的弹簧刚度降低。

n 根弹簧串联，其等效刚度为

121111eq n

k k k k =++

+ （2）并联弹簧的等效刚度e k

eq

k

F

2

两根刚度分别为1k 和2k 的并联弹簧可用一根等效刚度为e k 弹簧来代替。在并联弹簧的A 点加一垂直力F ，必须使

两根弹簧1k 和2k 具有相同的位移，但两根弹簧的受力不

同，分别为1A k x 和 2A k x ，根据静力平衡条件，有

1212()A A A F k x k x k k x =+=+

则弹簧的并联的等效刚度为

12eq k k k =+

可见，并联弹簧的刚度是原来弹簧刚度之和，比原来各个弹簧刚度都要大。

n 根弹簧并联，其等效刚度为

12eq n k k k k =+++

例题：计算系统固有频率。

1

k 2

k m

弹簧串联，其等效刚度为

12

12

eq k k k k k =

+ ∴

n

ω=

=

思考题：

图示系统固有频率？

1

k 2

k m

注：一个系统，由于所处的位置不同，则系统的等效刚度也

不同。例如

对于图（a ），根据牛顿第二运动定律，系统的运动方程

2sin (sin )(cos )ml mgl ka a θθθθ=--? 因系统作微幅振动，故 sin ,cos 1θθθ≈≈

22()0ml mgl ka θθ++∴=

则其等效刚度为

2eq k mgl ka =+

图（a ）

对于图（b ），系统的运动方程

220ml ka θθ+=

则其等效刚度为 2

eq k ka =

图（b ）

对于图（c ），系统的运动方程

2

sin (sin )(cos )ml mgl ka a θθθθ=-?

即

2

2

()0

m l k a m g l θθ+-= 则其等效刚度为

2eq mgl k ka -=

图（c ）

四、 扭转振动

一根扭转刚度为t k 的垂直轴，下端固 定着一个转动惯量为J 的圆盘。根据 牛顿运动定律，系统的扭振方程为

0t J k θθ+= 令

n ω=

则

20n

θωθ+=

由此可见，除了选择的坐标系不同之外，扭转振动与直线振动的数学描述是完全相同的。故弹簧质量系统的有关结论完全适用于扭转振动。

例题3：确定图示扭转系统

的固有频率。

解：因轴1和轴2有相同的扭 转角，故属于弹簧并联

∴ 12eq k k k θθ=+

根据 n t GI k l = 和 4

32

n d I π=，

则

411132t G d k l π= 和 4

222

32t G d k l π=

1,L 12,L 2

∴

44

12

12

32

t

d d

G

k

l l

π??

+

?

??=

n

ω==

汽车振动练习题

判断题 1、系统作与激振力同频率的简谐振动，振幅决定于激振力的幅值、频率以及系统本身的物理特性。 A.对 2、当初始条件为零，即==0时，系统不会有自由振动项。 A.错 3、隔振系统的阻尼愈大，则隔振效果愈好。 A.对 4、任何系统只有当所有自由度上的位移均为零时，系统的势能才可能为零。B.错 5、对于多自由度无阻尼线性系统，其任何可能的自由振动都可以被描述为模态运动的线性组合。对 6、一个周期激振力作用到单自由度线性系统上，系统响应的波形与激振力的波形相同，只是两波形间有一定的相位差。错 7、单自由度线性无阻尼系统的自由振动频率由系统的参数确定，与初始条件无关。对 8、多自由度振动系统的运动微分方程组中，各运动方程间的耦合，并不是振动系统的固有性质，而只是广义坐标选用的结果。对 9、无阻尼振动的固有频率只与质量和刚度有关，是系统的固有特性，与外界初始激励（初始条件）无关。对 10、对数衰减系数可以用来求阻尼比。（） A.对 11、单自由度系统在简谐激励力作用下，系统将产生一个与激励力相同频率的简谐振动，但滞后一个相角。 A.对 12、线性系统内各个激励产生的响应是互不影响的。 A.对 13、两个同频率的简谐振动在同方向的合成运动是该频率的简谐振动。 A.对 14、简谐振动的加速度，其大小与位移呈正比，而方向与位移相反，始终指向平衡位置。 A.对 15、所有表示周期振动的周期函数都可以展开成Fourier级数的形式。 B.错 16、广义坐标必须能完整地描述系统的运动。 A.对 17、在欠阻尼和过阻尼的情况下，运动都将衰减为零。（）对 18、对于无阻尼系统，速度超前位移90度。（） A.对 19、瑞利法的基础是能量守恒定律。（） A.对 20、有阻尼系统自由振动的频率有可能是零。（） A.对 21、有阻尼系统自由振动的频率有时大于无阻尼系统的固定频率。（） A.对 22、能量守恒定律可用于推导有阻尼系统和无阻尼系统的运动微分方程。（） A.对 23、当质量块在垂直方向振动时，推导运动微分微分方程时都可以不计重力。（） A.对 24、对于单自由度系统而言，无论质量是在水平面还是在斜面上运动，运动微分方程都是相同的。 A.对 25、在空气中振动的系统可以看作是一个阻尼系统。（） A.对 26无阻尼系统的振幅不随时间变化。（） A.对 27、离散系统和集中参数系统是相同的。（） A.对 28、广义坐标不一定是笛卡尔坐标。（） A.对 29、几个不同位置质量的等效质量可以用动能等效得到。（） A.对 30、简谐运动是周期运动。（） A.对

第四节有阻尼的自由振动

第四节有阻尼自由振动 （Damped Free Vibration） 前面的自由振动都没有考虑运动中阻力的影响。实际系统的机械能不可能守恒，因为总存在着各种各样的阻力。振动中将阻力称为阻尼，例如粘性阻尼、库伦阻尼（干摩擦阻尼）、和结构阻尼及流体阻尼等。尽管已经提出了许多种数学上描述阻尼的方法，但是实际系统阻尼的物理本质仍然极难确定。 一、粘性阻尼（Viscous Damping） ------------- 最常见的阻尼力学模型 在流体中低速运动或沿润滑表面滑动的物体，通常就认为受到粘性阻尼。粘性阻尼力与相对速度成正比，即 =& F cx F--- 粘性阻尼力，x&--- 相对速度 ? c--- 粘性阻尼系数（阻尼系数），单位：N S m

二、粘性阻尼自由振动 () k x ?+ 以静平衡位置为坐标原点建立坐标系。由牛顿运动定律，得运动方程 mx cx kx ++= &&&（2-10） 设方程的解为 ()st x t Ae = 代入式（2-10），得 2 ()0 st ms cs k Ae ++= 因为0 A≠，所以在任一时间时均能满足上式条件为 20 ms cs k ++=（2-11） ------ 系统的特征方程（频率方程） 它的两个根为 1,22 c s m =-±（2-12）

则方程（2-10）的通解为 1211212s t s t c t m x A e A e e A A e =+?? ?=+ ??? （2-13） 式中1A 和2A 为任意常数，由初始条件 00(0),(0)x x x x ==&& 确定。显然方程（2-10）的解（2-13）的性质取决于 是实数、零，还是虚数。 当 2 02c k m m ??-= ??? 时的阻尼系数称为临界阻尼系数，用0c 表示。因此 02n c m ω== 令 02n c c c c m ζω=== 叫做阻尼比。 ∵ 022n c c m m ζζω==

对无阻尼两自由度自由振动的振动系统

对无阻尼两自由度自由振动的振动系统，质量块1和质量块2有初始位移x1=2，x2=2，初速度x3=0.8,x4=1.3。弹簧刚度k1=9,k2=12,k3=9。质量均为3kg。求位移与时间之间的关系。 syms k1k2k3m1m2abcdX1X2C1C2wehpsi1psi2r1r2tx1x2x3x4; X1=C1*cos(w_1*t-psi1)+C2*cos(w_2*t-psi2); X2=C1*r1*cos(w_1*t-psi1)+C2*r2*cos(w_2*t-psi2); x1=2; x2=2; x3=0.8; x4=1.3; k=[9,12,9]; m=[3,3]; a=(k(1)+k(2))/m(1); b=k(2)/m(1); c=k(2)/m(2); d=(k(2)+k(3))/m(2); y1=w^2-(a+d)*w+(a*d-b*c); y=solve('w^2 - 14*w + 33=0',w); e=y(1); h=y(2); w=[e,h]; A=[(a-e^2)/b,(a-h^2)/b]; r1=simplify(A(1)); r2=simplify(A(2)); C1=(abs(r2-r1))^(-1)*sqrt((r2*x1-x2)^2+(r2*x3-x4)^2/e^2); C2=(abs(r2-r1))^(-1)*sqrt((x2-r1*x1)+(x4-r1*x3)^2/h^2); psi1=atan((r2*x3-x4)/(e*(r2*x1-x2))); psi2=atan((r1*x3-x4)/(h*(r1*x1-x2))); ts=0:0.01:10; X1=C1*cos(e*ts-psi1)+C2*cos(h*ts-psi2); X2=C1*r1*cos(e*ts-psi1)+C2*r2*cos(h*ts-psi2); plot(ts,X1,'b',ts,X2,'r')

第1章--单自由度系统的自由振动题解

习 题 1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。 解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为k 则 mg k δ= 其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知 δ=3 24mgh EJ = 则 k = 3 24EJ h 设静平衡位置水平向右为正方向，则有 " m x kx =- 所以固有频率3 n 24mh EJ p = 1-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题1-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。 解：给杆一个微转角 2 a ＝h 2F cos α＝mg 由动量矩定理： a h a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12 1 2 2-=-≈?-=== =αθ αθ&& 题1-1图 题1-2图 F sin α 2 θ h mg

其中 12 cos sin ≈≈θ α α h l ga p h a mg ml n 2 2 2 2 2304121==?+θθ&& g h a l ga h l p T n 3π23π2π22 2= == 1-3求题1-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k 1和k 3，悬臂梁的质量忽略不计。 解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。即为 21211k k k k k += '，212132k k k k k k ++='，4 241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++= ) (42412132314 214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++= 1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中J 1、J 2和J 3是三个轴段截面的极惯性矩，I 是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G 。 解： 111/l GJ k = （1） 222/l GJ k = （2） 333/l GJ k = （3） )/(23323223l J l J J GJ k += （4） ) (/)()4)(3)(2(1/)(2332113221332122312l J l J Il l J J l J J l J J G P I k k P n n +++=+=知 ）由（ 题1-3图 题1-4图

第2章 单自由度系统的受迫振动题解

习 题 2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ，相邻两振幅的比值 1 2 .41=+i i A A ，若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用，求系统的稳态响应。 解：由题意，可求出系统的运动微分方程为 t m x n x p x n 3cos 360 22 =++ 得到稳态解 )3cos(α-=t B x 其中 m k B B B 45.0360 4)1(02 2220 == +-= λζλ 222 122tg λζλ ωωα-=-= n p n 由 d nT i i A A e 2.41 === +η 489 .3π 2797 .0ln 8 .1ln ======d d d d d T p T n T nT η η 又 22n p p n d -= 有 579.32 22=+=n d n p n p p 45.51255.1298.0374 .0838 .01838.0223.02tg 103.1408 .045 .0838.0223.04)838.01(45 .0223.0579 .3797.0838.0579 .33 2 222===-??= == ??+-= === == =ααζω λB p n p n n 所以 x ＝1.103 cos(3t －51?27') 2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率ω1 =6rad/s 时，系统发生共振；给

质量块增加1 kg 的质量后重新试验，测得共振频率ω2 =5.86rad/s ，试求系统原来的质量及弹簧刚度。 解：设原系统的质量为m ，弹簧常数为k 由 m k p n = ，共振时m k p n ==1ω 所以 m k =6 ① 又由 当 86.51 2=+= =m k p n ω ② ①与②联立解出 m ＝20.69 kg ，k ＝744.84 N/m 2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st δ，转子重Q ，重心偏离轴线e ，梁重及阻尼可以不计，求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。 解：列出平衡方程可得： 222()sin sin()sin()st Q W W k x w e wt x g g W Q x kx w e wt g g kg Q x x w e wt W W ππ-σ+- =+=++=+ 所以：2n kg P W Q h w e W ==， 又因为st st W W k k =σ=σ即 22() st st B w e B W g w =σ-σ将结果代入Q = 即为所求的振幅 2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力t F t F ωsin )(0=，弹簧支承端有运动 t a x s ωco s =，写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。 题2-4图

第三章----单自由度有阻尼系统的振动

第三章 单自由度有阻尼系统的振动 3—1 阻尼的作用与分类 前述无阻尼的振动只是一种理想情况，在这种情况下，机械能守恒，系统保持持续的周期性等幅振动。但实际系统振动时，不可避免要受到各种阻尼的影响，由于阻尼的方向始终与振动体的运动方向相反，因此对系统作负功，不断消耗系统的能量，使自由振动不断衰减最终停止，强迫振动的振幅受到抑制。 阻尼有各种来源，情况比较复杂，主要有下列三种形式。 1.干摩擦阻尼： 两个干燥表面互相压紧并相对运动时所产生的阻尼称为干摩擦阻尼，阻尼大小与两个面之间的法向压力N 成正比，即符合摩擦定律F=fN ，式中f 是摩擦系数。 2.粘性阻尼： 物体以中、低速度在流体中运动时所受到的阻力称为粘性阻尼。有润滑油的滑动面之间 产生的阻尼就是这种阻尼。粘性阻尼与速度的一次方成正比，即x c F ,式中c 为粘性阻尼系 数，它取决于运动物体的形状、尺寸及润滑介质的粘性，单位为N ·s/cm 。物体以较大速度 在流体中运动时（如3m/s 以上），阻尼将与速度的平方成正比，即2 x b F ，式中b 为常数，此种阻尼为非粘性阻尼。 3.结构阻尼、 材料在变形过程中，由内部晶体之间的摩擦所产生的阻尼，称为结构阻尼。其性质比较复杂，阻尼的大小取决与材料的性质。 由于粘性阻尼在数学处理时可使求解大为简化，所以本节先以粘性阻尼为基本模型来分析有阻尼的振动。在遇到非粘性阻尼时则可用等效粘性的办法作近似计算。有关等效粘性阻尼的概念和计算方法在本章后面再作介绍。 3－2具有粘性阻尼的自由振动 单自由度有阻尼振系的力学模型如图3-1所示，包括弹簧、质量及阻尼器。以物体的平衡位置0为原点，建立图示坐标轴x 。则物体运动微分方程为 kx x c x m －＝－ 式中 ： x c 为阻尼力，负号表示阻尼力方向与速度方向相反。

第二章单自由度无阻尼系统的振动

第二章 单自由度无阻尼系统的振动 单自由度系统是指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。系统的自由度数是指确定系统位置所必须的独立参数的个数，这种独立参量称为广义坐标，广 义坐标可以是线位移、角位移等。 单自由度系统振动理论是振动理论的基础，尽管实际的机械都是弹性 体，属多自由度系统，然而要掌握多自由度系统振动的基本理论和规律， 就必须先掌握单自由度系统的振动理论。此外，许多工程实际问题在一定 条件下可以简化为单自由度振动系统来研究。单自由度系统的力学模型如 图2-1所示，图中，m 为质量元件（或惯性元件），k 为线性弹簧，C 为线 性阻尼器。图2-1所示系统称为单自由度有阻尼系统，若该系统不计阻尼， 则称之为单自由度无阻尼系统，若在质量元件上作用有持续外界激扰力， 则系统作强迫振动，如无持续的外界激扰力而只有初始的激扰作用，则系 统作自由振动。 下面先研究单自由度无阻尼系统的自由振动，再进一步研究其强迫振 动。 2—1 自由振动 图2-2左图所示为单自由度无阻尼的弹簧质量系统。现用牛顿第二定律来建立该系统的运动微分方程。取质量m 的静平衡位置为坐标原点，取x 轴铅直向下为正，当系统处于平衡 位置时有，δk mg =，故有静位移 δ=mg/k （a ） 当系统处在位置x 处时，作用在质量上的力系不再平衡， 有： mg x k x m ++-=)(δ (b) 式中:2 2/dt x d x = 是质量的加速度，将（a ）式代入（b ）式；则得 kx x m -= 即 0=+kx x m （2-1） 注意，上式中-kx 是重力与弹簧力的合力，它的大小与位移x 的大小成正比，但其方向却始终与位移的方向相反，即始终指向平衡位置，故称其为弹性恢复力。由式（2-1）可以看到，只要取物体的静平衡位置为坐标原点，则在列运动微分方程时，可以不再考虑物体的重力与弹簧的静变形。 将（2-1）式改写成 0=+x m k x ，令2p m k = 则得 02=+x p x （2-2） 这是一个二阶齐次线性常系数微分方程。其解为

苏州大学在职研究生机械振动试题

习题课及考前复习（24题） 一、考试知识点 二、考题分布情况 三、作业题 四、课堂练习题 五、经典例题 一、考试知识点 第一章 1、单自由度系统振动方程。 2、无阻尼单自由度系统的自由振动。 3、等效单自由度系统。 4、有阻尼单自由度系统的自由振动。 5、简谐力激励下的受迫振动。 6、基础简谐激励下的受迫振动。 第二章 1、多自由度系统的振动方程。 2、建立系统微分方程的方法。 3、无阻尼系统的自由振动。 4、无阻尼系统的受迫振动。 二、考题分布情况 1、主要围绕作业题、课堂练习题、经典例题题型展开。 2、复习时把握每章知识要点，理解基础题型解题方法。 3、考卷共6道大题。 三、作业题讲解 1-1一物体在水平台面上，当台面沿竖直方向作频率为5Hz的简谐振动时，要使物体不跳离台面，试问对台面的振幅有何限制？ 1-3写出图所示系统的等效刚度表达式。2.5kg，k1=k2=2×105 N/m ，k3=3×105 N/m时，求系统的固有频率。

1-4图中简支梁长l=4m，抗弯刚度EI=1.96×106N·m2，且k=4.9×105N/m，m=400kg。分别求图示两种系统的固有频率。 1-6 如图示，重物挂在弹簧上，静变形为δs。现将其重新挂在未变形弹簧的下端，并给予向上的初速度 u ，求重物的位移响应和从开始运动到首次通过平衡 位置的时间。

1-7证明对于临界阻尼或过阻尼，系统从任意初始条件开始运动至多越过平衡位置一次。 P45.1-8:一单自由度阻尼系统，m =10kg时，弹簧静伸长δs=0.01m。自由振动20个循环后，振幅从6.4×10?3m降至1.6×103m求阻尼系数c及20个循环内阻尼力所消耗的能量.

振动习题86610

机械振动习题集

同济大学机械设计研究所 2004．9 1_简谐运动及其运算 1-1求下列简谐函数的单边复振幅和双边复振幅 （1）)3sin(2π ω+ =t x （2）)4 10cos(4π π+ =t x （3）)452cos(3?+=t x π 1-2通过简谐函数的复数表示，求下列简谐函数之和。 （1）)3 sin(21π ω+ =t x )3 2sin(32πω+ =t x （2）t x π10sin 51= )4 10cos(42π π+ =t x （3）)302sin(41?+=t x π )602sin(52?+=t x π )452cos(33?+=t x π )382cos(74?+=t x π )722cos(25?+=t x π 答案： （1）)6.6cos(359.412?+=t x ω （2）)52.4710cos(566.312?-=t x π （3）)22.92cos(776.1412345?+=t x π 1-3试计算题1中)(t x 的一阶对数和二阶导数对应的复振幅，并给出它们的时间历程。 1-4设)(t x 、)(t f 为同频简谐函数，并且满足)(t f cx x b x a =++&&&。试计算下列问题 （1）已知)3712sin(10)(,25,6,5.1ο+====πt x c b a ，求)(t f （2）已知)647sin(25)(,30,7,3ο+====πt f c b a ，求)(t x 1-5简述同向异频简谐振动在不同频率和幅值下合成的不同特点。 1-6利用“振动计算实用工具”，通过变换频率和相位总结垂直方向振动合成的特点。

振动力学考题集[1]

1、四个振动系统中，自由度为无限大的是（）。 A. 单摆； B. 质量-弹簧； C. 匀质弹性杆； D. 无质量弹性梁； 2、两个分别为c1、c2的阻尼原件,并连后其等效阻尼是（）。 A. c1+c2； B. c1c2/(c1+c2)； C. c1-c2； D. c2-c1； 3、（）的振动系统存在为0的固有频率。 A. 有未约束自由度； B. 自由度大于0； C. 自由度大于1； D. 自由度无限多； 4、多自由度振动系统中，质量矩阵元素的量纲应该是（）。 A. 相同的，且都是质量； B. 相同的，且都是转动惯量； C. 相同的，且都是密度； D. 可以是不同的； 5、等幅简谐激励的单自由度弹簧-小阻尼-质量振动系统，激励频率（）固有频率时， 稳态位移响应幅值最大。 A. 等于； B. 稍大于； C. 稍小于； D. 为0； 6、自由度为n的振动系统，且没有重合的固有频率，其固有频率的数目（A ）。 A. 为n； B. 为1； C. 大于n； D. 小于n； 7、无阻尼振动系统两个不同的振型u(r)和u(s)，u(r)T Mu(s)的值一定（）。 A. 大于0； B. 等于0； C. 小于0； D. 不能确定； 8、无阻尼振动系统的某振型u(r)，u(r)T Ku(r)的值一定（）。 A. 大于0； B. 等于0； C. 小于0； D. 不能确定； 9、如果简谐激励力作用在无约束振动系统的某集中质量上，当激励频率为无限大时， 该集中质量的稳态位移响应一定（）。 A. 大于0； B. 等于0； C. 为无穷大； D. 为一常数值； 10、相邻固有频率之间的间隔呈近似无限等差数列的振动系统是（）。 A. 杆的纵向振动； B. 弦的横向振动； C. 一般无限多自由度系统； D. 梁的横向振动； 11、两个刚度分别为k1、k2串连的弹簧,其等效刚度是（）。 A. k1+k2； B. k1k2/(k1+k2)；

单自由度无阻尼自由振动的系统分析

单自由度无阻尼自由振动的系统分析 在结构动力学之中，单自由度体系的振动是最简单的振动，但单自由度体系的频率计算在结构动力学计算中有着十分重要的意义，因为从中我们能得到关于振动理论的一些最基本的概念和分析方法同时也为更复杂的多质点多自由度体系振动问题奠定基础，同时现实工程中也有许多振动问题可以简化为单自由度问题近似的利用单自由度振动理论去分析解决。在单层厂房、水塔等建筑物中得到有效的利用 结构的自由振动是指结构受到扰动离开平衡位置后，不再受到任何外力影响的振动过程，此处动力系统是否有阻尼项，会直接影响到动力系统的反应。在此，我们把自由振动分为无阻尼自由振动与有阻尼的自由振动。 一、无阻尼自由系统的振动分析 目前，以弹簧-质量系统为力学模型，研究单自由度系统 的振动具有非常普遍的实际意义，因为工程中许多问题简化 后，用单自由度体系的振动理论就能得到很好的解决。而对 多自由度系统和连续振动，在特殊坐标的考察时，也会显示 出与单自由度系统类似的振动。 进行无阻尼自由振动分析的主要目的是为了获得系统固 有振动的特性，只有充分地了解系统的自身振动特性才能有 效的计算系统的动力响应，目前在单质点单自由度无阻尼自由振动体系中我们的运动方程为： 0)()(..=+t ku t u m （1） 或 0u(t))(=+ωt u （2） 其中的ω是振动圆频率，是反应系统动力的重要参数，其计算公式为：

m k m ==δω12 (3) 由上式可以看出，ω只和系统的刚度及质量有关，而与系统所受到的初始受力状态无关。ω的量纲与角速度相同为rad/s ，它反映了系统自由振动的快慢。自由振动系统的这一特性，我们在日常生活中司空见惯。比如，键盘类乐器标定后，按动某一个琴键，不管你按动的轻重如何，琴键所发出的声音的频率是一定的，按得轻或按得重仅影响声音的强弱。 （2）式经过三角函数的转换可表示为： )sin()(νω+=t A t u （4） 其通解为t A t A t u ωωsin cos ) (21+= 常数A 1与A 2与初始条件有关，01χ=A ωχ/02 =A 式（4）是标准的简谐方程其中A 是其振幅， 则ν是其初相角，他们的计算公式 202 0)(ωx x A += ，00 arctan x x v ω= 对于质点振动系统，质量越大，则系统的固有频率越低；刚度越大，则系统的固有频率越高。在实际工程中，这一规律在振动与噪声控制中具有重要意义：通过改变系统的质量或刚度，就可以改变系统的固有频率，使之落于一定的频带范围之外，从而保证在我们关心的频带范围内具有较小的振动或噪声。 二、有阻尼自由系统的振动分析 在前面所述的自由振动中，我们略去了运动的阻力。因此振动过程中机械能守恒，系统保持持久的等幅振动。但实际系统振动时不可避免地存在阻力，因X t

两自由度(无阻尼强迫振动)系统

如图所示两自由度（无阻尼强迫振动）系统，证明在强迫振动共振时系统的运动为主振动。 证： 振动微分方程为 t F x k x k k x m ωsin )(12212111=-++? ? t F x k k x k x m ωsin )(22231222=++-? ? 引入符号 121m k k a += ，12m k b =，22m k c =，22 3m k k d += 111m F f = ，2 22m F f = 则振动微分方程简化为 t f bx ax x ωsin 1211=-+? ? t f dx cx x ωsin 2212=+-? ? 现令 t B x ωsin 11= , t B x ωsin 22= 代入简化的振动方程，得 1212)(f bB B a =--ω 2221)(f B d cB =-+-ω 解之得 2 12 2 2112)()(bf f d f a cf B B +--+=ωω (1) 自由振动时，振动微分方程为 0)(2212111=-++? ?x k x k k x m 0)(2231222=++-? ?x k k x k x m x1 x2 F1sinwt F2sinwt

同理解得主振型为 2 12 2 2112122222)()()()(bf f p d f p a cf f p d cf bf f p a p d c b p a i i i i i i i +--+=-=-=-=-=ν (i=1,2) (2) 由（1）、（2）两式比较可知：当i p =ω时（i=1,2） i i B B ν=)( 1 2 即在系统共振时，系统的振型为主振型，系统的振动为主振动。 李小龙 2017-3-26

单自由度系统的无阻尼受迫振动

单自由度系统的无阻尼受迫振动 任学晶 13010135 机电学院 【摘要】通过学习，我们知道在实际生产生活中自由振动多是随时间不断衰减，直到最后振动停止，这是由于受到阻尼即振动过程中的阻力的作用所导致的。了解并避免受迫振动是工程中的首要问题，本文将通过运用振动微分方程来解释无阻尼受迫的合成，得出激振力频率与振幅之间的关系，对共振曲线进行分析，进而了解共振现象。 【关键词】阻尼；受迫振动；共振； 1.引言 工程中的自由振动，都会由于阻尼的存在而逐渐衰减，最后完全停止。但实际上又存在有大量的持续振动，这是由于外界有能量输入以补充阻尼的消耗，一般都承受外加的激振力。在外加激振力作用下的振动称为受迫振动。例如，交流电通过电磁铁产生交变的电磁力引起振动系统的振动，如图1所示；弹性梁上的电动机由于转子偏心，在转动时引起的振动，如图2所示，等等。 图 1 图 2 1.1简谐激振力 工程中常见的激振力多是周期变化的。一般回转机械、往复式机械、交流电磁铁等多会引起周期激振力。简谐激振力是一种典型的周期变化的激振力，简谐力F随时间变化的关系可以写成 () F H tω? =+（1） sin 其中H称为激振力的力幅；即激振力的最大值；ω是激振力的角频率；?是激振力的初相角，它们都是定值。 1.1振动微分方程

如图1所示的振动系统，其中物块的质量为m 。物块所受的力有恢复力e F 和激振力，如图3所示。取物块的平衡位置为坐标原点，坐标轴铅直向下，则恢复力e F 在坐标轴的投影为 e F kx =- 其中k 为弹簧刚度系度。 设F 为简谐激振力，在F 坐标轴上的投影可以写成式（1）的形式。质点的运动微分方程为 ()22sin d x m kx H t d t ω?=-++ 将上式两端除以m ，并设 图 3 20k m ω=，H h m = （2） 则得 ()2202sin d x x h t d t ωω?+=+ （3） 该式为无阻尼受迫振动微分方程的标准形式，是二阶常系数非齐次线性微分方程，它的解由两部分组成，即 12x x x =+ 其中1x 对应于方程（3）的齐次通解，2x 为其特解。且齐次方程的通解为 ()10sin x A t ωθ=+ 设方程（3）的特解有如下形式： ()2sin x b t ω?=+ （4） 其中b 为待定常数，将2x 带入方程（3）得 ()()()220sin sin sin b t b t h t ωω?ωω?ω?-+++=+ 解得 22 0h b ωω=- （5）

第二节无阻尼自由振动

第二章 单自由度系统的自由振动 第一节 导引 单自由度系统（Single-Degree-Freedom systems ）是最简单的振动系统，又是最基本的振动系统。这种系统在振动分析中的重要性，一方面在于很多实际问题都可以简化为单自由度系统来处理，从而可直接利用对这种系统的研究成果来解决问题；另一方面在于单自由度系统具有一般振动系统的一些基本特性，实际上，它是对多自由度系统、连续系统进行振动分析的基础。 所研究的振动都是微幅振动问题（微振动）。所谓微振动是指系统受到外界干扰后，系统各个质点偏离静平衡位置，仅作微小的往复振动。系统在振动过程中所受到的各种力将认为只与位移、速度等成线性关系，可以忽略可能出现的高阶微小量。例如单摆，其运动微分方程为 2 sin 0ml mgl θθ+= sin 0g l θθ+= 把单摆作为线性系统研究，则令 sin θ θ≈ 故有 0g l θθ+= mg

第二节 无阻尼自由振动的运动微分方程及其解 自由振动（free vibration ）是指在外界干扰下依靠系统本身的弹性恢复力所维持的振动。 一、运动方程及其解 m () k x ?+k 最简单的单自由度振动系统-----有一个质量m 和一根弹簧（弹簧的刚度系数为k ，它是弹簧每伸长或缩短一个单位 长度所需施加的力，单位为N m ）组成的弹簧质量系统。 弹簧原长为0l 。当系统在没有振动时，系统处于平衡状态，称为静平衡。此时，系统在重力的作用下产生拉伸变形 ?，称为系统的静变形。由静力平衡条件有 mg k =? 当系统受到外界某种初始扰动（例如用力将质量块偏离静平衡位置后突然释放，或给质量块以突然一击使之得到一个初始速度），使系统的静平衡状态遭到破坏，则弹簧力不再与重力平衡，从而产生不平衡的弹性恢复力，系统就依靠这种弹性恢复力在其静平衡位置做往复运动，称为自由振

哈工大单自由度自由振动习题

习题 2.1 一个重型工作台由扁钢支柱支撑（图P2.1），其侧向振动固有周期为0.5秒。当一个50磅力的平板固定在其表面时，侧向振动固有周期延长到0.75秒。工作台的重量和侧向刚度为多少？ 图P2.1 2.2 一个重400磅力的电磁铁悬挂在刚度为100磅力/英寸的弹簧下端(图P2.2a )，吸起200磅力的废铁(图P2.2b )。试确定电流切断废铁掉落时（图P2.2c ）的运动方程。 图P2.2 2.3 质量为m 的块体被弹簧和挡块共同支撑处于静止状态(P2.3)。在图示位置，弹簧中的力为m g /2。t = 0时，挡块旋转，突然释放质量块。试确定质量块的运动。 图P2.3 2.4 如图P2.4示的木块重量为10磅力，弹簧刚度为100磅力/英寸。一个重0.5磅力的子弹以60英尺/秒的速度射入木块，并嵌在里面。试确定因而发生的木块运动u (t )。 图P2.4 2.5 质量为1m 的块体1悬挂于刚度为k 的弹簧上，处于静力平衡。另一个质量为2m 的块体2从高度h 处落下粘在块体1上并无回弹(P2.5)。试确定从m 和k 的静平衡位置算起的后续运动u (t )。

图P2.5 2.6 一个仪器的包装可如图P2.6所示模拟。在图中，质量为m 由总刚度为k 的弹簧约束的仪器被置于一箱子内。m =10磅力/g ，k =50磅力/英寸。箱子意外地从离地3英尺的高处掉下。假定接触没有弹跳，试确定箱子内部包装的最大位移和仪器的最大加速度。 图P2.6 2.7 考虑一个重200磅力的跳水者站在悬出3英尺的跳板端部。跳水者以2赫兹的频率振荡，跳板的弯曲刚度EI 为多少？ 2.8 试证明：由初位移(0)u 和初速度(0)u 引起的临界阻尼体系的运动为 2.9 试证明：由初位移(0)u 和初速度(0)u 引起的过阻尼体系的运动为 式中，D ωω'= 2.10 试推导粘滞阻尼单自由度体系由初速度()0u 引起的，在如下三种情况下的位移反应方程：(a) 欠阻尼体系; (b) 临界阻尼体系; (c) 过阻尼体系。画出()()0n u t u ω÷随n t T 变化在0.1,1ζ=和2情况下的图形。 2.11 阻尼比为ζ的体系作自由振动，试确定初速度为零，位移幅值减少到初始幅值的10%时所需的周期数。 2.12 若粘滞阻尼比为(a)0.01ζ=，(b)0.05ζ=，(c)0.25ζ=时，相邻振幅的比值为多少？ 2.13 为了提高抗震能力，加强例题2.6中水箱的支撑体系，改造后体系的侧向刚度比原体系增加一倍。如果阻尼系数不受影响（这可能不是一个现实的假定），对改造后的水箱试确定：(a)振动固有周期n T ；(b)阻尼比ζ。

振动习题完整版本

机械振动习题集同济大学机械设计研究所 2004．9

1_简谐运动及其运算 1-1求下列简谐函数的单边复振幅和双边复振幅 （1）)3sin(2π ω+ =t x （2）)4 10cos(4π π+ =t x （3）)452cos(3?+=t x π 1-2通过简谐函数的复数表示，求下列简谐函数之和。 （1）)3 sin(21π ω+ =t x )3 2sin(32πω+ =t x （2）t x π10sin 51= )4 10cos(42π π+ =t x （3）)302sin(41?+=t x π )602sin(52?+=t x π )452cos(33?+=t x π )382cos(74?+=t x π )722cos(25?+=t x π 答案： （1）)6.6cos(359.412?+=t x ω （2）)52.4710cos(566.312?-=t x π （3）)22.92cos(776.1412345?+=t x π 1-3试计算题1中)(t x 的一阶对数和二阶导数对应的复振幅，并给出它们的时间历程。 1-4设)(t x 、)(t f 为同频简谐函数，并且满足)(t f cx x b x a =++&&&。试计算下列问题 （1）已知)3712sin(10)(,25,6,5.1ο+====πt x c b a ，求)(t f （2）已知)647sin(25)(,30,7,3ο+====πt f c b a ，求)(t x 1-5简述同向异频简谐振动在不同频率和幅值下合成的不同特点。 1-6利用“振动计算实用工具”，通过变换频率和相位总结垂直方向振动合成的特点。 2_单自由度系统振动 2-1请解释有阻尼衰减振动时的固有圆频率d ω为什么总比自由振动时的固有圆频率n ω小？ 答案：因为n d ωξ ω2 1-=，ξ<1 2-2在欠阻尼自由振动中，把ξ改成0.9的时候，有人说曲线不过X 轴了，这种说法正确么， 请说明理由？ 答案：ξ<1为小阻尼的衰减振动，当然过X 轴 2-3 0x ,以及初始速度0v ,答案：如n ω2-4 如图2-1答案：T 2=

常微分方程在有阻尼自由振动中的应用

常微分方程在有阻尼自由振动中的应用 羊士林 （数学科学学院,2008（4）班,08211439号） 1 引言 在数学的应用中微分方程是一个活跃的分支.这不是偶然的,因为许多自然科学的定律可以通过微分方程得到精确的表达.实际上,微分方程的应用已深入到许多学科之中.比如物理学科中的许多公式的推导以及一些题目的计算,就需用到微分方程的有关知识.微分方程来源于生活实际,研究微分方程的目的就在于掌握他所反应的客观规律,能动的解释所出现的现象并预测未来可能发生的情况.下面我们将简单的介绍常微分方程的几种解法及其在物理学中的应用. 2 二阶常系数常微分方程的几种解法 2.1特征方程法 例1 求微分方程220d x dx p qx dt dt ++=的通解. 解 特征方程02=++q p λλ的根21,λλ, (1)若这是两个不等实根,则该方程有两个实值解12,t t e e λλ,故通解为 1212t t x c e c e λλ=+（21,c c 为任意常数）. (2)若这两个根相等,则该方程有二重根,因此方程的通解具有形状 1112t t x c e c te λλ=+（21,c c 为任意常数）. (3)若这两个根为共轭复根z a bi =±,则该方程的通解具有形状 12(sin cos )at x e c bt c bt =+（21,c c 为任意常数）. 数学的许多公式与定理都需要证明,下面本文给出上面前两个解答的理论依据. 1 特征根是两个实根的情形 设12,λλ是上面特征方程的两个不相等的实根,从而相应的方程有如下两个解 12,t t e e λλ, 我们指出这两个解在a t b ≤≤上线性无关,从而它们能够组成方程的基本解组.事实 上,这时 121212()121211()t t t t t e e w t e e e λλλλλλλλλλ+==, 而最后一个行列式是著名的范德蒙德（Vandermonde ）行列式,它等于21()λλ-.由于

单自由度系统自由衰减振动及固有频率、阻尼比的测定

单自由度系统自由衰减振动 及固有频率、阻尼比的测定 一、 实验目的 1、了解单自由度系统模型的自由衰减的振动的有关概念； 2、学习用频谱分析信号的频率。 3、学习测试单自由度系统模型阻尼比的方法。 二、 实验仪器 实验仪器：INV1601B 型振动教学实验仪、INV1601T 型振动教学实验台、加速度传感器、调速电机或配重块、MSC-1力锤（橡胶头）。 软件：INV1601型DASP 软件。 三、 实验原理 单自由度系统的阻尼计算常常通过衰减振动的过程曲线振幅的衰减比例来进行计算。衰减振动波形示于图1。用衰减波形求阻尼可以通过半个周期的相邻两个振幅绝对值之比，或经过一个周期的两个同方向相邻振幅之比，这两种基准方式进行计算。通常以相隔半个周期的相邻两个振幅绝对值之比为基准来计算的较多。两个相邻振幅绝对值之比，称为波形衰减系数。 图1 衰减振动波形 1、对经过半周期为基准的阻尼计算 每经过半周期的振幅的比值为一常量， 2 12 1)2 (1 D D TD TD t t K K e e Ae Ae A A -+ --+=== = π εεε? 这个比例系数 ? 表示阻尼振动的振幅(最大位移)按几何级数递减。衰减系数 ? 常用来表示 振幅的减小速率。 如果用衰减系数?的自然对数来表示振幅的衰减则更加方便。 2 1121ln ln D D T A A D K K -====+πε?δ δ称为振动的对数衰减率。可以利用来求得阻尼比D 。

2 2 δ πδ+= D 引入常用对数 10 10 10303.2lg ,4343.0lg lg ln lg lg δδδ?δ?δ======e e e e 便得 2 2 ) (lg 862.1lg ) lg 733.0(1lg 733.0????+= += D 在实际阻尼波形振幅读数时，由于基线甚难处理，阻尼较大时，基线差一点， ? 就相差 很大，所以往往读取相邻两个波形的峰峰值之比， 2 11+++++K K K K A A A A 在 2 11 +++= K K K K A A A A 时， 2 111 ++++++= = K K K K K K A A A A A A ? 这样，实际阻尼波形读取数值就大为方便，求得阻尼比也更加正确。 四、 实验步骤 1. 仪器安装 2. 参照仪器安装示意图安装好配重块。加速度传感器接入INV1601B 型实验仪的第一通道。 加装配重块是为了增加集中质量，使结构更接近单自由度模型。 3. 开机进入INV1601型DASP 软件的主界面，选择“单通道”按钮。进入单通道示波状态进 行波形和频谱同时示波。 4. 在“采样参数”中设置好采样频率1000Hz 、采样点数为2K ，标定值和工程单位等参数。 5. 调节“加窗函数”旋钮为指数窗。在时域波形显示区域中出现一红色的指数曲线。 6. 用手敲击简支梁，看到响应衰减信号，这时，按下鼠标左键读数。 7. 把采到的当前数据保存到硬盘上，设置好文件名、试验号、测点号和保存路径。 8. 移动光标收取波峰值和相邻的波峰值并记录，在频谱图中读取当前波形的频率值。 9. 重复上述步骤，收取不同位置的波峰值和相邻的波谷值。 五、 实验结果和分析 测得的单自由度系统的固有频率和阻尼比分别为：

振动力学-习题

《振动力学》——习题 第二章 单自由度系统的自由振动 2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后 的运动规律。 图2-1 图2-2 2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置， 如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求 出振动固有周期。 2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。试求 其摆动的固有频率。 图2-3 图2-4 2-4 如图2-4 所示，一质量m 连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况 系统作垂直振动的固有频率： （1）振动过程中杆被约束保持水平位置； （2）杆可以在铅垂平面内微幅转动； （3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。

2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB在A点的等效质量。已知杆的质量为m，A 端弹簧的刚度为k。并问铰链支座C放在何处时使系统的固有频率最高？ 图2-5 图2-6 2-6 在图2-6所示的系统中，四个弹簧均未受力。已知m=50kg， 19800N m k=， 234900N m k k ==， 419600N m k=。试问： （1）若将支撑缓慢撤去，质量块将下落多少距离？ （2）若将支撑突然撤去，质量块又将下落多少距离？ 2-7 图2-7所示系统，质量为m2的均质圆盘在水平面上作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为I，忽略绳子的弹性、质量及各轴承间的摩擦力。试求此系统的固有频率。 图2-7 2-8 如图2-8所示的系统中，钢杆质量不计，建立系统的运动微分方程，并求临界阻尼系数及阻尼固有频率。 图2-8